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1 IME ITA

2 Apostila ITA E 0 Matrizes Ua atriz de orde é, iforalete, ua tabela co lihas e coluas, e que lihas são as filas horizotais e coluas são as filas verticais Co esta idéia teos a seguite represetação para a atriz A de orde : A a a a a a a a a a = O síbolo a ij represeta o eleeto da liha i e colua j Ua defiição foral para ua atriz é: Cosiderado os cojutos I = {,,, } e I {,,, } A I I, que associa cada par ordeado (, ) orde, é ua fução : u úero real a ij A otação A ( aij ) chaado de tero geral Exeplo: A atriz = Ua atriz A, de i j a = represeta ua atriz de orde e o eleeto a é ij A= a ij, co aij = i j é deteriada pelo cálculo de todos os eleetos de acordo co a lei de foração, ou seja: a = = a = = a = = 7 a = = a = = 0 a = = 5 desta fora teos: 7 A = 0 5 Observações sobre a liguage: O cojuto de todas as atrizes reais de orde Na atriz A= ( aij ) sequêcia ( a ) i, ai,, ai Na atriz A= ( aij ) a sequêcia ( aj, aj,, aj) é deotado por ( ) é a i - ésia liha é a j - ésia colua M

3 Mateática i-ésia liha HG a a a a a j a a a a a j a a a a a i i i ij i a a a a a j KJ j-ésia colua Seja A= ( aij ) e B ( bij ) = duas atrizes reais Diz-se que as atrizes A e B são iguais, e escreve-se A = B, se, e soete se, a ij b ij {,,,, } j Classificações de atrizes Matriz liha: É toda atriz forada por apeas ua liha Matriz colua: É toda atriz forada por apeas ua colua Matriz retagular: É toda atriz de orde co Matriz ula: É toda atriz co todos os eleetos ulos =, i {,,,, } e Matriz quadrada: É toda atriz de orde Neste caso dizeos que a atriz é de orde E ua atriz quadrada os eleetos da sequêcia ( a, a,, a ) fora a diagoal pricipal e os eleetos da sequêcia a, a( ),, a fora a diagoal secudária Matriz triagular Superior: É toda atriz quadrada de orde, e que a ij = 0 se i > j, ou seja, os eleetos abaixo da diagoal pricipal são ulos Matriz triagular Iferior: É toda atriz quadrada de orde, e que a ij = 0 se i < j, ou seja, os eleetos acia da diagoal pricipal são ulos

4 Apostila ITA Matriz trasposta Seja A= ( aij ), a atriz trasposta de A, idicada por A t, e é A t ( bij ) = e que bij = aji E outros teros, a atriz trasposta é obtida trocado liha por colua da atriz origial Exeplo: Observações: Quado Quado 7 A = 0 5 t A t A Operações co atrizes Adição de atrizes t A = A dizeos que a atriz A é siétrica = A dizeos que a atriz A é atisiétrica Seja A= ( aij ) e B ( bij ) = = duas atrizes quaisquer A soa de A co B, que idicareos por A + B, é a atriz cujo tero geral é aij + bij, isto é: a + b a + b a + b a + b a + b a + b A+ B = a + b a + b a + b Multiplicação por escalar Dados a atriz A ( aij ) = e u úero real k, o produto idicado por k A, é a atriz cujo tero geral é k aij, isto é: k a k a k a k a k a k a k A= k a k a k a

5 Mateática Multiplicação de atrizes Cosidereos as atrizes A= ( aij ) e B ( bjk ) = O produto de A por B, idicado por A B, é a atriz t cujo tero geral é c ik, e que: cik = aij bjk = ai bk + ai b k + + ai bk j= Observação: Para que o produto de atrizes seja possível é ecessário que o úero de coluas da prieira atriz seja igual ao úero de lihas da seguda atriz A atriz idetidade de orde, deotada por I, é a atriz quadrada a qual todos os eleetos da diagoal pricipal são iguais a e os deais eleetos iguais a 0, ou seja: I = Propriedades Para a adição de atrizes teos ABC,, M ( ) : A adição de atrizes é associativa : ( A+ B) + C= A+ ( B+ C) A adição de atrizes é coutativa : A + B = B + A A adição de atrizes adite eleeto eutro: Existe ua atriz O M ( R) que A + O = O+ A= A Existe atriz oposta: Para toda atriz A M ( R) t tal, existe ua atriz idicada por A, tabé de orde, chaada atriz oposta de A, tal que A + ( A) = ( A) + A= O Para a ultiplicação por escalar teos, ( ) ( ) k k A = k k A k + k A = k A+ k A k A+ B = k A+ k B k k e ( ) AB M, Para a ultiplicação de atrizes teos A M ( ), B M p ( ) C M p q e

