Matemática 5 aula 11 ( ) ( ) COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS REVISÃO. 4a 12ab + 5b 2a 2(2a)(3b) + (3b) (2b)

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1 Matemática 5 aula 11 REVISÃO 1. Seja L a capacidade, em litros, do taque. Por regra de três simples, temos: I. Toreira 1: II. Toreira : 1 L 18 L x 1 x + xl ( x+ ) 1 = = L 1 18 xl ( x+ ) Sabedo que R 1 + R = L + L = L 1 18 x x+ + = 1 x + x + 6 = x = 0 x = 6mi Logo, tempo total = x + x + = 1 + = 15mi.. ( a+ b) ( b+ c) ( c+ a) + + = ab bc ac ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) c a ab b a b bc c b a ac c = = abc ac+ ba+ cb + bc+ ca+ ab + 6abc = = abc 1abc + 18abc + 6abc = = 6 abc. A = a. b = a'. b' a' = 160%a a. b = 160% a.b' b 100 b' = =. b b' = 0,65b = 6,5% 160% 160 Dimiui 7,5% 4. Sejam V 1 a vazão da toreira 1, V a da e V, a vazão de escape do ralo. Seja L a capacidade do taque. Temos: V 1 = L,V L L = ev = Logo, V T, vazão total, será: V T = V 1 + V V = L + L L Sedo Δt o tempo gasto pra que o taque echa: L L L L VT = t = t = = Δ Δ Δ t = Δ t = = 66h + h = = 66h + 40mi a 1ab + 5b a (a)(b) + (b) (b) (a b) (b) (a b+ b)(a b b) (a b)(a 5b) Somado a b + a 5b = 4a 6b (1+ + ) (1+ + ). = = 1 (1+ + ) (1+ ) (1+ + ) (1+ + ) ( + + 6) = =. = Fatorado =a =b 1 =c = Divisores ão múltiplos de, 5 e em e 5 será. d = (a + 1)(b + 1)(c + 1) d = ( + 1)( + 1)(1 + 1) d =... = 6 T. Força de trabalho. tempo T cavar fosso. T Os dois homes:. 8 o T 1 homem:. 15 o T homem:. t T T T = + = + = 8 15 t 8 15 t t = = t = t V 4. Vazão = t Para echer o taque ligamos as três toreiras ao mesmo tempo. V V V V = + + = = 15 t = h t t t x + y + x y = (xy+ 1) x + y + x + y = x y + xy+ 1 x xy+ y = 1 (x y) = 1 x y = ± 1 ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5 1

2 6. x + x 10 = x 8+ x = = x. + x = (x )(x x+ 4) + (x ) = (x )(x + x + 5) Somado os termos temos: x + x + x+ 5 = x + x+ 8 x 800 x = = = + Maoel, seus hectares: Como Maoel trabalhou em 8 de suas terras ele só vai pagar ao trabalhador Precisamos observar o MMC (60, 6). 60, 6 0, 1 0 1, 1 1 1, = 1mi 1ª vez 10:1 e ª vez 11:0 8. N = 10K1+ = 16K + 9 = 4K + 17 N = 10K = 16K = 4K N= 10(K1+ 1) 7= 16(K + 1) 7 = 4(K + 1) 7 N + 7 = 10(K1+ 1) = 16(K + 1) = 4(K + 1) 9. Assim N + 7 é divisível por 10, 16 e 4. Calculado o MMC 10, 16, 4, temos: 10, 16, 4 5, 8, 1 5, 4, 6 5,, 5, 1, 5, 1, 1 5 1, 1, 1 40 Assim N + 7 = 40 N = Soma: + 7 = 8 Resposta ocrreta: A A1 = A = (1+ p%). (1 p%) = (1 (p%) ) Como A1 A = 1% (1 (p%) ) = 1% (p%) ) = 1% p 1 = p = 10 p = Total de hectares: + 5 = 8. Trabalho para cada: 8. Valor pago por hectare: (x). Valor pago = 100 Assim Maoel pagou 100 e Pacheco pagou 700. CONJUNTOS NUMÉRICOS aula ( 5 ) = = = 607. Resposta correta: 607. Sabedo que ( a.a.a...a) = a vezes 4...., temos: 4.. ( ) = =. =. =. =. M= M= + M M = M (M ) = M M 4M + 4 = M M 5M + 4 = 0 M = 4, M > N= N= + N N = N N = N N = N = 6. Logo N. M = 6. 4 = 4 4., = N 100N = 74, N = 7415, Logo: 10000N 100N = N = N = 9900 = ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5

