ANÁLISE DINÂMICA DE PLACAS DELGADAS UTILIZANDO ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES E RETANGULARES

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1 UNIVERSIAE ESTAUAL PAULISTA "JÚLIO E MESQUITA FILHO" FACULAE E ENGENHARIA - CAMPUS E ILHA SOLTEIRA EPARTAMENTO E ENGENHARIA CIVIL Prograa de Pós Graduação e Egeharia Civil ANÁLISE INÂMICA E PLACAS ELGAAS UTILIZANO ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES E RETANGULARES LEANRO WAIEMAM issertação apresetada à Faculdade de Egeharia de Ilha Solteira - UNESP, coo parte dos requisitos para obteção do Título de Mestre e Egeharia Civil Área de Cocetração: Estruturas. Orietador: Prof. r. Rogério e Oliveira Rodrigues Ilha Solteira - SP Jaeiro de

2 FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técica de Aquisição e Trataeto da Iforação/Serviço Técico de Biblioteca e ocuetação da FEIS/UNESP W8a Waidea, Leadro Aálise diâica de placas delgadas utilizado eleetos fiitos triagulares e retagulares / Leadro Waidea. -- Ilha Solteira : [s..], vi, 5 p. : il. issertação (estrado) Uiversidade Estadual Paulista. Faculdade de Egeharia de Ilha Solteira. Área de cocetração : Estruturas, Orietador: Rogério de Oliveira Rodrigues Bibliografia: p. 7-. iâica estrutural.. Placas delgadas.. Método dos eleetos fiitos.. Teoria clássica de fleão de placas.

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4 Aos eus pais, Nelso e Evair, e aos eus irãos, Juliae e Rafael, dedico este trabalho.

5 AGRAECIMENTOS A eus, pela preseça costate e iha vida. Ao Prof. r. Rogério de Oliveira Rodrigues, pelos esiaetos, icetivo e cofiaça, pela cotribuição que deu à iha foração acadêica e profissioal e, sobretudo, pela aizade. Ao Prof. r. Luís Carlos Facudo Saches, pelos cohecietos trasitidos referetes à liguage de prograação FORTRAN. Aos aigos do epartaeto de Egeharia Civil da FEIS/UNESP, pelos bos oetos proporcioados. À FAPESP - Fudação de Aparo à Pesquisa do Estado de São Paulo pelo apoio fiaceiro ao trabalho.

6 SUMÁRIO LISTA E FIGURAS... i LISTA E TABELAS... iv RESUMO... v ABSTRACT... vi CAPÍTULO - INTROUÇÃO Tea e otivação.... Objetivos.... Apresetação... CAPÍTULO - ANÁLISE INÂMICA VIA MÉTOO OS ELEMENTOS FINITOS Pricípio de Alebert Pricípio dos Trabalhos Virtuais Métodos de discretização do cotíuo Coceitos da Mecâica dos Sólidos eforáveis... - Esforços atuates e u sistea estrutural devidos ao eio etero Esforços voluétricos Esforços superficiais Esforços cocetrados Forças atuates e u sistea estrutural devidas ao ovieto Forças ierciais Forças dissipativas Forças restauradoras... 6

7 ... - Trabalho virtual realizado pelas forças restauradoras Relações cieáticas Relações costitutivas Codições de cotoro Forulação do Método dos Eleetos Fiitos Equação do ovieto para u sistea estrutural discreto Equação de equilíbrio via P.T.V Equação geral do ovieto... 8 CAPÍTULO - INTEGRAÇÃO NUMÉRICA A EQUAÇÃO GERAL O MOVIMENTO Métodos de itegração uérica Equações de Newar Aceleração costate durate o itervalo de tepo Aceleração variado liearete durate o itervalo de tepo Equações geeralizadas Algoritos uéricos para resolução de sisteas de equações lieares e ão-lieares Processos iterativos Processo icreetal Método de Newar para itegração uérica ao logo do tepo Equacioaeto básico Algorito uérico para resolução do processo..6 - Matriz de aortecieto Aortecieto Raleigh Freqüêcias aturais de vibração... 5

8 CAPÍTULO - TEORIA CLÁSSICA PARA FLEXÃO E PLACAS Geeralidades Hipóteses eslocaetos e deforações Tesões e esforços solicitates Equilíbrio de u eleeto de placa Codições de cotoro Borda siplesete apoiada Borda egastada Borda livre CAPÍTULO 5 - ELEMENTO FINITO RETANGULAR Relação geral etre coordeadas Fuções de fora Matriz de rigidez Matriz de assas... 7 CAPÍTULO 6 - ELEMENTO FINITO TRIANGULAR Relação geral etre coordeadas Fuções de fora Matriz de rigidez Matriz de assas CAPÍTULO 7 - ASPECTOS COMPUTACIONAIS Geeralidades Esquea geral de cálculo escrição das sub-rotias CAPÍTULO 8 - ANÁLISE NUMÉRICA Geeralidades Eeplo - Placa quadrada Eeplo Ifluêcia das alhas...

9 8. - Eeplo Eeplo de u trasiete Eeplo Eeplo de aplicação... 5 CAPÍTULO 9 - CONSIERAÇÕES FINAIS Coclusões Propostas de desevolvieto... 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E BIBLIOGRAFIA CONSULTAA. 7 ANEXO...

10 i LISTA E FIGURAS Figura. Modelo reológico.... Figura. Sistea estrutural arbitrário.... Figura. Tesões atuates e u cubo ifiitesial.7 Figura. eforação tagecial provocada por u deslocaeto virtual Figura. - iagraa de blocos do étodo de Newar.. Figura. eslocaeto de u poto situado sobre ua oral ao plao édio da placa Figura. Tesões e esforços atuates e ua placa plaa Figura. Tesões atuates e u eleeto da placa. 5 Figura. Moetos atuado sobre o plao édio de u eleeto de placa Figura.5 Esforços cortates atuado sobre o plao édio de u eleeto de placa Figura 5. Eleeto fiito retagular Figura 5. Graus de liberdade Figura. Sistea de coordeadas adiesioais... 6 Figura 6. Eleeto fiito triagular Figura 6. Graus de liberdade Figura 6. Sisteas de coordeadas Figura 6. Sisteas de coordeadas oblíquas Figura 6.5 Coordeadas dos potos odais Figura 7. Fluograa do esquea geral de cálculo... 9 Figura 8. Placa quadrada Figura 8. eslocaeto do eio cetral cosiderado-se os bordos siplesete apoiados.... Figura 8. M atuate o eio cetral cosideradose os bordos siplesete apoiados....

11 ii Figura 8. eslocaeto do eio cetral cosiderado-se os bordos egastados.... Figura 8.5 M atuate o eio cetral cosideradose os bordos egastados.... Figura 8.6 eslocaeto do poto cetral cosideradose os bordos siplesete apoiados.... Figura 8.7 Moeto atuate o poto cetral cosiderado-se os bordos siplesete apoiados.... Figura 8.8 eslocaeto do poto cetral cosideradose os bordos egastados Figura 8.9 Moeto atuate o poto cetral cosiderado-se os bordos egastados Figura 8.9 Moeto atuate o bordo cosiderado-se os bordos egastados Figura 8. Associação de eleetos: deslocaeto do poto cetral cosiderado-se os bordos siplesete apoiados Figura 8. Associação de eleetos: oeto atuate o poto cetral cosiderado-se os bordos siplesete apoiados Figura 8. Associação de eleetos: deslocaeto do poto cetral cosiderado-se os bordos egastados... 8 Figura 8. Associação de eleetos: oeto atuate o poto cetral cosiderado-se os bordos egastados... 8 Figura 8. Associação de eleetos: oeto atuate o bordo cosiderado-se os bordos egastados Figura 8.5 Placa siplesete apoiada co carregaeto P (t).... Figura 8.6 eslocaeto do poto cetral e fução do tepo.... Figura 8.7 Prieiro odo de vibração da estrutura. Figura 8.8 Segudo odo de vibração da estrutura..

12 iii Figura 8.9 Tepo deslocaeto do poto cetral cosiderado-se a discretização co 6 eleetos retagulares.... Figura 8. Tepo deslocaeto do poto cetral cosiderado-se a discretização co 8 eleetos triagulares.... Figura 8. isposição geoétrica das lajes Figura 8. Prieiro odo de vibração para lajes quadradas Figura 8. Relação espessura vão de lajes quadradas para diversos valores de resistêcia de cocreto Figura 8. Prieiro odo de vibração para lajes retagulares.... Figura 8.5 Relação espessura vão de lajes retagulares para diversos valores de resistêcia de cocreto.... Figura 8.6 Laje quadrada: (a) Prieiro odo de vibração; (b) Segudo odo de vibração; (c) Terceiro odo de vibração; (d) Quarto odo de vibração.... Figura 8.7 Laje retagular: (a) Prieiro odo de vibração; (b) Segudo odo de vibração; (c) Terceiro odo de vibração; (d) Quarto odo de vibração....

13 iv LISTA E TABELAS Tabela 8. Freqüêcias aturais de vibração.... Tabela 8. eslocaetos áios para os diversos tipos de aálise.... Tabela 8. Valores de espessuras obtidos para lajes quadradas co f c MPa Tabela 8. Valores de espessuras obtidos para lajes retagulares co f c MPa....

14 v RESUMO WAIEMAM, L. Aálise diâica de placas delgadas utilizado eleetos fiitos triagulares e retagulares. 5 p. issertação (Mestrado e Egeharia Civil) Faculdade de Egeharia de Ilha Solteira, Uiversidade Estadual Paulista, Ilha Solteira,. Este trabalho te coo objetivo pricipal aalisar o coportaeto diâico de estruturas laiares plaas co carregaeto perpedicular ao plao édio, e particular as placas delgadas, utilizado-se, para isso, a teoria clássica de fleão de placas e a discretização estrutural feita co os eleetos fiitos triagulares e retagulares trabalhado e cojuto e e separado. Na dedução das atrizes de rigidez e de assas dos eleetos fiitos e questão utiliza-se a forulação co parâetros geeralizados e co coordeadas hoogêeas, cujas fuções aproiadoras cotê ove e doze oôios, respectivaete, etraídos do poliôio algébrico cúbico e e. Para a cosideração do aortecieto utiliza-se o Método de Raleigh e para a itegração uérica ao logo do tepo utiliza-se o Método de Newar, via algorito previsor / corretor. Ao fial deste são elaborados vários eeplos elucidativos visado ua aálise quatitativa e qualitativa dos resultados obtidos. Palavras-chave: iâica estrutural; Coportaeto estrutural de placas delgadas; Método dos eleetos fiitos; Teoria clássica de fleão de placas.

15 vi ABSTRACT WAIEMAM, L. aic aalsis of thi plates usig triagular ad rectagular fiite eleets. 5 p. issertação (Mestrado e Egeharia Civil) Faculdade de Egeharia de Ilha Solteira, Uiversidade Estadual Paulista, Ilha Solteira,. I this wor the daic behavior of plae laiate structures, with load applied perpedicularl to the iddle pla, has bee aalzed. The classic theor of bedig plates ad structural subdivisio - doe with triagular ad rectagular fiite eleets worig together as well as i separate are used to stud thi plates. The forulatio eploig geeralized paraeters ad hoogeeous coordiates, usig approiatig fuctios cotaiig ie ad twelve ters startig fro the cubic algebraic poloial i Cartesia coordiates "" ad "", is used to obtai the stiffess ad ass atrices for the triagular ad rectagular fiite eleet, respectivel. The Raleigh Method is used to tae ito accout the structural dupig while the Newar Method is used to perfor the ueric itegratio i the tie, b eas of predictor / corrector schee. Additioall, several elucidatig eaples are elaborated i order to aalze the fial results. Kewords: Structural daics; Structural behavior of thi plates; Fiite Eleet Methods; Classic theor of bedig plates.

