Matriz de Massa de Ordem Elevada, Dispersão de Velocidades e Reflexões Espúrias

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1 CESO DE CARVAHO OROHA ETO Matriz de Massa de Orde Elevada, Dispersão de Velocidades e Reflexões Espúrias Tese apresetada à Escola de Egeharia de São Carlos para obteção do título de Doutor e egeharia. Área de cocetração: Diâica Estrutural. Orietador: Prof. Dr. José Elias aier São Carlos 8

2 AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVUGAÇÃO TOTA OU PARCIA DESTE TRABAHO, POR QUAQUER MEIO COVECIOA OU EETRÔICO, PARA FIS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FOTE. Ficha catalográfica preparada pela Seção de Trataeto da Iforação do Serviço de Biblioteca EESC/USP 85 oroha eto, Celso de Carvalho Matriz de assa de orde elevada, dispersão de velocidades e reflexões espúrias / Celso de Carvalho oroha eto ; orietador José Elias aier. - São Carlos, 8. Tese (Doutorado-Prograa de Pós-Graduação e Área de Cocetração e Eegeharia de Estruturas) - Escola de Egeharia de São Carlos da Uiversidade de São Paulo, 8.. Diâica estrutural.. Eleetos fiitos.. Odas evaescetes. 4. Odas espúrias. 5. Precisão uérica. 6. Tiosheko. I. Título.

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4 ii AGRADECIMETOS À EESC-USP pelo suporte físico e à Capes pelo suporte fiaceiro.

5 ÍDICE Sibologias Teros técicos CAPÍTUO Itrodução 4 CAPÍTUO Propagação Odulatória e Método dos Eleetos Fiitos: Eleetos de Barra 7.. Itrodução 7.. Equação de ovieto 8.. Estudo da dispersão uérica 4.4. Exeplo de aplicação 9.5. Reflexões espúrias CAPÍTUO Algoritos de Itegração para Eleetos de Barra co Quadraturas de Orde ais Elevada e Matriz de Massa.. Itrodução.. Cobiação otiizada. Itegrador espacial proposto 5.4. Resultados 9 CAPÍTUO 4 Propagação uérica e eleetos siples de viga de Tiosheko Itrodução 44

6 4.. Equação de ovieto Cálculo da propagação uérica Cálculo da reflexão espúria 59 CAPÍTUO 5 Algoritos de Itegração para Eleetos de Viga Itrodução Forulação ediate itegrador espacial do tipo β S Forulação geeralizada Resultados uéricos 7 CAPÍTUO 6 Cosiderações Teóricas Copleetares para a Elaboração de Algoritos de Itegração para Eleetos Fiitos e Aálises Diâicas Itrodução Elevação da orde de erro dos resíduos e eleetos de viga Equilíbrio de forças trasversais e eleetos de viga 87 CAPÍTUO 7 Coclusões 94 Referêcias 97

7 ISTA DE SÍMBOOS Geral: Cada poto sobrescrito a ua variável idica ua derivação e relação ao tepo; Cada apóstrofe acopahado ua variável idica ua derivação e relação ao espaço; Valores uéricos etre parêteses idica expressões e igualdades ateáticas; Valores uéricos etre colchetes idica referêcias bibliográficas; etras etre colchetes idica atrizes; etras etre chaves idica vetores; A letra T (aiúscula) sobrescrita à direita de u par de chaves ou de colchetes idica a trasposta do vetor ou da atriz respectivaete; A abreviação SIM o cato iferior esquerdo de ua atriz idica sietria; Descrição dos parâetros: α úero de oda; α a A β c R c S C ι C ι [C] úero de oda relativo ao problea discreto; Variável auxiliar de alocação diâica; Área da seção trasversal; Poderador de ewark; Velocidade de referêcia; Velocidade de referêcia da oda cisalhate; Aplitude de deslocaeto oda icidete; Aplitude de rotação da oda icidete; Matriz de aortecieto global; [C] ( I) Matriz de aortecieto local do eleeto ; E Módulo de elasticidade; e úero de euper; {f} Vetor de ações exteras; γ Relação c R /c S ; G Módulo de elasticidade trasversal; η Relação α /α; i Uidade coplexa;

8 ι I κ k Aplitude da oda icidete; Moeto de iércia da seção trasversal; Variável auxiliar de alocação diâica; Aplitude da oda refletida; Variável auxiliar de alocação diâica; k Coeficiete de cisalhaeto; [K] Matriz de rigidez global; [K] ( I) Matriz de rigidez local do eleeto ; λ R [M] Coprieto de oda de referêcia; Coprieto logitudial do eleeto; Matriz de assa global; [M] ( I) Matriz de assa local do eleeto ; M Moeto fletor; ν Coeficiete de Poisso; Variável auxiliar de alocação diâica; ρ Massa específica; r Raio de giração; p Relação λ R /; θ Rotação da seção trasversal da viga; s ( I) Âgulo α, /; τ Aplitude da oda trasitida; t Tepo; T Passo de tepo; T R Período de referêcia; u ( I) Deslocaeto o ó ; u {u} (, I) Deslocaeto o ó o ésio passo de tepo; Vetor de deslocaetos; {u} ( I) Vetor de deslocaetos do eleeto ; V Força cortate; ω Freqüêcia agular de oscilação; ω Freqüêcia agular atural de oscilação; ξ Relação T/T R ; x Espaço; ψ Distorção devido ao cisalhaeto; y Deslocaeto trasversal da viga; Z Relação r/λ R ;

9 TERMOS TÉCICOS Dispersão Dispersão de velocidade Efeito espúrio Equação de difereças Erro de trucaeto Freqüêcia espacial Itegração uérica Matrix de assa cosistete Matriz de assa cocetrada Oda evaescete Orde de erro Poto de bifurcação Quadratura uérica Reflexão espúria Erro associado à iprecisão da itegração uérica; Erro do valor uérico da velocidade de propagação; Feôeo que ocorre o problea uérico, as ão o teórico; Aquela que resue a equação regete e teros discretos o tepo e o espaço; Erro proveiete da expasão e série dos teros evolvidos a equação de difereças; O iverso do coprieto de oda; Descrever u parâetro ou ua equação diferecial através de u sistea discreto; Modelo clássico co atriz de assa cheia ; Aquela que possui apeas os teros da diagoal pricipal coo ão ulos; Vibração dotada de u decaieto expoecial, e aplitude, ao logo do setido de propagação (doíio do espaço); Potêcia relativa à prieira parcela restate da expasão e séries dos teros discretos evolvidos; Valor ode a raíz de ua equação assue valor coplexo; Siôio de itegração uérica; Oda refletida a iterface de dois eleetos adacetes, devido à difereça geoetrica etre eles;

