A Análise de Multirresolução

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1 A Aálise de Multirresolução A Fução de Escala A aálise via wavelets está igualete relacioada a ua filtrage passabaixa, e a ecessidade de ua filtrage desse tipo a abordage de wavelets pode ser facilete etedida. A idéia apresetada baseia-se o paradoxo de Zêo de Elea (c.490 a.c.). Iagie que filtros passa-faixa escaloados e oitavas são usados a aálise.

2 Sedo w ax a aior freqüêcia cetral aalisada, o próxio filtro apreseta o eso fator de qualidade e é cetrado e w ax /2. O processo é iterativo e, o ituito de cobrir todo o espectro aalisado, são ecessários filtros cetrados e w ax, w ax /2, w ax /4, w ax /8, w ax /16, Cada u deles apreseta ua bada passate reduzida à etade daquela do filtro adjacete aterior.

3 A solução para evitar-se u úero ifiito de filtros aalisadores é usar ua rolha para "tapar o buraco" das baixas freqüêcias, quado ele é suficieteete pequeo. A fução de escala (LPF), deotada aqui por φ (t) 1989., foi itroduzida por Mallat e O pricípio fudaetal cosiste e aalisar o sial através de ua cobiação de ua fução de escala φ (t) (passa-baixa) e wavelets ψ (t) (passafaixa). Essa idéia é essecial a codificação e sub-badas e a aálise ultirresolucioal.

4 Praticaete a totalidade das estruturas orgaizacioais, icluido aquelas dos sisteas biológicos sesoriais, é orgaizada e íveis ou escalas. Portato, a represetação ultiescala é u igrediete essecial a extração eficiete de iforações a partir de ua observação. Este é o pricípio da represetação proposta por Mallat. Sthéphae Mallat (co perissão, e 2005). Criador da Aálise de Multirresolução.

5 Aálise de Multirresolução Copleta Ortooral U dos étodos de costrução de wavelets ortogoais, desevolvido por Mallat e Meyer, é a aálise de ultirresolução. Esse étodo perite costruir a aioria das wavelets ortogoais. clos U A deota a uião dos cojutos A, icluido todos os potos liites e L2( ). E ( ), cria-se u subespaço fechado V L2( ) forado por siais aproxiados a escala 2. Foralete:

6 Defiição: AMR Ua aálise de ultirresolução e L2( ) cosiste ua seqüêcia de subespaços fechados V L2( ),, satisfazedo as seguites relações: (AMR1) V V -1 ( ). (AMR2) f(t) V L2( ) f(2t) V -1. (AMR3) clos V Z (AMR4) I (AMR5) (t) U Z V = { 0}. = L2( ). φ( t ) φ V 0 tal que { } Z é ua base ortooral para V 0.

7 Algus coetários diretos: AMR1/AMR2 À edida que decresce, refiado a escala, a resolução e freqüêcia aueta. Assi, detalhes que aparece e ua escala 2 deve tabé estar presetes a escala 2-1, isto é,... V 2 V 1 V 0 V -1 V AMR3 O espaço L2( ) coté todas as possíveis escalas e é de fato coposto por todas as escalas possíveis, daí o oe (aálise de ultirresolução copleta e ortogoal).

8 AMR4 A fução toda ula (isto é, ula e quase toda parte) é o úico sial de L2( ) que pode ser represetado e qualquer escala V. Pode ser deostrado que AMR4 é ua coseqüêcia das deais codições e poderia até ser supriida. AMR5 Mostra-se que é { 2 da propriedade 2. / 2 φ (2 t ) } Z ua base de V. Co efeito, isto segue fução de escala a partir da wavelet é coetada a seguir.

9 Fução de escala φ Φ associada a ua wavelet cotíua ψ Ψ pode ser deteriada a partir da relação: Φ( w) Ψ( w) = w w dw. A fase coplexa Aqui, pode ser deduzido que: j Φ( w) Φ ( w) = Φ( w) e de pode ser escolhida arbitrariaete. li w 0 Φ( w) 2 = C ψ.

10 Para ua wavelet sobrero, por exeplo, a fução de escala da aálise associada verifica a relação + = Φ w w w w w / 2 exp ) ( π, de fora que a costate de adissibilidade vale / π e ua solução é + = Φ 2 1.exp 3 2 ) ( / w w w π.