16 CAPÍTULO - INTROUÇÃO. - Tea e otivação A aálise do coportaeto estático e diâico de sisteas estruturais é, se dúvida, u dos pricipais objetivos alejados pelo Egeheiro de Estruturas. Através da aálise estrutural pode-se quatificar a agitude dos esforços iteros e dos deslocaetos que se aifesta e qualquer sistea estrutural quado o eso é subetido a u carregaeto arbitrário. Tal procedieto deverá forecer ua apla gaa de resultados uéricos copatíveis co o carregaeto aplicado, cuja avaliação de fora qualitativa peritirá a sua utilização a elaboração do projeto estrutural do sistea aalisado. E geral as estruturas são aalisadas supodo-se as forças atuates aplicadas uito letaete. Tal hipótese é a base da aálise estática sedo apropriada para o trataeto de ações ivariates o tepo, coo por eeplo, o peso próprio. No etato, os casos e que as ações variáveis o tepo estão presetes os efeitos diâicos pode ser iportates, devedo ser cosiderados o projeto. Coo eeplos desses carregaetos pode ser citados, etre outros, a icidêcia do veto sobre edifícios altos, sisos, freage / aceleração de veículos e potes e ovietos de pessoas (caihar, pular, daçar) sobre ua laje. Co a disseiação da iforática ocorrida o fial da década de 98, e pricipalete e fução do aueto vertigioso da capacidade de arazeaeto, gereciaeto e processaeto de dados apresetado pelos coputadores de pequeo porte, o Egeheiro de Estruturas passou a ter

17 acesso a equipaetos e prograas coputacioais que possibilita ua aálise estrutural baseada e odelos ais refiados, proporcioado u aueto da cofiabilidade e diiuição de custos dos projetos e das costruções. Paralelaete a essa evolução pesquisas o capo dos ateriais de costrução civil vê sedo realizadas e ateriais cada vez ais resistetes tê sido desevolvidos. Os processos de cálculo ais evoluídos aliados aos ateriais ais resistetes propicia a eecução de estruturas cada vez ais esbeltas e fleíveis, sedo essas ais susceptíveis às ações variáveis o tepo. essa fora ua aálise diâica ais acurada e tais sisteas estruturais tora-se iprescidível. Para o caso particular de pisos de edificações, a tedêcia é projetá-los co vãos cada vez aiores, ocasioado probleas de vibrações causados por ecitações ríticas associadas à ovietação de pessoas. Já há algu tepo o Método dos Eleetos Fiitos ve sedo largaete epregado, detre outras áreas, a aálise diâica de estruturas. A sua rápida aceitação deve-se, pricipalete, à obteção de resultados satisfatórios para probleas de árdua resolução por outros eios. Os étodos fiitos perite epressar a solução eata dos sisteas cotíuos de ua fora aproiada, através da utilização de sisteas discretos que coté u úero fiito de graus de liberdade. Etede-se por eio cotíuo o eio resultate da distribuição hoogêea da atéria o volue. Fisicaete, a hipótese do cotíuo cosiste e abstrair-se da

18 coposição olecular da atéria que copõe o eio, e da sua coseqüete descotiuidade. O sistea estrutural é defiido coo sedo ua estrutura física qualquer coposta por ua série de eleetos estruturais adequadaete associados, forado u cojuto resistete. Esses eleetos são corpos sólidos elástico-deforáveis, co capacidade de receber e trasitir esforços de ua fora geral. este odo, pode-se dizer que u sistea estrutural é cotíuo desde que o eor eleeto estrutural retirado do sistea possua as esas propriedades físicas específicas e que ão haja descotiuidade o cojuto. E fução dessa cotiuidade os sisteas estruturais cotíuos possue u úero ifiito de graus de liberdade, fato este que dificulta a resolução do problea. Para cotorar tal problea, eprega-se étodos uéricos que trasfora u sistea estrutural cotíuo e u sistea estrutural discreto, através da divisão do odelo geoétrico dos eleetos estruturais e pequeas regiões chaadas de eleetos fiitos, sedo essas itercoectadas etre si para forar o cojuto estrutural. Esse processo de discretização é u dos coceitos ecessários para a forulação do étodo dos eleetos fiitos. etro desse coteto, o presete trabalho te coo tea pricipal a aálise estrutural diâica de placas delgadas, utilizado-se eleetos fiitos triagulares cobiados co eleetos fiitos retagulares, através da teoria clássica de fleão de placas. Co a otivação de forar ua biblioteca de softwares para aálise estrutural, desevolveu-se u prograa coputacioal, e liguage FORTRAN, que

19 coteple as aálises estática e diâica de placas delgadas de coportaeto liear, peritido, sepre que possível, realizar a coparação do coportaeto estático e diâico de tais sisteas estruturais.. Objetivos Este trabalho te por objetivos: apresetar, de fora clara e cocisa, o desevolvieto ateático do odelo estrutural referete aos eleetos fiitos triagulares e retagulares e efetuar o acoplaeto destes eleetos a aálise diâica estrutural de placas delgadas, através da teoria clássica de fleão de placas; elaborar u prograa coputacioal didático, odular, fleível e de fácil utilização e auteção, que coteple as aálises estática e diâica de placas delgadas de coportaeto liear; aalisar qualitativaete e quatitativaete o coportaeto estático e diâico de placas delgadas de coportaeto liear.. Apresetação Neste capítulo procura-se apresetar ua visão geral de todo o trabalho, descrevedo-se, para isso, tea e otivação, os objetivos do trabalho e, fializado, ua descrição sucita dos capítulos subseqüetes.

20 5 No capítulo são apresetadas alguas cosiderações sobre a aálise estrutural diâica utilizado o étodo dos eleetos fiitos. No capítulo apreseta-se as equações de Newar para itegração uérica ao logo do tepo e o algorito uérico a ser usado para resolução do processo de itegração da equação do ovieto. Neste capítulo faz-se tabé a caracterização da atriz de aortecieto. No capítulo procura-se fazer ua descrição da teoria clássica de fleão de placas, be coo apresetar a equação diferecial do ovieto das placas. No capítulo 5 elabora-se a atriz de rigidez elástica utilizado-se a forulação co coordeadas hoogêeas para o eleeto retagular, be coo a atriz de assas. O eso é feito para o eleeto triagular o capítulo 6. No capítulo 7 são apresetados os aspectos coputacioais relativos ao prograa coputacioal desevolvido, ou seja, esquea geral de cálculo e descrição das sub-rotias. Já o capítulo 8 são apresetados eeplos relativos à aálise estática e diâica de placas delgadas co coportaeto liear. Por fi, o capítulo 9, são apresetadas as coclusões do trabalho e alguas propostas para desevolvieto e trabalhos futuros.

21 6 CAPÍTULO - ANÁLISE INÂMICA VIA MÉTOO OS ELEMENTOS FINITOS Ua aálise estrutural diâica deve ser etedida coo sedo ua aálise de estruturas sujeitas à aplicação de carregaetos diâicos, ou seja, carregaetos cuja agitude, direção e/ou posição varia co o tepo. esse odo, a resposta estrutural ao carregaeto diâico tabé varia co o tepo, e isto faz co que esse tipo de problea se tore relativaete ais copleo do que probleas que evolva apeas carregaetos estáticos. Assi é evidete que u problea diâico ão pode ter ua solução siples coo u problea estático possui. Copleetado, e probleas diâicos ão se estabelece ua úica solução correspodete para todo tepo, as si se busca u histórico de resposta. Ua distição ais fudaetal etre probleas estáticos e diâicos reside o fato de que, o prieiro caso os esforços iteros e as deforações depede apeas de coo e ode o carregaeto está aplicado pelos pricípios estabelecidos pelo equilíbrio de forças, e o caso de probleas diâicos os esforços iteros e as deforações depede, coo será visto adiate, ão só do equilíbrio das forças eteras, as tabé das forças de iércia resultates da aplicação do carregaeto. Forças de iércia são forças que se opõe à aceleração de ua estrutura quado a esa está sujeita à ação de u carregaeto diâico. etro deste coteto deve-se, etão, buscar étodos que foreça os requeridos históricos de deslocaeto. E uitos casos, ua aálise aproiada evolvedo apeas u úero liitado de graus de liberdade forece ua

22 7 eatidão suficiete e assi, o problea pode ser reduzido à deteriação de u histórico teporal dessas copoetes escolhidas do deslocaeto. É o caso dos sisteas discretos. As epressões ateáticas que defie os deslocaetos diâicos são chaadas de equações do ovieto das estruturas e a solução dessas equações forece os eigidos históricos de deslocaeto. E u procedieto de aálise diâica estrutural a forulação das equações de ovieto é talvez a fase ais iportate e tabé a ais difícil. esse odo, vários étodos diferetes são aplicados para a forulação dessas equações, sedo os coceitos fudaetais de algus deles descritos a seguir.. - Pricípio de Alebert As equações de ovieto de qualquer sistea diâico pode ser epressas pela seguda Lei de Newto que estabelece que a força atuate e ua certa assa é igual à taa de alteração da quatidade de ovieto. Assi: u ( t ) t t p (.) ode: p ( t ) : força aplicada a assa; u ( t ): deslocaeto da assa.

23 8 Para vários probleas estruturais tratados diaicaete pode-se aditir que a assa ão varie co o tepo, e assi a equação (.) pode ser escrita coo: u p(t) t p ( t p ( t ) u( & t ) ) u( & t ) & (.) Neste caso o produto u( & t ) é chaado de força de iércia resistete à aceleração da assa. O pricípio de Alebert diz que ua assa sujeita a ua aceleração desevolve ua força de iércia que é proporcioal e oposta a ela. evido ao fato de epressar as equações de ovieto coo equações de equilíbrio diâico, esse étodo é u dispositivo uito coveiete e probleas de diâica estrutural. Se ua força de iércia é itroduzida, a epressão da equação do ovieto se tora eraete ua epressão de equilíbrio de todas as forças atuates a assa.. - Pricípio dos Trabalhos Virtuais ado u sistea estrutural subetido a esforços eteros F, o eso estará e equilíbrio estático se: j F j

24 9 Itroduzido-se u deslocaeto virtual δ u, sedo este ifiitesial, cieaticaete copatível co o sistea estrutural e a direção dos esforços eteros, pode-se calcular o trabalho virtual realizado pelo sistea através de: δ W F j δu j (.) j O Pricípio dos Trabalhos Virtuais - P.T.V. - estabelece que se u sistea e equilíbrio, sob a ação de u cojuto de forças, for sujeito a u deslocaeto virtual, o trabalho virtual realizado pelas forças é igual a zero. δ W δ W F j δu j j Assi, ua vez idetificadas todas as forças atuates as assas do sistea, icluido-se as forças de iércia defiidas e cocordâcia co o pricípio de Alebert, descrito o ite. deste trabalho, as equações de ovieto pode ser obtidas pela itrodução de deslocaetos virtuais correspodetes a cada grau de liberdade, sedo o trabalho virtual realizado igual a zero, coo segue: δ W j ( F u& ) δu j j& j j (.)

25 Ua vez sujeito à ação de esforços eteros, u sistea estrutural desevolve esforços iteros que atua e oposição à ação aplicada. Esses esforços pode ser represetados pelo odelo reológico ilustrado a figura.. Mola Aortecedor FR F F F Figura. Modelo reológico. No odelo, as forças restauradoras, represetadas por ua ola, surge co o propósito de restaurar a estrutura o seu estado iicial de equilíbrio. Cocoitateete, as forças dissipadoras, represetadas por u aortecedor, surge co o propósito de dissipar a eergia do sistea estrutural real. Sedo assi, a equação (.) pode ser reescrita da seguite fora: ( F () t F F u& ) δu j j R j j j j j Coo os deslocaetos virtuais são arbitrários, obté-se: () t F F F j j j R j j j j ju& j (.5)

26 . - Métodos de discretização do cotíuo Co o recete progresso iflueciado pelo rápido desevolvieto das técicas coputacioais, a resolução de probleas de fora ais eata e o eprego de étodos uéricos ficara ais acessíveis. Fala-se atualete e discretização do cotíuo coo a ferraeta ais uiversal para a resolução de sisteas ecâicos cotíuos. Os étodos de discretização perite epressar de fora aproiada a solução de sisteas cotíuos cotedo u úero ifiito de graus de liberdade por eio de sisteas discretos cotedo u úero fiito de graus de liberdade. etre os étodos de discretização, u dos ais eficietes e ais utilizados atualete é o chaado Método dos Eleetos Fiitos - MEF. O prieiro passo a aplicação do MEF é dividir a estrutura e u úero apropriado de eleetos co taaho adequado. Os deslocaetos dos potos odais são, etão, geeralizados e fução das coordeadas da estrutura. esse odo, os deslocaetos da estrutura pode ser epressos e fução dos deslocaetos dos potos odais por eio de u arrajo apropriado de fuções, chaadas de fuções iterpoladoras. Via de regra, tais fuções pode descrever qualquer curva que seja iteraete cotíua e que satisfaça as codições de deslocaeto geoétrico ipostas pelos deslocaetos odais. E geral, a utilização adequada de tais fuções forece u eficiete processo para epressar os deslocaetos odais do sistea estrutural discreto e fução dos deslocaetos dos eleetos fiitos.

