Exercícios de Matemática Binômio de Newton

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1 Exercícios de Mateática Biôio de Newto ) (ESPM-995) Ua lachoete especializada e hot dogs oferece ao freguês 0 tipos diferetes de olhos coo tepero adicioal, que pode ser usados à votade. O tipos de hot dogs diferetes que pode ser feitos a lachoete serão: 5) (UECE-996) Se e q são, respectivaete, os x coeficietes de x 5 e x 7 o desevolvieto de etão + q é igual é igual a: a) b) 4 c) 5 d) 6 9, a) 00 b) 0! c) 0.C 0, d) 0.A 0, e) 0 ) (UFBA-998) Sedo P P - e P, pode-se afirar: 0. Se C,(x+) C,x-, etão x U polígoo regular covexo de lados te 54 diagoais. 04. O coeficiete do tero de grau 7 do (x x desevolvieto ) é Co úsicos que toca bateria, guitarra e cotrabaixo idistitaete, pode-se forar 440 cojutos usicais, cada u co copoetes. 6. Ligado-se quatro a quatro os 5 potos de ua reta aos potos de ua outra reta a paralela à prieira, pode-se obter 60 quadriláteros. Marque coo resposta a soa dos ites corretos. ) (Uitau-995) Sedo 0, o(s) valor(es) de tal que ( )! 7 ( )! são: a) 7. b) 0 e 7. c) 0 e 0. d). e) 0 e. 4) (UEL-994) Se u dos teros do desevolvieto do biôio (x + a) 5, co a IR, é 80x, etão o valor de a é: a) 6 b) 5 c) 4 d) e) 6) (UEL-995) Se a soa dos coeficietes do desevolvieto do biôio (x + y) é igual a 4, etão o úero é: a) b) 0 c) 8 d) 5 e) x!.(x )! 0 7) (Uaerp-996) Se (x )!. x!, etão x vale: a) -6 b) -5 c) 4 d) 5 e) 6 8) (FEI-996) Se (+4)! + (+)! 5(+)!, etão: a) 4 b) c) d) e) 0 8 9) (Mack-0) Se etão vale: a) 7 b) 8 c) 4 d) 6 e) 56 0) (PUC-RJ-00) Se a). b). c) 5. d) 7. e) 0. ( )! ( )! 48 etão ) (FGV-00) Sabedo que: Projeto Medicia

2 x e y são úeros positivos x - y e x 4 + 4x y + 6x y + 4xy + y 4 6 podeos cocluir que: 7 a) x 6 6 b) x 5 5 c) x 4 4 d) x e) x ) (FGV-980) Sabedo que p x e p y, etão p é igual a: a) x + y b) x - y c) y - x d) x - p e) y - p ) (Mack-98) Para todo e p N*, o valor de p é sepre a) p p(p ) b) p c) p p d) p - e) 4) (Faap-0) Os valores de x que satisfaze a igualdade x x são: a) e 4 b) e c) e 4 d) e 5) (Uicap-997) Os síbolo C,p é defiido por p!( p)! para p co 0!. Esses úeros C,p são iteiros e aparece coo coeficietes o desevolvieto de (a+b). a) Mostre que C,p- + C,p C +,p b) Seja S C,0 + C, C,. Calcule log S 6) (ITA-998) O valor de tg 0 x - 5tg 8 x.sec x + 0tg 6 x. sec 4 x -0tg 4 x. sec 6 x + 5tg x. sec 8 x - sec 0 x, para todo x [0, /[, é: a) secx b) se x c) -secx+tgx d) - e) zero 7) (UFPR-0) O valor de de odo que é: a) 5 b) 8 c) 0 d) e) 8) (Fuvest-0) O valor de que satisfaz a seteça k0 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 k 5 é 9) (AFA-999) O valor de que satisfaz a expressão k k k 0 04 é a). b). c) 4. d) ) (Uifesp-004) O valor de log é: a) Projeto Medicia

3 b) c) d) log e) log ) (Uitau-995) O tero idepedete de x o desevolvieto de (x+/x) 6 é: a) 0. b) 0. c) 40. d) 6. e) 0. ) (UFPB-97) O úero de zeros e que teria o úero 000! é: a) 00 b) 49 c) 00 d) 4 e) 49 ) (UFPB-97) O aior iteiro positivo para o qual é iteiro, é: a) 4 b) 48 c) d) 00 e) 54 00! 4) (UFC-00) O coeficiete de x o poliôio p(x) (x - ) (x + ) 5 é: a) 0 b) 50 c) 00 d) 0 e) 80 5) (Mack-008) O Triâgulo Aritético de Pascal é ua tabela, ode estão dispostos, ordeadaete, os coeficietes bioiais abaixo. Liha Liha Liha p, cofore represetado Liha 4 Sedo Si a soa dos eleetos de ua liha i qualquer, cosideradas lihas, a soa S + S + + S é igual a a) - b) - c) d) + e) + x b 6) (FAZU-00) No desevolvieto do biôio x 6, o coeficiete do tero e x 4 é 0. O valor de b é: a) 5 b) 4 c) d) e) 7) (FATEC-006) No desevolvieto de biôio (X-) 00 segudo as potecias decrescetes de x, a soa dos coeficietes do segudo e do quarto teros é a) b) c) d) e) ) (Uirio-995) No desevolvieto de (x+y), a difereça etre os coeficietes do o e do o teros é igual a 54. Podeos afirar que o tero édio é o: a) o b) 4 o c) 5 o d) 6 o e) 7 o 9) (AFA-999) No desevolvieto de (x + ) x, o coeficiete de x + é a) ( ). b) ( ) 4. c) ( - ). d) 4( - ). 0) (Mack-997) No desevolvieto (x + x ) t, t IN, os coeficietes bioiais do quarto e do décio-terceiro teros são iguais. Etão o tero idepedete de x é o: a) décio. b) décio-prieiro. Projeto Medicia