6 Apostila ITA A ultiplicação de atrizes é associativa: ( A B) C = A ( B C) ( A B) t = B t A t Vale a propriedade distributiva à esquerda: A ( B+ C) = A B+ A C Vale a propriedade distributiva à direita: ( B+ C) A= B A+ C A Existe eleeto eutro: A I = I A= A ( k A) B = A ( k B) = k ( A B) Exercícios 0 (UFG) Seja as atrizes iguais, deve-se ter: a) a = e b= c= b) a = e b= c= c) a = e b= c= d) a = e b= c= e) a = e b= c = a A = 6 7 b 9 B = Para que elas seja a c e P = e Q =, a atriz trasposta de P Q b) c) e) (UFBA) Se a) d) x 0 y é: 0 (SANTA CASA - SP) Se a atriz x é siétrica, etão o valor y de x + y é: a) b) c) 0 d) e) 5

7 Mateática 0 (SANTA CASA - SP) Se ua atriz quadrada A é tal que A t = A ela é chaada ati-siétrica Sabe-se que M é ati-siétrica e, M + a = a b b + c c 8 6 Os teros a, a e a da atriz M vale respectivaete: a), e b), e c), e d), e e) da 05 (FATEC) Sabe-se que as ordes das atrizes A, B e C são, respectivaete, r, s e t Se a atriz ( A B) C é de orde, etão r+ s+ t é igual a: a) 6 b) 8 c) 0 d) e) 06 (FATEC) Ua idústria autoobilística produz carros X e Y as versões stadart, luxo e superluxo Peças A, B e C são utilizadas a otage desses carros Para u certo plao de otage, é dada a seguite iforação: Carro X Carro Y Peça A Peça B 5 Peça C 6 Stadard Luxo Superluxo Carro X Carro Y 5 E teros atriciais, teos:

8 Apostila ITA atriz peça-carro = 5 6 atriz carro-versão = 5 A atriz peça-versão é: a) d) b) e) c) (FUVEST) Cosidere as atrizes: A = ( a ij ), 7 a i j, defiida por ij = ; B = ( b ij ), 7 9 b i, defiida por ij = ; C = ( c ij ), C = AB O eleeto c 6 : a) é b) é 8 c) é 9 d) é e) ão existe 08 (ITA) Seja A, B e C atrizes reais quadradas de orde e O tabé de orde Cosidere as afirações: I AB = BA II AB = AC B = C III A = O A = O IV C A( BC ) V ( A B) = A + B Etão podeos afirar que: a) apeas a I é falsa b) apeas a IV é verdadeira c) V é verdadeira d) II e III são verdadeiras e) III e IV são verdadeiras a atriz ula 7

9 Mateática E 0 Operação Eleetar Sobre Lihas Ua operação eleetar sobre lihas de ua atriz A M ua das trasforações: ultiplicação de ua liha de A por ua costate real ão ula k ; é qualquer peruta de duas lihas de A ; substituição da r - ésia liha de A por ua liha forada pela soa da r - ésia liha co k vezes a s - ésia liha, sedo k u escalar arbitrário e r s Exeplo: Sedo 5 A = 7, teos: 6 5 A ultiplicação da prieira liha por : 7 7 A peruta da prieira co a seguda liha: 5 A substituição da prieira liha pela prieira liha soa da prieira liha co 6 5 duas vezes a seguda liha: 7 Cada operação eleetar sobre lihas de ua atriz A pode ser represetada pela ultiplicação por ua atriz quadrada, observe: A ultiplicação da prieira liha por : = A peruta da prieira co a seguda liha: = A substiruição da prieira liha pela soa dela co duas vezes a seguda: =

