Aula 3 : Somatórios & PIF

Transcrição

1 Aula 3 : Somatórios & PIF Somatório: Somatório é um operador matemático que os permite represetar facilmete somas de um grade úmero de parcelas É represetado pela letra maiúscula do alfabeto grego sigma ( ) Cosideremos a soma Podemos observar que cada parcela é o quadrado de um úmero atural iiciado pelo úmero Podemos represetar pela form, este caso com i variado de até 0 Assim esta soma pode ser 0 abreviadamete represetada por i, ode se lê, somatório de i com i variado de até 0 Geeralizado: Seja {a p, a p +,a p +,,a } um cojuto de p + úmeros reais, o símbolo represeta a sua soma, isto é, = a p +a p+ + ++a +a, ode: A variável p é o ídice do somatório que desiga um valor iicial, chamado limite iferior A variável é o ídice do somatório que desiga um valor fial, chamado limite superior A variável i percorre os valores iteiros desde p até alcaçar o valor superior Exemplo: 4 (x x ) = ( )+( )+(3 3)+(4 4 ) = = 0 x= Número de parcelas de um somatório: Se = a p +a p+ + +a +a, etão tem ( p+) parcelas Propriedades de um somatório: a) O somatório de uma costate k, cujo valor é idepedete da posição i : k = k+k+k+ +k = ( p+) *k b) Somatório do produto por uma costate k : k = k a p +k a p+ +k a p+ + +k a = k * (a p +a p+ + +a ) = k * c) Somatório de uma soma algébrica: ( ± b i )=(a p ± b p )+(a p + ± b p +)+(a p+ ± b p+)+ +(a ± b ) = (a p +a p+ + a )±(b p +b p + +b p + + +b ) = d) Separação do último termo: e) Separação do primeiro termo: ± b i = (a p +a p+ + +a ) +a = +a

2 f) Propriedade Telescópica: = a p + (a p+ + +a +a ) = a p + ( a k+ a k )=(a p + a p)+(a p+ a p+)+(a p+3 a p+)+ +(a + a ) => Agrupado de forma diferete os termos temos: ( a k+ a k )= a p +(a p + a p +)+(a p+ a p+ )+(a p+3 a p+3)+ +(a a )+a + =a + a p => ( a k+ a k ) = a + a p Aplicação: Prove que i= (+) Usado a propriedade da soma telescópica, temos: i= p+ ((i+) i ) = (+) 0 = (+), mas (i+) i = i+, etão: i=0 i=0 ((i+) i )= i=0 (+) = i+= i=0 i+ i =0 i+(+) <=> = ( 0+ i) +(+) => i=(+) (+)=(+) () => i= (+) Somatórios Duplos: Muito utilizado em tabelas de duplas etradas (exemplo: escolaridade x reda familiar; idade x ota, etc) Notação: x ij é um elemeto que pertece -ésima liha e j-ésima colua da tabela abaixo:

3 L Assim :{ c a x +x + +x k +x + x + +x Lk = j= b L k L k x ij =x 33 +x x 3 k +x 43 + x x Lk j=3 i=3 x i = x i =x +x +x 3 +x 4 + +x,k +x,k d j= Exercícios Somatórios: Idique verdadeiro ou falso para cada uma das expressões abaixo: 00 a ( ) i=0 000 b ( ) p=0 c ( ) l= d ( ) k =( p k=0 3 e ( ) p=8 00 i 3 = i 3 ; 000 (3+ p)=3+ p ; p=0 (3 l)=3 l ; l= k=0 k) 3 (3+p )=75+ p p=8 p Calcular usado a propriedade telescópica: a) ((k+) 3 k 3 ) k= b) i= 500 c) j=0 i (i ) ;, percebedo que j ( j+) ( j+) j ( j+) ( j+) = ( j ( j+) ( j+) ( J+)) 3 Dada a tabela abaixo, calcule: k x ij x j 3 = x j 3 =x 3 +x 3 + x 33 +x x k,3 +