10 RESUMO OROHA ETO, CESO C. Matriz de Massa de Orde Elevada, Dispersão de Velocidades e Reflexões Espúrias f. Tese (Doutorado) Escola de Egeharia de São Carlos, Uiversidade de São Paulo, São Carlos, 8. O assuto pricipal deste trabalho é qualificar, quatificar e ipleetar o coportaeto uérico de estruturas discretizadas através do étodo dos eleetos fiitos. Serão abordados apeas os eleetos lieares uidiesioais diâicos, poré a aplicabilidade da forulação proposta pode se esteder para eleetos bi e tridiesioais lieares diâicos. Iicia-se co ua itrodução ao tea. Co certo desevolvieto ateático, pode-se isolar aaliticaete a parcela relacioada ao erro uérico. Elevado a orde do erro de trucaeto, obté-se precisão elevada a resposta uérica. Ispirado o itegrador teporal de ewark, proeta-se eleetos que apreseta estabilidade icodicioal para os chaados efeitos espúrios. O efeito evaescete é u feôeo espúrio ode a oda se propaga ao logo da estrutura acopahada de u aortecieto puraete uérico ao logo do doíio do espaço. Outro efeito aalisado é a reflexão espúria. Quado dois eleetos adacetes tê coprietos diferetes, surge ua oda de reflexão (ou duas, o caso do eleeto de viga) a iterface deles. Tal oda, tabé de orige puraete ateática, existe devido à difereça etre as assas e as rigidezes absolutas dos eleetos evolvidos, idepedete do fato de que eles teha as esas características físicas. A relação etre o icreeto de tepo e o período de oscilação é coveieteete epregada coo pricipal parâetro para quatificar a discretização o doíio teporal. o doíio do espaço, a relação epregada é etre o coprieto do eleeto e o copriprieto de oda. Palavras-chave: Diâica estrutural, Eleetos fiitos, Odas evaescetes, Odas espúrias, Precisão uérica, Tiosheko.

11 ABSTRACT OROHA ETO, CESO C. High Order Mass Matrix, Velocity Dispersio ad Spurious Wave Reflectio. p. Thesis (Doctor Degree) Egieer School of São Carlos, Uiversity of São Paulo, São Carlos, 8. The ai subect of this work is to qualify, quatify ad ipleet the uerical behavior of discrete structures through the fiite eleet ethod. It will be ivestigated oly the dyaic oediesioal liear eleets, but the applicability of the proposed forulatio ca be exteded to the bi ad tri-diesioal cases. It begis with a itroductio to the thee. With soe atheatical developet, the related uerical error ca be isolated aalytically. Oce the trucatio error is isolate, a high precisio uerical respose is obtaied. Ispired i the ewark tie itegrator, ucoditioally stable eleets for spurious effects are idealized. The evaescet effect is a spurious pheoeo where the wave propagates alog the structure subected to a uerical dapig i the spatial doai. Aother effect aalyzed here is the spurious wave reflectio. Whe two adacet eleets have differet legths, a reflected wave exists (two waves for the bea eleet) at their iterface. This wave, which eaig is purely atheatical, exists due to the differece of their absolute ass ad stiffess betwee the fiite eleets ivolved, eve whe both eleets have the sae physical properties. The rate betwee the tie icreet ad the period of oscillatio is coveietly eployed as the ai paraeter to quatify the tie discretizatio. I the spatial doai, the used paraeter is the relatio betwee the eleet ad the wave legth. Keywords: Structural dyaics, Fiite eleet, Evaescet waves, Spurious wave reflectios, uerical precisio, Tiosheko.

12 4 CAPÍTUO Itrodução O costate iteresse por parte do setor idustrial, ipulsioado pelo ercado á e ível globalizado, de desevolver produtos cada vez ais copetitivos é resposável pela expoecial taxa co que surge ovos recursos coputacioais direcioados ao rao da egeharia, ode, ievitavelete, o coportaeto estrutural do produto fabricado deve ser ivestigado para diversas codições. Etretato, a liitação costate de ua aálise estrutural por eleetos fiitos se ecotra a velocidade de resolução algébrica, a precisão das respostas obtidas e a estabilidade do sistea. Assi, é cou o uso de coputadores especiais dotados de diversos processadores para aálises estruturais que, aida assi, perdura algus dias de processaeto.

13 5 O estudo apresetado é direcioado para aálises lieares diâicas, evolvedo propagação odulatória, aálise trasiete e decoposição odal. Ebora a ão-liearidade estea presete a aioria dos códigos coputacioais ecotrados, tais aálises estruturais diâicas são itrisicaete lieares. A forulação de eleetos fiitos co elevada precisão uérica alea cotribuir a redução do tepo de processaeto, ua vez que possibilita editar alhas eos refiadas. Coutaete, tabé se te alívio coputacioal quado se trabalha co atrizes de assa cocetrada. Certos tipos de sisteas estruturais, assi coo de copoetes estruturais isolados, tê elhor represetatividade e perforace quado odelados por eleetos de geoetria uidiesioal, tal qual o de barra (treliça) e o de viga (pórtico). A idústria autoobilística, por exeplo, eprega eleetos de viga o odelaeto do chassis, travessas coluas o pré-proeto de u veículo, alé de outros copoetes coo o sistea de suspesão, acoplaeto de alhas, potos de solda, etc. Muitos copoetes estruturais a idústria de óleo e gás são dutos (Risers, tubos eterrados, gasodutos, etc.). Coo exeplos de aplicação a idústria aeroespacial, tê-se os strigers (barras de reforço de paiéis) e as vigas da fuselage. E geral, o tepo de processaeto e a estabilidade do sistea uérico são fatores críticos e u proeto. Te-se aida que, e u processo de otiização física ou topológica (D.O.E.), ode u odelo estrutural discretizado é processado várias vezes seguidas, a redução do tepo cosuido pela resolução do sistea atricial sigifica ua ecooia cosiderável o duração total de execução. este trabalho, propõe-se qualificar, quatificar e elaborar ua forulação de eleetos fiitos co elhor desepeho e relação à freqüêcia de oscilação o doíio do tepo e do espaço. Coo sabido, a propagação odulatória e u odelo de eleetos fiitos te atureza dispersiva, ode o efeito da iprecisão uérica ocasioa alogaeto ou ecurtaeto do período de oscilação e do coprieto de oda. Isto afeta, por coseqüêcia, a velocidade de propagação das odas. Alé disso, alguas sigularidades uéricas pode ocasioar a falha de toda a aálise estrutural. Ua itrodução a

