A IRRACIONALIDADE E TRANSCENDÊNCIA DE CERTOS LOGARITMOS

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1 , NÚMERO 1 VOLUME 5 ISSN X A IRRACIONALIDADE E TRANSCENDÊNCIA DE CERTOS LOGARITMOS Roald Siões de Mattos Pito Colégio Pedro II <roaldsioes@gail.co> Liliaa Mauela G. C. da Costa Colégio Pedro II <lgccosta@gail.co> Artigo avaliado por pareceristas e recoedado pela editora Nedir do E. Sato. Recebido e: 25/06/2018 e revisado pelos autores e 12/09/2018. RESUMO Neste artigo exibios alguas deostrações de irracioalidade de certos logaritos. A iportâcia deste fato relacioa-se co a caracterização dos úeros irracioais pela represetação decial ifiita ão-periódica. Tato as atigas tábuas de logaritos coo as calculadoras eletrôicas os valores dos logaritos são represetados a fora de ua expressão decial fiita. Isto pode gerar a falsa ipressão de que se trata ecessariaete de úeros racioais. Ao cotrário de diversos textos e artigos sobre o assuto, ão ficaos restritos ao logarito decial. Co efeito, ostraos ua codição suficiete para o úero a ser irracioal, ode a > 0 e b > 1 são iteiros e tabé u critério que estabelece a irracioalidade de a quado b > 1 for livre de quadrados. Mostraos por fi, laçado ão do Teorea de Gelfod-Scheider, alguas provas da trascedêcia de certos logaritos e trataos de logaritos de úeros reais ão-iteiros. Palavras-chave: trascedetes. úeros irracioais, logaritos, Teorea Fudaetal da Aritética, úeros INTRODUÇÃO E PRIMEIRO EXEMPLO Os logaritos surge desde o Esio Médio coo log 2, por exeplo. Tais úeros aparece as calculadoras eletrôicas, ou eso as atigas tábuas de logaritos, a fora de ua expressão decial fiita. Isso pode levar u aluo de Esio Medio a cocluir erroeaete que se trata de úeros racioais. Coo podeos estabelecer a irracioalidade de certos logaritos? E geral ão é tão siples exaiar a atureza (quato a racioalidade ou ão) de u úero real. Vereos coo o Teorea Fudaetal de Aritética (u resultado acessível ao aluo de Esio Médio) os ajuda a ivestigar a irracioalidade de logaritos. Ates, o etato, ão é deais relebrar alguas defiições. 67

2 Seja a e b 0 dois úeros iteiros. Dizeos que b divide a quado existe u iteiro c tal que a = bc. Neste caso, dizeos tabé que b é u divisor de a ou que a é u últiplo de b. Todo iteiro positivo a diferete de 1 possui ao eos dois divisores positivos, já que 1 e a são divisores de a. U úero iteiro p > 1 é dito prio quado possui exataete dois divisores positivos. U iteiro aior do que 1 que ão é prio é dito coposto. Teorea 1 (Teorea Fudaetal da Aritética). Seja a u iteiro diferete de 1, 1 e 0. Etão existe úeros prios p 1, p 2,..., p r e iteiros positivos α 1, α 2,..., α r tais que a = ±p α 1 1 p α p αr r. Alé disso, esta decoposição é úica, a eos de orde dos fatores. Apresetaos, o Exeplo 1, ua aplicação do teorea acia, tabé cohecido coo Teorea da Fatoração Úica. Para isso recordaos a defiição de logarito: dado u úero real a > 0, seu logarito a base b > 0, co b 1, é o úero real x tal que b x = a. Deotaos o logarito de a a base b o por a. Quado b = 10 o logarito é dito decial e deotaos log 10 a siplesete por log a. Vaos aditir cohecidas as propriedades operatórias dos logaritos. Ao logo deste artigo, exceto ao coetar o logarito atural, trataos de logaritos de base iteira. Exeplo 1. O úero log 