Monitor: Tiago Souza. Lista 7

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1 Professor: Rodrigo Moura Moitor: Tiago Souza Ecoometria MFEE Lista 7 1. Tome ode Cov( 2, u 1 0. Seja z 2 tal que: 1 = β 0 + β β 2 z 1 + u 1 2 = π 0 + π 1 z 1 + π 2 z 2 + v 2 ode E(v 2 ; Cov(z 1, v 2 ; Cov(z 2, v 2 e Cov(z 3, v 2. Temos que ter que π 2 0. Podemos calcular através de MQO ŷ 2 = π 0 + π 1 z 1 + π 2 z 2 Uma vez obtido ŷ 2, podemos fazer MOQda regressão icial utilizado ŷ 2 o lugar de 2. Etão: ( 1i ˆβ 0 ˆβ 1 ŷ 2i ˆβ (1 z 1i (2 ŷ 2i (3 Para (1, sabedo que ŷ 2i = 2i v 2i, teremos: ( 1i ˆβ 0 ˆβ 1 ŷ 2i ˆβ ( 1i ˆβ 0 ˆβ 1 ( 2i v 2i ˆβ ( 1i ˆβ 0 ˆβ 1 2i ˆβ + ˆβ 1 ( v 2i }{{} =0pela CPO do 1 Estágio 1

2 Para (2, aalogamete: z 1i ( 1i ˆβ 0 ˆβ 1 ( 2i v 2i ˆβ z 1i ( 1i ˆβ 0 ˆβ 1 2i ˆβ z 1i + ˆβ 1 ( v 2i z 1i }{{} =0pela CPO do 1 Estágio Para (3 temos que π 0 ( π 0 + π 1 z 1 + π 2 z 2 ( 1i ˆβ 0 ˆβ 1 ŷ 2i ˆβ + π 1 ( 1i ˆβ 0 ˆβ 1 ŷ 2i ˆβ =0 CP O + π 2 =0 CP O z 2 ( 1i ˆβ 0 ˆβ 1 2i ˆβ z 2 Essas são as CPO s do MQ2E, que são idêticas as de VI quado há apeas um istrumeto. Lembre-se que essas CPO s são ecotradas pelo método dos mometos. 2. Seja 1 = β 0 + β β 2 z β k z k 1 + u 1 ode z j, j = 1,..., k 1, são exógeos e 2 é edógea. Todos estimadores MQO serão viesados e icosistetes este caso. Seja z k um istrumeto para 2. Assim, assumimos que: (a u 1 tem média zero, E (u 1 (b z j, j = 1,..., k, são ão correlacioados com u 1, ou seja, Cov (z j, u 1, j = 1,..., k, ou seja, todos os regressores, com excessão de 2, e o istrumeto são exógeos. Através destas hipóteses, via métodos dos mometos, podemos iferir os parâmetros (basta expressar em termos amostrais estas hipóteses, z 1 + 2

3 que seriam o aálogo das CPOs do problema de MQO, ou seja: ( 1i ˆβ 0 ˆβ 1 2i ˆβ... ˆβ k z k 1 (1 ( 1i ˆβ 0 ˆβ 1 2i ˆβ... ˆβ k z k 1 z 1i (2. ( 1i ˆβ 0 ˆβ 1 2i ˆβ... ˆβ k z k 1 z k 1i (k-1 Temos que (1 ( 1i ˆβ 0 ˆβ 1 2i ˆβ... ˆβ k z k 1 z ki (k.. ˆβ 0 = ( 1i ˆβ 1 2i ˆβ... ˆβ k z k 1 Iserido a equação (2: ˆβ 0 = 1 ˆβ 1 2 ˆβ 2 z 1... ˆβ k z k 1 ( 1i ( 1 ˆβ 1 2 ˆβ 2 z 1... ˆβ k z k 1 ˆβ 1 2i ˆβ... ˆβ k z k 1 z 1i ˆβ 2 (z 1i z 1 z 1i = ˆβ 2 = [ ( 1i 1 ˆβ 1 ( 2i 2... ˆβ k (z k 1i z k 1 z 1i ( 1i 1 ˆβ 1 ( 2i 2... ˆβ k (z k 1i z k 1 (z 1i z 1 2 z 1i Fazedo isso para todas as outras equações: ( 1i 1 ˆβ 1 ( 2i 2... ˆβ k (z k 1i z k 1 ˆβ 3 = (z 2i z ( 1i 1 ˆβ 1 ( 2i 2... ˆβ k 1 (z k 2i z k 2 ˆβ k = (z k 1i z k 1 2 ( 1i 1 ˆβ 2 (z 1i z 1... ˆβ k 1 (z k 2i z k 2 ˆβ 1 = ( 2i 2 z ki z 2i z k 1i z ki 3. (a O erro deve coter etre outras coisas, reda familiar, que é positivamete correlacioada com possuir um PC 3

