Induzindo a um bom entendimento do Princípio da Indução Finita

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1 Iduzido a um bom etedimeto do Pricípio da Idução Fiita Jamil Ferreira (Apresetado a VI Ecotro Capixaba de Educação Matemática e utilizado como otas de aula para disciplias itrodutórias do curso de matemática) Detre os temas do esio de matemática que mais dão margem a iterpretações equivocadas está o do Pricípio da Idução Fiita (PIF) ou Pricípio da Idução Matemática ou simplesmete Pricípio da Idução. Ele costumava ser abordado já o esio médio, o que raramete ocorre o esio de hoje. Atualmete o PIF é estudado os cursos superiores de matemática, as disciplias de álgebra ou de aálise. Pode ser estudado também, de forma elemetar, a disciplia de cálculo I para os cursos de ciêcias exatas, como ferrameta para a demostração de algus teoremas posteriores referetes a propriedades dos úmeros aturais. Falo aqui da forma mais usual do PIF, como euciada abaixo. Não trataremos da chamada seguda forma do PIF, também útil, e equivalete à tratada aqui. No esio médio e em ível de cálculo I, ele é euciado formalmete e, logo depois, aparecem os problemas que solicitam demostrações utilizado o PIF, ivariavelmete o da soma dos termos de uma progressão aritmética. Seu euciado mais comum é o seguite (veja por exemplo Fudametos de Aritmética Domigues, H.H. Atual Editora 99) : P ( Seja a N e supohamos que a cada úmero atural a esteja associada uma afirmação. Admitamos aida que seja possível provar o seguite: (i) P(a) (ii) Para todo r a, se P (r) é verdadeira, etão P ( r ) também Etão P ( é verdadeira, para todo a. A experiêcia demostra que o estudate até que cosegue resolver os problemas propostos imitado algus exemplos que se seguem após o euciado do PIF, mas ele ão etede a essêcia do pricípio, isto é, ele ão sabe o que está fazedo quado faz as cotas para demostrar que P(r) implica P ( r ). Para ele, a hipótese de idução P(r) é verdadeira é uma hipótese do problema em questão e ele deve apeas demostrar que P ( r ) Além disso, há o setimeto de que, ao assumir a hipótese de idução, esteja-se utilizado a tese para demostrar ela própria. São raros os aluos que, ao estudarem o PIF pela primeira vez, etedem que o que se deve demostrar é a veracidade da implicação P ( r) P( r ), e ão a de P ( r ) isoladamete. E que, além disso, há situações em que tal implicação é verdadeira, mas P (r) ão é verdadeira para ehum r N, daí a importâcia de (i) do euciado. O propósito dessas otas, já trabalhadas por mim em disciplias itrodutórias do curso de matemática com bos resultados, é apresetar uma itrodução ao PIF. O objetivo é que o estudate adquira uma boa compreesão do euciado do PIF e do seu poder como ferrameta de demostração de fatos ligados aos úmeros iteiros. Não estou aqui preocupado com aspectos teóricos ligados ao PIF, como sua equivalêcia com o Pricípio da Boa Ordem ou sua iserção a axiomática de Peao para o cojuto dos úmeros aturais. A idéia dessa abordagem elemetar é oferecer aos aluos uma seqüêcia de problemas simples, que lidam com objetos matemáticos domiados pelo aluo, que os iduzam aturalmete a admitir o

2 PIF com clareza. Vamos a eles. No que segue, cosideraremos o cojuto dos úmeros aturais N como sedo,,3,4,..... Seja A um subcojuto de N do qual se sabe o seguite: (ii) Se r A, etão r 3 A.. Seja A um subcojuto de N do qual se sabe o seguite: (ii) Se r A, etão r A. 3. Seja A um subcojuto de N do qual se sabe o seguite: (i) 0 A ; (ii) Se r A, etão r A. 4. Seja A um subcojuto de Z do qual se sabe o seguite: (ii) Se r A, etão r A. 5. Seja A um subcojuto de Z do qual se sabe o seguite: (ii) Se r A, etão r A. 6. Seja A um subcojuto de N do qual se sabe o seguite: (ii) Se r A e r, etão r A. 7. Seja A um subcojuto de N do qual se sabe o seguite: (i) 5 Ae 30 A; (ii) Se r A, etão r A. 8. Seja A um subcojuto de N do qual se sabe o seguite: Se r A, etão r A.