3 5. Seja ab = 10a + b o úmero procurado. Temos: a+ b = b ( + a) = 410a ( + b) ba = ab 7 70b + 7a = 40a + 4b a = b. Logo, substituido a + b = 9 b + b = 9 b = a = 6 Daí, ab = 6. Resposta correta: 6 1. Temos = 1q + 7 = 4. q = 4(q + 1) + Logo, o resto de por 4 é = Logo, se D é divisor de D = α. 5 β, α, β 15. Como 75 = 5. ão é da forma determiada, 75 ão é divisor. x = 9q1+ 5 x 9q1 = 5. Temos: x = q + x q = q 1 q 9 + = q1+ q = 9 Resolvedo o sistema: x 9(9 q ) = 5 x q = 5 x+ 9q = 86 4x = 9 x = x q = x 9q = = = ( ). ( ) termia em 5 termia em 5 termia em Como. 5 termia em 5, o último algarismo do úmero é 5. x y 189 = e x. y = 189 y =. 7 x Substituido, x = 189 x = 6. 7 x = 1 pois x > 0 7 x Logo, y = 9 e x y = 1 9 = = Daí, = α. β, de modo que α + 4, 5 + β sejam múltiplos de, os meores possíveis. Logo α = e β = 1. Daí, =. 1 = Sabemos que os restos possíveis para 17 são: N 0 N, 0 < 17. Detre esses, os que são da forma = q, q 0 N são: = 0, 1, 4, 9, 16. Logo q = 0, 1,,, 4. Cuja soma vale =. 8. Temos:. Seja D divisor simultâeo de 48 e 6 64 = 64, logo D divide, obrigatoriamete, N = MDC(48,64) = 16 N = 4 (N) = = 5, um úmero primo. 9. Sabedo que x 15 e y 18. Defiamos max() como o maior valor assumido por, e mi() o meor. x x x Daí: mi max mas: y y y x mi x 1 x max x 15 mi = = = e max = = 5. y máx y 18 9 y mi y Logo 1 x x 5 1, 5. 9 y y Seja S a soma da capacidade de cada depósito: S = = 119 Sejam, R e c as quatidades de ata, leite e chocolate, respectivamete. Sabemos que 0 {15, 16, 18, 19, 0, 1} pois ocupa somete depósito c = 119 c = 119 c = Também: = c Cocluímos que 119 é múltiplo de 119 = k = k = k = 0 C =.. 9 Logo: + c = 5 TEORIA DOS CONJUNTOS aula 1 1. (F) {b} P(A); {{b}} P(A) é verdadeiro. (F) {a, c} P(A); {a, c) P(A) (F) A P(A); A P(A) (V) {{a}, {c}} P(A) (V) A (F) { } A (V) P(A) (V) P(A) (F) P(A) {{0}}; P(A) {c} (F) Número de subcojutos de P(A) é 8; (p(p(a))) = = 8 = 56. Seja = A a. B b..... O úmero de divisores é dado por (a + 1)(b + 1)... em que a, b Logo, tedo três divisores, é da forma = A, ou seja, a = e b = c =... = 0. Em todos os demais casos (a + 1)(b + 1)... >. Portato x(a ) = A 6 possuido, etão, 7 divisores. Daí, seu cojuto das partes possui 18 = 7 elemetos. ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5

