ASSOCIANDO UM POLINÔMIO A EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E TRIGONOMÉTRICAS Marcílio Miranda, IFRN (Caicó RN)

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1 ASSOCIANDO UM POLINÔMIO A EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E TRIGONOMÉTRICAS Marcílio Mirada, IFRN (Caicó RN) Nível Itermediário O objetivo deste artigo é mostrar uma técica que pode ser bastate útil a hora de resolver problemas de olimpíadas de Matemática.Tal técica cosiste em você associar um poliômio a uma determia expressão. Com isso você pode calcular o valor de expressões trigoométricas, expressões algébricas e mostrar que um determiado úmero é irracioal. Vejamos algus exemplos disso: I) EXPRESSÕES TRIGONOMÉTRICAS Esse problema deixa bem clara a ideia de associarmos um poliômio a uma expressão trigoométrica: EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 (BÉLGICA 006): a) Ecotre todos os úmeros reais α tais que cos( 4α ) = cos( α ) b) Determie iteiros a, b, c, d tais que ax bx cx d = 0. SOLUÇÃO: a) ( ) ( ) π 4π 6π cos, cos, cos, são soluções da equação cos 4α = cos α 4α = α + kπ ou 4α = α + kπ α = kπ ou π 4π 6π logo1,cos,cos, cos são as raízes dessa equação. 4 Por outro lado temos que cos( 4 ) = 8 cos 8 cos + 1 cos α = t. Daí temos que ( α) ( α ) ( ) ( ) α α α e ( ) 4 cos 4 = cos t 1 8t + 4t 4t 1 = 8 t 4 t 8 t + t+ 1 = 0. Assim, a equação ( t t t ) = 0tem como soluções EXERCÍCIO RESOLVIDO (MOCP, JULHO DE 00): Prove que sec sec sec = 6. kπ α =, 7 cos α = 4 cos α cos α. Faça π 4π 6π cos,cos,cos. SOLUÇÃO: Note que 40 0, 80 0 e satisfazem a equação α = α α + = logo cos 40 0, cos 80 0, cos são as raízes do poliômio 8cos α 6 cos α +1, e assim temos que: 6 cos 40 cos80 + cos160 cos80 + cos = 8 1 cos 40 cos80 cos160 = 8 cos 8cos 6cos 1 0,

2 1 1 1 sec 40 + sec80 + sec160 = + + = cos 40 cos80 cos160 cos 40 cos80 + cos40 cos80 + cos 40 cos80 = 6. cos160 cos80 cos 40 π π π 1 EXERCÍCIO RESOLVIDO (IMO 196): Prove que cos cos + cos =. SOLUÇÃO: Note que π π π π 5π 5π π π 5π + 4 = π, + 4 = π e + 4 = 5 π, logo,, são soluções da equação cos4x = cos x. 7x x 7x x Essa equação equivale a cos 4x+ cosx= 0 cos cos = 0 cos = 0 ou cos = 0. 7x PARTE 1: Resolver a equação cos = 0 7x k = π + kπ x= π + π x= π, π, π, π, π, π, π, mas 7 7 π 1π π 11π 5π 9π cos = cos, cos = cos, cos = cos, logo há 4 soluções distitas etre 0 e π : π π 5π,,, π. x PARTE : Resolver a equação cos = 0 x π = + kπ x= π + kπ, logo x = π é a úica solução etre 0 e π. 4 Por outro lado temos que cos 4x = 8cos x 8cos x+ 1e cosx = 4cos x cos x. 4 4 cos4x= cosx 8cos x+ 4cos x 8cos x cos x+ 1= 0 8t + 4t 8t t+ 1= 0, ode t = cos x. Claramete 1 é raiz desse poliômio, e temos 8t 4 +4t 8t t + 1 = (t +1) (8t 4t 4t + 1), dode o poliômio 8t 4t 4t + 1 tem como raízes π π 5π cos,cos,cos. Logo temos pelas relações de Girard que: π π 5π 4 1 π π π cos + cos + cos = = = cos cos cos. 8 II) CALCULANDO O VALOR DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA: EXERCÍCIO RESOLVIDO 4: Prove que = 4. SOLUÇÃO: Seja x = Temos x = x x 6x 40 = 0. É fácil ver que 4 é raiz desse poliômio e x 6x 40 = (x 4).(x + 4x + 10). Note que as raízes de x + 4x + 10 ão são reais e é real, logo = 4.