27 . - Coceitos da Mecâica dos Sólidos eforáveis.. - Esforços atuates e u sistea estrutural devidos ao eio etero ado u sistea estrutural arbitrário, cofore ilustra a figura., pode-se isolar u cubo ifiitesial co volue dv e de qualquer parte do sistea, co a fialidade de se aalisar os esforços atuates o eso, de acordo co os ites subseqüetes. S u S σ Y,v X,u Z,w dv e Figura. Sistea estrutural arbitrário. O sistea estrutural está referido a u sistea triortogoal de eios globais ( X Y,,Z ), sedo u, v e w as copoetes de u deslocaeto qualquer as direções X, Y e Z, respectivaete. Orgaizado-se a fora atricial, te-se: u T { u v w} (.6) sedo que tais copoetes de deslocaeto são fuções depedetes do sistea de coordeadas e epressas por u u( X Y,,Z ), v v( X Y,,Z ) e w( X Y,,Z ) w.

28 O volue total do sistea estrutural é defiido pela letra V e o volue de cada eleeto é defiido por V e. Já a superfície do sistea é defiido pela letra S, sedo essa subdividida e: superfície a qual os deslocaetos são cohecidos S u ; superfície a qual os esforços atuates são cohecidos S σ Esforços voluétricos Os esforços voluétricos são aplicados e todos os potos do aterial e te diesão de força por uidade de volue. E geral são proveietes do capo gravitacioal, as tabé pode ser provocados por capos agéticos, elétricos, etc. Logo, sobre cada eleeto diferecial de volue dv e atua as copoetes dos esforços voluétricos, que orgaizadas a fora atricial resulta: T Ve { V V V } p (.7) z... - Esforços superficiais Os esforços superficiais são aplicados de fora distribuída as superfícies eteras dos eleetos e te diesão de força por uidade de área. Esses pode ser proveietes da ação do veto, da sobrecarga, etc. Logo, sobre cada eleeto diferecial co área etera ds u

29 atua as copoetes dos esforços superficiais, que orgaizadas a fora atricial resulta: T Se { S S S } p (.8) z... - Esforços cocetrados Os esforços cocetrados são, geralete, aplicados os ós dos eleetos e tê diesão de força e de força vezes uidade étrica, visto que os oetos são icluídos esta categoria. Esses pode ser proveietes das reações das vigas ou pilares, carregaetos potuais, etc. Logo, sobre cada ó de u eleeto fiito atua as copoetes dos esforços cocetrados, que orgaizadas a fora atricial resulta: T C { C C C } p (.9) z.. - Forças atuates e u sistea estrutural devidas ao ovieto... - Forças ierciais Cosiderado-se, agora, que o cubo ifiitesial de volue dv e, cuja desidade específica é ρ, seja acelerado as direções X, Y e Z, etão as forças ierciais pode ser obtidas pela seguda lei de Newto, cofore visto o ite. deste trabalho.

30 5 esse odo, as forças ierciais por uidade de volue as direções das coordeadas X, Y e Z, são dadas a fora atricial por: p ρ (,,z) u&& v&& ρ u& w&& I (.) Cabe ressaltar que as forças ierciais atuates o eleeto ifiitesial são aplicadas o cotoro que defie o eleeto coo u todo. Logo, a estrutura sofre ua distribuição de forças a direção oposta ao vetor da aceleração u& & do eleeto, fazedo co que as forças ierciais teha setido cotrário à direção do ovieto Forças dissipativas A forulação cosistete de u ecaiso que cosidere as forças dissipativas é de difícil elaboração, visto que tais forças pode ser oriudas do arrasto aerodiâico, da fricção itera e das icrofissuras que ocorre o iterior do aterial estrutural. Essa dissipação de eergia se dá, geralete, a fora de calor e/ou so, fazedo co que a aplitude da vibração diiua ao logo do tepo. E face a esta dificuldade, foralete pode-se aditir, de ua fora bastate siplista, que todos os eleetos do sistea estrutural esteja subetidos aos efeitos de u aortecieto viscoso uiforeete distribuído, de tal fora que as forças dissipativas por

31 6 uidade de volue as direções das coordeadas X, Y e Z, possa ser defiidas de fora aáloga à equação (.), por: p µ (,,z) u& v& µ u& w& (.) ode µ é o parâetro de aortecieto viscoso do aterial estrutural. Coo o eleeto ifiitesial se ove co ua velocidade u& e ua dada direção, etão as forças dissipativas serão aplicadas a direção oposta ao setido do ovieto do eso... - Forças restauradoras As forças restauradoras pode ser etedidas coo sedo a reação itera do sistea estrutural à ação de u carregaeto etero. Para a obteção de tais forças, iicialete cosidera-se o eleeto geérico etraído do sistea estrutural ostrado a figura.. Efetuado-se u corte perpedicular ao seu eio, deve aparecer forças que traduze a ação as partes separadas para que essas cotiue e equilíbrio. Essas forças estão distribuídas sobre toda a seção trasversal, sedo a força por uidade de área deoiada tesão. Geeralizado-se tal coceito, etede-se por tesão a força por uidade de área, co copoete a direção

32 7 perpedicular à seção trasversal, chaada de tesão oral, e copoete cotida o plao, chaada de tesão tagecial ou cisalhate, cofore ilustra a figura.. σ z τ z τ z τ z dz z τ z σ σ d τ τ d Figura. Tesões atuates e u cubo ifiitesial. esse odo, o tesor das tesões pode ser epresso e fução das suas copoetes as direções dos eios locais, e z coo segue. T [ σ σ σ τ τ τ ] σ (.) z z z No caso das deforações, a variação de coprieto que ocorre e ua fibra qualquer por uidade de coprieto é chaada de deforação liear ou específica e a variação dos âgulos retos iiciais etre as lihas iagiárias do sólido é chaada de deforação tagecial ou cisalhate. Sedo assi, as copoetes do tesor das deforações pode ser eplicitadas coo segue. T [ ε ε ε γ γ γ ] ε (.) z z z

33 8 As forças restauradoras pode, agora, ser obtidas fazedo-se o produto das tesões pelas respectivas áreas de atuação. Sedo assi, te-se: p p σ τ ddz ddz (.) e odo aálogo pode-se chegar à cotribuição das deais copoetes das tesões orais e tageciais Trabalho virtual realizado pelas forças restauradoras Coo visto o ite. deste trabalho, o trabalho virtual é dado pelo produto da força pelo deslocaeto virtual iposto. Sedo assi, de acordo co a equação (.) pode-se escrever: δw σ ddz δu ode δ u é a copoete do deslocaeto virtual a direção. Mas δε δu d δu δε d

34 9 essa fora obté-se o trabalho virtual realizado pela parcela σ das tesões orais. δw σ ddzδε d e odo aálogo chega-se à cotribuição das deais parcelas das tesões orais. o eso odo pode-se, agora, quatificar o trabalho virtual realizado pela parcela τ das tesões tageciais. Assi te-se: δw τ d dz δu ode δ u é a copoete do deslocaeto virtual a direção. A figura. ilustra a deforação tagecial provocada pelo deslocaeto virtual. δu τ d δγ d Figura. eforação tagecial provocada por u deslocaeto virtual.

35 Assi: δu tgδγ δu δγ d d essa fora o trabalho virtual realizado pela parcela τ das tesões tageciais pode ser obtido por: δw τ ddzδγ d Aalogaete obté-se a cotribuição das deais parcelas das tesões tageciais. Por superposição dos efeitos, chega-se à equação do trabalho virtual total realizado pelas forças restauradoras e todo o volue do eleeto através da seguite equação: T δw δε σdve (.5) Ve ode as parcelas das tesões estão orgaizadas o tesor σ e as deforações virtuais o tesor δ ε T.

36 .. - Relações cieáticas No estudo da deforação de u sólido elástico será presuido que há restrições para ipedir seu deslocaeto coo corpo rígido, de tal fora que ehu deslocaeto de partículas do sólido é possível se que este sofra ua deforação. Iicialete, soete pequeas deforações são cosideradas de tal odo que a relação etre deforações e deslocaetos pode ser epressa coo segue. γ γ u ε z γ z ε ε z v w z u v u w z v w z (.6)..5 - Relações costitutivas As equações que defie a relação etre tesão e deforação são chaadas de relações costitutivas. Aditido-se aterial isótropo co coportaeto elástico liear, as relações costitutivas são dadas pela Lei de Hooe geeralizada.

37 [ σ υ( σ σ )] ε E [ σ υ( σ σ )] ε E [ σ υ( σ σ )] ε z z E γ γ γ ( υ) τ E ( υ) z τ z E ( υ) z τ z E z z (.7) ode E e υ são características físicas do aterial, deoiadas respectivaete por ódulo de elasticidade logitudial e coeficiete de Poisso Codições de cotoro A prieira codição de cotoro do sistea estrutural é dada e fução da viculação do sólido co o eio etero, sedo portato cohecidos os valores dos deslocaetos a superfície S u. A seguda codição de cotoro é dada e fução do carregaeto etero aplicado, ua vez que a superfície S σ os valores dos esforços atuates são cohecidos.

38 .5 - Forulação do Método dos Eleetos Fiitos Cofore foi visto o iício deste capítulo, a idéia básica do Método dos Eleetos Fiitos cosiste e utilizar coo parâetros as variáveis odais de u úero fiito de potos previaete escolhidos, deoiados potos odais ou, siplesete, ós. Efetuado-se tal procedieto, os deslocaetos u de u eleeto fiito pode ser escritos e fução dos deslocaetos odais d através da utilização de fuções de fora apropriadas. Essa relação atricial é defiida por: u φd (.8) ode φ é a atriz que cotê as fuções de fora e relacioa os deslocaetos que ocorre ao logo do eio logitudial co os deslocaetos odais do eleeto. Sedo assi, derivado-se tal equação e relação ao tepo, obtê-se as seguites relações básicas: & φ & u d (.9) e & φ & u d (.) válidas aditido-se a hipótese de pequeas rotações.

39 Orgaizado-se as equações (.7) a fora atricial, obté-se a seguite equação: Eε σ (.) ode E é a atriz que cotê os coeficietes elásticos do aterial estrutural, epressa pela relação apresetada a seguir. ( )( ) υ υ υ υ υ υ υ υ υ E E υ υ υ υ υ (.) Colocado-se as equações (.6) a fora atricial, obté-se a seguite equação: Lu ε (.) ode L é a atriz que cotê os operadores difereciais, dada por:

40 5 z z z L (.) Substituido-se a equação (.8) a equação (.), obté-se: d L ε φ ou Bd ε (.5) ode L B φ (.6).6 - Equação do ovieto para u sistea estrutural discreto.6. - Equação de equilíbrio via P.T.V. A equação do equilíbrio que govera a resposta diâica de u sistea estrutural discreto pode ser obtida utilizado-se o Pricípio dos Trabalhos Virtuais

41 6 para estruturas e ovieto, cofore visto o ite. deste trabalho. Aplicado-se, etão, u deslocaeto virtual e lebrado-se que tal sistea está subetido às forças descritas os ites..,.. e.., obté-se, a partir da equação (.5), a equação de equilíbrio para u eleeto geérico do sistea, dada por: T δu pve Ve δε T Ve dve σdve T δu pse Se δu T Ve dse µudve & c i δu δu T T i Ve p Ci ρudve && (.7) ode δ u : é o tesor dos deslocaetos virtuais; δε : é o tesor das deforações virtuais correspodetes à δ u ; σ : é o tesor das tesões restauradoras; δ u i : é o tesor de deslocaetos virtuais correspodetes aos potos ode os esforços do vetor p Ci são aplicados; c : é o úero de potos odais do eleeto. A equação (.7) forece a prieira parte da igualdade o trabalho dos esforços eteros, dado pelo produto dos esforços atuates o eleeto co os respectivos deslocaetos virtuais. Já a seguda parte da igualdade forece o trabalho total itero dado pelo produto etre as deforações virtuais e as tesões

42 7 restauradoras, e pelo produto das forças ierciais e dissipativas co os respectivos deslocaetos virtuais. Para a obteção da equação geral do ovieto de u sistea estrutural discreto, substitue-se as equações (.8), (.9), (.), (.) e (.5) a equação (.7), resultado: c T T δ d φ pve Ve i δ d T i δ d T p Ci φ T dve Ve δ d T T T δ d φ pse Se B T Ve EBd dve dse T T µφd& dve δ d φ ρφ d && dve Ve (.8) Colocado-se os deslocaetos odais virtuais e evidêcia e rearrajado-se a equação (.8), obté-se: δ d T B T Ve T φ pve Ve EBdVed dve T φ pse Se Ve dse T µφ φdved& c i p Ci Ve T ρφ φdved&& Para que o produto dado a equação aterior seja ulo, tedo e vista que os deslocaetos odais virtuais são arbitrários, ou seja, ão todos ulos, é ecessário que seja atida a seguite igualdade:

43 8 T φ pve Ve B T Ve dve EBdVed T φ pse Se dse Ve c i p Ci T µφ φ dved& T ρφ φ dved&& Ve (.9) A epressão (.9) forece a equação do ovieto para u eleeto fiito geérico, que escrita de fora siplificada resulta: f ( t ) d cd& d& E & cd & d fe( t ) (.) d ode: φ φ dve Ve T ρ (.) T c φ φdve Ve µ (.) T (.) B EBdVe Ve c T T p Ve dve φ p Se dse f ( t ) p E φ (.) Ci Ve Se i.6. - Equação geral do ovieto Segudo Argris et al. (99), para todo o sistea estrutural discreto utiliza-se o processo de epasão e

44 9 acuulação, obtedo-se, fialete, a equação geral do ovieto dada pelo sistea de equações: M & & C& K F ( t ) (.5) E Cabe ressaltar que a equação aterior os esforços eteros F E depede apeas do tepo. Já a atriz de rigidez K, a atriz de assas M e a atriz de aortecieto C vão peraecer costates durate todo o procedieto de itegração.

