CCI-22 CCI-22 DEFINIÇÃO REGRA DO RETÂNGULO FÓRMULAS DE NEWTON-COTES CCI - 22 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL INTEGRAÇÃO NUMÉRICA.
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- Sebastião Coelho Valgueiro
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1 CCI - MATMÁTICA COMPUTACIONAL INTGRAÇÃO NUMÉRICA CCI- Fórulas de Newto-Cotes Regras de Sipso Regra de Sipso de / Regra de Sipso de / Fórula geral de Newto-Cotes stiativas de erros DFINIÇÃO deteriadas situações, pode ser uito díicil - e até ipossível! - itegrar aaliticaete ua ução b o itervalo [a,b]: d a Isso ocorre, por eeplo, quado o valor de é coecido e apeas algus potos desse itervalo: coo ão se coece sua epressão aalítica, ão é possível itegrá-la Há étodos uéricos que orece ua solução aproiada para esse problea A ideia básica é substituir por u poliôio que a aproie razoavelete. Desse odo, o problea é resolvido através da itegração desse poliôio CCI- Fórulas de Newto-Cotes Regras de Sipso Regra de Sipso de / Regra de Sipso de / Fórula geral de Newto-Cotes stiativas de erros FÓRMULAS D NWTON-COTS Nas órulas de Newto-Cotes, é iterpolada pelo poliôio e potos i de [a,b], igualete espaçados Cada subitervalo [ i, i ], i<, te taao : desse odo, i i = = (b-a/ Coo =a e =b, essas órulas de itegração são caadas de órulas ecadas de Newto-Cotes Pricipais órulas ecadas de Newto-Cotes: Regra de Sipso RGRA DO RTÂNGULO a y b Cosiderado apeas os potos =a e =b de [a,b], ua prieira aproiação I( pode ser obtida do seguite odo: a = y b = I( = a(b-a ou b(b-a ou c (b-a, ode c = (ab/ Geeralizado para potos i, ode =(b-a/: I( = (... - = Σ i, i< ou (... = Σ i, <i ou (c c... c - = Σy i, i< Ne sepre é dispoível... É equivalete a aproiar co u poliôio de grau
2 CCI- Fórulas de Newto-Cotes Regras de Sipso Regra de Sipso de / Regra de Sipso de / Fórula geral de Newto-Cotes stiativas de erros RGRA SIMPLS DOS TRAPÉZIOS Cosiste e aproiar co u poliôio p ( de grau o itervalo [a,b], ode =a e =b: a = b = p ( Usado a órula de Lagrage para p (: b a ( d p( d = [ d = IT ( Assi, I T ( = ( /, que é a área do trapézio de altura = - e bases e RGRA COMPOSTA DOS TRAPÉZIOS Cosiste e dividir [a,b] e subitervalos de taao, e e cada u deles aproiar por ua reta eplo para =4: a = T T T T( T b = 4 [ L = I T ( = T( = ΣT i (, i< T( = Σ( i i /, i< ] Calcular a itegral de = (6- / o itervalo [,9] através das regras siples e coposta dos trapézios Regra siples dos trapézios: Sabeos que =, =9, =, =7, = I T ( = ( / = Regra coposta dos trapézios: Vaos cosiderar = e = Tabela de valores: ,,6,6 4,6,,7 6, 6,6 7, T( = (/,6,6 4,6,7 6, 6,6 7/ T( = 7, CCI- Fórulas de Newto-Cotes Regras de Sipso Regra de Sipso de / RGRA SIMPLS D SIMPSON Cosiste e aproiar co u poliôio p ( de grau e u itervalo [a,b] co potos: p ( Regra de Sipso de / a = b = Fórula geral de Newto-Cotes stiativas de erros Usado a órula de Lagrage para p (: ( ( ( ( ( ( p = ( ( ( ( Portato: IS ( ( ( ( ( ( ( = p( = [ d