10 Apostila ITA Defiição: Matriz eleetar Ua atriz E M ( ) é dita eleetar se E A eleetar sobre lihas de A, para toda atriz Usado a liguage: ( 0 0) e A M é algua trasforação =, e = ( 0 0), e 0 0 forar as atrizes eleetares: Perutação da i - ésia liha co a j - ésia liha e e j i ésia liha Pij = e i j ésia colua e e =, podeos Exeplo: e 0 0 e 0 0 P = = 0 0 e (Perutação da prieira liha co a seguda liha) Multiplicação da i - ésia liha por ua costate ão ula k : e Mi( k) = k e i i ésia liha e Exeplos: e 0 0 e 0 0 M = = e 0 0 9

11 0 ( 5) e e Mateática M = = e 0 0 Substituição da i - ésia liha pelo resultado da soa da i - ésia liha co ua costate k arbitrária ultiplicada pela j - ésia liha: Exeplos: S S S ( 5) S i j ( k) e + 5 e 5 0 e 0 0 = = e 0 0 e+ 7 e e = e = e e e + e 0 0 = e = e e ei + k e j i ésia liha = e j e Matriz iversa Defiição: (Iversa à esquerda) Direos que ua atriz A M ( ) te iversa à esquerda, deotada por L M ), se: L A= I (ua atriz pertecete à

12 Apostila ITA Exeplo: Seja a atriz A = 0, observaos que L = é ua 5 iversa à esquerda de A, pois: 0 L A= 0 5 = 0 Defiição: (Iversa à direita) Direos que ua atriz A M ( ) te iversa à direita, deotada por R (ua atriz pertecete à M ( ) ), se: A R = I 0 7 Exeplo: Seja a atriz A 8 =, observaos que R = é ua iversa à direita de A, pois: A R = = 0 Defiição: (Matriz iversa) Direos que ua atriz A M ( ) te iversa, deotada por A, se: A A = A A= I, ou seja, se possui iversa à direita e à esquerda siultaeaete Observações: Se ua atriz A possui iversa à direita e iversa a esquerda elas serão iguais, ou seja: Se L A= I e A R = I, etão L = R Se A é iversível, A tabe o é e ( A ) = A Se A e B são iversíveis, A B tabé o é e A B = B A Chaaos de atriz ortogoal à atriz que satisfaz à codição: t A = A As atrizes eleetares são iversíveis, ote: ( P ) ij = P ij

13 Mateática ( ) i i M k = M k, k 0 i i S k = S k ( j ) j Se A é ua atriz iversível de orde, etão existe ua sequêcia E, E,, Ep de atrizes eleetares tal que ( E E Ep ) A = I, ou seja A = E E E Tal sequêcia garate u étodo para a obteção da atriz p iversa cohecido coo étodo de Gauss-Jorda Exeplo: Para a obteção da atriz iversa de A = criaos a atriz: A I = Note que ao efetuaros ua trasforação eleetar e AI, a atriz trasforação eleetar fica registrada a parte correspodete à atriz idetidade, observe: M 0 0 A I = M 0 0 = Quado fore efetuadas todas as trasforações eleetares e até trasforá-la e , teos que

14 Apostila ITA A 5 = 7 por: Este procedieto é cohecido coo étodo de Gauss-Jorda A obteção de ua atriz iversa, feita passo à passo, pode ser exeplificada A = A = Exercícios 0 Usado a defiição deterie a iversa das atrizes a) A 6 = b) B = 0 0 (ITA) Sedo A = 0, etão o eleeto da terceira liha e prieira colua, de sua iversa, será igual a: a) 5 8 b) 9 c) 6 d) e)

15 Mateática 0 Usado o étodo de Gauss-Jorda deterie a iversa de cada atriz: a) A = O sistea liear b) x+ y z = 5 x + y z = x + y + z = x 5 y = Sedo z B = pode se associado à equação atricial A =, x X = y e z 5 B =, respoda o que se pede: a) Deterie A b) Observado que A A X = A B X = A B, deterie a solução do sistea apresetado 05 Observado o procedieto apresetado a questão aterior, resolva o sistea: x+ y = 7 x z + w = 6 y + z + w = 8 x+ w= 06 (PUC SP) Sedo A e B atrizes iversíveis de esa orde e X ua atriz tal que ( X A) t = B, etão: a) b) X = A B t X = B A t c) X = ( B A) t X = d) t e) da AB

