O método de Diofanto e a curva a b = b a

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1 O método de Diofato e a curva a b = b a Maria Pires de Carvalho, Alberto Cavaleiro Pacheco 2 Cetro de Matemática da Uiversidade do Porto Faculdade de Ciêcias da Uiversidade do Porto Rua do Campo Alegre Porto, Portugal mpcarval@fc.up.pt; up @fc.up.pt Resumo: A curva descrita pelos pares (a, b) o plao tais que a, b > 0, a b e a b = b a é parametrizável pelos declives 0 < t do feixe de rectas de equações cartesiaas y = tx, o que permite descrever facilmete os potos do traço desta curva cujas coordeadas são ambas úmeros algébricos, ou iteiros algébricos ou racioais. Em particular, uma tal parametrização forece um método simples de ecotrar coordeadas de potos desta curva que são úmeros trascedetes. Abstract: The curve described by the pairs (a, b) i the plae satisfyig a, b > 0, a b ad a b = b a is parameterizable by the slopes 0 < t of the straight lies whose Cartesia equatios are give by y = tx. This iformatio allows us to easily detect those pairs whose coordiates are algebraic over the field of the ratioal umbers, or are algebraic itegers, or else are both ratioal. I particular, such a parametrizatio provides a simple criterium to fid coordiates of poits of this curve which are trascedetal umbers. palavras-chave: Número algébrico sobre Q; iteiro algébrico. keywords: Algebraic umber over Q; algebraic iteger. MC tem sido fiaciada pelo CMUP (UID/MAT/0044/203), que é suportado fiaceiramete pela FCT com fudos acioais (MEC) e europeus, através dos programas FEDER e o âmbito do acordo PT2020. Os autores agradecem ao revisor os cometários e sugestões. 2 Este artigo foi escrito o âmbito do Programa Novos Taletos em Matemática, da Fudação Calouste Gulbekia. Boletim da SPM...,..., pp. -9

2 2 O método de Diofato A equação a b = b a, para a, b > 0 Para que valores reais de a, b > 0 se tem a b = b a? A igualdade é óbvia quado a = b. Para valores distitos de a e b, se reescrevermos a equação a b = b a como a a = b b e esboçarmos o gráfico da fução x > 0 f(x) = x x, ilustrado a Figura, teremos uma ideia aproximada dos valores da imagem de f que são obtidos mais do que uma vez (e, esse caso, exactamete duas vezes). Figura : Gráfico da fução f. Esta fução tem um máximo global e e, atigido apeas em x = e, e é estritamete crescete em ]0, e[ e estritamete decrescete em ]e, + [. Além disso, lim f(x) = x 0 0+ e lim f(x) = + x + +. Logo, cada recta horizotal y = c com < c < e e (e só para estes valores de c) itersecta o gráfico de f em dois potos cujas abcissas determiam dois reais positivos distitos a e b tais que a a = b b, ou seja, a b = b a. Mais precisamete, dado c ], e e [, existe um e um só b > e tal que f(b) = b b = c; se agora resolvermos a equação a a = c com a icógita a ], e[, determiamos o outro valor a do domíio de f tal que f(a) = f(b) = c. Para descrever o lugar geométrico de tais pares (a, b) com a b, usemos o feixe de rectas y = tx com declive t R + \ {} que, como um radar,