4 (b Os Pais rico podem pagar um PC para os filhos. correlacioados Para ser VI é preciso que : Logo são positivamete 1 cov(x, z 0 2 cov(u, z Ode x=pc; z= reda aual dos pais. Nesse caso, a reda dos pais deve falhar a hipótese (2, uma vez que deve ser correlacioada com outros fatores que explicam a ota (c Esse dado, aluos que receberam subveção, respeita as 2 hipóteses para ser uma VI válida. Respeita (1 e como os aluos foram aleatoriamete selecioados, também respeita (2. 4. Seja β V I = (zi z( i (zi z(x i x = (i z i (zi zx i O umerador fica: (i z i = z i i ( zi = 1 i 1 = 1 i 1 = 1 ( 1 ode 1 = z i quado z i = 1 e ( i z i 1 = 1 é a média de i quado z i = 1. Podemos reescrever: Etão 1 = [ 1 ( 0 = 0 ( 1 ( [ 1 = ( 1 1 ode 0 = 1 ( 1 1 ( 0 [ 0 = ( 0 1 ( 0 0 = ( 0 ( 1 O umerador fica β V I = ( 1 0 ( 1 0 (zi zx i Fazedo o raciocício aálogo β V I = ( 1 0 ( 1 0 ( 1 0 (x 1 x 0 = ( 1 0 (x 1 x 0 5. (a Seja ( = π 0 + π 1 z 1 + π 2 z 2 + v 2 e ( = β 0 + β β 2 z 1 + u 1.Colocado (15.26 detro de (15.22, temos: 1 = β 0 + β 1 (π 0 + π 1 z 1 + π 2 z 2 + v 2 + β 2 z 1 + u 1 1 = β 0 + β 1 π 0 + (β 1 π 1 + β 2 z 1 + β 1 π 2 z 2 + β 1 v 2 + u 1 1 = α 0 + α 1 z 1 + α 2 z 2 + v 1 (b v 1 = β 1 v 2 + u 1 (c Por hipótese, u 1 tem média zero e é ão correlacioado com z 1 e z 2, e v 2 também tem essas propriedades. Logo, v 1 tem média zero e é ão correlacioad com z 1 4

5 e z 2, portato podemos estimar comsistetemete através de MQO 6. Temos que Etão salario = β 0 + β 1 educ + u (1 β 1 = (xi x i (xi x 2 ode x i = educ e i =salario. Agora supoha que salario = β 0 + β 1 educ + β 2 trab if +u (2 ode z i = trab if. Vamos iserir o modelo corretamete especificado (2 em (1: β 1 = (xi x(β 0 + β 1 x i + β 2 z i + u i (xi x 2 = β 0 (xi x + β 1 (xi xx i + β 2 (xi xz i + (x i xu (xi x 2 = β 1 (xi x 2 + β 2 (xi xz i + (x i xu (xi x 2 = β 1 + β 2 (xi xz i + (x i xu (xi x 2 E( β 1 = β 1 + β 2 (xi xz (3 (xi x 2 sedo que (xi (x i xz i x 2 sobre x : Podemos reescrever (3 como: O viés em β 1 é é exatamete o coeficiete de icliação da regressão de z z i = δ 0 + δ 1 x i E( β 1 = β 1 + β 2 δ1 E( β 1 β 1 = β 2 δ1 Portato, o viés de β 1 depede do sial de β 2 e de δ 1 (sedo que esse tem o mesmo sial da corr(x i, z i. Aalizado (2 esperamos β 2 < 0 (uma vez que são as pessoas meos qualificadas que estão este setor e que δ 1 < 0 (dado do problema. Logo, β 2 δ1 > 0 E( β 1 > β 1 ao iserirmos a variável trabalho iformal (z i o coeficiete da variável escolaridade dimiui. 7. (a Como lucros totais é uma variável importate para explicar o preço das ações, a sua exclusão gerou uma má especificação do modelo. Logo, o coeficiete referete a LN REST passa a ter viés. (b Temos que ode E( β LN REST β LN REST = γ β LN LT LN LT = κ + γln REST 5

6 Substituido valores 0, 75 0, 18, 7γ γ, 81 6