4 . P(P({ })). Sabemos que P({ }) é o cojuto das partes de { }, logo P = {{ }, } possui elemetos. Logo P(P({ })) = = {,, } = {,} elemetos apeas. 16 = 5. Subcojutos próprios são os ão-vazios. P(A) = = 8. Próprios = 8 1 = Resposta correta: F, V, V, V, V, F, V, F, V. Px =.Py x y =. X = Y + 1 A. A = = a = a B + 1 B = + 1 = b = b.= b a= b (Retificação de gabarito) 4. A = {1, {, }, 4}. Sabedo que 0 e simbolizam relações etre cojuto e elemeto e C e C etre cojutos, temos: a) {, } C, A Falso, pois {, } é elemeto de A, logo {, ) 0 A e {, } C A se somete se 0 A e 0 A o que é falso. b) (, } C A Verdadeiro, pois A e A. c) {} C A Falso, pois A. d) {4} C A Verdadeiro, pois 4 0 A. e) {, } 0 A Verdadeiro, pois {, } é um elemeto de A, ão um subcojuto. f) {1, {}} C A Falso, pois {} A. g) {1, {, }} C A Verdadeiro, pois 1 0 A e {, } 0 A, ou seja, {1, {, }} é subcojuto de A. Resposta correta: F, V, F, V, V, F, V 5. X = {1, a,, b,, c, 4}. X possui 7 elemetos. Seja S i a quatidade de subcojutos com i elemetos. S 1 = 7 7! S = C 7, = 1 5!.! = 7! S = C 7, = 5 4!.! = S 4 = C 7, 4 = C 7, = 5 S = S 1 + S + S + S 4 = 98 Somado a essa valor S 0, que é o subcojuto vazio, temos 99 subcojutos com até 4 elemetos. 6. Temos A = {x} em que x = M, A, C, K, E, N, Z, I. A possui 8 elemetos. Daí P(A) = 8. Mas P(A) = k + 4 = 8 k + 4 = 8 k = 4 k =. Se P(A) = k + 4 = 8 k + 4 = 56 k = (A) = (B) + 6 (A) (B) + 6 (B) 6 (P(A)). = = = = 64 (P(B)) (B) (B) (B) 8. B = {,a,{ b} } P( B ) = ; { } ;{ a }; {( b )} ;{, ( b )} ;{ a, ( b )} ;{,a,( b) } { } (Retificação de gabarito) (A) 9. (B) =? 10. (A) (B) = (A) (A) = (B) (B) = 0 (A) = m A P(A) = a b = 8 (B) = B a= c+ b P(B) = b m= p (C) = p C P(C) = c Solução: [ ] [ ] [ ] (A) P(A) = a= (I) m (B) m p P(B) = b = (II) a + b + c = + + (IV) (C) P(C) = c= (III) Como b = 8, temos de II p = 8 = Substituido em m = p m= p Se a= c+ b a c = 16 Substituido I e II em a c = 16, temos: p m p p p p = 16 = 16 = 16 8 p p p 8. = 18 (p) 8. 18= 0 p p A equação: = 0 é do º grau, logo substituido p por y temos: y' = 16 y 8y 18 = 0 y' = (ão serve) 4 ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5

5 Logo p = 16 p = 4 Como m = p, temos que m = 5 Assim: = ; p = 4; m = 5, logo: m p 5 4 a + b + c = + + = + + = = A (A B). Como A e B são cojutos: A B = A A B. Veja o gráfico: CONJUNTOS aula A B = 540 A C = 40 A B C = 180 Logo: A (B C) = (A B) (A C) = = (A B) + (A C) (A C) (A B)) = (A B) + (A C) (A B C) = = 600. Logo, A (A B) = A (A A B) = A A + A B = = A B Ressaltado que A B = A A B pois ão podemos subtrair de A elemetos que ão pertecem a A. Logo, subtraímos somete A B, ão o cojuto B. 1. (A B) (A B) + (B A) + (A B) 00 = (A B) (A B) = 70. (E G) F B A = pois A B A S = pois A S. x = {x 0 N/x = k} y = {y 0 N/y = k} z = {z 0 N/z = 7k} v = {v 0 N/v=11k} Logo, se 0 x y z v = 46k. Meor múltiplo de 10 = k = 5. = 10. Daí: 01 < < homes = 40 0% homes = 8 homes K = H + M 14 = H x + M x 14 = 8 + M x Mx = 6 Se para mulheres temos: Mx = 6 0% x 100% x = 0 mulheres Total K = H + M = = 70 *. A = {x / x < 6} A = {1,,,4,5} B = {x/x R x 6x + 8 = 0} x 6x + 8 = 0 x = ou x = 4 B C A Complemetar de B em relação a A. B C A Aqueles que estão em A mas ão estão em B. B C A = {1,,, 4, 5} {. 4} = {1,, 5} 4. [P (P Q)] = [(U P) [(U P) Q] = P Q 5. Sejam: A = {C, R} B = {E, A} C = {F, R, T, L, Z} D = {0, A, E} Logo: I. A C C Falso, pois R C. II. D B = {0} Verdadeiro, pois 0 B D. III. A B = {E, A, C, R} Verdadeiro. Daí, I e III são verdadeiras. ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5 5