4 c) oo. d) décio-segudo. e) oitavo. ) (FEI-0) No cálculo da soatória S a) 5 b) 508 c) 46 d) 65 e) 0 0 obté-se: b b) Sabedo-se que ( )! ( ( )! 4), calcule b 7. 6) (UNIUBE-00) Cosidere os seguites úeros aturais pares 4, 6, 8,...,00. Efetuado-se a soa 4!+6!+8! !, o algariso que ocupa a orde das uidades dessa soa é igual a a) 4 b) c) 6 d) 8 p p!( p)! ) (Fuvest-995) Lebrado que 6 a) calcule 4 b) Siplifique a fração 5 c) deterie os iteiros e p de odo que p p p ) (Mack-996) Lebrado o desevolvieto do biôio de Newto, o valor da expressão ostrado a seguir, é: k 4 5 k 5 5 k a) 8 b) 6 c) d) 5 e) 4) (UFC-006) Detre os cico úeros iteiros listados abaixo, aquele que represeta a elhor aproxiação para a expressão:!!4 4!5 5!6 6! é: a) 500 b) 504 c) 5050 d) 5058 e) ) (Vuesp-00) Dados os úeros e ( )! a) calcule o valor de de odo a satisfazer 9. k 7) (Olipíada de Mateática Argetia-989) Coo se deve escolher u úero para que 0 - seja divisível por? 8) (Itajubá-0) Calcular o valor de de odo que ()!.!...5..( ) 9 9) (FGV-00) A soa dos coeficietes do desevolvieto de (x + y) 5 é igual a: a) 8 b) 8 c) 4 d) 5 e) 79 40) (FEI-994) A soa de todos os coeficietes do desevolvieto de (4x -y) 7 é: a) 0 b) c) - d).7 e) ) (FEI-996) A expressão 7 a) b) 9 8 c) + d) e) ( )! é equivalete a: 4 Projeto Medicia

5 Gabarito ) Alterativa: E ) F V V F F soa ) Alterativa: A ( )! ( )( )! ( )! resol: ( )! ( )! (+) - etão, 7 7 pois 0 ão é peritido pelo euciado. 4) Alterativa: E 5) Alterativa: D 6) Alterativa: D 7) Alterativa: C x!.(x )! (x )! (x )x(x )! (x )!.x! (x )! (x )! (x+)x 0 x 4 ou x -5 (ão cové) 8) Alterativa: E Se (+4)! + (+)! 5(+)! (+4)(+)(+)! + (+)(+)! 5(+)! (+4)(+) + (+) ou -8 (ão cové) 9) Alterativa: B resolução: ( )( )! ( ) 8!( )!..( )! (-) Resolvedo a equação quadrática, ecotra-se 8 e -7, portato 8. 0) Alterativa: C resolução: ( )! ( )! ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 4 ) 48 etão, (ão cové) ou 5. ) Alterativa: E ) Alterativa: C ) Alterativa: B 4) Alterativa: B x x resolução: Se x x etão ou x x x ou x 5) a) C,p- + C,p (p -)!( (p -))! + p!( p)! p ( -(p -)) (p -p ) ( ) (p)!( (p -))! (p)!( (p -))! (p)!( p )! ( )! (p)!( p)! C +,p b) C,0 + C, C, é a soa da liha do o triâgulo de de Pascal, logo, S. Assi, log S 6) Alterativa: D 7) Alterativa: C 8) Alterativa: E 9) Alterativa: D 0) Alterativa: C ) Alterativa: E ) Alterativa: B ) Alterativa: B 4) Alterativa: E (x+) 5 x x x. +0.x. + 5.x x x x.+70.x + 405x.+ 4. Daí o tero de grau e (x-)(x+) 5 será 70x - 90x 80x. Portato, o coeficiete do tero de grau deste poliôio é 80. 5) Alterativa: B 6) Alterativa: A 7) Alterativa: C 8) Alterativa: E 9) Alterativa: C 0) Alterativa: B ) Alterativa: D OBS: Este exercício pode ser resolvido pela propriedade das coluas do triâgulo de Pascal. 5 Projeto Medicia

6 ) a) 5 b) 5/8 c) 4 e p 4 ) Alterativa: C 4) Alterativa: B 5) a) 8 b) b 7 5 6) Alterativa: A resolução: 4! 4 6! 70 8! 8.7.6! ! ! a partir de 6! todos os valores serão últiplos de 0, pois pode ser escritos e fução de 6! que é últiplo de 0. Assi, a úica parcela da soa pedida que ifluecia a uidade é o 4!, portato a uidade é 4. 7) Ora, 0 -, assi 0 - ( - ) -, as ( - ) é u últiplo de ais ou eos, depededo da paridade de (basta olhar para a decoposição do biôio). Mas etão para que 0 - seja últiplo de, 0 te que ser u sucessor de u últiplo de, o que ocorre para todo par. 8) 4 Resolução: Oberve que:» ()! coté os fatores de a ultiplicados;»! coté os fatores de a ultiplicados;» coté os ultplicados Etão,.! equivale a duplicar cada fator de!, de odo que:».! coté os fatores pares de ()!» (-) são os fatores ípares de ()! etão.! (-) ()! Assi, ()! ()!.!...5..( ) ()!( ) 9 4 ( ) 9) Alterativa: C c) (basta fazer x e y e substituir) 40) Alterativa: B 4) Alterativa: A 6 Projeto Medicia