11 Equação Básica de Dilatação (Equação de refiaeto) Cosiderado coo espaço de referêcia V 0 V -1, qualquer sial ele cotido pode ser decoposto e teros das fuções de ua base de V -1. E particular, isto deve ser válido para a fução de escala φ(t) V 0. Subespaço Base φ ( t ) V 0 { } Z V -1 { (2t ) } Z 2φ.

12 Assi, existe ua seqüêcia {h } tal que φ( t ) = 2 h φ(2t ) Z co Z h 2 < +. Esta é a pricipal equação da AMR. Ela te solução úica, de fora que os coeficietes {h } pode ser usados para deteriar uivocaete a fução de escala φ (t). Os coeficietes {h } são chaados de "coeficietes do filtro passa-baixa", ou coeficietes do filtro de escala.

13 U eletrocardiograa é aproxiado usado ultirresolução e 6 íveis distitos, i.e., coo as elhores aproxiações para o sial origial os espaços V 0, V 1,..., V 5. Note que a edida que a resolução aueta, a aproxiação é cada vez elhor co relação ao sial origial.

14 Figura. Aálise de ultirresolução de u curto trecho de eletrocardiograa: Seis espaços de resolução são ostrados. O ível V 0 foi arbitrado.

15 Propriedade. Soa de aostras diádicas de φ(t) de eergia uitária. + k= φ 2 k J = 2 J. Corolário. + φ k= ( k) = 1.

16 Coexão etre Multirresolução e Wavelets Ortogoais A AMR tabé defie subespaços W L2( ) chaados de espaços wavelets, forados pelos detalhes do sial a escala V, ié, defiidos coo o copleeto ortogoal de V relativaete ao próxio espaço de escalas V -1 V. Assi, por defiição, V 1 = V + W. A operação + efatiza o fato que W V.

17 É cou tabé o uso de outras otações, coo para efatizar a "soa ortogoal". Note que W V -1 e e particular, W 0 V -1. Deste odo, W coté os "detalhes" ecessários para ir de V para V -1. Daí os subespaços W sere tabé chaados de subespaços de detalhes.

18 Ao cotrário dos subespaços de escala V que são aihados, V V = V MAX {, } isto é, W = W {0}., os subespaços wavelets são essecialete disjutos, Se existe u sial (wavelet-ãe) ψ(t) W 0 tal que o cojuto { ψ ( t ) } Z é ua base ortooral de W 0, etão se pode ostrar que, ( ), { / 2 2 (2 t ) } Z ψ é ua base ortooral para W.

19 Se essa propriedade é satisfeita, etão: 1 Multirresolução para os espaços W 2 Ivariâcia ao deslocaeto f(t) W f(2 t) W 0 ( ) f(t) W f(t-) W 3 Ortogoalidade etre os espaços wavelets W W. 4 Todo o espaço L2( ) pode ser obtido uicaete ua soa de subespaços ortogoais: L2( )= closu W. Z

20 Lebrado que... V 2 V 1 V 0 V -1 V e partido iteradaete da defiição do espaço W, V V V = V W +1 = V W W + 1 = V W W W Iterado-se idefiidaete, V =... + W W W + 1 ou seja V = W + k k Z isto é, ua dada resolução é atigida pela soa dos detalhes adicioados.

21 Fixado u iteiro 0, ( < 0 ) = + + = k k W V V Fazedo-se 0 +, -, te-se L 2 ( ) =U Z W = Z W. Figura. Subespaços e ua ultirresolução ortogoal:

22 Desde que V 1 = V + W, segue-se que W 0 V -1. Cosiderado W 0 o subespaço de referêcia, qualquer sial ele cotido pode ser decoposto e teros dos siais de ua base de V -1. E particular, isto é válido para a fução wavelet-ãe ψ(t) W 0. Subespaço Base ψ ( t ) W 0 { } Z 2φ (2t ). V -1 { } Z

23 Assi, existe ua seqüêcia {g } tal que ψ ( t ) = 2 g φ(2t ) Z co Z g 2 < +. As duas equações cetrais da AMR são, portato: Equações de escala dupla: φ( t ) = 2 h φ(2t ) Z ψ ( t ) = 2 gφ (2t ). Z