3 M. Carvalho e A. Pacheco 3 permite detectá-los o o quadrate de R 2 (veja-se em [2] outra istâcia em que este método, atribuído a Diofato, é usado). Para cada t, determiamos a itersecção das codições y = tx e x y = y x resolvedo em cojuto as equações y x = t e x y x = y. Obtemos etão x t = tx, logo x = t t ; e, como y = tx = x t, tem-se y = t t t. As soluções descrevem a curva α em R + R +, cujo traço está esboçado a Figura 2, parametrizada por α: t R + \ {} ( t t, t t t ). Observe-se que o traço de α, que desigaremos por T α, é simétrico relativamete à bissectriz do o quadrate (a semirecta de equação y = x, x 0) uma vez que, se fixarmos t > 0 e o par correspodete α(t) = (a t, b t ) = ( ) t t t, t t de α, etão determia o poto α( ) = (b t t t, a t ) da mesma curva. Além disso, α(t) coverge para (e, e) quado t tede para. Note-se aida que as coordeadas dos potos desta curva são ambas estritamete maiores do que, propriedade que resulta de só surgirem tais pares com abcissas o subcojuto ], + [ do domíio da fução f. Se a T α jutarmos a semirecta {(a, a) : a R + }, obtemos o cojuto X de todos os pares (a, b) R + R + tais que a b = b a. Os cojutos T α e X estão represetados a Figura 2. (Esta figura costa do artigo [], ode se aalisaram as soluções reais e complexas da equação a b = b a.) Os dois ramos de X itersectam-se precisamete o poto (e, e) e dividem R + R + em quatro regiões em cada uma das quais o sial da difereça a b b a, que varia cotiuamete com a e b, se matém costate. Em particular, como a recta vertical x = e só itersecta as regiões em que este sial é positivo (uma vez que são gráficos de fuções, T α e X itersectam cada recta vertical quado muito uma vez), cocluímos que, para todos os valores de 0 < x e, se tem e x > x e (por exemplo, e π > π e ). Desigemos por A o cojuto de úmeros reais algébricos sobre Q e por A Z o seu subcojuto dos iteiros algébricos (defiições a Secção 2). O objectivo deste texto é o de localizar potos de T α cujas coordeadas sejam ambas racioais, ou ambas úmeros algébricos. Recorde-se que, uma vez que o poto do traço de α determiado por é (b t t, a t ), bastará aalisar estas coordeadas para t ]0, [. A tabela seguite resume o que de mais relevate

4 4 O método de Diofato Figura 2: Os cojutos T α e X. aqui se provará sobre as coordeadas dos potos (a t, b t ) de T α para valores de t ]0, + [\{}:. (a t, b t ) tem ambas as coordeadas algébricas se e só se t Q + \ {}. 2. (a t, b t ) tem ambas as coordeadas racioais se e só se t = para algum N. + ou t = + 3. (a t, b t ) tem ambas as coordeadas iteiras algébricas se e só se t = / ou t = para algum N \ {}. 0 < t < Domíio a que pertece (a t, b t) a t b t ( m (, m N) A A m ) m m ( m ) m + ( N) Q Q ( + ) + ( + ) m (m N, m > ) A Z A Z m m m m m 2 N N 4 2

5 M. Carvalho e A. Pacheco 5 Em particular, resulta deste estudo que, quado a é um atural maior do que e b é um real positivo tal que a b = b a, etão a = b ou {a, b} = {2, 4} ou b é um úmero trascedete. 2 O corpo A dos úmeros algébricos Um úmero real diz-se algébrico sobre Q (ou, simplesmete, algébrico) se for zero de um poliómio ão ulo com coeficietes racioais. Por exemplo, os úmeros racioais são algébricos (pois a fracção irredutível p q, com p Z e q N, aula o poliómio qx p); 2 é algébrico uma vez que é raiz de x 2 2; e também é algébrico já que é zero do poliómio x 4 0x 2 + : ( ) 2 = ( [ 2 + 3] 2 5 ) 2 = 24 ( ) 4 0 ( ) 2 + = 0. O grau de um úmero algébrico z é o meor atural tal que z é zero de um poliómio ão ulo com coeficietes racioais e grau. Por exemplo, os racioais são os algébricos de grau ; 2 tem grau 2; é de grau 4. Parece difícil demostrá-lo, por a oção de úmero algébrico depeder de propriedades da família dos poliómios, mas o cojuto dos úmeros algébricos sobre Q com a soma e produto usuais forma um corpo, que desigaremos por A, que até é fechado para a operação de expoeciação por potêcias racioais. Demostrações detalhadas destas e de outras propriedades de A podem ser lidas em [2] ou [4]. Resumiremos aqui o essecial deste argumeto. Cosideremos z, w A, e sejam P : x R c x + + c x + c 0 e Q: x R d m x m + + d x + d 0 dois poliómios ão ulos com coeficietes racioais que se aulam, respectivamete, em z e em w. Etão:. Se P é o poliómio defiido por x R P( x), etão P tem coeficietes racioais (os mesmos de P, a meos de sial as parcelas de grau ímpar) que se aula em z. Assim sedo, z é algébrico.