4 3 4 a) x ij j= 4 b) x 3 j j= 3 c) x i d) 3 x ij i= j=3 e) (x ij ) 4 Sabedo que: a) (a+) =a + a+, calcule a soma S = , em fução de (= o de termos da soma); b) (a+) 3 =a 3 +3 a +3 a+, calcule S = , em fução de ; c) (a+) 4 =a 4 +4 a 3 +6 a +4 a+, calcule S 3 = , em fução de Pricípio ddução Fiita Idução matemática é um método de prova matemática usado para demostrar a verdade de um úmero ifiito de proposições A forma mais simples e mais comum de idução matemática prova que um euciado vale para todos os úmeros aturais e cosiste de dois passos: A base: mostrar que o euciado vale para um valor iicial, por exemplo para = O passo idutivo: mostrar que, se o euciado vale para = k, etão o mesmo euciado vale também para = k+ Esse método fucioa provado que o euciado é verdadeiro para um valor iicial, e etão provado que o processo usado parr de um valor para o próximo é válido Se ambas as coisas são provadas, etão qualquer valor pode ser obtido através da repetição desse processo Para eteder por que os dois passos são suficietes, é útil pesar o efeito domió: se você tem uma loga fila de domiós em pé e você puder assegurar que: O primeiro domió cairá Sempre que um domió cair, seu próximo viziho também cairá 3 Etão você pode cocluir que todos os domiós cairão Exemplo Soma dos primeiros úmeros aturais Cosidere a seteça seguite sobre os aturais:

5 P() : = Note que P(): = (+) (+) é verdadeira Agora vamos supor que se a fórmula é verdadeira para = k, ou seja: P(k) : k - + k = (+k ) k (H) H de H ipóstese Etão agora vamos provar que ela seria também verdadeira para = k+ : P(k+) : k + (k +) = (+k +) (k +) (k +) (k +) = (T) T det ese Ou seja, devo sair da miha hipótese (H) e tetar chegar até miha tese (T) Perceba que se em (H) eu somar o valor (k+), já teho o que quero do lado esquerdo da equação (T), basta ajeitar o lado direito: k - + k + (k +) = (+k ) k + (k +) = (k +) * ( k + ) = (k +) (k +) (T) O que estabelece a veracidade de P(k+) Exemplo : Vamos provar que 3 divide 5 +, para todo N De fato, para =, temos que 3 divide 5 + * = 7 Supoha, agora, que, para algum k, saibamos que 3 divide 5 k + k Logo, existe um úmero iteiro a tal que: 5 k + k = 3 * a Multiplicado por 5 ambos os lados dgualdade acima, temos: 5 * (5 k + k ) = 3 * 5 * a <=> 5 * a = 5 k+ +0 k = 5 k+ + k k = 5 k+ + k k = 5 k+ + k+ k Daí segue gualdade: 5 k+ + k+ = 5 * a + k Cujo segudo membro é divisível por 3 por ser igual a 3 * (5 * a +4 * k ) Assim, provamos que 3 divide 5 k+ + k+, o que, pelo Pricípio da Idução Ifiita, acarreta que 3 divide 5 +, para todo úmero atural Pricípio Geral da Idução: Por exemplo, se quisermos provar um euciado, ão para todos os úmeros aturais, mas apeas para todos os úmeros maiores que ou iguais a um determiado úmero b, etão os seguites passos são suficietes: Mostrar que o euciado vale quado = b Mostrar que se o euciado vale para todo atural b < k, etão o mesmo euciado também vale para = k + Exemplo 3: Seja a seguite sequêcia defiida como: a) Os dois primeiros termos são a = e a = 3; b) Cada um dos termos seguites é defiido como sedo igual à soma dos dois termos ateriores, isto é: a + =a + +a Assim os primeiros termos desta sequêcia serão: ; 3; 4; 7; ; 8; 9; c) Queremos demostrar que a ( 7