24 Algorito cascata. Aproxiações uéricas para ua fução de escala φ(t) e para a fução wavelet ψ(t) correspodete, pode ser costruídas co base os coeficietes h e g, co auxílio das equações básicas de dilatação e dupla escala. ( k) A idéia é calcular φ ( t) coo a iteração de orde k, deteriada a partir de ua versão aterior da iteração de acordo co:

25 φ ( k+ 1) ( t) = + h k= 2φ ( k) (2t ) e ψ ( k+ 1) ( t) = + g = k 2φ ( k) (2t ). Se o algorito coverge para u poto fixo, esta é a solução da equação de dupla escala, a qual é idepedete da solução iicial arbitrada φ ( t). (0) Propriedade. Os coeficietes de escala h e coeficietes de detalhes g pode ser calculados a partir de u sistea wavelet ortogoal através das relações: h = 2 φ ( t) φ(2t ) dt, e g + = 2 ψ ( t) φ(2t ) dt. +

26 Aálise de Multirresolução via Wavelets de Haar Co o fi de elhor visualizar ua aálise de ultirresolução, ostra-se a AMR ais siples: a AMR de Haar para u sial. A prieira wavelet costruída, tabé a ais siples, correspode à wavelet de Haar. A fução de escala para ua AMR de Haar é expressa por: φ( t) = χ[0,1 ) = 0 1 se x [0,1) se x [0,1), e que χ deota a fução idicadora de cojuto.

27 Figura. Fuções de escala de Haar.

28 Figura. Fuções wavelet para ua AMR de Haar.

29 Na figura a seguir, ostra-se ua AMR de Haar. Note as aproxiações do sial aalisado as diferetes escalas, V -1 V 0 V 1 V 2... Os detalhes (espaços W) são tabé exibidos e correspode à trasforada de wavelet do sial e cada escala.

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31 Colua esquerda: Fução decoposta os espaços de escala V -1 V 0 V 1 V 2. Colua direita: Mostra-se tabé a decoposição os espaços de detalhes W -1 W 0 W 1 W 2.

32 Aálise de ultirresolução de Haar aplicada à iage "Lea" (Matlab ). Figura. Aálise de Multirresolução de Haar da Iage "Lea"

33 E 1988, Lea cocedeu etrevistas para revistas suecas e coputação e teve o prazer de descobrir o que acotecera co sua foto de capa da Playboy, que se torou padrão de referêcia para iages e todo o udo. Foi quado ela soube do uso da foto e Processaeto de Iages (a foto origial ecotra-se dispoível e Figura. Lea (The First Lady of Iteret) durate a 50 th Aual Coferece of the Society for Iagig Sciece i Techology.

34 Aálise de Multirresolução usado B-Splies Ua B-splie de 1 a orde é defiida por: N ( t) : = ) 1 χ [0,1 = 1 se 0 t < 1 0 caso cotrário. N A fução B-splie cardial de orde é defiida através da relação: 1 = 1 ) 0 ( t) : N ( t ζ dζ, 2. O espectro (de Fourier) da B-splie N 1 é IN ( t) = ℵ1 ( w) = 1 e jw jw 1. Reescrevedo N (t) sob a fora de covolução, te-se N (t) = N -1 (t)*n 1 (t), 2.

35 Assi, N 2 (t) = N 1 (t)*n 1 (t), N 3 (t) = N 1 (t)*n 1 (t)* N 1 (t), N 4 (t) = N 1 (t)*n 1 (t)* N 1 (t)*n 1 (t), etc. O espectro de ua B-splie N (t) 2 é, portato: IN ( t) = ℵ ( w) = 1 e jw jw = e jw / 2 Sa ( w / 2).

36 Proposição: (Relação geral de escala dupla para B-splies): N ( t) = 2 = N (2t ). Desta fora, segue-se que: N 1( t) = N1(2t) + N1(2t 1) 1 1 N2( t) = N1(2t) + N1(2t 1) + N1(2t 2) N 3( t) = N3(2t) + N3(2t 1) + N3(2t 2) + N3(2t 3) (e assi por diate).

