Cálculo I USP- FFCLRP Prof. Rafael A. Rosales 5 de março de Lista 3. Limites

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1 Departameto de Computação é Matemática Cálculo I USP- FFCLRP Prof Rafael A Rosales 5 de março de 04 Limites Lista 3 Limites Eercício Verifique se as seguites afirmações são verdadeiras ou falsas, justificado suas respostas, isto é, eibido uma prova os casos verdadeiros e dado um cotra-eemplo os casos falsos (i Se eistir f ( e (f ( + g(, etão eiste g( a a a (ii Pode eistir (iii Se eisterem a (f ( + g( sem que eista f ( e g( a a a f ( e etão eiste +, f ( a a Eercício Mostrar, utilizado a defiição de ite, que se (a g( = f (f L, etão a f ( a g( = 0 (b a f ( = 0 a f ( = 0 Eercício 3 Supoha que o estudo do ite f ( = L, é ecotrado um ε > 0 k tal que se δ = 0, 000, etão 0 < k < δ f ( L < ε Demostre que se δ > 0, 00005, etão tambémo 0 < k < δ f ( L < ε Eercício 4 Foreça um eemplo ode a f ( = mas a f ( ão eiste Eercício 5 Demostre, utilizado a defiição de ite, que (i 4 = 6 (ii ( + 5 = 6 (iii 8 3 = (iv 0 0 = 0 (v = 3 (vi + 7 = 3 (vi ( = 40 6 (vii = 3 4

2 Eercício 6 Calcule os seguites ites (i (ii (iii (6 3 (iv (v [3 + ] (vi 44 ( (vii 3 (viii (i ( (i 4 (ii a a (iii (iv a a a m m (v (vi a a a a a Eercício 7 Calcule, caso eista Se ão eistir, justifique a + c, e f (, ode f ( = (, > f ( f (, f, ode f ( =, > f ( f ( g, ode f é a fução do item f + b d 0 Eercício 8 Calcular Eercício 9 Calcule os seguites ites utilizado o teorema do cofroto (i 0 se( (iii ( cos ( (iv (v 0 (ii se( 0 ( 0 [ ] [Observe que se( se R; logo, para (iv temos que para qualquer R: 0 [] < Para (v, podemos tomar e cota o ite 0 ( [ ]] [ ]

3 Eercício 0 Calcular Eercício Calcular Eercício Calcular Eercício 3 Calcular Eercício 4 Calcular 0 π/4 tg(3 se( se(π se(α 0 se(β π/4 se ( cos( 4 π cos( Eercício 5 Calcule ( ( cos(π/ 3 (i cos, (ii se 0 se( 0 6 Seja se( + cos( +, se f ( = 0, se = (i Mostre que (ii Mostre que ão eiste f ( = f ( Eercício 6 Determie os seguites ites sec sec a a, b a a π 3 f ( f ( + ( cos se, c π 3 π π Eercício 7 Avalie os seguites ites em termos do úmeo α = 0 se(/ Por eemplo, para 0 se(/, tem-se se( se( = = α 0 0 a 0 se(a se(b b 0 se ( c 0 se ( cos( ta ( + se( d 0 e 0 + f 0 cos( se( + h se( g h 0 h se( h ( j ( 3 se i 0 (3 + se( ( + se( 3

4 Eercício 8 Mostre que se a f ( = l, etão eistem úmeros δ > 0 e M tais que f ( < M se 0 < a < δ (Faça um deseho disto! Sugestão: por que é suficiete mostrar que l < f ( < l + para 0 < a < δ? Eercício 9 Foreça eemplos para mostrar que as seguites defiições de ão são corretas f ( = l a (a Para todo δ > 0 eiste um ε > 0 tal que se 0 < a < δ, etão f ( l < ε (b Para todo ε > 0 eiste um δ > 0 tal que se f ( l < ε, etão 0 < a < δ Eercício 0 (i Ecotre o perímetro de um polígoo regular de lados iscrito uma circuferêcia de raio r Utilice radiaes como uidade ao cosiderar qualquer das fuções trigoométricas evolvidas (ii Qual é o valor do perímetro quado é muito grade? f ( e ites ifiitos Eercício Calcular se ( [Sugestão: cosiderar a mudaça de variável / = u] Eercício Calcular os ites (i (iii (v (ii (iv (vi tg + ( π Respostas 6 (i, (ii 3 8, (iii 0, (iv idefiido, (v idefiido, (vi idefiido, (vii ( 3 3, (viii (i 3, ( 3, (i 4 3, (ii 5 3, (iii 3a, (iv, (v a a, (vi m m a m 7 a, b -, c idefiido (isto segue das respostas a e b, d -, e, f = -, g = Utilizado o Teorema do cofroto: (i 0, (ii 0, (iii 0, (iv idefiidoou 0?, (v idefiido ou? 0 3/ /π α/β (i cos(, (ii si(3 4

5 6 a sec a tg a, b 3/3, c 0 0 (i A figura abaio mostra um poliedro de lados iscrito uma circuferêcia de raio r O agulo AOC é π/, logo o agulo BOC é π/ Isto implica que BC = r se(π/, e AC = r se(π/, portato o perímetro ecessariamete é r se(π/ A B C O r (ii Quado é muito grade cosideramos o ite ( π r se = πr ( π π se = πr α, ode α = se(/ (veja o eercício 7 Como r π é o perímetro da circuferêcia e o ite quado o perímetro do poligoo cocide com o da circuferêcia, deduzimos que 0 se(/ = (i, (ii, (iii, (iv, (v, (vi 5