6 6 O método de Diofato 2. Se z 0 e P tem grau, com coeficiete c j Q de x j para cada j {0,,, }, seja P o poliómio { x x R P (x) = P ( ) se x 0 x c se x = 0 Etão, P tem coeficietes racioais (os mesmos de P, mas c j é agora coeficiete da potêcia x j, para 0 j ) que se aula em z. O que cofirma que z é algébrico. 3. Sejam k N, k 2, e P o poliómio x R P(x k ). Etão, P é também um poliómio de coeficietes racioais (os de P) que se aula em k z. Logo k z é algébrico. Note-se que esta raiz é um úmero real para todo o atural ímpar k e, se k é par, quado z > Supohamos que os graus dos poliómios P e Q são e m, respectivamete. Etão, existem racioais (c i ) i {0,,,} e (d j ) j {0,,,m} tais que z = c z + + c z + c 0 e w m = d m w m + + d w + d 0. () Multiplicado a primeira igualdade de () por z, cocluimos que z + é também combiação liear fiita sobre o corpo Q de {, z,..., z }. Por idução fiita, deduzimos que, para todo o k N, a potêcia z k é combiação liear fiita sobre Q de, z,..., z. Aalogamete se coclui que w k é combiação liear fiita sobre o corpo Q de {, w,..., w m }, para todo o k N. Mais geralmete, todos os elemetos do cojuto {, z + w, (z + w) 2,..., (z + w) m } são combiações lieares fiitas sobre Q das m parcelas z i w j, com i {0,,..., } e j {0,,..., m }. Desta forma, temos m + vetores um subespaço vectorial sobre o corpo Q gerado por m vetores. E, portato, esses m + vetores são liearmete depedetes sobre Q. Ou seja, existem racioais e 0,..., e m ão todos ulos tais que e 0 + e (z + w) + + e m (z + w) m = 0. O que prova que z + w é algébrico. Aalogamete, as potêcias {, zw, (zw) 2,..., (zw) m } são combiações lieares fiitas sobre Q das m parcelas z i w j, para i {0,,..., } e j {0,,..., m }. Cosequetemete, estes m + vetores são liearmete depedetes sobre Q. Isto é, existem racioais E 0,..., E m ão todos ulos tais que E 0 + E zw + + E m (zw) m = 0. Logo zw é algébrico.

7 M. Carvalho e A. Pacheco 7 2. O ael A Z dos iteiros algébricos Um úmero real diz-se um iteiro algébrico sobre Q (ou, simplesmete, um iteiro algébrico) quado é algébrico e zero de um poliómio móico com coeficietes iteiros. Por exemplo, cada úmero iteiro z é iteiro algébrico (por ser zero do poliómio x R x z); 3 também, já que aula o poliómio x 2 3; e 3 2 +, que aula o poliómio (x ) 3 2 = x 3 3x 2 + 3x 3, também é iteiro algébrico. O cojuto dos iteiros algébricos, que desigaremos por A Z, forma um ael com a soma e produto usuais, que também é fechado para a operação de expoeciação por potêcias racioais. Relativamete aos argumetos de () e (3) da subsecção aterior, temos apeas de observar que, se P é móico e tem coeficietes iteiros, etão o mesmo vale para os poliómios P e P. Quato a P, o argumeto de (2) ão fucioa, a ão ser que c 0 seja ±, pois c 0 é o coeficiete de x em P. Por exemplo, apesar de 2 ser iteiro algébrico, o racioal ão o é porque 2 os zeros racioais de qualquer poliómio móico com coeficietes iteiros são úmeros iteiros (a propósito, veja-se o iício da Secção 6). Fialmete, o argumeto de (4) também ão se apropria pois Z ão é um corpo. Cotudo, é aida verdade que, se z e w são iteiros algébricos, etão zw e z + w também o são. Sejam P : x R x + + c x + c 0 e Q: x R x m + + d x + d 0 dois poliómios ão ulos com coeficietes iteiros que se aulam, respectivamete, em z e em w. As fuções P e Q são os poliómios característicos de duas matrizes quadradas A e B com etradas iteiras, omeadamete c c A = c c d d e B = d d m Formemos o produto de Kroecker 3 etre as matrizes A e B; obtemos uma matriz quadrada A B, de dimesões m m, cujo cojuto de valores próprios cotém zw. Além disso, como a matriz A B tem etradas iteiras, 3 O produto de Koecker de duas matrizes C = (c ij ) i=,,m; j=,, e D = (d kl ) k=,,p; j=,,q, com dimesões m e p q, é a matriz C D que tem mp lihas e q coluas e cujas etradas são dadas por e θη = c ij d kl, ode θ = p(i ) + k e η = q(j ) + l. Por exemplo, o produto de Kroecker etre uma matriz C quadrada