6 6. (A B C) = (A) + (B) + (C) (A B) (A C) (B C) (A B C) Total de pessoas: 195 Total de pessoas: 10 que ão assistem ehum = 185 Logo, 185 é o total de pessoas que assistem a pelo meos algum do filmes, ou seja, é (A B C), logo temos: 185 = ( ) (A B C) 185 = 170 (A B C) (A B C) = 15 (A B C = 15 Motado o diagrama temos: Observe os esquemas: 96 brasileiros 6 fumates mulheres = 16 homes = 0 60 ão fumates mulheres = 9 homes = 1 6 estrageiros (47 6) = 11 fumates mulheres = 6 homes = (5 0) = 5 (75 60) = 15 ão fumates mulheres = 7 homes = 8 9. A = {1,, 4, 7} B = {1,, 6, 7, 10} A Δ B = (A B) U (B A) Vamos calcular: (A B) = {, 4} (B A) = {, 6, 10} Assim: A Δ B = (A B) U (B A) {, 4} U {, 6, 10} = {,, 4, 6, 10} O úmero de pessoas que assiste exclusivamete a um dos filmes é = Sejam A = {a / ota de a 4} B = {b / ota de b 6} Se x 0 A B 4 ota de x 6. Se x 0 B A = B B A ota de x 4. Mas (A B) = 000, (A) = 00 e (B) = 700. Como (A B) = (A) + (B) (A B) (A B) = 000. a) ota 4 x 0 B A (B A) = (B) (B A) = 700. b) 4 ota 6 x 0 A B (A B) = I. Temos um total de 1 passageiros, com 96 brasileiros. Assim teremos (1 96 =) 6 estrageiros. II. Se 64 passageiros são homes (fumates, ão fumates, brasileiros e estrageiros) etão 58 são mulheres (fumates, ão fumates, brasileiras e estrageiras). III. Do total de passageiros, 47 são fumates, etão 75 ão fumam. IV. Se 51 dos brasileiros são homes (fumates ou ão) etão (96 51 =) 45 são mulheres (fumates ou ão). V. Temos 51 homes brasileiros; destes 0 fumam e 1 ão fumam. VI. Se temos 6 brasileiros fumates (m + h) e destes 0 são homes, etão 16 são mulheres. VII. Se 6 brasileiros fumam, etão (96 6 =) 60 ão fumam. 10. I. homes alfabetizados. II. 58 mulheres aalfabetas. III. 70% são homes. IV. 80% são aalfabetos. x homes alfabetizados. y homes aalfabetos. z mulheres alfabetizadas. t mulheres aalfabetas. Por I temos: x = Por II temos: t = 58 Por III temos: x + y = 70% (x + y + z + t) x + y = 70 (x + y + z + t) x + 10y = 7(x + y + z + t) x + y = 7z + 7t. + y = 7. z y = 7z + 07 Por IV temos: (y + t) = 80 (x + y + z + t) 100 5y + 5t = 4x + 4y + 4z + 4t y + t = 4x + 4. z y = 4z ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5