2 é irracioal. Note iicialete que log 2 > log 1 = 0. Por cotraposição, podeos supor que exista iteiros positivos e tais que log 2 =. Assi, pela defiição de logarito, Elevado abos os ebros a potêcia obteos 2 = = 10 = 2 5. Segue do Teorea Fudaetal da Aritética que = 0, o que cotraria a ossa suposição iicial. Portato, log 2 é irracioal. UMA GENERALIZAÇÃO O poto crucial o argueto acia foi o fato de 2 e 10 tere fatores prios diferetes. De fora ais precisa, o fator 5 está a decoposição e prios do úero 10, as ão está, evideteete, a decoposição do úero 2. Assi, podeos geeralizar o argueto do exeplo aterior para ivestigar a irracioalidade de a, cofore a proposição a seguir. Proposição 1. Seja a e b iteiros positivos co b 2. Se as decoposições (ou fatorações) e fatores prios de a ou b apreseta pelo eos u fator que ão é cou, etão a é u úero irracioal. Deostração. Vaos supor, por cotraposição, que exista dois úeros iteiros positivos e tais que a =. Assi, a = b a = b. Da últia igualdade cocluíos, co o auxílio do Teorea Fudaetal da Aritética, que os úeros a e b possue exataete os esos fatores prios. 68

3 Será que vale a recíproca da Proposição 1, ou seja, se a for irracioal, etão as decoposições e fatores prios de a e de b tê, ecessariaete, pelo eos u fator prio desigual? Coo log 20 = log(2 10) = log 2 + log 10 = log 2 + 1, segue do Exeplo 1 que log 20 é irracioal. No etato, os úeros 20 = e 10 = 2 5 possue os esos fatores prios. Logo, a recíproca da Proposição 1 é falsa. Vaos ostrar agora que o úero a, as codições da Proposição 1, é trascedete. Ates, o etato, lebraos a defiição de úeros algébricos e de úeros trascedetes. U úero coplexo é dito algébrico quado é raiz de algua equação polioial co coeficietes iteiros. Todo úero racioal r é algébrico já que r =, co e 0 iteiros, é solução da equação x = 0. U úero coplexo que ão é algébrico é dito trascedete. Existe ua ifiidade (ão-euerável 1 ) de úeros reais trascedetes NIVEN (1961). Por exeplo, os úeros e e π são trascedetes. Figueiredo (2002). Ua poderosa ferraeta que os perite verificar a trascedêcia de diversos úeros reais é o Teorea de Gelfod-Scheider (provado o ao de 1934 por Gelfod e idepedeteete por Scheider e 1935) euciado a seguir e cuja prova pode ver-se e MARQUES (2013) ou NIVEN (1967). Proposição 2 (Teorea de Gelfod-Scheider). Seja α e β úeros algébricos. Se α 0, α 1 e β ão for u úero real racioal, etão α β é trascedete. Seja a e b > 1 iteiros positivos. Vaos supor que existe u úero prio que pertece à fatoração de apeas u dos úeros a ou b. Da Proposição 1 cocluíos que a é irracioal. Pelo fato de ser iteiro, o úero b é algébrico. Supoha que a seja tabé algébrico. Segue da Proposição 2 que b a é trascedete, o que ão pode ocorrer pois b a = a e a é algébrico. Portato, a é trascedete. Da trascedêcia de a, decorre a sua ão costrutibilidade co régua e copasso. Co efeito, soete úeros algébricos de grau 2 igual a ua potêcia de 2 são costrutíveis co os istruetos euclidiaos, coo se pode ver e HERSTEIN (2006). O logarito atural, isto é, o logarito de base e (log e a = l a) é tão, ou ais, iportate que o logarito decial. Aqui, portato, cabe a seguite questão: l 2, por exeplo, é racioal ou irracioal? Para respoder essa perguta deveos laçar ão da irracioalidade 3 do úero e r quado r é u úero racioal ão ulo. Ua prova deste fato ecotra-se e MARQUES (2013). Supoha, por cotraposição, que l 2 = r, ode r é u úero racioal ão ulo. Daí, 2 = e r, absurdo pois e r é irracioal. Portato, l 2 é irracioal. O argueto acia pode ser estedido para l q, ode q é u úero racioal positivo e diferete de 1. Daí cocluíos que l q é irracioal quado q é u racioal diferete de 1. UM CRITÉRIO PARA A IRRACIONALIDADE DE a Voltaos a ossa ateção aos logaritos de base iteira. 