3 9. Seja P uma propriedade relativa aos úmeros aturais da qual se sabe o seguite: (i) P(5) é verdadeira (isto é, a propriedade P é verdadeira para o úmero 5); (ii) Se P ( é verdadeira, etão P ( ) A N P( é verdadeira, etão o que se pode afirmar a respeito de A? 0. Seja P uma propriedade relativa aos úmeros aturais da qual se sabe o seguite: (i) P(0) (ii) Se P ( é verdadeira, etão P ( ) A N P( é verdadeira, etão o que se pode afirmar a respeito de A?. Seja P a seguite propriedade relativa aos úmeros aturais: ( P( :... (a) Mostre que: (i) P () (ii) Se P ( é verdadeira, etão P ( ) (b) Se A N P( é verdadeira, etão o que se pode afirmar a respeito de A?. Seja P a seguite propriedade relativa aos úmeros aturais: P( : ( (a) Mostre que se P ( é verdadeira, etão P ( ) (b) Se A N P( é verdadeira, etão o que se pode afirmar a respeito de A? 3. Seja P uma propriedade relativa aos úmeros aturais da qual se sabe o seguite: Se P ( é verdadeira, etão P ( ) A N P( é verdadeira, etão o que se pode afirmar a respeito de A? 4. Seja P a seguite propriedade relativa aos úmeros aturais: 3...( ) P ( : ( )( ) Para que valores de, P ( é verdadeira?

4 5. Seja P uma propriedade relativa a úmeros aturais da qual se sabe o seguite: P ( é verdadeira para todo,,3,..., A N P( é verdadeira, etão o que se pode afirmar a respeito de A? A partir deste poto, os aluos já sabem o que é o PIF!... A seguir apresetamos algumas proposições que podem ser demostradas utilizado-se o PIF. O PIF é um poderoso meio de demostração de teoremas em todas as áreas da matemática. Tete provar as proposições abaixo utilizado o PIF: ) (..., para todo úmero atural. ) ( ), para todo atural. 3) (Desigualdade de Beroulli) Se a é um úmero real e a, etão, para todo úmero atural, é verdadeira a desigualdade ( a) a. 4) A soma dos âgulos iteros de um polígoo covexo de lados ( 3 ) é igual a 80( ). 5) O úmero míimo de movimetos permitidos para se trasferir os discos de um pio da Torre de Haói para outro é. (O jogo será explicado em aula) 6) Tete ecotrar o erro a seguite demostração da proposição P( : Numa turma de aluos, se um deles é botafoguese, todos são botafogueses. Demostração : Claro que P () Mostremos agora que, para, a validez de P ( implica a validez de P ( ). Supoha etão P( verdadeira e cosidere uma turma com aluos com um botafoguese. Deotaremos os aluos por a, a,..., a. A turma pode ser olhada como a uião das turmas cotedo os aluos a,...,a e os aluos a,..., a. O botafoguese certamete estará em pelo meos uma das turmas de aluos acima. Pela hipótese de idução, todos os aluos daquela turma são botafogueses, portato os da outra também, já que há vários aluos em comum essas turmas. Daí, são botafogueses todos os aluos da turma cosiderada. Cocluímos assim que P( é verdadeira para todo. 7) Um resultado cohecido como Postulado de Bertrad afirma que existe sempre um úmero primo etre e. Use esse resultado para provar que, para, o ésimo úmero primo positivo p satisfaz a desigualdade p.

5 Bibliografia:. Cálculo e Geometria Aalítica Thomas/Fiey Vol. LTC Fudametos de Aritmética Hygio H. Domigues Atual Editora Elemetos de Álgebra L.H. Jacy Moteiro LTC Teoria dos Números Marcus Soares e outros Editora UB Itrodução à Teoria dos Números José Plíio de Oliveira Satos IMPA Curso de Álgebra A. Hefez IMPA - 993