8 8 O método de Diofato o seu poliómio característico é ão ulo, móico e tem coeficietes iteiros, o que prova que zw é iteiro algébrico. Aalogamete, se cosiderarmos a soma de Kroecker A Id m m + Id B, ode Id k k desiga a matriz idetidade com k lihas, que tem etradas iteiras e z+w como valor próprio, cocluimos que z + w é iteiro algébrico. Por exemplo, cosideremos z = 2, w = 3 5, P(x) = x 2 2 e Q(x) = x 3 5. Etão ( ) A = e B = e o produto zw é valor próprio da matriz A B = O poliómio característico de A B é x 6 200, cujas raízes reais são precisamete ± No Capítulo VI de [4] pode ler-se um outro argumeto, usado fuções simétricas, para demostrar que A Z, com a soma e produto usuais em R, é um ael. 2.2 R \ A O cojuto dos úmeros algébricos sobre Q é ifiito (pois cotém Q) e umerável, uma vez que os seus elemetos são os da uião umerável, idexada por k N e por (c 0, c, c k ) Q k (Q \ {0}), dos cojutos (fiitos) dos zeros dos poliómios de grau k com coeficietes c 0, c, c k. Como a uião de dois cojutos umeráveis é umerável e R ão é umerável (pode ler-se o argumeto de Cator que prova esta última afirmação o primeiro. 2 2 e uma matriz D que seja 3 2 é a matriz 6 4 represetada por ( ) c D c C D = 2 D. c 2 D c 22 D

9 M. Carvalho e A. Pacheco 9 capítulo de [3]; uma outra demostração costa de [3]), o complemetar de A em R, formado pelos úmeros trascedetes, é ão vazio. Não é fácil exibir exemplos cocretos de úmeros trascedetes, e é, em geral, bastate difícil provar que um úmero em particular é trascedete. Na verdade, aida há úmeros reais sobre os quais ão se sabe se são irracioais, quato mais se são trascedetes. A dificuldade está a defiição deste tipo de úmeros: para se provar que um úmero é algébrico basta ecotrar um poliómio ão ulo de coeficietes racioais de que o úmero seja raiz; pelo cotrário, para se garatir que um úmero é trascedete há que cofirmar que ele ão aula ehum poliómio ão ulo de coeficietes racioais, e esta família é vasta. Por isso, são úteis os critérios expeditos de verificação da algebricidade de um úmero, algus dos quais mecioaremos brevemete de seguida. Liouville apresetou em [0] uma outra prova da existêcia de úmeros trascedetes e o seu argumeto permite costruir exemplos destes úmeros. Liouville demostrou que, para qualquer úmero real algébrico z de grau >, existe um atural M tal que, para todos os iteiros p e q > 0, se tem z p q > M q. Daqui resulta que, se um real z for irracioal e, para todo o atural m, existirem iteiros p e q > tais que z p <, etão z é trascedete. Tais q q m z s muito bem aproximados por racioais chamam-se úmeros de Liouville. De facto, supohamos que um tal z é algébrico de grau (sedo > por z ser irracioal). Etão existiria um atural M tal que z p > para q M q todos os iteiros p e q > 0. Tome-se, porém, um atural k tal que 2 k 2 M que existe porque N ão é majorado, e verifica k por M ser um atural. Sedo z um úmero de Liouville, existem iteiros p e q > tais que z p q < q k e, portato, devemos ter q k > M q, ou seja, M > q k 2 k M.