1 U cojuto ifiito A é euerável quado existe ua fução bijetiva f : N A. Do cotrário, o cojuto é dito ão-euerável. Sabe-se que o cojuto dos úeros algébricos, a exeplo do cojuto dos úeros racioais é euerável, coo se pode ver e FIGUEIREDO (2002). 2 Seja u iteiro positivo. U úero é dito algébrico de grau quado é raiz de ua equação polioial de grau e ão é raiz de ehua equação de grau eor do que. 3 O resultado ais geral, cuja prova ecotra-se e MARQUES (2013) e cohecido coo Teorea de Lidea, afira que e γ é trascedete quado γ é u algébrico diferete de zero. 69

4 U úero iteiro b 0 é dito livre de quadrados ou se fator quadrático, quado é u iteiro que ão é divisível por ehu quadrado perfeito diferete de 1. Por exeplo, o úero 18 ão é livre de quadrados pois é divisível por 3 2. O eso ocorre co o úero 24 = que, ao ser divisível por 2 3, tabé é divisível por 2 2. Por outro lado, o úero 42 = é livre de quadrados. Segue do Teorea Fudaetal da Aritética que se b > 1 é u iteiro livre de quadrados etão b = p 1 p 2... p r ode p 1, p 2,..., p r são prios distitos. Abaixo segue algus úeros livres de quadrados: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41. Vaos agora estabelecer u critério que decide pela racioalidade de a, quado b > 1 é u iteiro livre de quadrados. O resultado a seguir geeraliza a questão da irracioalidade do logarito decial log a, quado a é u iteiro, tratado e NIVEN (1961). Proposição 3. Seja a u iteiro positivo e b > 1 u iteiro livre de quadrados. O úero a é racioal se, e soete se, a = b α, ode α é u iteiro ão egativo. Deostração. Prieiraete deveos observar que log a 0 quado a > 0 é iteiro. Alé disso, log 1 = 0. Seja b = p 1 p 2... p r, ode p 1, p 2,..., p r são prios distitos. Supoha agora que existe iteiros positivos e tais que a =. Segue da Proposição 2 que a e b possue os esos fatores prios e suas respectivas fatorações. Portato, os fatores prios de a são, precisaete, p 1, p 2,..., p r. Assi, a = p α 1 1 p α p αr r. (1) Desta fora, a = b e p α 1 1 p α p αr r = (p 1 p 2... p r ). Elevado a abos os ebros da últia igualdade teos: p α 1 1 p α p αr r = p 1 p 2... p r Segue do Teorea Fudaetal da Aritética que = α 1 = α 2 = = α r. Coo 0 segue que α 1 = α 2 = = α r. Logo, da Equação (1) cocluíos que a = p α 1 1 p α p α 1 r = (p 1 p 2... p r ) α 1 = b α 1. A recíproca é iediata. Co efeito, se a = b α ode α 0 é u iteiro, etão a = b α = α. E particular, coo o úero 10 = 2 5 é livre de quadrados, segue da proposição aterior que, para a iteiro positivo, log a é racioal se, e soete se, a = 10 ode é u iteiro ão egativo. Segue que log a é iteiro ou irracioal. Utilizado este fato podeos rapidaete deteriar se u úero log a é irracioal, dado o iteiro a > 0. Por exeplo, log 120 é irracioal pois está estritaete etre dois iteiros cosecutivos. Co efeito, 2 = log 10 2 = log 100 < log 120 < log 1000 = log 10 3 = 3. Será que a Proposição 3 cotiua válida para u iteiro b > 1 qualquer o lugar de u iteiro livre de quadrados? A resposta é ão. Por exeplo, log 4 8 =

