Wavelets. Jorge Salvador Marques, Motivação

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1 Wavelets Jorge Salvador Marques, 9 Motivação Jorge Salvador Marques, 9

2 Qual é a melhor escala? Os obectos aparecem a imagem com dimesões muito diferetes Não uma escala úica que sea apropriada Há uma escala adequada para represetar cada obecto represetações multi-escala Jorge Salvador Marques, 9 Espaço-escala espaço-escala como o sial I, s I * Gs Defie-se G e s s π s Jorge Salvador Marques, 9

3 Pirâmide gaussiaa Discretização Ji Ii * Gs Ii + Ji i,,m do espaço e da escala Recursão: dificuldade: o úmero de variáveis aumeta! Jorge Salvador Marques, 9 Wavelets imagem de baia resolução As wavelets permitem obter images de baia resolução matedo toda a iformação da imagem origial, sem aumetar o úmero de coeficietes coeficietes de detalhe Jorge Salvador Marques, 9

4 Wavelets Jorge Salvador Marques, 9 Correlação etre piels posição relativa dos piels piels vizihos são correlacioados Jorge Salvador Marques, 9

5 Coeficietes de detalhe Os coeficietes de detalhe são descorrelacioados aproimadamete posição relativa dos coeficietes detalhe ruído gaussiao Jorge Salvador Marques, 9 horizotal vertical diagoal Represetação de Haar Jorge Salvador Marques, 9

6 Aproimação de fuções f f f f f f f c < c c Jorge Salvador Marques, 9 Base: impulsos rectagulares base ortogoal Jorge Salvador Marques, 9

7 Base alterativa: fuções de Haar 99 h h h 3 base ortogoal e multi-escala h 3 h 4 h 5 gera o mesmo espaço que a base aterior h 6 h 7 Jorge Salvador Marques, 9 Wavelet de Haar Fuções de Haar h h N p - escala q - deslocameto h hpq p/ p p q / < q 5/ p/ p p - q 5/ < q / N caso cotrário p + q h p,q Jorge Salvador Marques, 9

8 Jorge Salvador Marques, 9 Trasformada de Haar d Hc [ ] [ ] T N T N d d d d c c c c N i h i H Realiza a mudaça de base Matriz de Haar h i fução de Haar 8 H Eemplo H ortogoal: H - H T A trasformação de Haar é a trasformada de Wavelet mais simples! Jorge Salvador Marques, 9 Aálise Multi-resolução

9 Epasão em Série Sea f uma fução de quadrado itegrável f L IR epasão em série f α fuções de base cálculo dos coeficietes α ~ * <, f > ~ f d ~ fução dual de se a base for ortoormada ~ Jorge Salvador Marques, 9 Fução de Escalameto Pretede-se que as fuções de base se obteham por escalameto e deslocameto de uma fução ϕ desigada por fução de escalameto /, - escala - deslocameto Eemplo: fução de Haar 3, 8 Jorge Salvador Marques, 9

10 Espaço de resolução Desiga-se por sub-espaço de resolução, o couto de fuções V que se podem escrever como combiação liear de fuções ϕ f α, Se for escolhido cuidadosamete os coutos V são embebidos ested V V + V V V Jorge Salvador Marques, 9 Aálise Multi-resolução Uma fução de escalameto ϕ e um couto de subespaços V por ela gerados defiem uma aálise multi-resolução se a fução de escalameto ϕ for ortogoal às suas versões deslocadas: ϕ ϕ-, os subespaços V gerados por ϕ-, são embebidos os espaços de ídice maior V - V - V V V 3 a úica fução pertecete a todos os subespaços V é a fução ula 4 qualquer fução de quadrado itegrável f pode ser aproimada com precisão arbitrária por uma fução de V Jorge Salvador Marques, 9

11 Equação de dilatação Como ϕ pertece a V, também pertece a V também Assim pode eprimir-se como combiação liear das fuções de base de V h coeficietes da fução de escalameto h, Jorge Salvador Marques, 9 Espaços ortogoais V V V W W V V + V W soma directa de sub-espaços V V W W W W é um subespaço vectorial Jorge Salvador Marques, 9

12 Wavelets Se {V } for uma aálise multi-resolução etão eiste uma fução ψ wavelet tal que as fuções wavelets ψ / ψ - são uma base de W ϕ ψ m,,m Pode-se provar que ψ h ψ e que h ψ h Jorge Salvador Marques, 9 Deseho da fução de escalameto O deseho da fução de escalameto ϕ e respectiva wavelet ψ ão é abordada este curso Há várias famílias de fuções propostas pe, por Daubechies O caso mais simples é o impulso rectagular Haar < c c Jorge Salvador Marques, 9

13 Jorge Salvador Marques, 9 Eemplo < c c Admitamos que ϕ é a fução de Haar + Assim < < c c ψ c c h c c h ψ 5 5 ψ Jorge Salvador Marques, 9 Epasão em série de wavelets,,,, ψ d c f + c, se f for um sial de quadrado itegrável coeficietes de aproimação d, coeficietes de detalhe > <,, f c > <,, ψ f d + + W W W V IR L Como

14 Trasformada de wavelet rápida O cálculo dos coeficietes de aproimação e de detalhe pode ser feita através de um baco de filtros h ψ - d, detalhe h ψ c +, c +, h ϕ - c, aproimação h ϕ Aálise Sítese aproimação detalhe Jorge Salvador Marques, 9 π Trasformada multi-escala d, h ψ - h ψ c +, h ψ - d -, h ψ c +, h ϕ - c, c, h ϕ c -, h ϕ - h ϕ aproimação detalhe Jorge Salvador Marques, 9 π

15 Eemplo Filtros associados à wavelet de Haar sial h hψ δ + δ δ δ f [ 3-4] Trasformada de wavelet rápida f * h f * hψ [ ] c [ ] d [ 4 4] [ - - 4] c d [ 4 [ - 4 ] * h [ * hψ 4 ] [ ] ] 3-4 Jorge Salvador Marques, 9 Represetação de Images Como represetar images discretas usado wavelets? Há dificuldades: a imagem é discreta depede de duas variáveis idepedetes ª questão sial discreto: dado um sial discreto, pode-se admitir que os valores do sial I são os coeficietes de ordem, c,m, e aplicar wavelets para obter os coeficietes de resoluções mais baias ª questão sial bidimesioal: aplicar a trasformada de Haar a cada colua da imagem e depois aplicar a trasformada de Haar a cada liha da matriz resultate Jorge Salvador Marques, 9

16 Eemplo Jorge Salvador Marques, 9 Leituras sugeridas S G Mallat, "A Theory for Multiresolutio Sigal Decompositio: A Wavelet Represetatio," IEEE Trasactios o Patter Aalysis ad Machie Itelligece, Vol, No 7, July 989 Gozalez, Woods, Digital Image Processig, Pretice Hall, 8 Jorge Salvador Marques, 9