14 6 este tea é feita o capítulo, ode elege-se abordar o eleeto fiito cosistete clássico de barra, co ua grau de liberdade e cada extreidade, por se tratar do ais siplificado dos casos. Aida o capítulo, isere-se o leitor o cálculo da quatificação de dois efeitos espúrios, ou sea, que ocorre o problea uérico as ão o teórico. Tais efeitos iterfere substacialete a validação de u cálculo estrutural. Coo prieiro feôeo a ser apotado te-se a chaada oda evaescete, que é caracterizada por u decaieto expoecial da aplitude da oda ao logo de seu eixo de propagação. E seguida, discute-se o caso da reflexão espúria, itrisicaete presete e alhas co eleetos fiitos de diferetes diesões, dita alha ão hoogêea. Tal oda surge para garatir o equilíbrio de u ó copartilhado por dois eleetos de coprieto diferetes. Assi, por ua questão de copatibilidade física, ua oda icidete reflete-se a iterface iter-eleetar. O etedieto do coportaeto uérico do clássico eleeto fiito de barra perite a elaboração de itegradores visado o suprieto dos critérios de precisão e de estabilidade perate os efeitos espúrios. O capítulo avaça e direção a este obetivo, resultado e u tipo de forulação otiizada que é idéia cetral do estudo proposto. Ua vez copreedido o que ocorre uericaete co o eleeto fiito siples de barra, parte-se para o capítulo 4, que aplica o eso estudo ao eleeto fiito uidiesioal de viga. Adota-se o odelo costitutivo de acordo co a teoria de viga segudo Tiosheko. o capítulo seguite, estuda-se o procedieto para criar duas equações de difereças (copostas por teros discretos) que ateda às equações difereciais de equilíbrio de força cortate e de oeto fletor. A pricípio, tal equação de difereças pode ser etedida coo ua cobiação de dados uéricos, possibilitado assi a aipulação das variáveis visado obter elevado desepeho para o sistea. Existe alguas aalogias iteressates etre o eleeto de barra e o de viga, que são apotadas o texto e oetos oportuos.

15 7 CAPÍTUO Propagação Odulatória e Método dos Eleetos Fiitos: Eleetos de Barra.. ITRODUÇÃO Procura-se este capítulo apresetar o estudo da dispersão da velocidade de propagação odulatória e decorrêcia de abordage uérica das equações de ovieto. Trata-se, pois, do estudo de u erro de aproxiação do tipo global, cua atureza é de orige puraete uérica, e que decorre da odelage do coportaeto estrutural pelo eprego de étodos uéricos de itegração [MIKOWITZ (96), IU (994)]. Co esse propósito, as ateções vão estar aqui voltadas para a odelage epregado-se o ais siples dos eleetos fiitos, que é o eleeto fiito de barra co u grau de liberdade por ó de extreidade.

16 8 Ua vez defiido u capo de deslocaetos aproxiado o doíio do eleeto correspodete, a equação diferecial que govera o coportaeto, advida do equilíbrio diâico, passa a ser represetada por ua equação de difereças, a qual exprie uericaete o coportaeto do sistea agora discretizado. Dessa fora, o equilíbrio de ações passa a ser expresso segudo u sistea de equações algébricas, explicitado-se, pois, segudo otação atricial clássica. o caso do eleeto siples de barra, a equação de ovieto e sua versão uérica se reduz a apeas ua úica equação algébrica. A propagação odulatória e sua versão uérica correspodete, be coo a preseça das chaadas odas evaescetes, são abordados aalítica e uericaete, chaado-se a ateção para a correspodêcia etre tais forulações ateáticas, assi coo a correspodêcia etre os resultados da via aalítica e os da via uérica (sisteas discretizados). Etede-se por oda evaescete aquela solução da equação de ovieto que ão apreseta característica de propagação, e que está sueita a u aortecieto segudo a variável espacial, pela preseça de u fator expoecial co potêcia egativa evolvedo a variável espaço (dessa característica decorre a deoiação evaescete). Cofore será oportuaete ostrado, outro feôeo de atureza tabé puraete uérica são as chaadas reflexões espúrias. Este últio feôeo, tabé proveiete da itegração uérica da equação de ovieto, ocorre a iterseção de eleetos fiitos de diesões diferetes, ou sea, quado do eprego de alhas de eleetos fiitos geoetricaete ão uifores... EQUAÇÃO DE MOVIMETO A abordage aalítica clássica da equação odulatória (oda de D Alebert) decorre do equilíbrio axial de barra, e assi se expressa: u u x t c (.)

17 9 ode c é a velocidade de propagação dada por: c E (.) ρ sedo E o ódulo de elasticidade do aterial da barra e ρ sua assa específica. Coo se vê de (.), a equação diferecial e questão ão privilegia, e teros do grau de derivação, ehua das variáveis (espaço e tepo). E outras palavras, a história o tepo do ovieto é, a eos da costate c (velocidade de propagação), a esa que pode ser observada o espaço. A solução geral de (.) te a seguite redação e otação coplexa: πi πi λ λ Ce ( xct) ( x ct) u(x, t) C e (.) ode λ é o coprieto da oda, c a velocidade de propagação da oda (dada pela relação etre o coprieto de oda e o período de oscilação), i a uidade iagiária, e a base do logarítio atural e C e C são costates de itegração depededes das codições de cotoro. A prieira parcela do ebro direito de (.) correspode a ua oda propagado o setido positivo do eixo coordeado Ox, e o segudo a ua oda propagado-se o setido egativo. a diâica de estruturas, a forulação do étodo dos eleetos fiitos te coo pricipal obetivo a itegração das equações difereciais do ovieto através de ua discretização espacial do problea (itegração por subdoíios), seguida da itegração teporal (itegração passo-a-passo). Coo sabido, para cada eleeto k tê-se correspodeteete ua atriz de assa, de aortecieto e de rigidez, referidas coo [M] k, [C] k e [K] k respectivaete. O vetor que cotepla os deslocaetos os ós do eleeto é chaado de vetor de deslocaetos, cua sibologia é represetada por {u} k. Operado-se sobre as atrizes idividuais dos eleetos fiitos ediate o auxílio de ua atriz de alocação, que relacioa os graus de liberdade locais do eleeto (coordeadas locais) co os do couto (coordeadas globais), obtêse as atrizes globais de assa [M], de aortecieto [C] e de rigidez [K] da

18 estrutura. Desta aeira, o étodo dos eleetos fiitos perite explicitar o equilíbrio diâico da estrutura segudo u sistea de equações difereciais a fora: [ M]{u} [C]{u} [K]{u} {f} (.4) ode {f} represeta o vetor de ações exteras, e a otação co potos superiores idica o grau de derivação e relação ao tepo. este capítulo, a ateção vai estar voltada apeas para sisteas diâicos ão aortecidos fisicaete (propagação odulatória ão aortecida). O úero de equações do sistea e (.4) é igual ao úero de graus de liberdade global da estrutura cosiderado a odelage, sedo que cada equação isoladaete ve a ser u equilíbrio de ações segudo ua das coordeadas. Por exeplo, a a liha do sistea atricial (.) refere-se à equação de ovieto do o grau de liberdade. Ao se solicitar ua estrutura por eio de ua ação extera ou de u deslocaeto iposto, a eergia se propaga ao logo da estrutura através de odas. Todavia, ao se proceder a itegração das equações de equilíbrio epregado-se o étodo dos eleetos fiitos, alé de se ter aturalete ua resposta aproxiada para os deslocaetos; te-se, coo coseqüêcia, que o coportaeto resultate é u ovieto odulatório co velocidade de propagação tabé aproxiada; e de atureza dispersiva, ua vez que a velocidade uérica passa a depeder, via de regra, do coprieto de oda. A figura. ilustra u eleeto fiito de barra geérico k co dois graus de liberdade e de coprieto. E cada ó de extreidade (aqui deoiados e ) é cosiderado haver u grau de liberdade relativo ao ovieto axial deoiado u, que represeta, pois, o ovieto axial e cada extreidade. u k Figura. Eleeto fiito de barra co dois graus de liberdade. u