3 EXERCÍCIO RESOLVIDO 5 (CROÁCIA 001): Se a + b + c = 0, calcule o valor da expressão a + b + c abc ( a + b + c ) SOLUÇÃO: Seja x + mx + px + q = 0. um poliômio de terceiro grau tal que suas raízes são a, b, c. Daí temos que a + b + c = m = 0, ab + ac + bc = p e abc = q. Assim temos que: (a + b + c) = a + b + c + (ab + ac + bc) a + b + c = p Por outro lado temos que: a + pa + q = 0 a = pa q (i) b + pb + q = 0 b = pb q (ii) c + pc + q = 0 a = pc q (iii) somado (i) + (ii) + (iii), temos que a + b + c = p.(a + b + c) q = q Da mesma forma temos que: a 4 + pa + qa = 0 a 4 = pa qa (iv) b 4 + pb + qb = 0 b 4 = pb qb (v) c 4 + pc + qc = 0 c 4 = pc qc (vi) somado (iv) + (v) + (vi), temos que a 4 + b 4 + c 4 = p.(a + b + c ) q.(a + b + c) = p. Aalogamete temos que: a 5 + pa + qa = 0 a 5 = pa qa (vii) b 5 + pb + qb = 0 b 5 = pb qb (viii) c 5 + pc + qc = 0 c 5 = pc qc (ix) somado (vii) + (viii) + (ix), temos que a 5 + b 5 + c 5 = p (a + b + c ) q (a + b + c ) = 5pq. Proseguido do mesmo modo, temos que: a 7 + pa 5 + qa 4 = 0 a 7 = pa 5 qa 4 (x) b 7 + pb 5 + qb 4 = 0 b 7 = pb 5 qb 4 (xi) c 7 + pc 5 + qc 4 = 0 c 7 = pc 5 qc 4 (xii) somado (x) + (xi) + (xii): a 7 + b 7 + c 7 = p (a 5 + b 5 + c 5 ) q (a 4 + b 4 +c 4 ) = 7p q. a + b + c 7p q 7 Com isso temos que = = abc a + b + c q p ( ) ( ) III) PROVANDO A IRRACIONALIDADE DE UM NÚMERO: Ates do próximo problema vamos provar o seguite teorema: TEOREMA (TESTE DA RAIZ RACIONAL): Se o úmero p q, ode p e q são iteiros e mdc(p, q) = 1, é uma raiz do poliômio com coeficietes iteiros divisor de a 0 e q é um divisor de a. PROVA: Como p é raiz do poliômio temos que q a x + a x a x+ a, etão p é um p p p a + a a + a = 0 a p + a p q a p q + a q = 0, q q q logo temos que p é um divisor de a 0 e q é um divisor de a. EXERCÍCIO RESOLVIDO 6: Prove que + é irracioal.