16 Apostila ITA E 0 Deteriates Orde de ua perutação Ua perutação dos eleetos do cojuto I {,,,, } I e I Note que existe! bijeções Exeplo: As perutações dos eleetos do cojuto {,, } são: = é ua bijeção de σ : σ : σ : σ : σ : 5 σ : 6 σ = σ = σ = σ = σ = σ = σ = σ = σ = σ = σ = σ = σ 5 = σ 5 = σ 5 = σ 6 = σ 6 = σ 6 = 5

17 Mateática Coo os eleetos do doíio de ua perutação sepre pode estar e sua orde atural, ua perutação fica iteiraete deteriada ao ordearos as iges, assi as perutações do exeplo aterior pode ser escritas coo: σ = σ = σ = σ = σ 5 = σ 6 = Observado as perutações da esquerda para a direita, teos que a perutação σ = os eleetos estão posicioados e sua orde atural ão havedo ehua iversão etre os eleetos, este caso dizeos que a perutação o σ = Na perutação σ 6 = teos o ates do e do é orde zero, ou seja 0 (sofredo duas iversões) e o ates do (sofredo ua iversão), ou seja, houvera iversões, o que diz que a perutação σ 6 é de orde, que receberá a otação o( σ 6 ) = Desta fora teos a seguite sequêcia de perutações e suas respectivas ordes: Deteriate perutação orde o σ = σ = σ = σ = σ = σ 5 = σ 6 = 0 o σ = o σ = o σ = o σ = 5 o σ = 6 Defiição: U deteriate, deotado por det, é ua fução det : ( ) dada por:! o i det A = σ a () a a σ σ σ ( ), i= i i i M ou a a a a a a a a a! i= o ( σ ) i a () a a σ σ σ ( ) = i i i Desta fora o deteriate de ua atriz de orde é calculado fazedo: 6

18 Apostila ITA o ( σ ) () o σ det A = a a + a () a σ σ σ σ 0 det ( A) = ( ) a a + ( ) a a det ( A) = a a a a, que a prática pode é o produto dos eleetos da diagoal pricipal eos o produto dos eleetos da diagoal secudária a a a a = a a a a Desta fora o deteriate de ua atriz A de orde será calculado da seguite fora: o σ o σ det A = a a a + a a a + () σ σ σ σ() σ σ o ( σ ) () o σ a a a a () a a σ σ σ σ σ σ o ( σ ) () 5 o σ6 + a a a + a () a 6 a σ σ σ σ σ σ6 0 ( A) = ( ) a a a + ( ) a a a + ( ) a a a + ( ) a a a + ( ) a a a + ( ) a a a det ( A) = a a a a a a a a a + a a a det + a a a a a a 5 Exeplo: O deteriate da atriz A = 0 é: det( A ) = 5 5 ( ) 0 + ( ) + 0 = 7 O uso da defiição é uito dispedioso para o cálculo dos deteriates, por este otivo existe alguas regras práticas que tora o cálculo ais rápido Ua destas regras é a de Sarrus que será apresetada a seguir Regra de Sarrus A regra de Sarrus é ua regra prática para o cálculo de deteriates de atrizes de orde e é dado pelo diagraa a seguir: 7

19 Mateática det a a a a a A = a a a a a a a a a a 8 ( A) = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a det Lea de Laplace Ua subatriz de A é qualquer atriz obtida pela eliiação de lihas ou coluas (ou abos) da atriz A 5 5 Exeplo: As atrizes e são subatrizes de 0 Defiição (Matriz eor copleetar): A subatriz obtida pela eliiação de ua liha e ua colua de ua atriz quadrada é chaada de atriz eor copleetar Ao eliiaros a liha i e a colua j da atriz A obteos a atriz eor copleetar que será deotada por A ij 5 Exeplo: Sedo A = 0, etão: A =, 5 A = Defiição (Cofator): O cofator do eleeto a ij da atriz A, deotado por o úero i + j Δ ij = det( Aij ) Lea (Laplace): O deteriate da atriz A M ( ) é dado por: ou det det ( A) ( A) aij ij, e que j pode ser qualquer eleeto de {,,, } i= = Δ aij ij, e que i pode ser qualquer eleeto de { } j= = Δ,,, Δ ij, é 5 Exeplo: Para calcular o deteriate de A = 0 prieiro escolheos ua liha (ou ua colua) e usaos o segudo soatório do lea de laplace, este caso existe vatage e escolher a seguda liha, ou seja i =, daí:

20 Apostila ITA det ( A) = a Δ + a Δ + a Δ Calculado os cofatores: Coo a = 0 ão há ecessidade de calcular o cofator Δ + 5 Δ = = 7 Δ = = 7 i= + 5 det A = 0 Δ = 7 X i Exercícios 0 (FUVEST) Calcule os deteriates: a 0 A = 0 0 e B = 0 0 a (UFSE) O deteriate da atriz A= ( a ij ), ode aij = i j, é igual a: a) b) 8 c) 0 d) e) 6 0 (UFPA) Qual o valor de k para que o deteriate da atriz ulo? a) ± b) ± c) ± d) ± e) ± 8 0 k 0 k seja 9

21 Mateática 0 (SANTA CASA) Seja a atriz quadrada A= ( a ij ), de orde, tal que a a) ij = cos se π se i = j i j o deteriate de A é igual a: π se i j i + j b) c) 0 d) e) 05 (UF UBERLÂNDIA) Sabedo-se que o deteriate da atriz A é igual a, qual é o valor do se x, π x π? a) d) cos x A = 0 0 cos x 0 b) e) c) (UNESP) Se a e b são as raízes da equação log x log x 0 = 0, ode x > 0, etão a + b é igual a: a) b) d) e) 5 07 (CESESP) Se A é ua atriz quadrada de orde e I é a atriz idetidade tabé de orde, etão det ( A λ I) é u poliôio de grau e λ c) x x 0

22 Apostila ITA Assiale a alterativa correspodete ao cojuto das raízes do poliôio acia defiido, ode A = a) { 0, } b) { 0, } c) {,, 0} d) {, 0, } e) {,, } 08 (Deteriate da atriz de Vaderode) Deostre que: a) x y z = ( y x) ( z y) ( z x) x y z x y z w b) = ( y x) ( z y) ( z x) ( w z) ( w y) ( w x) x y z w x y z w 09 (UF UBERLÂNDIA) O deteriate log 8 log 80 log 800 log 8000 ( log 8) ( log 80) ( log 800) ( log 8000) ( log 8) ( log 80) ( log 800) ( log 8000) vale: a) log ( ) b) c) log 8 d) log 8+ log 80+ log 800+ log 8000e)

23 Mateática Para ua atriz E 0 Propriedades dos deteriates A M vale as seguites propriedades: Os deteriates da atriz A e de sua trasposta A t são iguais, isto é det A= det A t a b c a x Exeplo: = b y x y z c z Se os eleetos de ua fila qualquer de A fore ulos, etão det A = 0 Exeplo: a b 0 0 x y 0 = 0 Se os eleetos de duas filas paralelas de A fore iguais ou proporcioais, etão det A = 0 a b c a b b Exeplos: = 0 e = 0 a b c x y y Se A te ua fila que é cobiação liear de outras filas paralelas, etão deta = 0 a b c Exeplo: a + x b+ y c+ z = 0 x y z 5 Se trocaros de posição duas filas paralelas de A, obteos ua ova atriz A ' tal que det A = det A' det A = det A a b c a c b Exeplo: = x y z x z y

24 Apostila ITA 6 Se ultiplicaros ua fila qualquer de A por ua costate k, obteos ua ova atriz A ' tal que det A' = k det A Exeplo: a b c a b c 6 = x y z x y z 7 Se ultiplicaros todos os eleetos de A por ua costate k, obtereos ua ova atriz A' k A A' = det k A = k deta, ode é a orde de A Exeplo: = tal que det a b c 8 x y z a b c = x y z 8 Teorea de Jacobi: Se adicioaros a ua fila qualquer ua cobiação liear das deais filas paralelas de ua atriz, seu deteriate ão se altera Exeplo: a b c x y z = a b c a + b x y x y + z 9 Adição de deteriates: Se os eleetos da j - ésia colua de A são tais que: a = b + c a = b + c a = b + c j j j j j j j j j, isto é a a ( b j + c j) a a a ( b j + c j) a A =, etão tereos a a ( bj + cj ) a que: det A = det A' + det A'', ode a a b j a a a b j a A' = a a bj a e

