Pirâmides: Neste momento, continuaremos a estudar a geometria espacial dos sólidos geométricos, enfatizando agora as pirâmides.

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2 Pirâmides: Neste momento, continuaremos a estudar a geometria espacial dos sólidos geométricos, enfatizando agora as pirâmides. A seguir, algumas representações de pirâmides:

3 Essa forma espacial é bastante conhecida, por isso torna-se difícil não nos lembrarmos das pirâmides do Egito ao tratarmos deste assunto. Uma dessas pirâmides é a de Quéops, também chamada de Grande Pirâmide. Ela mede 250 metros de cada lado, na base, e 160 metros de altura. Foram utiliza- dos cerca de 2 milhões de blocos de pedra, a maior parte deles com peso médio de 2,5 toneladas.

4 Definição: Consideremos um plano α, uma região poligonal convexa S e um ponto V fora de α. Pirâmide é a reunião de todos os segmentos com uma extremidade em V e a outra na região poligonal S.

5 Elementos: A região poligonal S é chamada base da pirâmide. O vértice da pirâmide é V. A altura da pirâmide é a distância de V ao plano da base. As arestas da base são os lados do polígono da base. As arestas laterais são os segmentos com extremidades em V e nos vértices do polígono da base. As faces laterais são os triângulos determinados pelo vértice V e cada uma das arestas da base.

6 Nomenclatura: Uma pirâmide é nomeada de acordo com a quantidade de arestas na base. Exemplos:

7 Secção transversal: Secção transversal de uma pirâmide é a intersecção dessa pirâmide com qualquer plano paralelo à sua base. Na figura a seguir, o polígono ABCDE, em destaque, é a secção obtida pela intersecção do plano β com a pirâmide. O plano β é paralelo ao plano α que contém a base da pirâmide.

8 Pirâmides retas e pirâmides oblíquas: Pirâmide reta é a que possui a projeção ortogonal do vértice sobre o centro da base. A pirâmide representada a seguir é reta e o ponto O é a projeção ortogonal de seu vértice, o ponto V.

9 Quando uma pirâmide é reta, suas faces laterais são triângulos isósceles congruentes, ou seja, todas as arestas laterais são congruentes entre si. Se a projeção ortogonal do vértice V não for sobre o centro da base, dizemos que a pirâmide é oblíqua, como é o caso da pirâmide representada a seguir, em que V' é a projeção ortogonal de seu vértice.

10 Pirâmides regular: Uma pirâmide reta que possui um polígono regular na base é chamada de pirâmide regular. A seguir, como exemplo, representamos uma pirâmide hexagonal regular e umas de suas planificações. Neste exemplo, temos uma pirâmide que cumpre as duas propriedades para ser regular, ou seja, tem na sua base um polígono regular e é reta. Note que, por ser reta, os triângulos que compõem sua superfície lateral são isósceles.

11 Elementos de uma pirâmide regular: I. Apótema de uma pirâmide regular Chama-se apótema de uma pirâmide regular a altura (relativa ao lado da base) de uma face lateral. Na figura a seguir, m é a medida do apótema da pirâmide representada. II. Apótema da base de uma pirâmide regular Dá-se o nome de apótema da base de uma pirâmide regular ao apótema do polígono regular da base, que, na verdade, é a distância do centro do polígono a cada um dos lados. Na representação a seguir, a corresponde à medida do apótema da base.

12 Teorema de Pitágoras e as principais pirâmides regulares : De modo geral, o teorema de Pitágoras tem aplicação na maioria dos problemas que envolvem pirâmides. Reconhecer os triângulos retângulos determinados pelos elementos das pirâmides torna-se uma habilidade importantíssima. A seguir, teremos exemplos de triângulos retângulos determinados pelos elementos das principais pirâmides regulares.

13 Pirâmide triangular regular : Considere uma pirâmide triangular regular em que as arestas da base medem l, altura H, apótema da base a e apótema da pirâmide m, como representado a seguir: Os apótemas da base e da pirâmide e a altura determinam um triângulo retângulo, tornando válida a relação:

14 Como a base da pirâmide é um triângulo equilátero de lado l, temos que o ponto G é o baricentro desse triângulo e divide a mediana na razão 2 : 1, portanto o apótema da base corresponde à terça parte da mediana.

15 Sendo f a medida de uma aresta lateral, temos mais uma possibilidade de destacar um triângulo retângulo, como representado a seguir:

16 Pirâmide quadrangular regular :

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18 Pirâmide hexagonal regular :

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