3 RGRA SIMPLS D SIMPSON IS ( ( ( ( ( ( ( = p( = [ d Trocas de variáveis: = z. = z. d =.dz = = z. - - = (z- Aalogaete, = (z- = z = ; = z = ; = z = Substituido a itegral acia: I S ( = (z (z dz z(z dz z(z dz I S( = [ 4 RGRA COMPOSTA D SIMPSON Cosiste e geeralizar a regra de Sipso para u itervalo co potos ( deve ser par, espaçados etre si por ua distâcia eplo para =4: a = S S b = 4 I S ( = S( = ΣS i (, i</ S( = Σ( i 4 i i /, i</ S( = [ 4( L ( 4 L XPRSSÕS D RRO NA RGRA D SIMPSON D / Pode-se obter ua epressão de erro a regra de Sipso de /, através da itegração do erro a iterpolação: SS ( = 9 ( ξ 4 Coo =(b-a/, etão: SS = ( b a ( 4 ( b a ( 4 ( ξ = 9 * No caso da regra coposta: SS ( ξ =.. (4 Através das regras siples e coposta de Sipso, calcular logd 6 Regra siples de Sipso: I S( = [ 4 = (-6/ = I s ( = (log 6 4.log log / I s ( =,9674 Na regra coposta de Sipso, vaos cosiderar =: = (-6/ =, I s ( =,(log 6 log 4.(log 6, log 7, log, log 9, (log 7 log log 9/ I s ( =,996 CCI- Fórulas de Newto-Cotes Regras de Sipso Regra de Sipso de / Regra de Sipso de / Fórula geral de Newto-Cotes stiativas de erros RGRA SIMPLS D SIMPSON D / Cosiste e aproiar co u poliôio p ( de grau e u itervalo [a,b] co 4 potos: a = p ( Itegrado o poliôio iterpolador p ( e sipliicado a equação teos: I ( = [ b =
4 RGRA SIMPLS D SIMPSON D / Utilizado a estiativa de erro a iterpolação, itegrado e sipliicado cegaos a seguite epressão para o erro da aproiação da itegração: RGRA COMPOSTA D SIMPSON D / Cosiste e geeralizar a regra de Sipso para u itervalo co potos ( deve ser últiplo de, espaçados etre si por ua distâcia : SS = (4 ( ξ coo =(b-a/, etão: ( b a (4 SS = ( ξ 64 Logo Sipso de / é ligeiraete elor que Sipso de /: S ( ( 4 ξ / b a = ( Ou: S( = i=,,6... [ ( i ( S( = [ ( ( ( ( i ( i ( ( i i=,4,7 i ( i ( i i=,6,9... CCI- Fórulas de Newto-Cotes Regras de Sipso Regra de Sipso de / Regra de Sipso de / Fórula geral de Newto-Cotes stiativas de erros FÓRMULA GRAL D NWTON-COTS Podeos geeralizar os procedietos ateriores e aproiar co u poliôio iterpolador p ( de grau Para isso, é preciso deteriar potos o itervalo [a,b], espaçados etre si pela distâcia Usado a órula de Lagrage: d I( = p ( d = [ L ( L ( L L ( d] I( = L ( d L ( d L L ( d I ( = A A L A ALGUNS CASOS PARTICULARS Dados potos da ução espaçados co distâcia o itervalo [a,b], ode =a e =b, e supodo que seja iterpolada pelo poliôio p ( de grau, idicaos abaio alguas órulas ecadas de Newto-Cotes: = I ( = [ Trapézio = I ( = [ 4 Sipso / = I ( = [ Sipso / = 4 I ( = [ CCI- Fórulas de Newto-Cotes Regras de Sipso Regra de Sipso de / Regra de Sipso de / Fórula geral de Newto-Cotes stiativas de erros = I ( = [
5 STIMATIVAS D RROS ALGUNS CASOS PARTICULARS Já vios que o erro da iterpolação de co u poliôio de grau e potos o itervalo [, ] é ( = ( - (...( ( (ξ/(!, [, ], ode ξ (, Portato: ( d I( ( d d I( ( ( K( ( p ( ( ( ξ d! Trapézio (siples: Trapézio (coposta: Sipso / (siples: Sipso / (coposta: TC TS '' = ( ξ '' '' = ( ξ = ( b a ( ξ ξ (, ξ (, SS ( = 9 ( ξ ξ (, 4 SC 4 ( 4 = ( ξ = ( b a ( ξ ξ (, ( 4 TORMA GRAL DO RRO Se a ução, cotíua e co derivadas até orde tabé cotíuas o itervalo [a,b], or iterpolada por u poliôio de grau, etão o erro a sua itegração uérica será: ( ( ξ = u( u L( u du (! ( ( ξ = ( u u( u L( u du (! ξ [a,b] para ípar para par De odo geral, o erro tede a diiuir à edida que diiui e aueta Cálculo da itegração uérica de e d Sabe-se que o resultado eato é e-,7 Trapézio Sipso / Newto-Cotes co =4,,779,7,744,,76,794,7,6,74,7,7,,746,7,7 Quato ais baia a orde da órula utilizada, eor deverá ser o para se atigir a precisão desejada Cálculo da itegração uérica de cosd Sabe-se que o resultado eato é se ϖ/ se = Valores obtidos usado apeas Newto-Cotes co =4: Itervalo co potos π / Resultado 4,9699,99999,9649, COMPOSIÇÃO DO RRO A Na verdade, o erro é coposto por duas parcelas: A (aproiação: depede da precisão do étodo utilizado R (represetação: proveiete dos cálculos realizados perietalete, teos os seguites resultados (valor do erro e ução da quatidade de potos o itervalo: R 6,974, ,4974, ,447, Resultado ais próio Portato, após u certo *, ão é possível auetar a eatidão do resultado... *
6 CCI- Fórulas de Newto-Cotes Regras de Sipso Regra de Sipso de / Regra de Sipso de / Fórula geral de Newto-Cotes stiativas de erros Método da Quadratura Adaptativa MÉTODO DA QUADRATURA ADAPTATIVA Cosidere ua ução que ão seja be coportada: a Para elorar o resultado da itegração uérica de o itervalo [a,b], cové que aja ais subdivisões os trecos co curvas ais abruptas Supodo que seja coecida e ais valores de u subitervalo, o objetivo é estabelecer u étodo capaz de recoecer a vatage ou ão de subdividi-lo b CRITÉRIO PARA SUBDIVISÃO [ i, i ], seja P i o resultado do cálculo da itegração uérica, e Q i o ovo resultado quado esse subitervalo é bisseccioado Seja I i o valor eato da itegral de e [ i, i ]. Se or iterpolada esse subitervalo por u poliôio de grau p-, etão é possível deostrar que I i Q i = (I i P i / p, ou seja, a bissecção do subitervalo diiui o erro e u ator p Portato: p (I i Q i = (I i P i p I i p Q i Q i = I i P i Q i P i - Q i = - p I i p Q i - Q i I i p (Q i I i (Q i I i = P i - Q i Q i I i = (P i - Q i /( p Isso estabelece ua relação etre o erro e Q i e a diereça etre duas aproiações sucessivas Se desejaos ater u erro total ε, etão o erro esse subitervalo deve cotribuir proporcioalete e [a,b]: Q i I i < ε / = ε/((b a/ = ε/((b a/( i i P i - Q i / ( p < ε/((b a/( i i Critério de parada P i - Q i < ε( p ( i i /(b a Vejaos coo aplicar a quadratura adaptativa à regra de Sipso / o subitervalo [ i, i ] de [a,b]: S( = [ 4( L ( 4 L i i Potos para P i Potos para Q i i = i - i i i P i = [ i 4 i i i 6 i i i Q = [ i i i 4( i i i 4 4 i Critério de parada: P i - Q i < i ε/(b a Quado ão é satiseito, ocorre duas caadas recursivas: e [ i, i i /] e e [ i i /, i ] i 6
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Sumário. 2 Índice Remissivo 21
i Suário 1 Pricipais Distribuições Discretas 1 1.1 A Distribuição Beroulli................................ 1 1.2 A Distribuição Bioial................................ 2 1.3 A Distribuição Geoétrica...............................
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= { 1, 2,..., n} { 1, 2,..., m}
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11 Aplicações da Integral
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