19 As atrizes de rigidez e de assa obtidas segudo a odelage cou cosistete (fuções de fora lieares) do étodo dos eleetos fiitos são, para o eleeto e apreço, dadas por: EA ρa [ K] k ; [ M] k (.5) 6 ode A é a área da seção trasversal da barra. O procedieto para se efetuar o equilíbrio de forças e u ó de u eleeto é a adissão de ua barra de coprieto ifiito sueita a ua oda icidete que se propaga o seu setido axial, cofore o ilustrado a figura.. esta represetação, a oeclatura epregada para represetar o capo de deslocaetos é u, que idica o deslocaeto do ó o ésio passo de tepo [WAG (99)]. u - Oda axial u k - k u Figura. Barra de coprieto ifiito sueita a ua oda uiaxial. De acordo co o ilustrado a figura., sedo aditido que ão haa força extera aplicada o ó, o equilíbrio diâico referete esse ó, tedo-se e vista (.5) passa a se expressar [AHMADIA (998)]: EA ρa ( u u u ) ( u 4u u ) 6 (.6) ode o expoete idica que se trata do equilíbrio u passo de tepo geérico, ua vez que a discretização do tepo aida ão foi cosiderada. A equação (.5), que é do tipo diferecial (o tepo) de difereça (o espaço), ua redação ais oportua, se expressa: E ρ ( u u u ) ( u 4u u ) 6 (.7)

20 sedo este o oeto de observar que, uericaete, tal equação ocupa o lugar da equação diferecial (.). Tedo-se e ete que a solução da equação diferecial de difereça (.7) deve retratar ua propagação odulatória coo (.), e que a variável cotíua x é agora substituída pela variável iteira (x), a solução de (.7) deve ser do tipo [MUE (98)]: u i( α ωt) C.e (.8) ode C, α e ω são respectivaete a aplitude da oda icidete, freqüêcia espacial relativa ao problea discreto e freqüêcia agular de oscilação da oda. Vale assialar esse poto que, ebora o tepo o problea aida ão foi discretizado, á adota-se e (.8) para o tepo ua otação discreta; ode por hora cosidere-se t T, sedo T o passo de tepo (icreeto o tepo) e a variável que adiate será discreta. Assi sedo, para os ós - e tê-se: iα u e u iα u e u (.9) Aalogaete, cosiderado-se os passos de tepo - e tê-se coo válidas as seguites redações: u e u iωt u e u iωt (.) Epregado-se a itegração segudo a variável tepo o clássico itegrador de ewark [ewark (959)], que pode ser suarizado e teros dos seguites operadores heritiaos:

21 u u u u [( δ) u δu ] T u T β u βu T (.) ode, coo á referido, T é o passo de tepo (icreeto), δ e β são parâetros livres. Te-se, o caso do operador trapezoidal (δ/), a seguite relação etre a aceleração e o deslocaeto: ( ) u T β u (.) ode represeta o operador de difereça: u u u u (.) E outras palavras, a eq. (.) perite expriir a aceleração e teros dos deslocaetos. Co isso, tedo-se e vista (.), a equação diferecial de difereça (.7) perite ua ova redação, ou sea: 6T E ( u 4u u ) ( β )( u u u ) (.4) ρ que ve a ser a equação de difereça que, uericaete, substitui a equação diferecial (.) que govera a propagação odulatória e apreço. Por outro lado, tedo-se e vista (.8) e (.), o operador (.) gaha a seguite redação: ( ( ) ) u cos ωt u (.5) ode, ediate o eprego da clássica equação de Euler, os teros coplexos acaba sedo aulados. A equação (.4) gaha ua ova escrita, ou sea: 6T E ( )( u β u ) (.6) ρ ( cos( α ) ) u cos( α )

22 4 ou aida, por força do expresso e (.5): T E (.7) ρ ( cos( α ) )( cos( ωt) ) ( cos( α ) )( β β cos( ωt) ) u que, de certa fora, cosiste u problea de autovalores de diesão u, cua solução ão trivial obté-se sedo iposto que o tero etre colchetes sea ulo. Vale apotar que quado há ais de u úico grau de liberdade por ó, te-se ua equação característica e forato de u sistea atricial, culiado e u problea de autovalores e autovetores. Aida, caso houvesse u aior úero de potos de itegração o tepo e/ou o espaço, surgiria ovos teros cosseoidais... ESTUDO DA DISPERSÃO UMÉRICA o setido de facilitar o estudo e questão, é coveiete expressar a equação (.7) e teros de parâetros adiesioais, ou sea: ode: ( cos( α ) )( cos( πξ) ) p ξ ( cos( α ) )( β β cos( πξ) ) (.8) c ; T π R ω ; λ R c RTR (.9a) E R ρ λr p ; T ξ (.9b) T R ode c R, T R e λ R são respectivaete a velocidade, período e coprieto de oda aalítico. Percebe-se que os parâetros adiesioais p e ξ retrata e teros adiesioais ua edida da discretização adotada; o prieiro relacioa o coprieto de oda de referêcia co o coprieto do eleeto, e a seguda é a razão etre o passo de tepo co o período de oscilação. Explicitado-se cos(α ) por eio da equação (.8), chega-se à expressão que defie a propagação uérica o eleeto, ou sea:

23 5 ou aida: ( β) ξ ( 6p ξ β ) cos( πξ) ( β) ξ ( 6p ξ β ) cos( πξ) cos p ( α ) (.) p η α α p p arc.cos π p ( β) ξ ( 6p ξ β ) cos( πξ) ( ) ( ) ( ) β ξ 6p ξ β cos πξ (.) ode: π α (.) λ R ve a ser a freqüêcia espacial aalítica. Coo prieiro exeplo de aplicação, sea cosiderado o caso β¼ e ξ., cuo resultado acha-se ilustrado a figura.a), o qual é forecido o valor de η e fução da variável p. este gráfico, verifica-se que a curva evolui assitoticaete para o valor η.5 aproxiadaete. Isto sigifica que o erro referete à discretização teporal peraece co a esa orde de agitude eso que haa u refiaeto a discretização espacial. Observa-se a figura.b) que a assítota é be ais próxia da uidade quado ξ.. Coparado-se abos, é visível que as foras das curvas são idêticas, verificado-se que a difereça etre elas cosiste apeas ua traslação. Atribui-se a essa característica o fato de que a odelage espacial do eleeto é a esa. É tabé iteressate, a aálise da variação de u parâetro e fução de duas variáveis, u exae do gráfico e superfície. Aditido tato o valor clássico β¼ quato o odelo de difereças cetradas (β), a figura.4 ostra o coportaeto da relação η e fução de p e ξ. Através destas represetações é possível observar que, de fora geral, a resposta uérica da freqüêcia espacial é aior que a teórica quado β¼, e eor quado β. esta circustâcia, é istitiva a especulação de que haa u valor iterediário de β que resulte ua elhor resposta uérica da discretização o doíio do tepo. Ua vez que o itegrador espacial é o eso

24 6 e abos os casos, é esperado que qualquer curva o plao p-η possua o eso forato, idepedete da quadratura teporal. a) b) c) d) Figura. Relação α /α para a) β¼ e ξ.; b) β¼ e ξ.; c) β e ξ. e d) β e ξ.. a) b) Figura.4 Relação α /α para a) β¼ e b) β. É iteressate verificar o coportaeto do eleeto fiito diate ua sei-discretização espacial, ode se cosidera a resposta aalítica o doíio do tepo. esse setido, sea cosiderada a equação de ovieto (.6) tedo-se e cota o expresso e (.9), ou sea:

25 7 ( ω p cos( α ))u (t) ( cos( α))u (t) (.) (π) ode u (t) represeta o deslocaeto do ó o istate t. Substituido-se a equação (.) o capo de deslocaetos seidiscretizado dado por: u (t) i( α ωt) chega-se etão ao valor: C.e (.4) p 9p η arccos π p π (.5) Por outro lado, ao se plotar a curva correspodete a (.5), chega-se u gráfico idêtico ao ostrado a figura.b. Isto pode ser evideciado ateaticaete a igualdade (.5) ao se efetuar o liite de ξ tededo a zero. Verificado-se etão o liite de η expresso e (.5), para p tededo a ifiito, chega-se ao valor uitário. Todavia, aplicado o liite a igualdade (.), para p tededo a ifiito, te-se: se( πξ) li[ η] p (.6) πξ [ β(cos(πξ) )] A figura.5 exprie o coportaeto de (.6) para dois valores de β. Mateaticaete, é possível verificar que esta expressão tede à uidade quado ξ. a) b) ξ ξ Figura.5 iite da relação α /α para p co a) β¼ e b) β.

26 8 Os estudos realizados até agora ostra o quato a resposta uérica depede das duas parcelas distitas de erro: ua devido à discretização espacial e outra proveiete da discretização teporal. Do poto de vista ateático, o valor uérico da freqüêcia espacial α Ν resultate da equação trascedete (.) pode assuir ua fora puraete iagiária e casos quado o segudo ebro dessa igualdade te ódulo co valor aior que a uidade. De acordo co o capo de deslocaetos (.8), isto acarreta a ocorrêcia de expoetes reais egativos o doíio do espaço, ou sea: I[ α ] iωt u Cie e (.7) E outras palavras, trata-se de u feôeo de atureza puraete uérica que, pelo fato de se ter ua oscilação co decaieto expoecial ao logo do espaço, cohecido coo oda evaescete, ão há propriaete propagação evolvida. Co o ituito de apotar a região do doíio ode a freqüêcia espacial é coplexa, a figura.6 apreseta a iage o eixo de Gauss de α /α. a) b) Figura.6 Iage de α /α co a) β¼ e b) β. De acordo co a equação (.), o doíio ode o valor da freqüêcia espacial assue valor real é dado por:

27 9 p ( β) ξ (6p ξ β ) cos(πξ) < < (.8) p ( β) ξ (6p ξ β ) cos(πξ) sedo que a solução desta iequação perite cocluir que o valor liite de p este caso é dado por: cos(πξ) (.9) 6( ξ ξ β ξ β cos(πξ)) p i Goverado pela igualdade (.5), a freqüêcia espacial relacioada ao caso sei-discretizado o espaço te coo liite: π p i.8 (.) De fato, este valor tabé é obtido quado realizado o liite ξ a expressão (.9)..4. EXEMPO DE APICAÇÃO O exeplo cosiderado este ite é o de ua barra de coprieto total T siplesete egastada ua extreidade, co ua força diâica F(t)se(ωt) de excitação aplicada a extreidade livre, e u úero geérico e de eleetos fiitos, cofore o esquea da figura.7. F(t)... - T Figura.7 Exeplo cosiderado. Cosidera-se esse exeplo de aplicação ódulo de elasticidade do aterial altaete flexível (visado facilitar a visualização) coo sedo E kpa, assa específica valedo ρ5 kg/, área da seção trasversal A.5, e coprieto total T.

28 Para o exeplo e questão a terceira freqüêcia agular atural aalítica vale.rad/s, e a sexta ale 48.9rad/s. Aditido-se ua alha co eleetos ( e ), icreeto de tepo T.s, e cosiderado-se β¼, te-se etão a figura.8, o qual ilustra u, e etros, para freqüêcias coveieteete próxias dessas aalíticas. U exae das superfícies ilustradas a figura.8 perite verificar que existe ua frete de oda se propaga uericaete, e que o capo de deslocaetos expresso e (.8) é exataete o que ocorre. Os parâetros adiesioais para cada caso estão dispostos a tabela.. a) b) 5 5 u u 5 Figura.8 Capo de deslocaetos u, e etros, para a) ωrad/s e b) ω49rad/s. Parâetro ω (rad/s) TR (s) λr () p ξ Caso a Caso b Tabela. Parâetros adiesioais de cada caso. Tedo-se e cota ser extreaete coplexa a forulação de ua rotia voltada para a deteriação da velocidade de propagação da frete de oda, a partir da resposta e deslocaetos de u odelo discretizado; recorrese, portato, a ua aproxiação uérica da expressão proveiete da difereciação por partes de ua oda que se propaga o setido positivo do eixo Ox correspodete, ou sea:

29 u(x ct) t u(x ct) c x (.) Tedo-se e cota ua siplificada equação eleetar de difereças para correspodete ao expresso e (.), ou sea : u c u u u T (.) Os resultados de (.), laçados as figura.9a) perite iferir que, quado a prieira derivada o espaço do deslocaeto é praticaete ula, o itegrador (.) apreseta certa perturbação. aturalete, para ua discretização ais refiada, coo é o caso dos resultados laçados a figura.9b), a velocidade de propagação e a aproxiação (.) são ais precisas. a) b) c/cr t (s) c/cr t (s) Figura.9 Relação c/c R o ó e fução do tepo para o exeplo descrito, co a) e e T.s e b) e e T.s. Para verificar a preseça de odas evaescetes [MUDER (999)], sea o caso de discretizar o exeplo e questão co 5 eleetos ( e 5), icreeto de tepo valedo T.s e β¼. Segudo a expressão (.9), co o auxílio de (.9), esta cofiguração te coo freqüêcia liite u valor de 8.79Hz. Desta fora, odas co freqüêcia acia desta são evaescetes. Sabedo-se que o caso discretizado cota co 5 freqüêcias aturais, tora-se ecessário filtrar o sial de resposta e ua faixa de doíio de iteresse. Portato, serão