7 Assim: y = 7z + 07 y = 4z + 74 (4z + 74) = 7z z + = 7z z = 85 z = 17 y = y = 14 O total é: x + y + z + t = = 50 PRODUTO CARTESIANO E RELAÇÕES aula A = {1,, } B = {4, 5} I. A x B = {(x, y)/x 0 A e y 0 B} = {(1, 4); (1, 5); (, 4); (, 5); (, 4); (, 5)}. II. (A x B) = (A). (B) =. = 6. III. S = {(x, y) 0 A x B/y x = }. Se y = 4 x = (, 4) S = {(, 4); (, 5)} Se y = 5 x = (, 5) IV. T = {(x, y) 0 A x B/x y = }. Se y = 4 x = 6 mas 6 A Logo T =. Se y = 5 x = 7 mas 7 A. V. W = {(x, y) 0 A x B/x = y 1}. Se y = 4 x = (, 4) Logo W= {(, 4)}. Se y = 5 x = 4 mas 4 A. VI. P(A x B) = 6 pois A x B possui 6 elemetos. VII. S 1 = {(y, x) 0 B x A/y x = }. Se y = 4 x = (4, ). S 1 = {(4,), (5, )}. Se y = 5 x = (5, ).. A = {0, 1,, } B = {x R/ x } Pois cada um é positivo. I. (k 1, k ) = (1, 8) m = 4, substituido a equação i- icial: 4 + = 1 = 1 4 = m = 1 II. (k 1, k ) = (, 4) m = 4 + = 1 4 = 1 = 4 m= 8 III. (k 1, k ) = (8, 1) = m 4 + = 1 m = 5 m m = 10 IV. (k 1, k ) = (4, ) m = = 6 Daí, (m, ) = (1, ), (8, 4), (5, 10), (6, 6) são soluções. 4. A = {x 0 R/0 x } e B = {x 0 R/0 x }. Tomado x 0 Z A = {0, 1, } e B = {0, 1,, }. Logo, A x B =. 4 = 1 5. A = {, 4, 6, 8,..., 6, 64} B = {(m, ) A A}/m + = 64 m {, 4, 6,..., 6} total 1 elemetos Logo são 1 pares. 1. A = B = (x, y) a 1 = a + a= (a+ = 8) 4b 6 = b + b = 8 b = 4 (4b 6 = 10) (8, 10). 4 + = m = m. m m 4 + m m 4 4 = m. k 1 (I) 4 + m m m = k (II) Fazedo o produto de (I) e (II), e m, 0, temos k.k 1 = 8 etão (k 1, k ) = (1, 8), (, 4) (8, 1), (4, ). I. (F) Toda relação é fução, pois uma fução relacioa a cada elemeto de um cojuto de chegado somete um de um cojuto de partida. II. (F) Nem toda fução é relação, pois toda fução é relação já que relacioa elemetos de cojutos diferetes. III. (V) Nem toda relação é fução, pois em toda relação obedece a regra estabelecida o item I, que defie uma fução. IV. (V) Toda fução é relação. Explicado o item I. Temos, apeas III e IV verdadeiras. ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5 7

8 . Pela defiição, temos que as relações biárias: (A). (B) = m. P, porém temos 1 relação vazia. 4. Assim, o úmero é: N REL. = m. P 1 8. I. Se (E x G) (F x h), etão temos: x, y, (x; y) (E x G) (x; y) (F x H) x, y, (x E e y G) (x F e y H) x, y, (x E x F) e (y G y H), assim E F e G H, etão (I) verdadeira. II. Se A B, etão A B = B, assim (II) (E x G) (F x H) (E x G) (F x H) = F x H (III) (E x G) (F x H) = F x H (E x G) (F x H) Assim (II) e (III) são verdadeiras. 9. A = {,, 4} B = {, 4, 5, 6} R = {(x, y) A x B / x divide y} a) Podemos observar que os elemetos de B que são divisíveis por elemetos de A são: 4 divisível por e 4. 6 divisível por e. divisível por. A relação A é a mesma relação A x A. Como A R, temos que todos os valores etre 1 x. Assim, seria um quadrado. 5. I. A = {x N/1 < x } A = {, } II. B = {y N/ < y } B ] ; ] Assim, R = {(, 4); (4, 4); (, ); (, 6); (, 6)} b) Gráfico de R 1 Note que R 1 = {(4, ); (6, ); (, ); (6, ); (4, 4)} Logo: Etão, B A é cojuto de potos (x, y) em que x B e y A: 10. x + y = 5 x = 5 y x = 5 y x = (5 + y)(5 y) 6. A B ((A). (B)) = 0 (A). 5 = 0 (A) = 4 A = {1,,, 4} S = = A área é dada pelo produto dos itervalos: A = [1, 5] e B = [, 6] A = (5 1). (6 ) = 4. = 1u.a para y = 0, x = ±5 para y = ±, x = ±4 para y = ±4, x = ± para y = ±5, x = ±0 Etão os pares são: (0,5); (0, 5); (; 4); (; 4); (, 4); (, 4); (4, ); (4, ); ( 4, ); ( 4, ); (5, 0); ( 5, 0) ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5

9 Rev.: Julyta ª SÉRIE E EXTENSIVO OLÍMPICOS VOLUME MATEMÁTICA 5 9