10 0 O método de Diofato Esta cotradição idica que úmeros como os de Liouville ão podem ser algébricos. Com este critério, Liouville gerou o primeiro úmero trascedete cohecido: L = + j=. Este úmero é irracioal, uma vez que tem uma 0 j! dízima ifiita ão periódica, e, dado um atural m, se cosiderarmos os iteiros q = 0 m! e p = q m j=, obtemos 0 j! L p q = = + j= 0 j! m j= + 0 j! = j=m+ 0 0 (m+)! < 0m! 0 (m+)! = 0 j! < = 0 m(m)! q. m 9 0 (m+)! E, portato, L é um úmero de Liouville, logo trascedete. O cojuto L de úmeros de Liouville é residual (isto é, itersecção umerável de abertos desos) de R, logo é deso em R. Cotudo, tem medida de Lebesgue ula: dado ε > 0, existe uma sucessão de itervalos (I ) N tal que + = I < ε e L I. N Pode ler-se mais iformação sobre L os capítulos 3 e 7 de [2]. Usado outro tipo de argumeto, em 873 Hermite [7] provou que e é trascedete e, pouco depois, Lidema [9] e Weierstrass [6] geeralizaram esse método, demostrado que π é trascedete, assim ecerrado o celebrado problema sobre a impossibilidade de costruir, com régua ão graduada e compasso, um quadrado com área igual à de um círculo. Por estas referêcias, ficamos a saber que são também trascedetes os úmeros e x, se(x), cos(x), tg(x), para todo o úmero algébrico x 0; + j=0 0 j log(x), arcse(x), arccos(x), arcta(x), para todo o úmero algébrico x / {0, } do domíio destas fuções. Estes dois resultados são casos particulares de um teorema posterior, provado em 934 por A. O. Gelfod [6] e, idepedetemete, através de uma solução mais elemetar, em 935 por Th. Scheider [5]. Na referêcia [2] pode ler-se uma demostração primorosa do que é agora cohecido como Teorema de Gelfod-Scheider. Estes autores resolveram o sétimo problema

11 M. Carvalho e A. Pacheco proposto por Hilbert [8] e criaram um gerador simples de úmeros trascedetes. Ora acotece que os úmeros associados à equação a b = b a se ecaixam muito bem esse teorema porque ele garate que, se a, b são úmeros algébricos, a / {0, } e b R \ Q, etão a b é trascedete. Este resultado prova que, por exemplo, são trascedetes os úmeros 2 2, log 0 (2), e π ; e os que aalisaremos este texto. Todavia, sobram aida reais a que ehum destes teoremas, ou outros, se aplica, como 2 e ou π + e. Neste cotexto, é curioso referir um resultado de Mahler (veja-se [] ou [4]) que prova, em particular, que se f é a fução x R f(x) = x(x+) 2, etão é trascedete o úmero cuja dízima é 0.f() f(2) f() = A equação x = x, para N \ {} e x R Fixemos um atural >. Na Secção verificámos que a equação x = x tem duas soluções positivas, omeadamete x () = e x 2 () = t t t, sedo t o úico real de ]0, [ {2} tal que = t t (cf. Figura 3). Em particular, x 2 (2) = 4, x 2 (4) = 2 e x 2 () ], e[ se 3, sedo lim + x 2 () = +. Figura 3: Gráfico da fução t t t. Mas, ao cotrário do que acotece com a equação geral a b = b a em que,