5 SOBRE A IRRACIONALIDADE DE LOGARITMOS DE NÚMEROS REAIS A questão que se pretede agora respoder diz respeito à racioalidade do úero a, co b > 1 1 iteiro e a > 0 real ão iteiro. Por exeplo, log 2 2 = 2 é racioal e log = 2 log 2 3 é irracioal pela Proposição 1. Assi, se a ão é iteiro a tato pode ser racioal coo irracioal. A resposta forecida acia ão esgota o assuto proposto esta seção. De fato, os úeros 2 e 3 são abos irracioais algébricos. Assi, pode-se forular a seguite perguta: o que se pode dizer sobre a racioalidade de logaritos (de base iteira) de úeros irracioais trascedetes ou de úeros racioais (ão-iteiros)? Coeçaos respodedo a questão da irracioalidade do úero t, ode b > 1 é u iteiro e t > 0 é trascedete. Para isso utilizaos o corolário a seguir. Corolário 1. Seja t u úero trascedete e u iteiro positivo. Etão a potêcia t é u úero trascedete. Deostração. Vaos supor que t é u úero algébrico. Etão ele é raiz da equação polioial c x + c 1 x c 1 x + c 0 = 0, co > 0 iteiro e os coeficietes c 0, c 1,..., c 1 e c 0 úeros iteiros. Logo, 0 = c (t ) + c 1 (t ) c 1 t + c 0 = c t + c 1 t ( 1) + + c 1 t + c 0. Portato, t é solução da equação polioial c x + c 1 x ( 1) + + c 1 x + c 0 = 0 co coeficietes iteiros. Ou seja, t é u úero algébrico. Agora já estaos e codições de provar que o úero t é irracioal, ode b > 1 é u úero iteiro e t > 0 é trascedete. Proveos por redução ao absurdo. Supohaos que exista iteiros positivos e tais que t =. Segue que b = t e, portato, b = t. (2) Coo t é trascedete, segue do Corolário 1 que t é trascedete. Por outro lado, o úero b é algébrico, pois o cojuto dos úeros algébricos é fechado e relação a operação de ultiplicação coo se pode ver e FIGUEIREDO (2002). Logo, a igualdade (2) ão pode ocorrer. Assi o úero t é irracioal. Nesta seção, trataos de logaritos (de base iteira) de úeros algébricos irracioais e de úeros trascedetes. Já as seções ateriores, trataos de logaritos de úeros iteiros. Agora os resta ivestigar a atureza dos logaritos (de base iteira) de úeros racioais ão-iteiros. Para isso, seja e > 1 iteiros positivos (prios etre si) e b > 1 u úero iteiro. Vaos supor que o úero seja racioal. Portato, existe iteiros p e q > 0, tais que = p q. (3) Vaos dividir a ossa arguetação e dois casos. Supoha, prieiraete que p > 0. Decorre da igualdade (3) que: b p q = b p q = q b p = q. Segue do Teorea Fudaetal da Aritética que todo fator prio de é tabé fator prio de. No etato, isso ão pode ocorrer pois os úeros e > 1 são, por hipótese, prios etre si. Portato, o úero é irracioal. 71

6 Supoha agora que p < 0. Da igualdade (3) teos que: b p q = b p q = q b p = q q = q b p q = q b p 1, ode p 1 = p > 0. Do Teorea Fudaetal da Aritética e da últia igualdade acia, cocluíos que todo fator prio de é tabé fator prio de. No etato, e são prios etre si. Assi, cocluíos que = 1 e que q = b p 1. E palavras, q é ua p 1 -ésia potêcia de b. Portato, esta é a úica situação e que é u úero racioal. Por exeplo, o úero log = 3 2 é racioal. Note que 82 = 4 ( 3). Isso copleta o osso estudo quato a irracioalidade de u logarito de base iteira de u úero racioal ão