37 Ua B-splie pode ser, portato, utilizada coo fução de escala φ ( t) = N( t), obedecedo a ua equação de escala dupla explicitada pela relação de autorecursão citada. Os coeficietes são exataete os coeficietes h ão ulos da AMR B-splie.

38 Procedieto de Ortogoalização de Meyer Se a fução (t) φ ( t ) ão é φ defie ua AMR, poré o cojuto { } Z ortogoal, Meyer propôs u procedieto de ortogoalização, provido que α, β R 0 < α < 2 Φ( w + 2π) β < +. Ua ova fução de escala deotada por φ (t) pode ser ecotrada coo φ (t) =I -1 (w) Φ( w) Φ ( w) : = Φ, e que 2π Φ( w + 2π) Z 2.

39 Aalogaete, se ) (t ψ é ua wavelet tal que { } Z t ) ( ψ ão é ortogoal, as verifica a codição + < + Ψ < < R Z w β π α β α 2 ) 2 ( 0,, etão ua wavelet ortogoal (t) ψ pode ser ecotrada coo ) (t ψ =I -1 ) (w Ψ, e que + Ψ Ψ = Ψ Z w w w 2 ) 2 ( 2 ) ( : ) ( π π.

40 Algorito Piraidal de Laplace A aálise de ultirresolução está itiaete relacioada co o algorito piraidal usado a decoposição e recostrução de wavelets [BUR&ADE 1983]. Cosidere ua AMR, a qual {V } é gerado por ua fução escala φ(t) V 0 e {W } é gerado por ua fução wavelet-básica ψ(t) W 0. Dado u sial f(t) L2( ), cosidere a elhor aproxiação desse sial por ua fução f N (t) e V N, fixado u dado N e particular.

41 f(t) f N (t) co f N V N. Lebrado que V 1 = V + W, vê-se que é possível decopor f N de fora uívoca coo f = + N g N + 1 f N +1 e que g N+1 W N+1 e f N+1 V N+1. Iterado-se esse processo co relação ao f a ova escala, obté-se a seguite decoposição: f N = g N g N g N g N + M + f N + M, e que o valor de M é escolhido de fora que f N+M teha eergia suficieteete pequea co relação à eergia total do sial origial f.

42 Decopodo os siais g e f as diversas escalas e teros das bases dos siais dos subespaços V e W, f ( t) = c, φ(2 t ) Z Te-se, portato, e g ( t) = d, ψ (2 t ). Z c = 2 < f ( t), (2 t ), φ > d = 2 < g ( t), (2 t ) ψ., > Deota-se por c = {c, } Z e d = {d, } Z.

43 Algorito de Decoposição Piraidal Assi, a decoposição procurada pode ser expressa cofore: d N+1 d N+2 d N+3... d N+M c N c N+1 c N+2 c N+3... c N+M Figura. Processo de decoposição piraidal de u sial f(t).

44 Na prática, usa-se u úero fiito de íveis e escreve-se toda a iforação relativa a f(t) e teros de d N+1, d N+2,..., d N+M e de c N+M (ver equação seguite). f N = g N g N g N g N + M + f N + M... c N d N+1 d N+2 d N+2... d N+M c N+M Os coeficietes d N+1, d N+2, d N+2,...,d N+M represeta a escala fia (detalhes dos dados), equato os coeficietes c N+M represeta a escala ais grossa (parte suave dos dados).

45 Algorito de Recostrução Piraidal O processo de recostrução do sial aproxiado a partir de d N+1, d N+2,..., d N+M e de c N+M é exataete o iverso do procedieto de costrução, cofore ostrado o diagraa seguite. d N+M d N+3 d N+2... d N+1 c N+M c N+3 c N+2... c N+1 c N Figura. Processo de Recostrução de f(t).

46 No caso de seqüêcias fiitas (de coprieto N), a coplexidade ultiplicativa para o cálculo de ua DFT usado a força bruta é O(N 2 ). Algoritos rápidos (FFT) resulta ua coplexidade ultiplicativa O(N.log 2 N). O algorito piraidal para o cálculo da DWT é aida ais rápido que as FFTs: a trasforada pode ser calculada usado apeas O(N) ultiplicações.