12 2 O método de Diofato para os matermos o domíio dos reais, precisamos que a e b sejam positivos, a equação x = x também é válida para x ], 0[ e, depededo da paridade de, pode ter soluções este itervalo. A Figura 4 mostra a existêcia de uma tal solução egativa quado = 2; a mesma figura à direita podemos otar por que ão existem soluções egativas quado = 3. Mais geralmete, quado é ímpar, a igualdade x = x ão é verificada por ehum real egativo uma vez que, se x < 0, temos x < 0 e x = e x log > 0. Figura 4: Gráficos das fuções x R x 2 e x R 2 x ; e, à direita, x R x 3 e x R 3 x. Supohamos agora que é par e cosideremos as fuções Etão, por ser par, temos F : x R x e G : x R x. (F G)( ) = ( ) = < 0 (F G)(0) = 0 > 0 e, portato, como F G é cotíua, pelo Teorema do Valor Itermédio existe um zero da fução F G em ], 0[; ou seja, existe um real egativo

13 M. Carvalho e A. Pacheco 3 x 3 () ], 0[ tal que x 3() = (x 3 ()). Por outro lado, a derivada de F G é dada por x R (log ) x x fução que, como é atural ímpar, é positiva o itervalo ], 0[. Cosequetemete, a restrição a ], 0[ da fução F G é ijectiva e, por isso, o zero x 3 () em ], 0[ de F G é úico. Observe-se, fialmete, que para par se tem (x 3 ()) = ( x 3 ()) e x 3() = (x 3 ()) log = log ( x 3()). x 3 () log Logo, como lim + = 0 e x 3 () ], 0[ para todo o par, devemos ter lim x 3() =. par + 3. Irracioalidade de x 2 (), 2, 4 e de x 3 () par Fixemos um atural >. No que se segue, verificaremos que x 2 () é irracioal quado 2, 4 e que, para par, x 3 () é sempre irracioal. Comecemos por aalisar o caso de x 2 (). Recorde-se que, para 3, x 2 () está em ], e[; em particular, x 2 () é um iteiro se e só se x 2 () = 2, o que é equivalete a = 4. Supohamos que para algum valor de 4 se tem x 2 () racioal. Se represetarmos x 2 () pela sua fracção irredutível p q, ode p, q N são tais que mdc (p, q) =, a igualdade p q = ( p q ) é equivalete a p q q = p q, o que implica que q = por q ser primo com p. Temos etão de resolver em Z = {z N: z > } a equação p = p. Ora, é uma cosequêcia simples do facto de a equação x = x só ter duas soluções, omeadamete x () = e x 2 () ], e[ se 3, que as úicas soluções, p Z desta equação são (, ), (2, 4) e (4, 2). Logo, se 2, 4, o úmero x 2 () é irracioal. Quato a x 3 (), que só existe quado é par e está o itervalo ], 0[, se, para algum valor de, x 3 () fosse uma fracção irredutível p, ode p, q N q são tais que mdc (p, q) =, etão, como o caso aterior, cocluiríamos que p = (logo q > pois x 3 () > ) e que q teria de ser solução da equação = q q. Cotudo, para todo o par de úmeros aturais, q >, tem-se