45 CAPÍTULO - INTEGRAÇÃO NUMÉRICA A EQUAÇÃO GERAL O MOVIMENTO. - Métodos de itegração uérica Ua vez obtida a equação geral do ovieto para sisteas lieares, deve-se agora partir para a resolução da esa visado obter os deslocaetos, as velocidades e as acelerações requeridas dos potos odais da estrutura. Sua solução pode ser obtida via étodos uéricos ou etão por eio de sua resolução aalítica. As hipóteses básicas utilizadas para a geração de sisteas lieares costitue ua poderosa ferraeta a obteção de soluções uéricas. Elas perite, por eeplo, a utilização do pricípio da superposição dos efeitos. Tais hipóteses são dadas pelas relações lieares etre carregaeto deslocaeto e tesão deforação. etre os étodos uéricos destaca-se os étodos de itegração direta e as técicas de superposição odal. Por sua vez, os étodos de itegração direta classificase e étodos eplícitos e iplícitos. Os étodos eplícitos perite epressar os deslocaetos fiais, do itervalo de tepo t, e fução da história teporal aterior, ou seja, e fução dos deslocaetos fiais e suas respectivas derivadas teporais referetes aos itervalos de tepo ( ) t e ateriores, cofore a equação (.). f,, && - - -, -,... & (.)

46 Já os étodos iplícitos perite epressar os deslocaetos fiais, do itervalo de tepo t, e fução dos deslocaetos fiais e suas respectivas derivadas teporais referetes ao itervalo de tepo ( ) t e ateriores, e das derivadas teporais dos deslocaetos que, a pricípio, ão são cohecidas. Os étodos iplícitos pode ser epressos pela equação (.), e, etre eles, destaca-se o processo de Newar e o processo previsor - corretor. f, &&,, & - -,... & (.) Eiste aida os chaados étodos iplícitos - eplícitos, que utiliza os étodos eplícitos para resolver ua sub-região específica do sistea estrutural e os étodos iplícitos para resolver o restate. Os étodos iplícitos possue, essecialete, duas vatages quado coparados co os étodos eplícitos: elevada eatidão e estabilidade uérica elhorada. No etato, a desvatage dos étodos iplícitos reside a ecessidade de ter que se resolver o sistea de equações a cada iteração que ocorre durate o processo de itegração para cada itervalo de tepo t. Na seqüêcia deste trabalho abordar-se-á o étodo iplícito de Newar.. - Equações de Newar Os étodos iplícitos, cofore visto o ite aterior, estão fudaetados o cohecieto das

47 derivadas teporais dos deslocaetos fiais referetes ao itervalo de tepo t. Ua vez que essas derivadas teporais ão são cohecidas, os seus valores pode ser estiados, cofore será visto os ites subseqüetes, utilizado-se as chaadas equações de Newar... - Aceleração costate durate o itervalo de tepo Assuido-se que a aceleração durate o itervalo de tepo t seja igual à ua costate dada pela édia etre a aceleração do iício do itervalo e do fial do itervalo, seu valor pode ser estiado por: & ( ) && & & τ ode τ é ua variável de tepo auiliar, variado de zero até t. Itegrado-se duas vezes e relação à variável τ, te-se: & & ( τ ) & && & τ ( τ ) & τ && & τ

48 Calculado-se as variáveis ao fial do itervalo de tepo, co τ t, e reorgaizado-se o resultado, obtése: & & && t t& t& t && t & (.).. - Aceleração variado liearete durate o itervalo de tepo Ua outra fora de estiativa é assuir que a aceleração durate o itervalo de tepo t varie liearete etre a aceleração do iício do itervalo e do fial do itervalo. Assi: & ( ) && && && τ t τ Aalogaete ao ite aterior, obté-se: ( τ ) & ( τ ) & && τ && & τ & τ τ && && & 6 t τ t

49 Calculado-se as variáveis ao fial do itervalo de tepo, co τ t e, reorgaizado-se o resultado, obtése: & & && t t& t& t && t 6 6 & (.).. - Equações geeralizadas Cofore visto os ites.. e.., as equações fiais (.) e (.) são praticaete as esas, difereciado-se apeas pelos coeficietes uéricos que aparece ultiplicado deteriadas parcelas. essa fora, as respostas ecotradas pode ser uificadas, resultado as equações geeralizadas de Newar epressas por: & & ( ) && γ t γ t & t& t && β β t & (.5) ode γ e β são cohecidos coo parâetros de Newar. Sedo assi, para aceleração costate durate o itervalo de tepo utiliza-se γ e β, e para aceleração variado liearete durate o itervalo de tepo adota-se γ e β. 6

50 5 Por eio das equações (.5) pode-se calcular o valor dos deslocaetos e das velocidades ao fial do itervalo de tepo. No etato, os valores das acelerações do fial do itervalo peraece aida ideteriados. Tal problea será cotorado o decorrer deste trabalho.. - Algoritos uéricos para resolução de sisteas de equações lieares e ão-lieares No presete trabalho a equação geral do ovieto gerada resulta u sistea de equações lieares que pode ser resolvido pelos procedietos já ecioados o ite.. Já para probleas ão-lieares físicos e/ou geoétricos, surge a ecessidade de se resolver sisteas de equações ão-lieares, ode se deve, obrigatoriaete, utilizar algoritos uéricos, pois a solução de tais sisteas só é possível co a aplicação de procedietos icreetais e/ou iterativos. Assi sedo, destaca-se, a seqüêcia, os pricipais processos uéricos relacioados co o assuto e questão, visado torar o procedieto de resolução a ser utilizado o presete trabalho o ais abragete possível... - Processos iterativos Para os casos e que a equação geral do ovieto de u sistea estrutural resulte u sistea de equações ãolieares, u procedieto iterativo deve ser adotado visado ecotrar a sua solução. A prieira relação iportate para descrever tal procedieto é dada pelo equilíbrio diâico ao logo de

51 6 cada itervalo de tepo t, represetado pela equação (.5). E ua prieira aálise os valores de deslocaetos são teoricaete estiados e, dessa fora, a equação (.5) pode ão ser totalete satisfeita. Sedo assi, calcula-se, etão, o resíduo provocado pelos deslocaetos estiados através de ua adaptação da equação (.5), coo segue: R F E () t M & C& K (.6) sedo R o referido resíduo das forças diâicas teoricaete ão equilibradas e fução dos deslocaetos previstos. A codição de equilíbrio ao fial do itervalo de tepo t é dada por: R (.7) ode é o acréscio de deslocaetos que teoricaete ocorre durate o itervalo t. essa fora, pode-se calcular o acréscio de deslocaetos para o itervalo de tepo t de odo que a codição dada pela equação (.7) seja satisfeita. A descrição detalhada desse procedieto será forecida o ite. desse trabalho.

52 7.. - Processo icreetal O procedieto icreetal cosiste a aplicação gradual do carregaeto etero o sistea estrutural, através de pequeas parcelas do carregaeto total. E geral, associa-se este procedieto a u processo iterativo.. - Método de Newar para itegração uérica ao logo do tepo A idéia básica do étodo é dada pela previsão do valor das acelerações ao fial do itervalo de tepo que se deseja cohecer. Co isso, aplicado-se as equações geeralizadas de Newar, pode-se prever, tabé, o valor dos deslocaetos e das acelerações ao fial do eso itervalo de tepo. Tal processo será descrito e detalhes os próios ites deste trabalho... - Equacioaeto básico Epadido-se a equação (.7) pela relação de Talor e desprezado-se os teros de orde superior, obté-se: R R R

53 8 ou siplesete, R R (.8) erivado-se o resíduo, dado pela equação (.6), e relação aos deslocaetos, obté-se: E K C M ) ( t F R & && (.9) Coo os esforços eteros são depedetes apeas do tepo te-se: E ) ( t F (.) Alterado-se apeas os ídices das equações geeralizadas de Newar dadas pelas equações (.5), tese: ( ) t t & & && & & γ γ t t t & & && & β β (.)

54 9 erivado-se as equações (.) e relação a & & obté-se: t γ && & (.) t β && ou t β && (.) Já a derivada de & e relação à pode ser epressa pelo produto de duas derivadas, ou seja: t t t β γ β γ && && & & (.) Substituido-se as equações (.), (.) e (.) a equação (.9) obté-se: K t C t M R β γ β essa fora, substituido-se a equação aterior a equação (.8), obté-se a equação que forecerá o acréscio teórico de deslocaetos, dada pela

55 equação (.5), que será utilizado a correção dos deslocaetos que ocorre ao logo de cada iteração. M β γ C K β t R t (.5).5 - Algorito uérico para resolução do processo O cohecieto prévio das codições iiciais do problea o istate t, ou seja, os deslocaetos e velocidades & é o poto de partida para dar iício ao processo de itegração. Co isso, pode-se obter as acelerações & utilizado-se a equação de equilíbrio (.5) da seguite fora: & M FE ( ) C& K Feito isso, deve-se, etão, fazer ua previsão das acelerações, dos deslocaetos e das velocidades para o prieiro itervalo de tepo t, co, utilizado-se as equações geeralizadas de Newar coo segue: & & & & ( ) && γ t γ t& t& t && β β t &

56 Co essa prieira aproiação calcula-se as forças ierciais, dissipativas, restauradoras e, coseqüeteete, o resíduo das forças diâicas ão equilibradas através da equação (.6). E seguida calcula-se o acréscio de deslocaetos por eio da equação (.). Co o valor do acréscio de deslocaetos, faz-se ua correção os valores dos deslocaetos: ( corrigido ) Co o auílio da equação (.) pode-se fazer o cálculo do acréscio da velocidade utilizado-se a seguite equação: & ( corrigido ) & γ β t Já para correção das acelerações, co auílio da equação (.), utiliza-se a seguite equação: & ( corrigido ) && β t É iportate salietar que o valor de cada itervalo de tepo t deverá peraecer costate ao logo de todo o processo de itegração. Apreseta-se a figura. u diagraa de blocos cotedo apeas o equacioaeto básico ode se pode

57 visualizar de fora global todos os passos descritos ateriorete. Figura. - iagraa de blocos do étodo de Newar. forecer p/ t e & ( ) K C F M E & &&, º de itervalos de tepo t t & & && t t t & & && & β β ( ) t t & & && & & γ γ ( ) E K C M t F R & && R K t C t M β γ β t β γ & & t β && & &

58 Ua vez descrito todo o processo de itegração da equação do ovieto, é ecessário que se faça, agora, a descrição das atrizes que são fudaetais para a realização do processo. essa fora, a caracterização das atrizes de rigidez e assas será vista de acordo co cada eleeto. Já a atriz de aortecieto será objeto de discussão do próio ite deste trabalho..6 - Matriz de aortecieto E pricípio a atriz de aortecieto eleetal c pode ser obtida de fora aáloga à atriz de assas eleetal, visto que a úica difereça eistete etre as equações (.) e (.) reside os parâetros que ultiplica o produto etre as fuções de fora de cada eleeto.o grade obstáculo está relacioado co a deteriação da agitude do parâetro de aortecieto viscoso µ do aterial, se o qual a atriz c fica ideteriada. Segudo Coo et al. (989), tal procedieto é ipraticável, pois as propriedades de aortecieto dos ateriais ão são suficieteete defiidas para que se perita ua aálise deste tipo. Para cotorar tal probleática utiliza-se este trabalho, detre os étodos eistetes, o étodo de aortecieto odal, tabé cohecido coo aortecieto Raleigh, ode o aortecieto viscoso é itroduzido por eio de frações específicas do aortecieto crítico, cofore será visto o ite.6..