47 U Estudo de Caso: Decoposição via Wavelet de Daubechies db2 para u sial ECG A título ilustrativo ostra-se ua decoposição wavelet (AMR) usado db2 para u sial ECG, co seis íveis de decoposição. D1 D2 D3 D4 D5 D6 os subespaços W A1 A2 A3 A4 A5 S6 os subespaços V.

48 Figura. Aálise Wavelet de Daubechies db2 para u sial ECG

49 ECG A decoposição explicita visualete, o ível 6, a wavelet ãe db2. Nas escalas ais baixas, a freqüêcia aueta substacialete (odihas copriidas).

50 O processo lebra ua decoposição e série de Fourier: sítese do sial coo ua soa de diversos harôicos. Os "harôicos" aqui ão são odas seoidais perpétuas, as versões (copriidas) de ua wavelet (por exeplo, odas ão perpétuas). Ua característica diferete é que a decoposição forece u sial A 6 = S 6 (versão grosseira ou passa-baixa), ao qual deve ser adicioados os detalhes (versão wavelet ou passa-faixa) para copor a aproxiação.

51 As características procuradas a aálise do sial pode estar ais be explicitadas ua dada escala. Por exeplo, u EEG, ua deteriada patologia cardíaca pode ser ais be idetificada/diagosticada ua dada escala. (Maior grau de liberdade é coferido à aálise, pois o eso sial pode ser decoposto (aalisado) via u grade úero de diferetes wavelets, e vez de sepre ser decoposto e copoetes seoidais.)

52 AMR para Wavelets Biortogoais Nesta costrução que geeraliza a ortogoalidade, são epregados dois cojutos {escala, wavelet}: { φ } { } e, ψ,,,ψ ~ φ. ~,, { } As wavelets ψ { }, e, "ortogoalidade cruzada": ~ψ ão são ortogoais, poré verifica a relação de < ψ ~ >=,, ψ, δ, '. δ, '

53 Neste caso ão há ortogoalidade etre os subespaços ( V / W ), as si etre os subespaços ~ V W e ~ V W. Este tipo de wavelets foi adotado o padrão JPEG 2000, ua vez que há assietria e o processo de sítese pode adotar ua filtrage co eor úero de coeficietes (a wavelet de recostrução é ais siples).

54 As séries de Taylor e o teorea da aostrage vistos coo decoposições-wavelet biortogoais A ortogoalidade te sido usada há bastate tepo coo ua propriedade chave a aálise e/ou sítese de siais. Ua técica de processaeto ais requitada evolve o coceito de biortogoalidade a qual dois cojutos de siais (co ortogoalidade cruzada) são usados u a aálise e outro a sítese.

55 Wavelets geeralizadas de suporte potual fora itroduzidas [deo&lins, 2005] co base e ipulsos de Dirac, doublet e derivadas de orde ais alta de δ(t). Ua aálise biortogoal geeralizada usado tais wavelets coduz a séries de Taylor usuais. Padrão JPEG 2000 Padrão do FBI para arazeage de ipressões digitais

56 Ua aálise coparativa [LINS 2005] dos foratos de arquivos e algoritos de copressão de iages estáticas ostrou a superioridade ibatível do JPEG 2000 e redes de trasissão e e arazeaeto. Defiição (espaço C ). O espaço de siais coplexos ifiitaete difereciáveis f:r C é deotado C (R), i.e. o espaço vetorial tal que f C ( N) f () C, e que f () deota a eésia derivada de f. Defiição (Suporte de u sial). O suporte de u dado sial f:r C, supp f, é a uião fechada do cojuto t R f(t) 0. Rigorosaete, supp f : = { t R f(t) 0}.

57 O cojuto de iteresse para distribuições (Lauret Schwartz) é o cojuto D. Defiição (espace D). Seja D o espaço vetorial de siais φ:r C co ifiitas derivadas de suporte copacto. Ua distribuição é u fucioal liear cotiuo sobre D, defiido pela regra de T : D C atribuição a T ( ) ϕ ϕ. Notação: Seja D o espaço de todas as distribuições.