iteiro. RESULTADOS ADICIONAIS Vaos apresetar, esta seção, algus probleas de logaritos deciais cuja solução recae o Teorea Fudaetal da Aritética ou o Teorea de Gelfod-Scheider. Coeceos co a seguite idagação: o úero log 3 é racioal ou irracioal? O resultado a seguir respode a esta questão. log 2 Proposição 4. Seja a e b 1 iteiros positivos tais que as suas decoposições (ou fatorações) e fatores prios apreseta pelo eos u prio que ão é cou. Etão o úero log a é irracioal. Deostração. Basta otar que log a = a e utilizar a Proposição 1 para obter a tese. A proposição a seguir os diz que o úero log 3, alé de irracioal, é trascedete. log 2 Proposição 5. Seja a, b > 0 úeros reais algébricos co b 1. O úero real log a trascedete. é racioal ou Deostração. Supoha que log a = β, ode β > 0 é u irracioal algébrico. Co isso, a = b β. (4) Coo b 1 é positivo e β é, por hipótese, u irracioal algébrico, segue da Proposição 3 que b β é trascedete. Por outro lado, a é algébrico, o que origia ua cotradição e virtude da igualdade (4). Portato, o úero log a é trascedete. Segue do resultado aterior que o úero log a, as codições da Proposição 4, é trascedete. Seja a e b dois úeros reais positivos. Dizeos que log a e são liearete idepedetes sobre Q quado a equação r log a + s = 0, co r e s racioais, iplica e r = s = 0. Do cotrário, dizeos que são liearete depedetes sobre Q. Vaos deotar por A o cojuto dos úeros reais algébricos. Proposição 6. Seja a e b úeros reais algébricos positivos. A idepedêcia liear de log a e sobre Q iplica a idepedêcia liear sobre A. 72

7 Deostração. Supoha que que a, b, α e β são úeros algébricos tais que α log a + β = 0. Daí segue que log a = β α. Coo α e β são algébricos, etão β tabé é u úero algébrico α FIGUEIREDO (2002). Coo ão é trascedete, segue da Proposição 5 que log a = r, ode r é u úero racioal. Portato, log a = r log a r = 0. Ou seja, log a e são liearete depedetes sobre Q. Coo Q é u subcojuto de A etão a idepedêcia liear de log a e sobre A iplica a idepecêcia sobre Q. Ou seja, a recíproca da proposição aterior é verdadeira. Observação 1. A Proposição 6 é equivalete ao Teorea de Gelfod-Scheider, provado o ao de Ela os diz que se a > 0, b > 0, α e β são úeros reais algébricos, co log a e liearete idepedete sobre Q, etão α log a + β 0. No ao de 1966 o ateático iglês Ala Baker provou que este resultado cotiua verdadeiro para ua quatidade arbitrária de logaritos. Essa prova lhe redeu a Medalha Fields e 1970 (MARQUES (2013)). CONCLUSÃO Os exeplos de irracioalidade o Esio Médio oralete se restrige soete a poucos úeros coo 2, o Núero de Ouro φ ou π, alé de úeros cuja expressão decial é forecida. No etato, a deostração da irracioalidade do úero π requer cohecietos de Cálculo. Assi apresetaos outros exeplos de úeros irracioais que surge para aluos do Esio Médio (os logaritos) e cuja prova é acessível já que utiliza soete o Teorea Fudaetal da Aritética. REFERÊNCIAS Figueiredo, Djairo Guedes. Núeros Irracioais e Trascedetes. Rio de jaeiro: SBM, Herstei, I. N. Topics i Algebra. 2. ed. Wiley Idia Pvt. Liited, Marques, Diego. Teoria dos úeros trascedetes. Rio de Jaeiro: SBM, Nive, Iva. Irratioal ubers. Washigto D.C. Matheatical Associatio of Aerica, Nive, Iva. Nubers: Ratioal ad Irratioal. Washigto D.C. Matheatical Associatio of Aerica,