59 .6. - Aortecieto Raleigh e acordo co Clough et al. (975), o aortecieto Raleigh é defiido pela cobiação liear etre as atrizes de rigidez e de assas, sedo dado por: C λ M λ K (.6) ode λ e λ são costates da atriz de aortecieto e quatifica a proporção eistete etre as atrizes de assas e de rigidez, respectivaete. A relação etre as costates de aortecieto λ e λ, cosiderado-se ua fração do aortecieto crítico para ua dada freqüêcia atural de vibração ω, é dada por (Coo et al., 989): λ i λωi ωi (.7) essa fora, as costates de aortecieto pode ser deteriadas utilizado-se frações do aortecieto crítico para duas diferetes freqüêcias aturais de vibração, cofore ilustra o seguite sistea: λ λ ω ω λ λ ω ω (.8)

60 5 esevolvedo-se o sistea (.8) obté-se: λ ωω λ ( ω ω ) ( ω ω ) ( ω ω ) ( ω ω ) (.9) Segudo Coo et al. (989) os valores das freqüêcias aturais são usualete toados da seguite fora: para ω adota-se a eor freqüêcia atural de vibração da estrutura e para ω adota-se ua freqüêcia relacioada co o carregaeto etero de aior iportâcia. Brasil (99) propõe utilizar para ω a freqüêcia subseqüete à ω. Co relação às frações do aortecieto crítico, as esas são dadas e fução do tipo de aterial e do tipo de sistea estrutural epregado, lebrado-se que o aortecieto crítico é dado pela relação. Portato, para estruturas covecioais o valor de i é sepre eor que a uidade (aortecieto subcrítico), sedo que para estruturas de aço adota-se, 5% < i < 5, % e para estruturas de cocreto adota-se, % < i < 5, % (Rodrigues, 997). i.6. - Freqüêcias aturais de vibração ado u sistea estrutural co coportaeto liear, livre de carregaetos eteros depedetes do tepo e desprovido de qualquer tipo de ecaiso de aortecieto, pode-se particularizar a equação (.5)

61 6 que rege o coportaeto diâico estrutural da seguite fora: && K (.) M ode é o vetor ulo. A solução aalítica da equação (.) é dada pela equação (.), sedo que esta descreve u ovieto harôico de todos os potos odais do sistea. X seωt (.) Nesta equação, X é u vetor, tabé chaado de autovetor, forado pelas áias aplitudes dos deslocaetos odais, e ω é u escalar que quatifica a freqüêcia atural de vibração da estrutura. Os valores de ω para diferetes odos de vibração deve ser deteriados ua vez que, cofore o ite.6., são ecessários para a obteção da atriz de aortecieto do sistea estrutural. Sedo assi, substituido-se a solução dada pela equação (.) a equação de vibração livre se aortecieto (.) te-se: M Xω K X seωt

62 7 Para que tal produto seja ulo, ua vez que a parcela seω t pode assuir qualquer valor, é ecessário que seja atida a seguite igualdade: Xω K X (.) M Multiplicado-se abos os ebros por K, obtése: K (.) M X X Λ ode Λ é o autovalor dado por: Λ (.) ω e acordo co Grad et al. citado por Rodrigues (997), para a obteção dos autovetores X e do autovalor Λ epregado-se a equação (.), pode-se utilizar o étodo de Householder, visto que o produto K M resulta e ua atriz ão siétrica. Aplicado-se a decoposição de Choles a atriz K, te-se: T K L L (.5) ode L é ua atriz triagular superior ão sigular.

63 8 Utilizado-se a atriz L para trasforar os autovetores te-se: ou X LX (.6) X L X (.7) Multiplicado-se a equação (.) por T L e utilizado-se as equações (.) e (.7) obté-se: L T M L T X L K L X Λ (.8) Substituido-se a equação (.5) a equação aterior, obté-se: L T M L X X Λ (.9) Segudo Bathe (996), o produto T L M L resulta ua atriz siétrica, peritido-se a utilização do étodo de Jacobi que é idicado para a obteção dos autovalores e autovetores de tal atriz. Ua vez obtido cada u dos autovalores Λ, pode-se calcular as freqüêcias aturais circular de vibração da estrutura através da equação(.)

64 9 ω i (.) Λi sedo as freqüêcias aturais circulares de vibração ω i, dadas e rad/s, relacioadas co as freqüêcias aturais de vibração f i, dadas e Hz, através da equação (.). ω i f (.) i π

65 5 CAPÍTULO - TEORIA CLÁSSICA PARA FLEXÃO E PLACAS. - Geeralidades Placas são eleetos estruturais siétricos e relação a u plao édio, cuja diesão oral a esse plao, chaada espessura, é pequea e relação às deais. As placas tê a particularidade de sere solicitadas por esforços eteros orais ao plao édio, cofore Martielli et al. (986). As placas pode ser classificadas co base a relação t a, ode t é a espessura e a é o eor dos vãos da placa. Neste trabalho trabalhar-se-á co a teoria clássica (ou teoria de Kirchoff) aplicável o estudo da fleão de placas delgadas usuais que, segudo Martielli et al. (986), apreseta relação t a da orde de a. 5 Coo eeplo de placas delgadas usuais cita-se as lajes de potes, as lajes de edifícios e obras especiais coo lajes de barrages.. - Hipóteses Segudo Martielli et al. (986), as hipóteses aditidas a teoria clássica para fleão de placas são: aterial elástico seguido a lei de Hooe; pequea espessura da placa; pequeas deforações e deslocaetos;

66 5 deslocaetos horizotais desprezíveis dos potos do plao édio; retas orais ao plao édio da placa peraece orais a esse plao após a deforação (Hipótese de Navier); tesão σ z (tesão oral ao plao da placa) desprezível quado coparada aos valores de σ e σ.. - eslocaetos e deforações A figura. ilustra o deslocaeto de u poto situado sobre ua oral ao plao édio da placa e distate de z desse plao. z O P X Z w ϕ O' P' z u Figura. eslocaeto de u poto situado sobre ua oral ao plao édio da placa. Pela teoria clássica de fleão de placas te-se que potos situados a superfície édia ( z ) ove-se apeas a direção z quado a placa se defora. Ua liha reta perpedicular à superfície édia ates do carregaeto peraece reta e perpedicular à esa após o carregaeto (liha OP O P ).

67 5 U poto P situado a ua distâcia z da superfície édia possui deslocaetos u e v as direções e, respectivaete. Aditido-se que o deslocaeto w seja fução de e, pela figura. te-se: w z tg z u ϕ Aalogaete, w z v Para o estado de tesões e questão, as equações (.6) fica reduzidas a: u ε v ε v u γ essa fora pode-se escrever: w z ε w z ε w z γ (.)

68 5. - Tesões e esforços solicitates A figura. ilustra as tesões atuates e ua placa de espessura t e de diesões d e d sujeita a u carregaeto diâico q uiforeete distribuído e toda a área. d d q(t) X τz σ Y τ τz σ τ Z Figura. Tesões e esforços atuates e ua placa plaa. As tesões orais σ e σ varia liearete e z, dado orige aos oetos M e M, respectivaete. A tesão tagecial τ tabé varia liearete e z, dado orige ao oeto torçor M. Tais tesões, σ, σ e τ, assue valores iguais a zero a superfície édia da placa. A tesão oral σ z é cosiderada desprezível e coparação co σ, σ e τ. Já as tesões tageciais τ z e τ z varia de fora quadrática e z e são usualete pequeas quado coparadas co σ, σ e τ. A figura. ilustra os setidos das tesões atuates a borda superior e borda iferior de u eleeto da placa plaa.

69 5 q(t) τ τ σ τz τz σ t/ t/ z τ τ σ τz τz σ Figura. Tesões atuates e u eleeto da placa. essa fora, os esforços solicitates por uidade de coprieto pode ser defiidos coo sedo: M t t σ zdz M M t t σ t t τ zdz zdz (.) M t t τ zdz As figuras (.) e (.5) ilustra os setidos positivos dos oetos e esforços cortates atuado o plao édio da placa, be coo seus icreetos.

70 55 M d M X d M M M M d M M d Y M M d M M d Figura. Moetos atuado sobre o plao édio de u eleeto de placa. d Q X d Q Q Q d Y Q Q d Figura.5 Esforços cortates atuado sobre o plao édio de u eleeto de placa. Cofore visto o ite (..6) e para o estado plao de tesões e questão, as relações tesão-deforação para u aterial elástico liear pode ser escritas coo: ( ε υε ) E σ υ ( ε υε ) E σ υ τ E γ ( υ)

71 56 essa fora obté-se: w υ w υ z E σ w υ w υ z E σ w υ z E τ (.) Substituido as equações (.) e (.) obté-se: w w M υ w w M υ ( ) w M υ ( ) w M υ (.) ode ( ) υ E t

72 Equilíbrio de u eleeto de placa Observado-se as figuras (.) e (.5) e desprezado-se os teros de orde superior, pode-se obter as relações de equilíbrio etre os esforços solicitates que segue. Equilíbrio das forças a direção z : ou Q Q d d Q w d d qdd ρtdd t Q w ρt q t (.5) Equilíbrio de oetos e toro do eio : ou M M d d Q M d d Q M dd (.6) Equilíbrio de oetos e toro do eio : M M d d d dqdd

73 58 ou M M Q (.7) Substituido-se as equações (.7) e (.6) e (.5) te-se: q t w h M M M M ρ q t w h M M M ρ (.8) Substituido-se (.) e (.8) te-se, por fi, a equação diferecial do ovieto das placas. ( ) q t w h w w υ w w υ w ρ υ t w h ρ q w w w (.9).6 - Codições de cotoro.6. - Borda siplesete apoiada Cosiderado-se ua placa retagular siplesete apoiada ao logo de ua borda paralela ao eio, se oeto etero aplicado, ode a, os oetos fletores M e os deslocaetos serão ulos ao logo de toda a borda. Assi, e a :

74 59 ou siplesete w ; υ w w w w ;.6. - Borda egastada Para o caso ode a borda paralela ao eio, e a, é egastada, o deslocaeto w e o giro são ulos. Assi, e a : w w ; e a reação r se reduz a r Q.6. - Borda livre Se a borda da placa e a estiver livre e se carregaeto etero, é atural assuir que ao logo desta borda ão há oetos fletores, oetos torçores e tabé esforços cortates. Assi: M ; M ; Q Segudo Tiosheo & Woiows-Kriger (959) apeas duas codições de cotoro são ecessárias para a

75 6 copleta deteriação de w através da equação (.9). Sedo assi, o oeto torçor M esforço cortate Q coo segue: pode ser associado ao Q M Assi sedo, te-se que: w w ( υ) e da codição de oeto M : w w υ

76 6 CAPÍTULO 5 - ELEMENTO FINITO RETANGULAR 5. - Relação geral etre coordeadas Cosidere-se iicialete o eleeto fiito represetado a figura 5.. z b t a Figura 5. Eleeto fiito retagular. O eleeto é coposto por quatro ós, apresetado e cada ó três graus de liberdade, sedo duas rotações e ua traslação. A traslação é deotada por w a direção z, a rotação e toro do eio é deotada por θ e sobre o eio por θ. A direção positiva destas rotações é dada pela regra da ão direita. A figura 5. ilustra os graus de liberdade. w w θ θ θ θ w w θ θ θ θ Figura 5. Graus de liberdade.

77 6 Cosidere-se, agora, u sistea de coordeadas cartesiaas (, η) adiesioais co orige o vértice do retâgulo, cofore ilustra a figura 5.. w i i θ i θ i Figura. Sistea de coordeadas adiesioais essa fora, as coordeadas adiesioais pode ser defiidas coo sedo: ; a η b 5. - Fuções de fora e acordo co o triâgulo de Pascal e adotado-se ua variação quadrática, obté-se a fução iterpoladora a sua fora eplícita: ( ) w,η 8 η 9 η η η 5 η 6 η η 7 η Na fora atricial: w ψ (5.)