58 Distribuição de Dirac (δ). φ D, < ϕ, δ > : = + ϕ( t ) δ ( t) dt : = ϕ(0). A distribuição de Dirac avaliada e u poto t 0 R é defiida por φ D, < ϕ, δ ( t : ( ) ( ( ) : ( 0 ) 0 ) > = + ϕ t δ t0 ) t dt = ϕ t. Usualete T ( ϕ ) =< ϕ, T > é defiida via u produto itero, sedo por isto u operador liear. Derivada de Distribuições <, T > : = < ', T > ' ϕ ϕ. Derivadas de aior orde (orde ). Por recorrêcia, a k ésia derivada (k>0) de T D, deotada por T (k), é dada por: φ D ( k) ( k) < ϕ, T >= ( 1) < ϕ, T k >.

59 Esta defiição forece o corolário: Corolário. Toda distribuição é ifiitaete derivável. Defiição (suporte de ua distribuição). O suporte de ua distribuição T, deotado por supp T, é o eor cojuto fechado o qual T ão é ulo, isto é, φ D <φ,t> 0. Distribuições de suporte copacto. Seja T ua a distribuição de suporte liitado e, portato, copacto. Pode ser ostrado que T pode ser estedida ao espace D:=C (R). O cojuto de distribuições de suporte copacto é deotado D.

60 Trasfora de wavelets cotíuas pode ser iterpretadas assi coo distribuições. Se ψ(t) é ua wavelet ãe, etão: ϕ D, + < ϕ, CWT >= ϕ( t) ψ ( t) dt. As relações de hootetia e traslação de distribuições correspode aos parâetros de escaloaeto e traslação usuais e wavelets. i) < ϕ, τ >= + b ψ ϕ( t) ψ ( t b) dt. ii) a t < ϕ, ψ a >= ϕ( t) ψ ( ) dt a a. Portato, o caso geral, ua trasforada de wavelet correspode a ua distribuição: + 1 t b < ϕ, τ b ψ a >= ϕ( t) ψ ( ) dt a a.

61 Defiição (wavelets geeralizadas de Dirac). Defie-se wavelets ipulsivas e ua a ( a) ψ, < < + escala a N-{0} e co traslação b R coo, a, b ( t) : = ( 1) δ ( t b) t O parâetro de escala a desepeha u papel u pouco diferete da teoria covecioal. Estas wavelets tê suporte copacto e seu suporte estrito é dado por Supp ψ a, b ( t) = { b}. Assi, elas são wavelets geeralizadas de suporte potual.

62 Seja ψ a, b ( t) Ψa, b ( w) u par forado pela wavelet e seu espectro. Desde que jwb o espectro geeralizado vale Ψ a b ( w) = ( jw) e a,, estes siais ão possue eergia fiita e verifica a codição de adissibilidade. Todavia, pode ser verificado que + ψ a, b ( t) dt = 0, a N-{0}, b R. Estas wavelets geeralizadas são associadas co ua escala e ipulso φ = δ. Obviaete, + φ ( t) dt de Dirac ( t) ( t) = 1, co esperado.

63 Ua extesão da aálise de ultirresolução pode ser ipleetada usado os seguites cojutos de aálise: φ = { δ (t)} ; fução de escala geeralizada, { δ '( t), δ ''( t), δ '''( t),... } ψ = ; wavelets geeralizadas e diferetes escalas. Se f(t) te derivadas de todas as ordes e ua vizihaça de u poto t 0 =b, etão para qualquer sial cotíuo f(t) C, os coeficietes de wavelet são dados por a N-{0}, b R

64 c [ f ( t) ] a ( a) a ( a) ( a), b = WTa, b : =< f ( t), ( 1) δ ( t b) >= + f ( t)( 1) δ ( t b) dt f ( b), a = i.e, eles correspode a a ésia derivada do sial e aálise f(t) o poto t=b. As lihas básicas do processo de recostrução pode ser deduzidas através da seguite propriedade de biortogoalidade do cojuto { ψ } : ~ ~ Seja as fuções de recostrução = { φ ( t) : = 1} a ~ φ = ~ ( t b) ψ ; ψ a, b ( t) : =. Γ( a + 1)

65 Desde que a é restrito a u iteiro, o cojuto de iteresse é t b ( t b) 1,, 1! 2! 2 ( t b), 3! 3,.... Estas fuções de recostrução ão são wavelets, as verifica ua propriedade de biortogoalidade. Proposição (biortogoalidade)., N-{0}, t 0 R ( ~ + ψ δ ψ =, t t )., t ( t) dt 0 0,, e que δ, é o síbolo de Kroecker.

