Verificação e Validação

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1 Verificação e Validação Verificação correto do poto de vista de ateático Verificação do código: verificar se o código respode corretaete a orde de precisão dos odelos ipleetados Verificação dos cálculos: Estudo sisteático de covergêcia de alha Validação correto do poto de vista de ciêcia/egeharia Referêcia: Verificatio ad Validatio i Coputatioal Sciece ad Egieerig, Patrick J. Roache, Herosa Publishers, 998

2 Erros Erros de orde de discretização: estes erros pode ser avaliados co estudos de covergêcia de alha (taaho da alha espacial, passo de tepo, odos de Fourier, etc Erros de orde de algu parâetro uérico Por eeplo: localização da froteira ifiita do doíio. Erros de orde de algu parâetro físico São erros proveietes da odelage física, e pode ser deteriados co étodo de perturbação. Por eeplo: verificar solução o liite Mach 0 (icopressibilidade

3 Erros Erros de odelage, ão possue orde Por eeplo: (i r/=0 ou P/=0 as froteiras; (ii úero de vórtices o étodo de vórtices discretos Erros de prograação são egaos pode ser detectados co estudos de covergêcia de alha para probleas co solução eata (soluções aufaturadas Erros de arredodaeto do coputador

4 Erro de trucaeto Erro de discretização Erros de trucaeto: idica a orde de aproiação do étodo (difereças fiitas, eleetos fiitos, volues fiitos, etc Erro de discretização Erro devido a ipossibilidade de utilizar úero ifiito de potos 4

5 Covergêcia de Malha Covergêcia do processo iterativo Covergêcia de alha: Precisão de discretização Covergêcia do processo iterativo: Precisão residual Covergêcia iterativa icopleta corrope a etapa de verificação do código Utilizado precisão siples, utilizar de 7-8 casas deciais 5

6 Orde de covergêcia: Para u étodo de orde p, o erro E assitótico da solução deve ser proporcioal a D p, ode D é o espaçaeto da alha, ou outra edida de discretização Erro: E = f(d f eata = C D p H.O.T H.O.T. = higher order ters C= erro/d p costate a edida que a alha é refiada para u étodo de orde p (todos os potos e derivadas Defiição: Espaçaeto de alha: D = a /N N = úero de potos; a = taaho do doíio Ídice da orde prevista do erro de discretização: I = E / D p H.O.T costate 6

7 Metodologia para Verificação de Códigos: Método de Soluções Maufaturadas Selecioar ua solução cotíua aalítica Deve peritir avaliar todas as ordes de difereciação, teros cruzados A solução deve ser iserida a equação diferecial parcial goverate (PDE para forecer o tero de produção S (, y, z, t que produz a solução Moitorar o erro uérico e fução do refiaeto sisteático da alha 7

8 Método de Soluções Maufaturadas Equação de teste: L(F S =0 Solução aufaturada: F F = l a ; F = oralização de F l = orde de L (l=, para Laplaciao ; a = orde de precisão da discretização, (a= para difereças cetrais Problea odificado: L(F Ss=0 ; Ss = S L(F Codição de cotoro F = F as froteiras 8

9 Obter solução utilizado sistea de coordeadas trasforado (,,, ode 0 ; h (i- Se d i = 0 ão há esticaeto da alha, d i 0, todas as derivadas, iclusive cruzadas são testadas. s 0 é ecessário, para evitar sigularidades a orige F d : solução discreta Erro: Método de Soluções Maufaturadas E i s i tah( di F F C h a C h a C h a d H. O. T Refiar a alha e verificar ídice de covergêcia e potos específicos (I cr = cetro do doíio, e áio (I a =a i,j,k I Se todos I costate quado N cresce, sigifica que houve verificação de: (i equação trasforada, ( orde da difereças fiitas (iii procedieto de solução 9

10 L( F ( F 0 Tero de forçaeto Ss F Eeplo Solução aufaturada F F ( ( ( ( ( alha E a poto E a E cetro I =E a /h I cetro =E cetro / h 5 4, ,4,4 8, 0-6 6,46 0 -, 0-4 9, ,8,8 6,50 0-7, 0-4, , ,5,5,40 0-8,6 0-8,70 0-6, ,9,9 -,69 0-6, ,7 0-4 O valor aproiadaete costate de I a idica que toda a solução, icluido a trasforação de coordeadas e epressões de difereças fiitas, possui ª. orde de precisão. O coportaeto errático de I cetro para a alha ais fia idica probleas de arredodaeto. 0

11 Eeplo b bd b cos( ( 0 F F L ( o si( b i a i i a i i a i ; ; F F Solução aufaturada Tero de forçaeto z y F F Ss ( ( ( ( ( ( ( ( bd b y cos( bd b z cos( ( ( ( i a i a i a bd

12 Eeplo L F ( F 0 ( o si( b / o =0, alha d i =0, I =E a /h,90 0-8,77 0 -, d i =0 I =E a /h 0,4 0,69,,5 I idica que para esticaeto oderado (di=0, houve verificação do código até 7 Para o esticaeto acetuado (di=0 observa-se variação de I eso para a alha. No etato, observa-se covergêcia