78 6 ode [ ] η η η η η η η η ψ [ ] T As rotações e toro dos eios auiliares ( ) η, são dadas por: ( ) ( ) η η η η η w,η,η θ ( ) ( ) η η η η η η w,η,η θ Na fora atricial: η η η η η η η η η η η η η η η θ θ w η η η (5.) ou δ ϕ

79 6 Substituido-se os valores das coordeadas odais a equação (5.), te-se: para o ó, co η : ϕ para o ó, co e η : ϕ para o ó, co η : ϕ para o ó, co e η : ϕ

80 65 essa fora, pode-se escrever: η η η η θ θ w θ θ w θ θ w θ θ w ou A δ Ivertedo-se a atriz A : A

81 66 Sabedo-se que θ η η θ b w w w θ η η η θ a w w w pode-se escrever: w w w w a b a b a b a b w w w w θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ η η η η ou zd δ Coo A δ

82 67 te-se: A zd Voltado e (5.): w ψ w ψ A zd Fialete: wφ d As doze fuções cotidas e φ são descritas a seguir: (, η) [ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ ] φ φ sedo φ η ( η)( ) ( η) ( η) ( )η φ b φ a ( η)( )

83 68 φ η φ b ( η) η ( η ) η 5 φ a ( η) ( ) 6 φ η η ( ) 7 η ( ) 8 η η φ b ( ) 9 η φ a φ η η ( ) η ( )( ) η η φ b φ a ( ) η 5. - Matriz de rigidez e acordo co a equação (.), a atriz de rigidez é dada por: T B EBdVe Ve Tedo e vista a teoria clássica para fleão de placas, te-se: w ε z ; z w w ε ; γ z

84 69 Assi, de acordo co a equação (.): Lu ε [ ] w z γ ε ε E teros adiesioais: [ ] w ab b a z η η γ ε ε Assi o vetor L, descrito pela equação (.), fica reduzido a: η η ab b a z L

85 7 ou, siplesete, l z L Substituido-se a equação (.) te-se: ( ) Ve T dve l z E l z φ φ A / t / t T da dz l E l z φ φ A T da l E l t φ φ essa fora, pode-se escrever: T d d l E l a b t η φ φ (5.) Para o caso particular das placas para o estado de tesões e questão, a atriz E represetada pela equação (.), fica reduzida a: µ υ υ υ E E ode υ µ

86 7 Partido-se, etão, da equação (5.) chega-se à fora eplícita da atriz de rigidez. X µ X 6ab υ (5.) ode ( ) υ E t z z z z X a b z Si. p

87 Si. p Si Si. 6

88 7 sedo p a b ; p - b a 5. - Matriz de assas A atriz de assas, de acordo co a equação (.), é defiida por: ρ φ φ dve Ve T as dv e tda ode t é a espessura da placa. Assi: ρ t T φ φ da A E teros das coordeadas cartesiaas adiesioais (, η), a atriz de assas é dada por: T ρ tab φ φ ddη (5.5)

89 7 Partido-se da equação (5.5) e efetuado-se a itegração o doíio do eleeto chega-se a atriz de assas a sua fora eplícita. 5 6b 6a 6 99b ρtab 7a 5 9 6b 6a 6 7b 99a 8b 6ab 99b b ab 6b b 6b 8ab 7b ab 8a 7a ab 6a 8ab a ab a 6a 99a 5 6b 6a 6 7b 99a 9 6b 6a 8b 6ab 7b 6b ab b 6b 8ab 8a 99a ab a 6a 8ab a 5 6b 6a 6 99b 7a 8b 6ab 99b b ab 8a 7a ab 6a Si. 5 6b 6a 8b 6ab 8a

90 75 CAPÍTULO 6 - ELEMENTO FINITO TRIANGULAR 6. - Relação geral etre coordeadas Cosidere-se, iicialete, o eleeto fiito represetado a figura 6.. Z Y t X Figura 6. Eleeto fiito triagular. O eleeto é coposto por três ós, co três graus de liberdade por ó, sedo duas rotações e ua traslação. A traslação é deotada por w a direção z, a rotação e toro do eio é deotada por θ e sobre o eio por θ. A direção positiva destas rotações é dada pela regra da ão direita. A figura 6. ilustra os graus de liberdade. w θ θ w w θ θ θ θ Figura 6. Graus de liberdade.

91 76 A forulação do eleeto triagular, coo será vista adiate, tora-se possível e de aeira ais siplificada quado se utiliza u sistea de coordeadas hoogêeas. Sedo assi, cosidere-se o eleeto apresetado a figura a seguir: P P P θ Y θ X Figura 6. Sisteas de coordeadas Sedo esse triâgulo referido ao sistea cartesiao e, adota-se u sistea de coordeadas oblíquas (, ) co orige o vértice e u eio auiliar tabé co orige o vértice e paralelo a. Cosiderado-se u poto P qualquer, a posição deste e relação ao vértice será dado por P, P. A soa das projeções dessas coordeadas sobre resultará: cosθ P P P cosθ efia-se as seguites coordeadas adiesioais: e l l co l e l iguais aos coprietos dos lados e respectivaete.

92 77 Para o poto P te-se: P Pl e P P l Itroduzido-se a epressão de P : P P P P l cosθ ( ) ( ) P P l cosθ Ua vez que P é u poto geérico, pode-se dizer que para qualquer poto: ( ) ( ) Alé do sistea oblíquo já usado, co vértice o ó, poderia ser usado u outro sistea alterativo co vértice o ó, coo ostra a figura 6.. β β Figura 6. Sisteas de coordeadas oblíquas. efia-se as coordeadas adiesioais: e l l

93 78 Pode-se escrever co base a geoetria, segudo a figura 6.: ( ) cosβ l cosβ l l cosβ l l cosβ l l l cosβ cosβ cosβ cosβ l (6.) Substituido (6.) a epressão de : ( ) ( ) ( ) (6.) e odo aálogo pode-se ostrar que: (6.) Agrupado-se os resultados obtidos a fora atricial te-se:

94 79 ou T que ivertedo: T Assi, te-se: A ode A é a área do triâgulo que pode ser calculada por: ( ) A T et Chaado-se j i j i j j i a

95 8 co os ídices variado ciclicaete, ou seja: P/ i j, P/ i j, P/ i j, chega-se à relação geral: A ( a ) i i i i (6.) Os valores das coordeadas os ós e ao logo dos lados do eleeto assue os valores ilustrados a figura 6.5. (X,Y ) (,,) (X,Y ) (,,) Y X (X,Y ) (,,) Figura 6.5 Coordeadas dos potos odais Fuções de fora Segudo Veâcio Filho (975a), o capo de deslocaetos para o eleeto e questão é represetado pelo poliôio algébrico e e, sedo dado por: w [ ]{ } ode {} possui dez eleetos.

96 8 Coo o eleeto possui apeas 9 graus de liberdade, u dos teros etre e deveria ser eliiado, fato este que levaria a perda de sietria do poliôio. Tocher, citado por Veâcio Filho (975a), propôs cobiar os teros e e u úico tero ( ), as este caso o desevolvieto do eleeto ficaria coproetido quado os eios e coicidisse co os lados do eleeto. Utilizado -se coordeadas hoogêeas esse problea desaparece. Holad & Bell, tabé citado por Veâcio Filho (975a), usara o seguite capo de deslocaetos para w e coordeadas hoogêeas: w [ ( ) ( ) ( )]{ } (6.5) ode {} possui ove eleetos. A fução de deslocaeto da equação acia correspode a u poliôio icopleto de º grau e coordeadas hoogêeas,,. O tero ausete é, o qual correspode a deslocaetos ulos os lados do eleeto, sedo, coseqüeteete, associado ao deslocaeto de u ó itero. Sedo assi, partido-se da equação (6.5) pode-se escrever: w (,, ) 6 ( ) ( ) ( ) 7 8 5

97 8 Na fora atricial: ψ w (6.6) ode ( ) ( ) ( ) [ ] ψ [ ] T A rotação o eio, e fução das coordeadas adiesioais, é epressa coo: ( ) ( ) w w w,, w,, θ Assi: ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ] A θ e fora aáloga ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ] A θ Reuidos a fora atricial:

98 θ θ w ϕ (6.7) ou δ ϕ Substituido-se os valores das coordeadas odais a equação (6.7), te-se: para o ó, co e : A A ϕ para o ó, co e A A ϕ

99 8 para o ó, co e : A A ϕ essa fora, pode-se escrever: θ θ θ θ θ θ A A A A w w w ou A d Isolado-se : d A (6.8) sedo: A

100 85 Substituido-se a equação (6.8) e (6.6): ψ w d A ψ w te-se: w d φ As ove fuções cotidas e φ são descritas a seguir: ( ) [ ] φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ,, sedo ( ) ( ) φ ( ) ( ) [ ] φ ( ) ( ) [ ] φ ( ) ( ) φ ( ) ( ) [ ] 5 φ ( ) ( ) [ ] 6 φ

101 86 ( ) ( ) 7 φ ( ) ( ) [ ] 8 φ ( ) ( ) [ ] 9 φ 6. - Matriz de rigidez e acordo co a equação (.), a atriz de rigidez é dada por: Ve T EBdVe B Tedo e vista a teoria clássica para fleão de placas, te-se: w z ε ; w z ε ; w z γ Assi, cofore a equação (.): Lu ε [ ] w z γ ε ε

102 87 E teros das coordeadas hoogêeas: ( ) ( ) ( ) [ ] w A z γ ε ε sedo o vetor L, descrito pela equação (.), reduzido a: ( ) ( ) ( ) A z L ou, siplesete, l A z L Substituido-se a equação (.) te-se: Ve T dve l A z E l A z φ φ A t/ t/ T da dz l E l z 6A φ φ A T da l E l t 6A φ φ

103 88 ou 6A t f (,, ) da A (6.9) Para o caso particular das placas para o estado de tesões e questão, a atriz E represetada pela equação (.), fica reduzida a: E E υ υ υ µ ode υ µ e acordo co Brebbia & Coor (97) a itegral descrita pela equação (6.9) pode ser resolvida substituido-se e da por: da Ad d essa fora a itegral tora-se: 6A t A ( ) f (, ) d d (6.)

104 89 Ou etão, de ua aeira siplificada, pode-se resolver a esa itegral dada por eio do seguite procedieto uérico: i j i! j!! da (6.) A ( i j )! A Sedo assi, partido-se apeas da equação (6.), ou etão da equação (6.9) co o auílio de (6.), chegase a atriz de rigidez e sua fora eplícita: ode 8A Et K ( υ ) e K é ua atriz 99 siétrica que, devido a sua etesão, é apresetada e fora de aeo Matriz de assas A atriz de assas, de acordo co a equação (.), é defiida por: as V e T ρ φ φ dv dv e tda ode t é a espessura da placa. e

105 9 Assi: T ρ t φ φ da (6.) A Partido-se da equação (6.) e efetuado-se a itegração o doíio do eleeto, do odo descrito o ite aterior, chega-se a atriz de assas a sua fora eplícita. ta ρ M ode M é ua atriz siétrica e seus eleetos são dados por: M M M M M (, ) 588 (, ) 6( ) (, ) 6( ) (, ) 6 ( 5, ) 8 8 ( 6, ) 8 8 ( 7, ) 6 ( 8, ) 8 8 ( 9, ) 8 8 M M M M M (, ) 9( ) (, ) 9( ) ( ) M 57

106 9 M M (, ) 8 8 ( 5, ) 75 9( ) ( 6, ) 75 9( ) ( 7, ) 8 8 M M M ( 8, ) 75 9( ) ( 9, ) 75 9( ) M M M (, ) 9( ) 57 (, ) 8 8 ( 5, ) 75 9( ) M M ( 6, ) 75 9( ) ( 7, ) 8 8 ( 8, ) 75 9( ) M M M M M M M ( 9, ) 75 9( ) (, ) 588 ( 5, ) 6( ) ( 6, ) 6( ) ( 7, ) 6 ( 8, ) 8 8 ( 9, ) 8 8 M M ( 5, 5) ( ) M 9 ( 6, 5) 57( ) 9( ) ( 7, 5 ) 8 8 M M

107 9 M ( 8, 5) 75 9( ) ( 9, 5) 75 9( ) M ( 6, 6) ( ) M M 9 ( 7, 6 ) 8 8 ( 8, 6) 75 9( ) M M M ( 9, 6) 75 9( ) ( 7, 7) 588 ( 8, 7) 6( ) ( 9, 7) 6( ) M M ( 8, 8) ( ) M 9 ( 9, 8) 57( ) ( ) M 9 ( 9, 9) ( ) M 9

108 9 CAPÍTULO 7 - ASPECTOS COMPUTACIONAIS 7. - Geeralidades A fi de ilustrar o fucioaeto do software desevolvido o decorrer da pesquisa e questão, apreseta-se este capítulo ua visão geral do código coputacioal referete à ipleetação do étodo de Newar a aálise diâica de placas. Merece destaque o código relativo ao cálculo propriaete dito, visto que os códigos relativos à leitura e saída de dados e outras sub-rotias auiliares que faze parte do prograa ão possue papel relevate o coteto deste trabalho. evido a sua costituição odular, o prograa apreseta subsídios para sua rápida e fácil odificação a fi de que possa ser utilizado a aálise liear de outros eleetos estruturais. estaca-se tabé a siplicidade de iserção de ovos eleetos fiitos e, até eso a ipleetação de odelos de cálculos de estruturas ão-lieares, se que haja a ecessidade de grades odificações o código pricipal Esquea geral de cálculo O fluograa referete ao esquea geral de cálculo é ilustrado a figura 7., sedo que cada bloco coté o oe de ua sub-rotia específica, cuja fução é descrita o ite 7. deste trabalho. Cabe ressaltar que este esquea de cálculo é geérico, o que perite realizar aálises estáticas ou diâicas de placas delgadas utilizado-se eleetos

109 9 fiitos triagulares e retagulares atuado isoladaete ou e cojuto. I MATRIZ RIGIEZ GLOBAL MATRIZ MASSA GLOBAL FREQÜÊNCIAS NATURAIS MATRIZ AMORTECIMENTO GLOBAL, Nº E INTERVALOS E TEMPO INCREMENTAR FORÇA PREVISOR _V_A FORÇAS INERCIAIS FORÇAS AMORTECEORAS FORÇAS RESTAURAORAS CÁLCULO RESÍUO MATRIZ GLOBAL ESTRUTURA CONIÇÕES CONTORNO RESOLUÇÃO SISTEMA GAUSS CORRETOR _V_A MOMENTOS NOAIS ARMAZENA RESULTAOS FINAIS F Figura 7. Fluograa do esquea geral de cálculo.