6 De fato, temos que a = < 7 4 ; e a = 3 = 48 6 ( 7 Seja etão e supohamos agora que vale para todo iteiro positivo meor ou igual a k Queremos etão provar que a k + < ( 7 Da hipótese de idução a afirmação vale para = k e = k - Logo, temos: a k ( 7 k (I) e a k ( 7 k k+ (II) Somado as iequações (I) e (II) teremos: a k + a k ( 7 k + ( 7 k (III) Mas, sabemos do euciado por b) que: a k + =a k +a k (III), temos: Mas como a k + ( 7 k 4 = = ( 7 k = ( 7 k 6 ( = 7 4 ) 49 a k + ( 7 k * ( * ( ) ( = 7 k Logo, substituido em Podemos reescrever (IV) como: 7 <=> a k + ( 7 k+ * ( 4 ) (IV) Exemplo 4: Prove que uma soma arbitrária de 8 cetavos pode ser paga com moedas de 3 e 5 cetavos (tedo essas moedas em quatidade suficiete) Solução Como 8 = 3+5, etão a operação é possível para 8 Supoha que m > 8 cetavos possam ser pagos Etão, será ecessário provar que m + cetavos podem ser pagos dessa maeira Se a soma de m cetavos foi paga utilizado pelo meos uma moeda de 5 cetavos, etão substitua esta moeda de 5 cetavos por duas de 3 cetavos e a quatia fial será m + cetavos Caso cotrário, a soma de m cetavos foi paga somete com moedas de 3 cetavos e, como m >8, há ao meos três moedas de 3 cetavos Troque etão três moedas de 3 cetavos por duas de 5 cetavos e ovamete a quatia fial de m + cetavos desejada foi obtida Exemplo 5 A sequêcia ( ) é defiida por a = 0, a =, a + = 3a + a Ecotre uma fórmula explícita para o -ésimo termo dessa sequêcia Solução Vamos calcular algus termos iiciais a busca de algum padrão para a fórmula explícita, aquela que depede apeas de e ão mais de outros termos a 3 = 3a a = 3 0 = 3, a 4 = 3a 3 a = 3 3 = 7, a 5 = 3a 4 a 3 = = 5, a 6 = 3a 5 a 4 = = 3 O que os úmeros 0,, 3, 7, 5, 3 têm de especiais? Uma olhadiha cuidadosa os faz perceber que todos eles são potêcias de, meos Mais especificamete

7 a 3 = 3 =, a 4 = 7 = 3, a 5 = 5 = 4, a 6 = 3 = 5 Portato, ossa cojectura (siôimo formal para chute ) será que a = Somete agora (após a cojectura feita) aplicaremos deia de idução, que só coseguirá provar a fórmula caso ela seja verdadeira (caso fosse falsa, o processo de idução ecotraria um obstáculo itraspoível em algum mometo) Os casos iiciais já estão escritos e validam a cojectura Em seguida, vamos supor que tehamos a fórmula válida para todo k (idução forte) Em particular, estamos supodo para k e k a k = k a k = k Daí, a k+ = 3a k a k = 3 * ( k ) * ( k ) = 3 * k 3 * k + = * k, <=> a k+ = k Exercícios Idução: 0 Usado o pricípio ddução, demostre que para todo iteiro positivo vale: = Explique geometricamete estgualdade 0 Mostre, por idução, que se é um iteiro positivo etão 7 - é divisível por 6 03 Prove o critério de divisibilidade por, isto é, um úmero Natural é divisível por se a soma de seus algarismos de ordem par, meos a soma de seus algarismos de ordem ímpar for um múltiplo de 04 Mostre, por idução, que >, para 5 05 Sabedo que a é solução da equação x 4x + = 0, podemos afirmar que: (a) a + a é irracioal (b) a ão é um úmero real (c) a + iteiro a é iteiro para todo iteiro (d) a + a é irracioal p/ algum 06 (Uiversidade de Moscou) Demostre que os primeiros mil algarismos após a vírgula o desevolvimeto decimal de (6+ 35) 979 são todos iguais a 9 07 Se a sequêcia (F ) é defiida por F = ; F = e, para 3, F = F - + F -, etão: (a) F 0 = 89 (b) F 6 é múltiplo de 6 (c) F 7 + = F 6 F 8 (d)f + F + F F + = F 4 (e) Todos os ites ateriores são falsos Exercícios de Olimpíadas: (Simulado ITA) Se l (+ x )= igual a: =0 ( ) x+ + para x <, etão l ( +x x) é