13 Método de Soluções Maufaturadas A verificação do código através do teste sisteático de covergêcia de alha, forece a verificação de Qualquer trasforação utilizada (e.g. coordeadas ão ortogoais Orde de discretização Prograação da discretização Procedieto de solução da atriz de solução

14 Debuggig U resultado egativo da verificação utilizado solução aufaturada idica que há u erro Balaço global ão satisfeito tabé idica a eistêcia de erro Escolhas adequadas da solução aufaturada, ligado e desligado derivadas cruzadas, auilia a idetificar a fote do problea. Pode-se aida, coparar resultados uéricos de teros específicos co a solução aalítica dos esos Idepedêcia de parâetros a solução adiesioal é ais ua ferraeta para auiliar a idetificar a eistêcia de erros 4

15 Grid Covergece Ide - GCI CGI serve para avaliar teste de covergêcia de alha. Forece u étodo assitótico para quatificar icertezas de covergêcia de alha A ideia é relacioar os resultados do teste de covergêcia de alha aos resultados esperados ao dobrar a alha usado u étodo de a. Orde. O GCI é baseado a estiativa do erro de covergêcia derivado a teoria geeralizada da Etrapolação de Richardso 5

16 Etrapolação de Richardso A etrapolação de Richardso (90 tabé é chaada de etrapolação h e etodologia de obteção de liite Cosidera-se que a solução discreta f possui ua represetação e série co espaçaeto h igual a f f eata g h g h g h ode g e g, etc são fuções cotíuas e ão depede de discretização. Para u étodo de ª. orde, g =0. 6

17 Etrapolação de Richardso A ideia é cobiar duas soluções discretas separadas f e f, obtidas e duas alhas diferetes co espaçaeto uifore h (alha fia e h (alha grossa, de fora a eliiar os teros de pricipal orde, a epasão suposta do erro. Resolver para f e f os potos odais, substituir a equação de Richardso para obter ua elhor estiativa para f eata. O resultado da declaração origial de Richardso para etrapolação de h é ou f eata f h f h f f eata H. O. T h h f f h r ode r h 7

18 Etrapolação de Richardso Frequeteete é afirado que se r=, f eata 4/ f / f é de 4ª orde de precisão, se f e f fore de ª orde Poré, isto só é verdade se ão eistire potêcias ipares a epasão. Por eeplo, para difereças ão cetradas de ª orde, a etrapolação h é de ª orde e ão 4ª. Geeralização da Etrapolação de Richardso feata f f f r p Não é ecessário cosiderar ausêcia de potêcias ípares. Para difereças cetradas a etrapolação é de orde p. Para esqueas poderados a otate, a etrapolação é de orde p 8

19 Geeralização da Etrapolação de Richardso f f f eata f r p feata ( f f / f f p r ( f f f Defiido: Erro estiado fracioal E e real A E[ alha fia] r p A [ alha A [ ] (, alha fia E h p E ( f fia] feata feata Cobiado as epressões acia e usado ua epasão biodal te-se 9

20 Geeralização da Etrapolação de Richardso E é u estiador de erro ordeado, i.e., é ua aproiação ordeada do erro real fracioal da solução a alha fia. E é ua boa aproiação quado a solução é de precisão razoável, isto é, quado E <<. Pode-se utilizar ou ão a etrapolação de Richardso, devido a preocupações co a orde real do étodo, ou acúulo de erros de arredodaeto, ou covergêcia iterativa icopleta, ou icerteza do coportaeto assitótico, ou falha a coservação de algua propriedade co a etrapolação, etc. Poré, a etrapolação pode ser utilizada para reportar de fora cosistete estudos de covergêcia de alha 0

21 Grid Covergece Ide - GCI CGI relacioa obtido e u estudo de covergêcia de alha co o que seria esperado se u estudo de covergêcia de alha fosse realizado para o eso problea, co a esa alha fia, utilizado u étodo de ª orde (p= e dobrado a alha (r= GCI [ alha fia] Fs ; r p Fs ( f f f Note que se r= e p=, CGI= F s : fator de seguraça, pois se F s = etão GCI=E O objetivo da GCI é reduzir ao íio de eercícios de covergêcia de alha, ua base de relatórios uifores.

22 Grid Covergece Ide - GCI Eiste situações ode realiza-se o teste de covergêcia para apeas alguas situações, sedo a alha grossa usada a aioria dos cálculos. Neste caso, deseja-se defiir CGI (erro relativo coo ua correção da alha grossa e ão da alha fia. Neste caso feata f ( f f r p r p r p GCI [ alha grossa ] Fs ; r p Fs GCI [ alha grossa ] r p GCI[ alha fia] Fs

23 Grid Covergece Ide - GCI Eeplo (Equação de Burgers: - U U U /Re = 0, U(0=, U(=0 Re = 000 Avaliar erro de atrito: du/d e = eata f alha fia f alha grossa (000 ptos (600 ptos R=,5 du/d ,4-544,48 erro alha fia (f-fe/fe erro alha grossa (f-fe/fe (f-f/f CGI alha fia (Fs= CGI alha CGI grossa fia (Fs=,5 (Fs= Richardso alha fia E= /(r p - Richardso alha grossa E 5,88% 8,90%,85% 5,0% 6,4%,75% 5,07% 7,9% Etrapolação de Richardso é ão coservativa