30 cosideradas duas badas distitas, ua abaixo e outra iediataete acia da freqüêcia liite. A figura. descreve a fução de aplitude H(ω) de cada filtro. O procedieto é captar os deslocaetos dos ós e 4 o decorrer do tepo. Visado verificar a propagação da oda, solicita-se a barra co freqüêcia de 5Hz co coseqüete filtrage abaixo do liite (filtro azul). E seguida altera-se a freqüêcia para 45Hz, filtrado os siais co a bada acia do liite (filtro verde). O resultado é exposto a figura., ode as lihas azul e verde são respectivaete o deslocaeto do ó e 4, respectivaete. A liha verelha represeta o deslocaeto ulo. Segudo este gráfico, é otório que a oda é evaescete para o segudo caso. Figura. Filtros passa-bada epregados os cálculos. a) b) Figura. Deslocaetos dos ós e 4 (lihas azul e verde respectivaete) para a) 5Hz e b) 45Hz.

31 Do poto de vista prático da egeharia de estruturas, o cohecieto do liite áxio peritido para a freqüêcia de oscilação, auxilia a escolha do tipo de eleeto fiito da aálise, de odo a se evitar as aoalias decorretes da participação de odas evaescetes..5. REFEXÕES ESPÚRIAS Coo visto, para calcular a propagação uérica foi epregada ua alha uifore co eleetos providos de características diesioais idêticas. Tal ceário e sepre é possível ou viável e certos odelos estruturais reais. Ua vez que a solução é obtida epregado-se itegrações aproxiadas, evolvedo equações de difereça, co velocidade de propagação que depede da diesão da alha, é de se esperar, coo de fato se verifica, que, a uião de eleetos de coprieto diferetes, sura reflexão de oda, dita espúria, por ocorrer apeas o problea uérico e ão o aalítico [JIAG (99), BAZAT (978)]. Para u exae ais ateto dessa questão, cosidere-se ua barra de diesão ifiita trabalhada co a alha ilustrada a figura.. A barra está dividida e duas partes sei-ifiitas, ua à esquerda e outra à direita, idexadas respectivaete por e. Adite-se etão que o coprieto de cada u dos eleetos da parte esquerda sea diferete do coprieto dos eleetos da parte direita. Cosidere-se esta barra ua oda icidete que se propaga da esquerda para a direita. E decorrêcia do equilíbrio de forças o ó, a alha ão hoogêea coduz ao surgieto de ua oda espúria refletida. Oda icidete u u- k k u - Oda espúria Oda trasitida Figura. Cofiguração para o cálculo da oda espúria.

32 4 Devido à codição de iterface etre os eleetos, a aplitude da oda trasitida será a soa das aplitudes da oda icidete e da oda refletida, de aplitudes φ e κ respectivaete. A parcela icidete é caracterizada pela propagação e setido úico, equato a parcela espúria pela propagação e dois setidos, de fora eigrate o ó. Assi, os vetores de deslocaetos para o eleeto siples de barra são: (.a) is is iωt e e iωt { u } { u } e φ κ e iωt iωt { u } { u } e φ κ (.b) e e e is is ode s represeta o âgulo α e os ídices e idica tratar-se de gradezas relativas ao eleeto da esquerda e o da direita do ó, respectivaete. Cupre otar que o feôeo da reflexão espúria aifesta-se idepedeteete da discretização teporal adotada. Para deostrar isso, parte-se iicialete para u odelo aalítico o tepo e discretizado espacialete. O odelo aalítico o tepo perite relacioar a aceleração co o deslocaeto a fora: { } { } u ω u (.4) iplicado-se a equação de ovieto: ([ ] ω [ M ]){ u } ([ K ] ω [ M ]){ u } K (.5) co: [ ] ω p K ( ) { } π ; [ ] ω p K ( π) ψ { } (.6a) [ M ] { } 6 ; [ M ] ψ{ } 6 (.6b) ψ (.6c)

33 5 A aeira expedita de se ecotrar a aplitude da oda refletida cosiste e se substituir as equações (.) e (.4) a (.5). Isolado κ /φ a expressão assi obtida, ecotra-se fialete a relação etre a aplitude espúria a e icidete, a fora: κ φ π ψ is is is is p [ e ( ψ e ψ) ] π ψ[ e ( e ψ ) ψ] is is is is is is is { e ψ e [ e ( ψ) ]} p [ e ( e ) e ψ( e ) ] is e (.7) ode p represeta a taxa de discretização espacial dos eleetos ao lado esquerdo do ó. Para o caso do itegrador β de ewark, a equação de ovieto é: [( β( cos( πξ) ) )[ K ] [ M ]( cos( πξ) ) ]{ u} ( β( cos( πξ) ) )[ K ] [ M ]( cos( πξ) ) [ ]{ u } ξ p [ K ] ξ p { } ; [ K ] { } [ M ] { } ; [ M ] ψ{ } 6 (.8a) (.8b) ψ (.8c) Sedo deoiado coo parcela icidete e espúria os vetores idexados co I e S, separa-se as parcelas de (.) a fora: 6 u e φ is,i ; u,i φ is ; e u e κ is,s ; u,s κ is (.9) e Peritido-se escrever as relações: u is,i e i( s s ) u, I ; que substituídas e (.8) retora: e u e i( s s ),S u, S (.4)

34 6 [( β( cos( πξ) ) )[ K ] [ M ]( cos( πξ) ) ] e is [( β( cos( πξ) ) )[ K] [ M] ( cos( πξ) ) ] i( s s ) [( β( cos( πξ) ) )[ K ] [ M ]( cos( πξ) ) ] ψ [ K ] ψ [ M ]( cos( πξ) ) i( s s ) e u,s e u,i (.4) graças às propriedades: a [ ] [ K ] a a a K ; [ M ] ψ[ M] a ψ a (.4) a a co a e a arbitrários. Desevolvedo a equação (.4) através das igualdades (.9) coclui-se que a relação etre as aplitudes κ /φ passa a ser expressa por: κ V V u, I φ V e V [( β( cos( πξ) ) )[ K ] [ M ]( cos( πξ) ) ] is [( β( cos( πξ) ) )[ K ] [ M ]( cos( πξ) ) ] ( ) e i s s [( β( cos( πξ) ) )[ K ] [ M ]( cos( πξ) ) ] [( β( cos( πξ) ) )[ K ] ψ [ M ]( cos( πξ) ) ] ( ) ψ i s s e (.4a) (.4b) (.4c) Segudo (.4a), a parcela espúria é iexistete quado V.u*,I é ulo. De fato, efetuado tal produto te-se: V u,i φ [( β( cos( πξ) ) )[ K ] [ M ]( cos( πξ) ) ] ψ ( β( cos( πξ) ) )[ K ] ψ [ M ]( cos( πξ) ) u,i e is (.44)