14 4 O método de Diofato q >. De facto, é fácil provar por idução fiita que, para todo o atural > se tem 2 > : 2 2 > 2; e se, para um atural k > fixado, se tem 2 k > k, etão, como k >, 2 k+ = 2 k 2 > 2k > k +. Logo, para todo o atural q > e todo o atural >, temos q 2 >. Assim sedo, a equação = q q ão tem soluções em Z e, portato, x 3 () é irracioal. 3.2 Trascedêcia de x 2 (), 2, 4 e de x 3 () par Já sabemos que, para cada atural >, a coordeada x 2 () do poto (, x 2 ()) do traço de α é irracioal quado 2, 4 e que, para par, x 3 () é sempre irracioal. Mas podemos afirmar mais: estes úmeros são trascedetes. Estudemos x 2 (), adaptado-se facilmete o argumeto para x 3 (). Supohamos, pelo cotrário, que, para algum atural < 2, 4, o úmero x 2 () é algébrico. Etão, como vimos a Secção 2, a potêcia (x 2 ()) também é um úmero algébrico. Cotudo, 0,, x 2 () é irracioal (veja-se a Secção 3.) e, por hipótese, x 2 () é algébrico. Logo, pelo Teorema de Gelfod-Scheider, x2() é trascedete, o que ão é compatível com a igualdade (x 2 ()) = x2(). Esta cotradição idica que x 2 () ão pode ser algébrico. 4 T α (Q Q) Já sabemos que o traço T α da curva α ão há potos (, y) com N e y Q, com excepção de (2, 4) e (4, 2). E quato a potos com ambas as coordeadas racioais? Supohamos que um tal poto da itersecção do traço de α com Q + Q + é (a, b). Como vimos a Secção, existe t R + \{} tal que a = a t = t t e b = bt = t t t. Ora, sedo a e b racioais e distitos, o declive t da recta que ue (0, 0) e (a, b) está em Q + \ {}. Pela simetria do cojuto T α relativamete à recta y = x, basta prosseguir a aálise o caso em que a > e, sedo que etão se tem < b < e e 0 < t <. Cosideremos a fracção irredutível de t, digamos, ode, m N, m < m e mdc (, m) =. Etão ( ) m m m a = e b = ( m ) m. (2) Comecemos por otar que, se m dividir e m, etão os expoetes de m em a e em b são iteiros e, portato, a e b são racioais. Ora, como e m

15 M. Carvalho e A. Pacheco 5 são primos etre si, para m dividir ambos os aturais e m devemos ter m =. Ou seja, para todos os valores racioais de t =, os potos (a, b) = ( t t t, t exemplo, + t ) do traço de α têm ambas as coordeadas racioais. Por ( ) ( N t = + ) a + t = b + t = Haverá outros pares (a, b) T α com ambas as coordeadas racioais? Voltemos à expressão (2) de a e b determiados por t =, para, m N, m < m e mdc (, m) =. Note-se que, como b = ta e t é racioal, basta determiar para que valores de e m pode a ser racioal. Estado a em Q, existem r, s N tais que r > s, mdc (r, s) = e a = r. Etão, elevado a s primeira igualdade de (2) ao expoete m, resulta que ( ) m m ( ) r m =. s Observe-se que, como e m são primos etre si, tem-se mdc (m m, m ) = : de facto, se p fosse um divisor primo de m m e de m, etão dividiria e m; mas estes aturais são, por hipótese, primos etre si. Aalogamete se coclui que mdc (r m, s m ) =. Etão as duas fracções m m m e r m s m são escritas em fracção irredutível do mesmo racioal. Cosequetemete, devemos ter m m = r m e m = s m. Mas etão existem aturais u, v tais que m = u m e = v m

16 6 O método de Diofato sedo u > v porque < m. Vejamos como ecotrar tais u e v. Como m >, para determiarmos u basta cosiderar a factorização de m em primos. Seja p um primo que divide m e surge a factorização de m com potêcia β N. Etão, como m m = r m, o primo p tem também de dividir r, ocorredo a factorização de r com uma potêcia máxima γ N. Como a factorização em primos é úica, cocluimos que β m = γ (m ). Ora m e m são primos etre si e, portato, esta igualdade implica que m divide β; isto é, existe d N tal que β = d (m ). E, portato, todos os primos da factorização de m ocorrem em m com potêcia que é divisível por m. Etão, se m = p β p β k k é a factorização de m em primos distitos e β i = d i (m ) para todo o i {,, k}, tem-se m = ( p β p β ) k d k = p (m ) p d k (m ) k = ( ) p d p d m k k e u = p d p d k k. Um argumeto aálogo permite cocluir que ou =, caso em que v =, ou > e se costrói v como u para m. Daqui resulta que m = u m v m ode, recorde-se, u > v e m. Cotudo, se m 2, etão m = u m v m = (u v) ( u m + u m 2 v + + u v m 2 + v m ) > m uma vez que a soma de aturais u m +u m 2 v+ +u v m 2 +v m há m parcelas de úmeros aturais das quais pelo meos uma, u m, é estritamete maior do que. Cosequetemete, devemos ter m =, ou seja, t = ( ) + + ( ) + +, a = e b =. Note-se aida que lim + t = e lim + a = lim + b = e.