8 (OBM 985) a) sejam a, b, c, d iteiros tais que ad bc Demostre que é r s sempre possível escrever a fração sob a forma + (ax+b) (cx+d) ax+b cx+d b) Ecotre a soma O símbolo do Baco Alpha, é um triâgulo equilátero formado pelo empilhameto de 5, 4, 3, e triâgulos equiláteros meores, coforme figura abaixo a) Quatos triâgulos equiláteros ( de pé ), ou seja, apotados para cima como o destacado a figura abaixo, de qualquer dimesão, podem ser vistos a figura abaixo? b) Quatos triâgulos equiláteros ( de pé ou ivertidos) de qualquer dimesão podem ser vistos a figura acima? c) Quatos triâgulos equiláteros teria um triâgulo formado semelhatemete ao aterior só que com triâgulos meores em sua base? 4 Quatos quadrados têm como vértices potos um quadriculado 0 x 0? 5 (OBM 98) Seja k um úmero iteiro positivo Quatos quadrados distitos existem de lados ão ecessariamete paralelos aos eixos cartesiaos, cujos vértices pertecem ao cojuto {(m, )tal que m, iteiros,0 m k, 0 k }? 6 (Elimiatoire Fracaise 05) - Ue grille est formeé de 5 droites horizotales et 6 droites verticales Détermier le ombre de rectagles doc chacu des côtés est iclus das l ue de ces droites 7 Seja uma grade quadriculada x, N um eixo cartesiao Prove que o úmero de retâgulos com vértices os potos da grade e com lados paralelos aos eixos cartesiaos é dado pela fórmula: N o de retâgulos = S 3 = = ( ( ) ) 8 (OBM 05) Sabedo que = + + π + = 3 6, etão (+) = é igual a: A) π 6 B) π 6 ( π 6 ) C) π 3 3 D) π 3 + E) π (OBM 03) O úmero e, uma das costates mais importates da Matemática, pode ser defiido por:

9 em que 0! = e! = 3 para >0 (+) =0! e= =0! = 0! +! +! + 3! + = 0! +! + 3! + 4 3! + é igual a Etão o úmero A) e B) 4e C) 5e D) e E) (e + ) 09 (OBM 985 Baco) Calcule o somatório positivo k=0 ( +k k ) k para qualquer iteiro 0 (Olimpíada Paulista) Seja um iteiro maior que Se c é a hipoteusa de um triâgulo retâgulo e a e b são seus catetos, mostre que c >a +b (OBM 983) a) Prove que, sedo atural a) Ecotre o meor k tal que k, para todo atural (Colômbia 0) Vaessa escreveu 0 úmeros o cadero seguido as seguites regras: O primeiro úmero escrito foi o ; Do segudo úmero em diate, ela escrevia o úmero aterior somado com o maior divisor do mesmo, exceto ele próprio Por exemplo, se ela escrevesse o úmero 3 em algum mometo, etão o próximo úmero seria 3+4=64, pois o úmero 4 é o maior divisor de 3, diferete do próprio 3 Qual foi o último úmero que ela escreveu? 4 (OMEBA 06 Nível 3 - Adaptada) O coteúdo multiplicativo de um cojuto é o produto de seus elemetos Caso o cojuto possua um úico elemeto, seu coteúdo multiplicativo é este úico elemeto e, caso o cojuto seja vazio, seu coteúdo multiplicativo é Por exemplo, o coteúdo multiplicativo de {,, 3} é * * 3 = 6 Determie a soma dos coteúdos multiplicativos de todos os subcojutos de {,, 3, 4} Prove que a soma dos coteúdos multiplicativos de todos os subcojutos de {,, 3, 4,, } é (+)! Determie a soma dos coteúdos multiplicativos de todos os subcojutos de: {,, 3, 4,, 05, 06 }

10 5 (OBM 003 Nível 3 ª Fase) Calcule a soma: k=0 k + 3 k + = (POTI) Calcule a Soma: k= (k+) k+k k+ 7 (OBM 03 Nível 3 ª Fase) Observe que Assim, podemos calcular a série: É da forma = Sabedo que: o valor de = (+) = A π B = = + + π + = 3 6 (+) = = ( ) + ( 3) + ( 3 + = (+) = , com A e B iteiros positivos Determie o valor de A + B