110 escrição das sub-rotias A descrição das fuções de cada sub-rotia cotida a figura 7. é apresetada a seguir. Sub-rotia MATRIZ RIGIEZ GLOBAL Calcula a atriz de rigidez global K estrutura, a partir da atriz de rigidez dos eleetos retagular e triagular forecida os ites 5. e 6. deste trabalho. da Sub-rotia MATRIZ MASSA GLOBAL Calcula as atrizes de assas dos eleetos retagular e triagular, dadas os ite 5. e 6. deste trabalho, e elabora a atriz de assas global M da estrutura. Sub-rotia FREQÜÊNCIAS NATURAIS Calcula os valores das freqüêcias aturais de vibração da estrutura ecessárias para a elaboração da atriz de aortecieto. Os valores de ω e ω são obtidos cofore descrito o ite.6. e, co o auílio das equações (.9), calcula-se os parâetros λ e λ. Sub-rotia MATRIZ AMORTECIMENTO GLOBAL Calcula a atriz de aortecieto global C da estrutura, cofore visto o ite.6 deste trabalho.

111 96 Sub-rotia INCREMENTAR FORÇA Esta sub-rotia te a fução de atualizar o valor das forças eteras F para cada itervalo de tepo t. E Sub-rotia PREVISOR _V_A Realiza a previsão das acelerações &, dos deslocaetos e das velocidades & o ite.5 deste trabalho. cofore visto Sub-rotia FORÇAS INERCIAIS Calcula o valor das forças ierciais através do produto atricial M &. Sub-rotia FORÇAS AMORTECEORAS Calcula o valor das forças aortecedoras através do produto atricial C &. Sub-rotia FORÇAS RESTAURAORAS Calcula o valor das forças restauradoras através do produto atricial K.

112 97 Sub-rotia CÁLCULO RESÍUO Calcula o valor do resíduo das forças diâicas ão equilibradas R co auílio da equação (.6). Sub-rotia MATRIZ GLOBAL ESTRUTURA Mota a atriz global da estrutura dada pela equação: G M β t C γ β t K Sub-rotia CONIÇÕES CONTORNO Aplica as codições de cotoro a atriz de rigidez global utilizado-se a técica do úero grade. Sub-rotia RESOLUÇÃO SISTEMA GAUSS Resolve o sistea de equações forecido pela equação (.5) utilizado-se o étodo de Gauss (Soriao, 98). Co isso obté-se o acréscio de deslocaeto. Sub-rotia CORRETOR _V_A Realiza a correção dos deslocaetos, das velocidades & e das acelerações &, cofore visto o ite.5 deste trabalho.

113 98 Sub-rotia MOMENTOS NOAIS Calcula os valores dos oetos os ós. Tedo e vista a descrição dos oetos feita o ite (.) deste trabalho, as equações (.) pode ser resuidas e: z E w w w M M M ε υ υ υ as Bd ε logo B d z E M M M essa fora os oetos odais pode ser calculados a partir dos deslocaetos odais, sedo os valores das coordeadas defiidas de acordo co o ó e questão. Sub-rotia ARMAZENA RESULTAOS FINAIS Esta sub-rotia te a fução de arazear os resultados obtidos o itervalo de tepo t, tais coo deslocaetos, velocidades e acelerações, ecessários para a itegração do próio itervalo de tepo.

114 99 CAPÍTULO 8 - ANÁLISE NUMÉRICA 8. - Geeralidades O objetivo deste capítulo é aalisar o coportaeto estático e diâico de placas delgadas de coportaeto liear. Para tal são apresetados, a seguir, vários eeplos elucidativos, sedo a siulação uérica de tais eleetos estruturais efetuada o prograa coputacioal desevolvido. A precisão dos resultados é aferida tedo coo base de coparação soluções aalíticas e uéricas forecidas por outros pesquisadores. Por fi procurou-se efetuar ua aálise quatitativa e qualitativa dos resultados obtidos para cada eeplo estudado Eeplo - Placa quadrada Este eeplo é coposto por ua placa quadrada sujeita a ua força F igual a N cocetrada e seu poto cetral, cofore ilustra a figura 8.. F e "c" Figura 8. Placa quadrada.

115 por: As características físicas do aterial são dadas E, 5 N/c ; υ, A discretização da placa é efetuada utilizado-se eleetos retagulares e 8 eleetos triagulares dispostos e alhas de e eleetos, respectivaete. Fora siuladas duas codições de cotoro diferetes: todos os bordos siplesete apoiados e todos os bordos egastados. Os resultados obtidos são coparados co os valores forecidos por aso (98), que apreseta resultados teóricos e uéricos obtidos via étodo dos eleetos fiitos e de cotoro. As curvas dos deslocaetos e dos oetos M referetes à liha cetral ( seqüêcia. 5 c ) são apresetadas a eslocaeto () 6 5,,5,,5,,5 () Teórica MEC (aso, 98) Malha retagular Malha triagular Figura 8. eslocaeto do eio cetral cosiderado-se os bordos siplesete apoiados.

116 5 5 M (N/) 5 5,,5,,5,,5-5 () Teórica MEC (aso, 98) Malha retagular Malha triagular Figura 8. M atuate o eio cetral cosiderado-se os bordos siplesete apoiados.,5,,5 eslocaeto (),,5,,5,,5,,,5,,5,,5 () MEC (aso, 98) MEF (aso, 98) Malha retagular Malha triagular Figura 8. eslocaeto do eio cetral cosiderado-se os bordos egastados.

117 5 5 M (N/) 5 5-5,,5,,5,,5 () MEC (aso, 98) MEF (aso, 98) Malha retagular Malha triagular Figura 8.5 M atuate o eio cetral cosiderado-se os bordos egastados. Aalisado-se os gráficos ilustrados as figuras 8. e 8., que trata do coportaeto da placa cosideradose os bordos siplesete apoiados, verifica-se que as curvas obtidas utilizado-se a discretização co eleetos triagulares fora praticaete idêticas à resposta via discretização co eleetos retagulares. Tal característica tabé é verificada para a codição de bordos egastados. E se tratado dos resultados obtidos cosideradose os bordos siplesete apoiados percebe-se que os valores obtidos este trabalho apreseta-se uito próios do resultado teórico, apresetado, iclusive, elhores resultados os bordos quado coparados co os obtidos por aso (98) via étodo dos eleetos de cotoro. Já quado se cosidera a placa totalete egastada verifica-se que as curvas de oeto M apreseta a esa tedêcia até u valor de próio a, etros, sedo que, a partir deste valor, assue coportaetos totalete diferetes. Tal fato ão ocorre co as curvas de deslocaetos.

118 8. - Eeplo Ifluêcia das alhas A placa deste eeplo possui vãos co diesões iguais a a, espessura igual a t e u carregaeto q agido de fora uifore e toda a sua área. A placa possui, coo características físicas, ódulo de elasticidade logitudial igual a E e coeficiete de Poisso igual a,5. Visado estudar a ifluêcia da discretização da alha os resultados fiais fora siuladas placas discretizadas co, 6, 6 e 56 eleetos retagulares e 8,, 8 e 5 eleetos triagulares. Iicialete faz-se u estudo da placa co todos os bordos siplesete apoiados. Os resultados obtidos são apresetados a seqüêcia jutaete co os valores forecidos pelas tabelas de Bares (97), tedo fatores de ultiplicação iguais a qa Et deslocaetos e qa para os de oeto. para os valores de,6,5, eslocaeto,,,,,9,8 5 Nº de eleetos Malha retagular Malha triagular Bares (97) Figura 8.6 eslocaeto do poto cetral cosiderado-se os bordos siplesete apoiados.

119 ,5,8 Moeto,6,,, 5 Nº de eleetos Malha retagular Malha triagular Bares (97) Figura 8.7 Moeto atuate o poto cetral cosiderado-se os bordos siplesete apoiados. As figuras 8.6 e 8.7 ilustra a ifluêcia da alha a resposta fial da aálise. E abos os casos verifica-se que a aior discretização da alha coduz a resultados ais próios do resultado forecido por Bares (97), verificado-se tabé que alhas discretizadas co eleetos retagulares coverge para a resposta fial co u eor úero de eleetos quado coparadas co alhas copostas apeas por eleetos triagulares. Ua seguda aálise é efetuada tedo a placa todos os bordos egastados. Os resultados de deslocaeto do poto cetral, oeto atuate o cetro do vão e oeto o bordo são apresetados as figuras que segue.

120 5,7,65,6 eslocaeto,55,5,5, 5 Nº de eleetos Malha retagular Malha triagular Bares (97) Figura 8.8 eslocaeto do poto cetral cosiderado-se os bordos egastados. 5 -,5 -, -,5 Moeto -, -,5 -, -,5 Nº de eleetos Malha retagular Malha triagular Bares (97) Figura 8.9 Moeto atuate o poto cetral cosiderado-se os bordos egastados.

121 6,55,5,5, Moeto,5,,5,,5 5 Nº de eleetos Malha retagular Malha triagular Bares (97) Figura 8.9 Moeto atuate o bordo cosiderado-se os bordos egastados. A esa tedêcia observada os resultados obtidos para a placa siplesete apoiada é tabé verificada quado se cosidera a placa totalete egastada. Neste últio caso verifica-se que a resposta fial para o valor de oeto o cetro da placa diverge leveete do resultado forecido por Bares (97), se cotudo coproeter a qualidade e a credibilidade da resposta obtida. Já co relação ao oeto o bordo da placa verifica-se que os valores apreseta ua cosiderável difereça, o que leva a cocluir que, e se tratado dos bordos da placa, os eleetos utilizados este trabalho ão forece resultados próios ao valor forecido por Bares (97). Visado estudar o coportaeto dos eleetos fiitos triagular e retagular trabalhado e cojuto, cosiderou-se a esa placa discretizada co dois tipos de alhas diferetes: alha tedo eleetos retagulares adjacetes aos bordos e os deais triagulares e alha tedo os eleetos dispostos de aeira iversa ao da alha, ou seja, eleetos

122 7 triagulares adjacetes aos bordos e eleetos retagulares copletado a discretização. Tabé estes casos fora siuladas as duas codições de cotoro utilizadas a discretização da aterior. As respostas obtidas são apresetadas as figuras subseqüetes.,6,6,5 eslocaeto,5,5,5,5, 5 Nº de eleetos Malha Malha Bares (97) Figura 8. Associação de eleetos: deslocaeto do poto cetral cosiderado-se os bordos siplesete apoiados.,6,5, Moeto,,,, 5 Nº de eleetos Malha Malha Bares (97) Figura 8. Associação de eleetos: oeto atuate o poto cetral cosiderado-se os bordos siplesete apoiados.

123 8,6,6,58,56 eslocaeto,5,5,5,8,6,, 5 Nº de eleetos Malha Malha Bares (97) Figura 8. Associação de eleetos: deslocaeto do poto cetral cosiderado-se os bordos egastados. 5 -,5 -, -,5 Moeto -, -,5 -, -,5 Nº de eleetos Malha Malha Bares (97) Figura 8. Associação de eleetos: oeto atuate o poto cetral cosiderado-se os bordos egastados.

