Resolução do 1 o Teste

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1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA 1 o SEMESTRE 2015/2016 Resolução do 1 o Teste 21 de ovembro de 2015 Duração: 2 Horas Istruções: Leia atetamete a prova os 15 miutos previstos para esse efeito. Poderá colocar dúvidas esse período. Não deverá respoder a diferetes grupos de questões uma mesma folha de resposta. É obrigatória a apresetação de um documeto de idetificação. O abadoo da sala só poderá efetuar-se decorrida uma hora a partir do iício da prova. Não se aceitam respostas escritas a lápis. É autorizado o uso de máquias de calcular que respeitem as codições estabelecidas o Ofício- Circular o 03/DSDC/DES/JNE/2008. Não é permitido o mauseameto ou exibição de equipametos eletróicos durate a prova, exceto a máquia de calcular. Justifique coveietemete todas as respostas. Justifique, se as seguites afirmações são verdadeiras ou falsas: I [1.0] 1. Existem720 maeiras de setar três raparigas e quatro rapazes, um baco de sete lugares, de modo que em cada extremo fique uma rapariga. Resolução: Afirmação verdadeira. Existem2 5! 3 2 formas de setar três raparigas e quatro rapazes, um baco de sete lugares, de modo que em cada extremo fique uma rapariga. [1.0] 2. Os três últimos elemetos de uma liha do triâgulo de Pascal são respetivamete 45, 10 e 1. Etão a soma dos três primeiros elemetos da liha aterior é igual a56. Como os três últimos elemetos de uma liha do triâgulo de Pascal são respetivamete 45 = 2, 10 = 1 e 1 =, etão = 10, pelo que a soma dos três primeiros elemetos da liha aterior é igual a =46.

2 [1.0] 3. O resto da divisão de 111 por11 é1. Tedo em cota que111= , etão 111 = = =11 ( 11)+10, o que sigifca que o resto da divisão de 111 por11 é10. [1.0] 4. Sea,b,c Z, ea (b+c) etãoa b ea c. Por exemplo, sea=2,b=3 ec=5 coclui-se quea (b+c) masa b ea c. II [1.5] 1. Quatos úmeros de sete algarismos se podem formar com os úmeros0,1,1,2,3,3,3? Resolução: Número total de sequêcias que se coseguem formar: P(1,2,1,3)= 7! 2!3! =420. Número de sequêcias que se coseguem formar em que o primeiro algarismo é o0:p(2,1,3)= 6! 2!3! =60. Assim, a resposta ép(1,2,1,3) P(2,1,3)=420 60=360. [1.5] 2. Cosidere um cubo com as faces umeradas de 1 a 6. Pretede-se colorir as suas faces dispodo-se para o efeito de seis cores distitas. De quatas maeiras diferetes o podemos colorir, supodo que duas das faces têm de ter a mesma cor e as restates cores diferetes? Resolução: O úmero de maeiras distitas de se escolher as duas faces do cubo que vão ser pitadas da mesma cor é 6 C 2. Por cada uma dessas maeiras, existem6possibilidades diferetes para escolher a cor dessas duas faces. E por cada uma destas maeiras existem 5 A 4 maeiras diferetes de escolher quatro cores ordeadamete (as faces são distitas) de etre5dispoíveis para colorir as restates faces do cubo. Logo, a resposta é6 6 C 2 5 A 4 =6 6! 2!4! 5! (5 4)! = = [1.5] 3. Quatas soluções iteiras tem a equaçãox+y+z+t=50, sabedo quex,y,z,t 5? Resolução: Comox 5,y 5,z 5et 5, efetua-se as seguites mudaças de variáveis: x =x 5, y =y 5, z =z 5, t =t 5 Obtém-se a equação equivalete x +5+y +5+z +5+t +5=50 x +y +z +t =50 20 x +y +z +t =30 II

3 Dado que o úmero de soluções iteiras ão egativas desta equação coicide com o úmero de soluções positivas da equação dada, tem-se que = = 33! =5456 é a resposta 30!3! do problema. III [1.0] 1. Um dos termos do desevolvimeto(π+e) é120π 7 e 3. Qual o valor de? Resolução: Usado o teorema biomial, tem-se (π+e) = π i e i i i=0 Comoπ 7 =π i se e só sei=7 tem-se π 7 e 7 7 logo, 7=3 =10 e cofirma-se que 10 7 = 10! =120. 7!3! [1.5] 2. Quatos iteiros etre1e1000 são múltiplos de4ou múltiplos de7? Resolução: Cosideremos os cojutos: X = {1,2,...,1000} M 4 = {x X:x é múltiplo de 4} M 7 = {x X:x é múltiplo de 7} M 4 M 7 = {x X:x é múltiplo de 4 e 7} = {x X:x é múltiplo do mmc(4,7)} = {x X:x é múltiplo de 28} M 4 M 7 = {x X:x é múltiplo de 4 ou 7} Tem-se M 4 = =250, M 7 = =142 e M 4 M 7 = = Pelo pricípio da iclusão-exclusão, M 4 M 7 = M 4 + M 7 M 4 M 7 = =357 Portato existem 357 iteiros etre 1 e 1000 que são múltiplos de 4 ou múltiplos de 7. III

4 [1.5] 3. Mostre que, em qualquer subcojuto de5elemetos de{1,2,3,4,5,6,7,8}, existem dois úmeros cuja soma é igual a. Resolução: Cosideremos os cojutos{1,8},{2,7},{3,6},{4,5} as "4 caixas" e os5elemetos de cada subcojuto de{1,2,3,4,5,6,7,8} os "objetos" a distribuir pelas4"caixas" (=4,m=5logom +1). Assim, dado um qualquer subcojuto de{1,2,3,4,5,6,7,8} com 5 elemetos, o pricípio da distribuição garate que pelo meos dois destes 5 elemetos pertecem a um dos cojutos acima, pelo que a sua soma será. IV [2.0] 1. Utilize o pricípio de idução, para mostrar que2 2 1 é múltiplo de3, N. Resolução: Para=1, a afirmação2 2 1 é múltiplo de3éverdadeira, pois =3 que é múltiplo de3. Supohamos que2 2 1 é múltiplo de3(hipótese de idução) e iremos provar que2 2(+1) 1 é múltiplo de3(tese de idução): De facto, 2 2(+1) 1 = = = 2 2 (1+3) 1= = = hipótese de idução 3k+22 3 = 3q, odeq=k+2 2 Z. Uma vez que a afirmação é verdadeira para=1eque sedo verdadeira para um N aida é verdadeira para+1, coclui-se que2 2 1 é múltiplo de3, N. [1.5] 2. Determie a baseb 2 do sistema de umeração que verifica( ) 2 =(536) b. Resolução: Temos que ( ) 2 = (536) b =5 b 2 +3 b+6 Logob=8. 350=5b 2 +3b+6 5b 2 +3b 344=0 b=8 b= Cosidere os iteirosa=1143 eb=30: [1.0] (a) Utilizado o algoritmo de Euclides, calculemdc(a,b). Resolução: Temos que IV

5 = mdc(1143,30)=mdc(30,363); 30= mdc(30,363)=mdc(363,27); = mdc(363,27)=mdc(27,12); = mdc(27,12)=mdc(12,3)= Portato o mdc(1143, 30) = 3. [2.0] (b) Obteha todas as soluções iteiras da equaçãoax+by=21. Resolução: Como 3 21, a equação 1143x + 30y = 21 tem soluções iteiras. Utilizado os cálculos da alíea aterior, obtém-se: Como21=3 7, tem-se que 3 = = 27 ( ) 2 = = ( ) = = ( ) 2 = = 1143 ( 2) =1143 ( 2 7)+30 (85 7) pelo que as soluções da equação são da forma x = t y = t,t Z. [1.0] (c) Determiemmc(a,b). Resolução: Comomdc(1143,30)=3, etãommc(1143,30)= = Fim da resolução do teste V