25 Mateática a a c j a a a c j a A'' = a a cj a Exeplo: a x 6 c p z a c = p + x 0 z a x c p z Teorea de Biet AB M Observação: Sedo ( ), etão det ( A B) det ( A) det ( B), = k O teorea de Biet garate que det ( A ) det ( A) k = Matriz Iversa * Defiição: A atriz adjuta de A, deotada por A, é a atriz trasposta dos cofatores de A, ou seja, se Δ ij é o cofator do eleeto a ij, etão: A Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ * = A atriz iversa de A é dada por A det * = ( A) A

26 Apostila ITA Exercícios 0 (MACK - SP) Dadas as atrizes a b c a 5 A = 5 e B = b 6 c deteriates ão ulos Etão para quaisquer valores de a, b, c teos: a) det A = det B b) det A = det ( B) t c) t det ( A) = det B d) det B = det A e) det A = det B de 0 (UFRS) Se 6 9 =, etão x y z x y z vale: a) b) c) d) e) 0 (OSEC - SP) O valor do deteriate a) prs b) prs c) ps d) prs e) prs + p + r + s é: 5

27 Mateática 0 (ITA) Sedo A ua atriz quadrada de orde, cujo deteriate é igual a, t qual o valor de x a equação det ( A A ) = x? 05 (ITA) Sedo A = 0 etão o eleeto da terceira liha e prieira colua, de sua iversa, será igual a: a) 5 8 b) 9 c) 6 d) e) 06 (ITA) Seja A, B e C atrizes reais satisfazedo às seguites relações: A B = C e B = A Se o deteriate de C é, qual é o valor do ódulo do deteriate de A? 07 (UFPE) Seja f: M R a fução defiida por f ( A)= deteriate de A, ode M é o cojuto das atrizes quadradas de orde Assiale a alterativa correta: a) f é ijetiva b) f é sobrejetiva c) f ( A+ B) = f ( A) + f ( B) d) f( λ A) =λ f( A), qualquer que seja λ R e) Se f ( A)= 0, etão A = O 08 (UFGO) Qual o valor de u deteriate de quarta orde, sabedo-se que ultiplicado duas de suas lihas por e dividido suas coluas por obté-se o úero 7? 6

28 Apostila ITA a) 6 b) 8 c) 6 d) 8 e) 7 09 (UF FORTALEZA) O deteriate de ua atriz é Se ultiplicaros a prieira liha da atriz por três e dividiros sua seguda colua por ove, a ova atriz terá deteriate igual a: a) b) c) d) 0 (ITA) Sedo A, B, C atrizes reais, cosidere as seguites afirações: ABC = ( ABC ) AB = BA A + B = B + A det ( AB) = det ( A) det ( B) 5 det ( A+ B) = det ( A) + det ( B) Etão podeos afirar que: a) e são corretas b) e são corretas c) e são corretas d) e 5 são corretas e) 5 e são corretas (UECE) Cosidere as seguites afirativas: I Se A T T é a trasposta da atriz quadrada A, etão det ( A ) = det ( A) II Se A é ua atriz quadrada de orde tal que AA = O, etão a atriz I A é iversível III Se A é ua atriz iversível, etão det ( A ) = ( det A) A soa dos úeros associados às afirativas corretas é: a) b) 5 c) 6 d) 7

29 Mateática (ITA) Seja A, B e C atrizes quadradas tais que A e B são iversíveis e ABCA = A t, ode A t é a trasposta da atriz A Etão podeos afirar que: a) C é iversível e det C= det ( AB) b) C ão é iversível pois det C = 0 c) C é iversível e det C = det B d) C é iversível e det C = (det A) det B e) det A C é iversível e det C = det B (ITA) Seja C= { X M ; X + X = O }Dadas as afirações: I Para todo X C, ( X + I) é iversível II Se X C e det ( X + I) 0, etão X ão é iversível III Se X C e det X 0, etão det X > 0 Podeos dizer que: a) Todas são verdadeiras b) Todas sã falsas c) Apeas (II) e (III) são verdadeiras d) Apeas (I) é verdadeira e) da 8

30 IME ITA

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