35 7 A figura. é a plotage da expressão (.7) para algus casos de discretização espacial, acusado-se que, por ua questão eergética, a aplitude da oda refletida ão pode ser superior à da oda icidete. Quado a relação assue valor uitário, presecia-se u feôeo siilar ao do tipo wipe-out, co a difereça de que a oda refletida é evaescete, cofore exprie a figura.4. Figura. Módulo da relação κ/φ do odelo sei-discretizado para I) p, II) p 5, III) p 7 e IV) p. Figura.4 Iage o eixo de Gauss da relação κ /φ do odelo sei-discretizado para I) p, II) p 5, III) p 7 e IV) p. Visado evideciar a ifluêcia do itegrador teporal, a figura.5 ilustra o ódulo κ /φ para algus casos, atedo a discretização espacial fixada e p 5. Figura.5 Módulo da relação κ /φ do odelo discretizado para I) β/4 e ξ., II) β e ξ., III) β/4 e ξ.5 e IV) β e ξ.5.

36 8 ota-se que a tedêcia da quadratura teporal é, aturalete, a resposta sei-discretizada ostrada a figura.5. o setido de ilustrar o aparecieto de reflexão espúria, cosidere-se o caso de ua barra siplesete egastada ua extreidade, coo ilustra a figura.6, co ódulo de elasticidade valedo E kpa, assa específica ρ5 kg/, área da seção trasversal A.5 e co 6 de coprieto total, sueita a ua solicitação axial F(t)se(ωt) k. Obetivado-se, pois, evideciar a preseça de reflexões espúrias, divide-se a barra ao eio; e discretiza-se o prieiro trecho co 4 eleetos e o segudo co eleetos, criado-se assi ua alha ão-hoogêea cofore o esquea da figura.5 F(t) Figura.6 Ilustração da alha ão-hoogêea. A quarta freqüêcia atural aalítica dessa barra vale 5.8rad/s. Portato, epregado-se u passo de tepo de.5s, co β/4 e ua excitação co freqüêcia agular valedo ω5rad/s, os parâetros adiesioais correspodetes adquire os valores p 4.7 e ξ.. A figura.7 ilustra o capo de deslocaetos u, e etros, os 5 prieiros ós. Para ilustrar a preseça da reflexão espúria, a figura.8 é o resultado da difereça, e etros, etre o odelo hoogêeo de 8 eleetos iguais co o heterogêeo descrito acia u Figura.7 Deslocaeto u os 5 prieiros ós da alha ãohoogêea.

37 u Figura.8 Difereça etre o capo de deslocaetos hoogêeo e heterogêeo os 5 prieiros ós da alha. Esta últia superfície apota que a aplitude da reflexão espúria é de aproxiadaete 5% da aplitude da oda icidete. De fato, iterpretado a figura.8, o valor de κ /φ para ua cofiguração adiesioal próxia desta ostra resultado coerete co esta agitude aí apotada.

38 CAPÍTUO Algoritos de Itegração para Eleetos de Barra co Quadraturas de Orde ais Elevada e Matriz de Massa.. ITRODUÇÃO O coportaeto uérico de u eleeto fiito e aálise diâica, cofore sabido, depede sobreaeira dos erros de trucaeto de atureza local e global. O estudo dos erros de trucaeto decorre da aálise do desevolvieto e série das fuções evolvidas, via de regra, a fora de u poliôio de grau fiito, os quais depede do coprieto do eleeto (icreeto espaço) e do passo de tepo (icreeto teporal). Este capítulo pretede apresetar ua etodologia voltada a busca de reduzidos erros de trucaeto, obetivado coseqüete o aprioraeto das respostas obtidas.

39 .. COMBIAÇÃO OTIMIZADA O equilíbrio de ações e ua estrutura discretizada co vários graus de liberdade se apreseta a fora de ua equação de difereças, cofore á discutido o capítulo precedete. Pois be, ao se atribuir u capo de deslocaetos expoecial, a correspodete equação de difereça passa a coteplar fuções trigooétricas, coo á ostrado o capítulo precedete. Por outro lado, as fuções trigooétricas evolvidas pode ser expadidas e série de Taylor co trucaeto, por exeplo, do tipo: ( ) α α α O[ ] cos α (.a)! 4! 6! ( ) α α α O[ ] se α (.b)! 5! ode a otação O( k ) idica a orde do chaado erro local, ou a orde do prieiro tero do trucaeto. Do poto de vista ateático, pode-se afirar que existe ua cobiação de parâetros de discretização o espaço e o tepo (parâetros ieretes ao étodo de itegração aproxiado), de tal sorte a se axiizar a orde de erro. Seguido este obetivo, é atural se esperar que os graus de liberdade do sistea passa a ser os fatores de cobiação aditidos. De fato, a expasão dos cosseos co arguetos espaciais a equação (.7) resulta e ua aproxiação da equação diferecial de propagação da oda uiaxial. Co a liberdade de se escolher os parâetros relativos a cada tero das atrizes de rigidez e de assa, busca-se aqui ivestigar ua aproxiação que perita zerar as parcelas de eor orde de erro. Por exeplo, o caso do eleeto siples de barra, para o qual as atrizes de assa e de rigidez do eleeto são de orde dois (cocebidas desta fora a fi de facilitar o rearrao dos teros), quais sea: [ M ] ; [ ] k k k K k (.) k k

40 a otage das correspodetes atrizes do couto, a cotribuição dos eleetos (aditido o odelo de viga ifiita da figura.) se dá a fora esqueática que se segue: u u u k k k k k k k u u u {} (.) O equilíbrio de forças o ó geérico correspode, aturalete, à ª liha do sistea (.). Coo pode ser visto e (.), ebora à prieira vista cota-se co existêcia de quatro parâetros a trabalhar (k, k, e ), duas codições deve a pricípio ser atedidas. A prieira delas é que a atriz de assa deve ter a soa de seus teros resultado a iércia liear total do eleeto. A seguda codição é possuir deteriate ulo para a atriz de rigidez. Devido à sietria das atrizes evolvidas, os fatores que ultiplica u são os esos que ultiplica u -. Esta característica garate que u capo de deslocaetos o forato expoecial coplexo, ao ser trabalhado, resulte o fial ua relação trigooétrica real (a parte iagiária se aula). A prieira idicação o setido de se ivestigar ua proposta da expasão trigooétrica de orde superior surge a itegração teporal. A observação dos gráficos das figuras.(a,c) perite que sea iferida a existêcia de u valor de β o itegrador de ewark, que iiize o erro da quadratura. Assi, tedo-se e cota (.), (.) e (.5) a itegração o tepo da equação (.), co o algorito de ewark, se expressa: ou aida: ( β βcos( ωt) ) T [K]{u} ( cos( ωt) [M]{u} ) {} (.4) cos( ωt) [ β βcos( ωt) ] K]{u} [M]{u} {} (.5) T [