4 Solução: Seja x = + x = x 1 = x x 4 x + 1 = 8x x 4 10x + 1 = 0. Logo pelo teorema acima as raízes racioais da equação só podem ser 1 ou 1, que claramete ão são soluções (em ambos os casos o valor umérico do poliômio é 8). Logo esse poliômio só possui raízes irracioais, portato + é irracioal. EXERCÍCIOS PROPOSTOS: π π π 7 1) (EUA) Prove que se se se =. 8 ) (Vietã 198) Ache a, b, c iteiros tais que as raízes da equação ax + bx + c = 0 são cos 7 0 e cos ) (Prova de Seleção da Romêia para a IMO 1970): Prove que para todo iteiro positivo : π π π ( 1) π π tg tg tg... tg tg = ) (Prova de Seleção da Suíça para a IMO 004): Sejam a, b, c, d úmeros reais distitos satisfazedo as equações: a= 45 1 a, b= 45 1 b, c= 45 1 c, d = 45 1 d Prove que abcd = ) (OBM 00): Sejam a, b, c úmeros reais ão-ulos tais que a + b + c = 0. Calcule os possíveis ( ) ( a + b + c a + b + c ) valores de ( a + b + c ). 6) (Bélgica 1978): Ecotre um poliômio com coeficietes iteiros tal que + é raiz. 7) (Moldávia 000): Os úmeros a, b, c satisfazem a relação a + b + c = 0. Mostre que o úmero a 4 + b 4 +c 4 é um quadrado perfeito. 8) Prove que + é irracioal. 9) Prove que x = cos 7 π satisfaz a equação: x + x x + 1 = 0. Use este fato para provar que cos 7 π é irracioal. 10) Prove que tg tg tg tg 89 0 = ) Prove que cos 0 0. cos 40 0.cos 80 0 = ) Prove que: π π π a) tg tg tg = 7. π π π 4π 5π 6π b) tg tg tg tg tg tg = ) Prove que cossec 6 + cossec 78 cossec 4 cossec 66 = 8. 14) Calcule as expressões:

5 a) tg π tg π tg π. π π π b) tg + tg + tg. π π π π π π c) tg tg + tg tg + tg tg. π π 4π 1 15) Prove que cos cos cos =. 8 16) Ache uma equação do terceiro grau cujas raízes são 17) Calcule as expressões: 5 a) cos π cos π cos π. 5 b) cos π cos π + cos π π π 5 π cos + cos cos. π π 5π c) cos + cos + cos. π π 5π d) cos + cos + cos e) + +. π π 5π cos cos cos 18) Prove que tg 81 0 tg tg 9 0 tg 7 0 = 4. π π 5π cos,cos,cos. 19) Sejam u, v, w as raízes do poliômio x 10x Determie o valor de arctg u + arctg v + arctg w. π 5π 1π 0) Prove que cossec + cossec + cossec = ) Prove que tg 0 0. tg40 0. tg tg 80 0 =. ) Sejam a, b, c úmeros reais tais que a + b + c = 0, prove que: a) a + b + c = abc b) a + b + c a + b + c a + b + = c. 5 5 ) Prove que se0 se40 se80 =. 8 π π π 4) Prove que cot g + cot g + cot g = 5. π 4π 7 π 5) Calcule o valor da expressão tg + tg + tg REFERÊNCIAS [1] MIRANDA, Marcílio. Problemas Selecioados de Matemática ITA-IME Olimpíadas, Volume 1, Fortaleza (CE), Editora Vestseller, 010. [] ANDREESCU, Titu; FENG, Zumig. 10 Trigoometry Problems from the Traiig of the USA IMO Team, Birkhauser, 004. [] ANDREESCU, Titu; GELCA, Razva. Putam ad Beyod. New York: Spriger-Verlag, 006. [4] DOMINGUES, Hygio. Fudametos de Aritmética, São Paulo, Atual Editora, 1991.

6 SITES ACESSADOS [1] The IMO Compedium, Dispoível em < other&p=0>, Acesso em: 10/08/009. [] Treiameto do Coe Sul. Dispoível em: < Acesso em: 1/08/009. []Notas de Aula de Ki Yi Li. Dispoível em: < Acesso em: 15/08/009. [4] Págia de Olimpíada da Sociedade Caadese de Matemática. Dispoível em: < >, Acesso em: 0/07/009. [5] Matemática Nick Puzzles. Dispoível em: < Acesso em : 15/11/009. [6] Olimpíada Brasileira de Matemática. Dispoível em: < >, Acesso em: 0 /11/009.