66 Prova: ~ ( ), t, ψ, t >=.( 1) δ ( t t0 ) 0 0 ( ) + t t0 < ψ dt! = 1 d.! dt ( t t0 ) ) = δ, t= t 0. A forula geeralizada de recostrução é, portato, f ( t) c ~ + 0, t φ ( t t0 ) + 0 c, t0 = 1 ~ ψ, t0( t), resultado e, ( ) f ( t0 ) ( t) = f ( t0 ) + +.( t t0 = 1! f ), ua série de Taylor padrão e u poto particular t 0 que correspode exataete ao parâetro b da aálise. É igualdade verifica-se o itervalo de covergêcia da série.

67 Alé de cosolidar a represetação wavelet coo ua ferraeta potete, este étodo sugere o desevolvieto de ovas séries do tipo Taylor, co base a aálise biortogoal. Tabé é possível fazer c ~ a ( t b) =< f t ~ >= +, b : ( ), ψ a, b ( t) f ( t). dt a!. a + f ( t) c + Coseqüeteete, f pode ser aproxiada por 0, φ( t t 0 0 ) t c, t0 = 1. ~ ψ, t0( t). ( ) Para siplificar, deota-se f t0 ) : f ( t). ( t t0 ) ~ + ( = dt. Quado f(t) é ua desidade de probabilidade, este parâetro correspode ao eésio oeto da desidade f(t).

68 O dual da série de Taylor é a represetação heterogêea! f ( t) = f ~ ( 0) ( t 0 ) δ + = 1 ( ~ ) 0 ( ) ( t t ) +.( 1) δ ( t t ) 0 f ( t! ) 0. Esta série ão covecioal e a igualdade! = deve ser corretaete iterpretada. Esta é ua extesão do coceito de idetidade etre distribuições. Quado desepehado o papel de itegrado, o tero do lado direito resulta o eso resultado que a itegração do próprio f(t). E ehua circustacia isto iplica que os dois ebros da equação são idêticos (covergêcia potual).

69 Ua ova idetidade do tipo Parseval-Taylor pode ser efi estabelecida. Proposição (Parsevel-Taylor). Se f L 2 é u sial real e f C, etão + = + + = = = 0 ) ~ ( ) ( 0,, 2! ) ( ). ( ~. ) ( b b b f b f c c dt t f. Corolário. Se a região de covergêcia da série supraecioada é RC (-,+ ), etão + = + = = = 0 ) ~ ( ) ( 0,, 2! ) ( ). ( ~. ) ( RC b b b f b f c c dt t f, e que os oetos são desta feita ( ) = RC dt t t t f t f 0 0 ) ~ ( ). ( : ) (.

70 Teoreas de Eergia estão etre os carros-chefe das decoposições e séries e as trasforadas. A série de Taylor ão tiha até etão ua relação siilar expressa de fora tão clara. Surpreedeteete, o celebre teorea da aostrage de Shao/Nyquist/Kotel ikov pode tabé ser ecarado coo u processo de recostrução biortogoal.

71 Proposição. Os cojutos { ψ t) }: = { Sa( 2πBt π )} + são biortogoais. ( e { } + ~ ψ t t ( ) : δ = 2B + ~ + Prova. Te-se que ψ ( t) ψ ( t) dt = Sa( 2πBt π ) δ ( t ) dt = Sa( π ( ) ) Assi, existe as seguites fórulas de recostrução: 2B.

72 i) f ( t) = + c ~ = + ψ ( t) = f. Sa 2π 2B = ( Bt π ) c ~ f ( t) δ ( t ) dt = f 2B 2 B =, ode +, ii) + = + ~ f ( t) = c ~ ψ = ( t) f. δ t 2B = B 2 =, ode + ~ c f ( t). Sa(2πBt π ) dt : = f 2B. Estes resultados vão alé de era curiosidade ateática.