17 M. Carvalho e A. Pacheco 7 5 T α (A A) Dadas as propriedades que referimos a Secção 2 sobre o corpo dos úmeros algébricos, sabemos que, para cada úmero racioal t R \ {}, o par (a, b) tal que a = t t t e b = t t tem ambas as coordeadas algébricas. Reciprocamete, supohamos que o par (a, b) = ( ) t t t, t t de Tα tem ambas as coordeadas algébricas. Etão devemos ter t Q, caso cotrário, pelo Teorema de Gelfod-Scheider, b = a t seria trascedete. 6 T α (A Z A Z ) Comecemos por otar que A Z Q = Z, uma vez que os zeros racioais de um poliómio móico x R x +c x + +c x+c 0 com coeficietes c i Z, para i = 0,,...,, são fracções irredutíveis r tais que r Z, s N, s mdc (r, s) =, s divide o coeficiete de x e r divide c 0 ; e, portato, s = e r = r é um iteiro. s Cosideremos um poto (a, b) = ( ) t t t, t t de Tα, ode t ]0, [, e supohamos que as suas coordeadas são iteiros algébricos (o argumeto é aálogo para t ], + [). Etão, como vimos a Subsecção 5, o declive t é racioal, digamos, t = com, m N, < m e mdc (, m) =. Observe-se m que, como a é iteiro algébrico, a m também é; além disso, a m é racioal porque a m = ( ) ( ) t m t m m =. Logo a m é iteiro, e portato =. Cosequetemete, t = para algum m atural m 2. Reciprocamete, quado t = para algum atural m 2, o par (a, b) = ( ) m t t t, t t tem coordeadas que são iteiros algébricos. Efectivamete, este caso, a = m m m e b = m m e estes úmeros são, respectivamete, zeros dos poliómios móicos de coeficietes iteiros Por exemplo, P(x) = x m m m e Q(x) = x m m.

18 8 O método de Diofato m t a t = t t b t = t t t P Q x 4 x x 2 27 x x x 3 4 Referêcias [] Associação Atractor, Diâmica de uma família de expoeciais, Gazeta de Matemática 8 (207) 3 7. [2] M. Carvalho, O método das cordas, Bol. Soc. Port. Mat. Número especial do triceteário de Leoard Euler (2008) [3] M. Carvalho, S. Cavadas, Jogado o limite, Bol. Soc. Port. Mat. 69 (203) 9. [4] J. H. Cadwell, Topics i Recreatioal Mathematics, Cambridge Uiversity Press, 980. [5] L. Euler, De formulis expoetialibus replicatis, Acta Academiae Scietarum Imperialis Petropolitiae (778) [6] A. O. Gelfod, Sur le septieme problème de D. Hilbert, Doklady Akad. Nauk. 2 (934) 6. [7] C. Hermite, Sur la foctio expoetielle, C. R. Acad. Sci. Paris 77 (873) [8] D. Hilbert, Sur les problèmes futures des mathématiques, C. R. Deuxième Cogrès Iteratioal des Mathématicies, Paris, 900, [9] F. Lidema, Ueber die Zahl p, Math. Aale 20 (882)

19 M. Carvalho e A. Pacheco 9 [0] J. Liouville, Sur des classes très-étedues de quatités dot la valeur est i ratioelle i même réductible à des irratioelles algébriques, C. R. Acad. Sci. Paris 8 (844) ; J. Math. Pures Appl. 6: (85) [] K. Mahler, Lectures o Trascedetal Numbers, LNM 546, Spriger New York, 976. [2] I. Nive, Irratioal Numbers, Wiley New York, 202. [3] J. C. Oxtoby, Measure ad Category, Spriger New York, 980. [4] H. Pollard, H. G. Diamod, The Theory of Algebraic Numbers, Carus Mathematical Moographs 9, MAA, 975. [5] Th. Scheider, Traszedezutersuchuge periodischer Fuktioe I, Joural fur Mathematik 72 (935) [6] K. Weierstrass, Math. Werke II (895)