124 9,55,5,5, Moeto,5,,5,,5 5 Nº de eleetos Malha Malha Bares (97) Figura 8. Associação de eleetos: oeto atuate o bordo cosiderado-se os bordos egastados. Aalisado-se as curvas da aálise cotedo eleetos triagulares e retagulares trabalhado e cojuto, verifica-se que os resultados obtidos por eio da alha aproia-se ais rapidaete do resultado forecido por Bares (97) quado coparados co os valores forecidos pela alha. Isso se deve pricipalete ao fato da alha possuir ua aior quatidade de eleetos triagulares e relação à alha. Alé disso ota-se que as curvas apreseta a esa tedêcia já observada, ou seja, resultados ais próios do valor forecido por Bares (97) quato aior a discretização utilizada. Sedo assi pode-se cocluir que o acoplaeto etre os eleetos fiitos foi corretaete ipleetado o prograa coputacioal desevolvido.

125 8. - Eeplo Eeplo de u trasiete Neste eeplo cosidera-se ua placa quadrada siplesete apoiada sujeita a u carregaeto P (t) variado co o tepo, cofore ilustra a figura 8.5. A P B 8 8 e "c" Figura 8.5 Placa siplesete apoiada co carregaeto P (t). O carregaeto P (t), que possui ódulo igual a N, atua sobre o eio de sietria da placa e ove-se do poto A ao poto B co velocidade costate igual a 5,7 s. Os parâetros físicos do eeplo são: E 6, 9 N/c ; γ,57-5 N/c ; υ, A discretização da placa é feita utilizado-se 6 e 8 eleetos retagulares e triagulares, respectivaete. A curva do deslocaeto do poto cetral da placa e fução do tepo é apresetada a figura 8.6, jutaete co a curva forecida por Garzeri (99).

126 ,5,,5 eslocaeto (),,5, -,5 -, -,5,,,,, 5, 6, Tepo (s) Garzeri (99) Retagular Triagular Figura 8.6 eslocaeto do poto cetral e fução do tepo. Aalisado-se o gráfico ilustrado a figura 8.6 verifica-se que as curvas forecidas pelo software desevolvido apreseta-se praticaete idêticas à curva forecida por Garzeri (99), o que ve validar a correta ipleetação da aálise diâica o prograa desevolvido. Ua seguda aálise é efetuada itroduzido-se o aortecieto o sistea. Neste caso as freqüêcias aturais e os odos de vibração da estrutura fora obtidos iicialete. Sedo assi, os dois prieiros odos de vibração da estrutura são ilustrados as figuras subseqüetes. Figura 8.7 Prieiro odo de vibração da estrutura.

127 Figura 8.8 Segudo odo de vibração da estrutura. As duas prieiras freqüêcias aturais circulares de vibração da estrutura obtidas para as diversas alhas fora orgaizadas a tabela 8.. Tabela 8. Freqüêcias aturais de vibração. Freqüêcia Malha retagular Malha triagular ω (rad/s), 98, ω (rad/s) 986,6 97,6 Iicialete fez-se u estudo co as frações de aortecieto crítico e iguais a,5%. Ua seguda aálise foi efetuada co os parâetros iguais a 5,%. Os gráficos tepo deslocaeto e fução da discretização da placa são ilustrados as figuras 8.9 e 8..

128 ,5,,5 eslocaeto (),,5, -,5 -, -,5 -, Tepo (s) %,5% 5,% Figura 8.9 Tepo deslocaeto do poto cetral cosiderado-se a discretização co 6 eleetos retagulares.,5,,5 eslocaeto (),,5, -,5 -, -,5 -, Tepo (s) %,5% 5,% Figura 8. Tepo deslocaeto do poto cetral cosiderado-se a discretização co 8 eleetos triagulares. Os deslocaetos áios obtidos para cada tipo de aálise e discretização da placa são apresetados a tabela 8..

129 Tabela 8. eslocaetos áios para os diversos tipos de aálise. Tipo de aálise eslocaeto áio () Malha retagular Malha triagular Se aortecieto,88,,5%,97,985 5,%,57,65 As figuras 8.9 e 8. ilustra o coportaeto diâico da estrutura co e se aortecieto. A discretização efetuada co eleetos retagulares e triagulares produziu respostas praticaete idêticas, cofore pode ser observado pelas curvas e pelos valores áios de deslocaeto. E se tratado da aálise diâica se aortecieto observa-se que, durate o período de aplicação do carregaeto ( t 5 s ), o deslocaeto atige o seu valor áio. Para tepos superiores a 5 s os deslocaetos passa a oscilar e toro de zero, ua vez que o carregaeto ão atua ais sobre o sistea. Tal característica tabé pode ser verificada as curvas ode há a preseça do aortecieto. Neste caso, os deslocaetos atige picos iferiores aos obtidos pela aálise se aortecieto e, posteriorete, oscila até estabilizare-se e valores iguais a zero. Aida co relação à aálise co aortecieto, é iteressate otar a ifluêcia das taas de aortecieto o coportaeto fial do sistea. Quato eor a taa, aior o deslocaeto áio atigido e tabé aior o tepo ecessário para que o sistea se estabilize e u valor costate.

130 5 Cabe aqui ressaltar a potecialidade do prograa coputacioal desevolvido. Através do eso é possível efetuar aálise estática ou diâica, esta últia co ou se aortecieto. Os carregaetos pode ser aproiados por fuções seo, co-seo, epoecial e outras fuções ateáticas, be coo cobiações etre as esas, alé de peritir ao usuário a escolha etre discretização elaborada co eleetos retagulares ou triagulares atuado isoladaete ou e cojuto Eeplo Eeplo de aplicação Neste eeplo procura-se fazer u estudo sobre o capítulo de ações diâicas e fadiga da ova ora NBR 68:, que foi iserido devido a atual tedêcia de se projetar estruturas co eleetos estruturais cada vez ais esbeltos e fleíveis, torado-as ais susceptíveis às ações variáveis o tepo. E tal capítulo recoeda-se que para assegurar o coportaeto satisfatório das estruturas sujeitas a vibrações deve-se afastar o áio possível a freqüêcia própria da estrutura ( f ) da freqüêcia crítica ( f crit ) que depede da respectiva edificação. Para tal essa ora prescreve que f seja aior que, fcrit, ode os valores de f crit estão relacioados a sua tabela., sedo, para o caso particular de pisos de escritórios, u valor etre Hz e Hz. Seguido tal recoedação fica os projetistas estruturais dispesados da verificação diâica de tais eleetos estruturais. E sua versão aterior, a NBR 68:98 estabelece, e seu ite... C, que para lajes aciças

131 6 retagulares fica dispesado o cálculo das flechas quado a altura útil d ão for iferior ao valor forecido pela equação (8.), ode l é o eor vão da laje, ψ é u parâetro depedete das codições de bordo, dado pela tabela da ora, e ψ é u parâetro depedete do aço epregado. l d (8.) ψ ψ Já Machado (989) propôs trabalhar co os valores de altura útil d dados pela equação (8.). Nesta equação, os valores para a altura útil são dados e cetíetros e os valores dos vãos e etro. Para utiliza-se o úero de bordos egastados. sedo (, 5, ) l * d (8.) l * l, 7l co l l Cabe ressaltar que ao valor obtido para a altura útil da laje deve ser acrescetados o valor do cobrieto e a etade do diâetro da aradura de fleão utilizada. Para os casos cous de lajes o iterior de edifícios usualete acresceta-se u cetíetro ao valor de d. Neste coteto procura-se este eeplo fazer u coparativo etre as espessuras deteriadas por eio das recoedações descritas ateriorete e, alé disso,

132 7 forecer aos calculistas estruturais liites íios de espessura de diversos tipos de lajes aciças, aradas e cruz, couete utilizadas e edifícios, peritido, assi, a dispesa da verificação diâica estrutural de tais eleetos. essa fora, para cada laje estudada, deteria-se os valores das espessuras co o auílio das equações (8.) e (8.) e, para a recoedação diâica, utiliza-se a discretização co 5 eleetos fiitos retagulares dispostos e ua alha de 5 5 eleetos. Utiliza-se, iicialete, u cocreto cujas características físicas são dadas por: f, c N/c c ( ) ( f 8 ) 9, N/c E 95 γ, 5 υ, 5 c N/c sedo o valor de E c calculado de acordo co o CEB (978). Posteriorete verifica-se tabé a recoedação diâica para dois outros valores de resistêcias de cocreto: e MPa. Tabé estes casos os valores do ódulo de elasticidade logitudial fora deteriados e cocordâcia co o CEB (978). Para as araduras de fleão utiliza-se barras de aço CA 5A, o que leva a u parâetro ψ igual a 5. As diesões das lajes estudadas segue o padrão ilustrado a figura 8., sedo, o estudo, aditidas lajes quadradas co relação etre os lados l e l

133 8 igual a uidade e lajes retagulares co a diesão l igual ao dobro de l (relação áia para lajes aciças aradas e cruz). Tais codições leva a parâetros ψ iguais a,5 para as lajes quadradas e, para as lajes retagulares. l t l Figura 8. isposição geoétrica das lajes. O prieiro odo de vibração para lajes quadradas é ilustrado a figura 8.. Figura 8. Prieiro odo de vibração para lajes quadradas. Os valores para a espessura obtidos para lajes quadradas cosiderado-se a resistêcia do cocreto igual a MPa são apresetados a tabela 8.

134 9 Tabela 8. Valores de espessuras obtidos para lajes quadradas co f c MPa. Vãos () l d ψ ψ Espessura (c) (, 5, ) l * d f >, f crit f (Hz),,, 8,, 5,7 5, 5,,,,,9 6, 6, 7,, 6, 5, 7, 7,,, 8, 5, 8, 8,, 5,, 5, 9, 9, 5, 7,,,9,, 8, 9, 6,,9,,,,, 5,,,,,,,9 As relações etre espessura vão para as diversas resistêcias de cocreto estudadas, obedecedo-se à recoedação diâica, são apresetadas a figura Espessura (c) 5 5,, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9,,,,,,, Vãos () fc MPa fc Mpa fc MPa Figura 8. Relação espessura vão de lajes quadradas para diversos valores de resistêcia de cocreto.

135 Seguido-se o eso padrão, apreseta-se a seqüêcia os resultados obtidos para as lajes retagulares estudadas. Figura 8. Prieiro odo de vibração para lajes retagulares. Tabela 8. Valores de espessuras obtidos para lajes retagulares co f c MPa. Vãos () l d ψ ψ Espessura (c) (, 5, ) l * d f >, f crit f (Hz),, 8, 6,, 6,9,5 5, 9, 7,, 6,6, 6,, 9,, 6,,5 7,,, 5, 5,6, 8, 5,, 6, 5,5,5 9, 7,, 8, 5, 5,, 9,, 9,,9 5,5,, 5,, 5, 6,,, 6,, 5,

136 6 Espessura (c) 8 6,,,5 5,, 6,,5 7,, 8,,5 9, 5,, 5,5, 6,, Vãos () fc MPa fc MPa fc MPa Figura 8.5 Relação espessura vão de lajes retagulares para diversos valores de resistêcia de cocreto. Aalisado-se os resultados apresetados, verificase que as espessuras obtidas por eio da recoedação descrita o ite... C da ora NBR 68:98, que prevê a dispesa do cálculo de flecha, são uito superiores aos valores obtidos pela recoedação da ova ora NBR 68: que prevê a dispesa da verificação da aálise diâica. Já os valores obtidos através da proposta feita por Machado (989) apreseta a esa característica descrita o parágrafo aterior, poré co valores u pouco ais próios da espessura que dispesa a aálise diâica estrutural. Coclui-se, assi, que as lajes diesioadas seguido as recoedações da NBR 68:98 e de Machado (989), satisfaze a recoedação diâica da ova ora,

137 ão sedo ecessário, portato, ua aálise diâica estrutural e tais eleetos. Por fi, apreseta-se a equação deduzida (8.) que forece valores íios aproiados para espessura de pisos aciços de edifícios, arados e cruz, co todos os bordos, o íio, apoiados, de odo a garatir, de acordo co a ora NBR 68:, a dispesa da aálise diâica estrutural, sedo que, esse caso, a verificação da flecha se faz ecessária. l t 5, 9 l l l l l, 95, 9 EE 85, E (8.) ode E é dado e N / c, l e etros e t e c, sedo E : ódulo de elasticidade logitudial de referêcia igual à 9 N / c ; l : vão de referêcia igual a etro; l l. Visado ilustrar os odos de vibração de lajes quadradas e retagulares apreseta-se, a seqüêcia, os quatro prieiros odos de vibração para tais eleetos estruturais.

138 (a) (b) (c) (d) Figura 8.6 Laje quadrada: (a) Prieiro odo de vibração; (b) Segudo odo de vibração; (c) Terceiro odo de vibração; (d) Quarto odo de vibração. (a) (b) (c) (d) Figura 8.7 Laje retagular: (a) Prieiro odo de vibração; (b) Segudo odo de vibração; (c) Terceiro odo de vibração; (d) Quarto odo de vibração.