s: damasceno.

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1 Matemática II s: Derivadas Fção Derivada f() f () se cos cos - se e e l / a tg a la sec Primitivas Dizemos qe F() é ma primitiva de f() se F () f() Eemplos: () F() é ma primitiva de f() () F() é ma primitiva de f() () F() 00 é ma primitiva de f() () F() é ma primitiva de f() (5) F() é ma primitiva de f() (6) F() - é ma primitiva de f() Fção Primitiva f() F() c c c

2 Matemática II s: c 5 5 c c cos se c - se cos c e e c / l a la a sec tg Itegrais Idefiidas A itegral idefiida de f em relação a é o cojto de todas as primitivas de f. f ( ) d F( ) ode F ( ) f ( ) Fção Primitiva Itegral idefiida f() F() f ( ) d c c c c c c c c 5 5 c 5 c c c cos se c se c - se cos c cos c e e c e c / l c l c a la a c a c sec tg c tg c

3 Matemática II s: Se y F() é ma fção cja derivada é cohecida, digamos, F( ) f ( ), podemos dizer qe d d F ( ) f ( ) d d d F( ) f ( ) F ) f ( ) d ( (são igaldades eqivaletes) Eemplos: () d ( ) d () se d se d cos Itegrais imediatas cos () d se () e d e (5) d l (6) d () d d () d () d () d (5) d (6) d d (7) d d

4 Matemática II s: (8) d d (9) d ( ) d (0) cos d se () se d se d cos () e d e l a a l a () a d l a a d () d l Propriedades da itegral idefiida () ( ) g( ) d f ( ) d f g( ) d () ( ) g( ) d f ( ) d f g( ) d kf f ( ) d () ( ) d k () ( ) g( ) d m f ( ) d mf g( ) d Itegração termo a termo () 5 d d d 5 d 5 () 5 d d d 5 d 5 se d / / () cos 5se d d cos d 5

5 Matemática II s: 5 / 5/ se 5cos () d d d d d (5) / / 5 / / / d / / (6) d (7) Resolver o problema de valor iicial s ( t) set cost, s( π ) s ( t) se t dt cost dt s ( t) cost se t omo s ( π ) temos s ( π ) cosπ se π 0 Portato, s( t) cost se t 0 A regra da potêcia a forma itegral. Itegração por sbstitição d ( ) d () d ( ) d d d f ( ( )) ( ) d f ( ) d F( ) F(( ( )) Eemplos: ( ) ( ) ( ) d d () d d '( ) d d d d d d / / ( ) / /

6 Matemática II s: () d () d () d (5) d (6) ( ) d (7) cos( 7 5) d (8) se d (9) ) d e (0) d A Itegral d d d d d A eqação l, > 0 Eemplos: d l codz a fórmla Se < 0 etão d d ( ) l( ) Portato d l () d () 5 tg d () d () se cos d (5) se 5 ( ) cos( ) d (6) / se( / ) d Eercícios: () Determie ma primitiva para cada ma das fções a segir: ) 6 ) 7 ) ) - -

7 Matemática II s: 5) - 6) 7) 8) se( π ) se() (0) alcle as itegrais os segites eercícios: ) d ) d ) d ) d 5) cos d 6) d (0) alcle, sado sbstitição, as itegrais os segites eercícios: ) se( ) d ) 5 ) ( ) d ) ( ) e 5) d d 6) e d (0) Resolver os problemas de valor iicial os segites eercícios: dy d ) ( ), y() dy d ), y() d y d ), y(0), y (0) d y d ) e, y(0), y (0) 0 d y d 5), y(0), y (0), y (0) d y d 6) e, y(), y () 0 (05) alcle as itegrais os segites eercícios: d

8 Matemática II s: ) ( ) d ) d ) e e 5 d ) e d