41 Por outro lado, sabe-se que o problea de autovalor e questão te a seguite redação: [K]{u} ω [M]{u} {} (.6) Assi, exaiado-se a expasão e série do fator de (.5), ou sea: ( ωt) [ β βcos( ωt) ] ( β) 4 cos ω 4 ω T O[T ] T (.7) te-se que o erro global do operador trapezoidal (β/4), coo sabido, é de seguda orde. ota-se que, qualquer que sea o eleeto fiito cosiderado, o itegrador teporal de ewark de aior orde de erro ocorre para β/, co erro global de quarta orde. Obviaete, o sistea aida coté ua arge de erro atribuída à itegração espacial. O étodo proposto visa aplicar esta esa expasão a discretização espacial, buscado u itegrador co eor erro e relação ao parâetro (diesão do eleeto). Para a barra ifiita discretizada cofore a figura., sueita a u capo de deslocaetos de acordo co a igualdade (.8), é pretedido cobiar os fatores dos deslocaetos dos ós -, e de fora geeralizada (evolvedo atrizes e pricípio ão ecessariaete siétricas). Assi, a equação de ovieto o ó pode ser aditida coo sedo ua cobiação do tipo: k u u (.8) ode: q u qu qu qu (.9a) l l i( πξ) u u e (.9b) sedo q i u parâetro de cobiação.

42 4 Toado-se a expressão (.8), tedo-se e cota o expresso e (.9), te-se que o equilíbrio do ó geérico passa a ter a seguite redação: α α ke k ke u α α u e e (.) Por outro lado, expadido e séries de Taylor os teros expoeciais presetes e (.), chega-se a u poliôio e teros do icreeto a fora: α α ke k ke k k k k ( ) k (- ) -k ( ) i α α α e e ( ) k ( - ) (- )- -k (- )- ( ) k ( ) α O[ ] ( ) (.) Tedo-se agora e cota que a equação diferecial que govera o equilíbrio (.) pode tabé ser expressa coo: u(x,t) c α u(x,t) (.) R resta etão buscar axiizar a orde do erro global a expasão (.) face ao cofroto de (.) co (.). esse setido, resolvedo sistea de equações algébricas ão lieares resultate, coclui-se que para: ; 5 (.a) cr k k c ; k R (.b) a equação (.) adquire a redação: 6 4 α 6 u cr α O[ ] u 4 (.4) Esta últia equação idica que, para esta cobiação, a propagação uérica está viculada a u erro global de quarta orde e relação ao seu coprieto. Teoricaete, seria coo dito, e pricípio, adissível a

43 5 expressão (.) que as atrizes evolvidas ão fosse ecessariaete siétricas, poré, a axiização da orde do erro global a resposta, iplica e e k k resultado-se, pois, e atrizes de assa e de rigidez siétricas. Tedo-se e vista o expresso e (.) e (.), pode-se afirar que a cobiação otiizada e relação à freqüêcia espacial é: 5 5 c (.5) R [ M] k ; [ K] k A atriz de rigidez apresetada e (.6) possui deteriate ulo coo deveria ser esperado; be coo a atriz de assa deve ter coo soatório de seus teros o valor da iércia liear do eleeto, ou sea: ρa (.6) Esta codição de cotoro é atedida quado ρa/, iplicado fialete as atrizes: 5 ρa EA [ M] k ; [ ] que apreseta elevada precisão uérica. 5 K k (.7).. ITEGRADOR ESPACIA PROPOSTO O itegrador espacial proposto este trabalho eprega exataete o eso procedieto adotado a quadratura teporal de ewark, resuida a equação (.), o qual utiliza três potos discretos o tepo para aproxiar a aceleração. Pretede-se agora estudar o coportaeto uérico desse itegrador espacial ispirado o étodo de ewark, aproxiado-se a derivada seguda o espaço segudo o expresso e (.), ou sea: ( ) u β u" (.8) S S S

44 6 ode β S é o poderador do itegrador espacial e S é u operador que resue: u u u u (.9) S válido para a variável espaço. Aditido-se o forato expoecial do capo de deslocaetos, a exeplo de (.8), obté-se etão ua relação siilar à (.5), qual sea: ( ( ) ) u cos α u (.) S Aplicado-se, pois, este itegrador, a equação de ovieto passa a ter redação siilar à (.5): c R ( cos( α) ) [ β ( cos( α ) ) ] u u (.) S Fialete, realizado a expasão polioial dos cosseos evolvidos esta equação te-se: c ( cos( α) ) [ β ( cos( α ) ) ] R β S 4 4 crα cr α O[ ] (.) S Assi coo o caso teporal, a itegração espacial co aior orde de erro ocorre para β S /. Efetuado a coversão da equação global de difereças a u sistea atricial local correspodete, assi coo foi feito o tópico aterior, chega-se às atrizes de assa e de rigidez: S S EA [ M ] ρa ; [ ] k β β S β β S K k (.) Observa-se estas atrizes que β S /6 correspode ao odelo clássico de assa cosistete, β S / ao odelo de orde de erro axiizada e β S ao odelo de assa cocetrada [SCHREYER (978)]. Ispirado o valor icodicioalete estável de β de ewark, u quarto odelo de eleeto pode ser aditido fazedo β S /4.

45 7 Duas cosiderações pode ser ressaltadas e relação a este últio odelo. A prieira delas é que, quado efetuado o cálculo da propagação uérica este tipo de eleeto, coclui-se que a oda uca é evaescete porque η (relação etre o valor uérico e o teórico da freqüêcia espacial) é sepre real. Outro apotaeto relevate é o fato de este odelo ão apresetar odas espúrias e alhas ão hoogêeas. À título de ipleetação essa busca de itegradores de orde ais elevada, ua outra vertete sugestiva cosiste o eprego de operadores de difereças fiitas do tipo heritiao, que te coo fudaeto ua cobiação de valores discretos da fução a ser itegrada e de suas derivadas, de tal sorte que a expasão via séries de Taylor teha aulado o aior úero possível de parcelas o trucaeto. As cobiações heritiaas referetes ao itegrador espacial seria aálogas ao teporal, apresetado-se, por exeplo, a seguite escrita: u u 6u ' 6u ' u '' u '' O[ ] (.4a) 5 u u 6u' 6u' u'' u'' O[ ] (.4b) 5 ode, a exeplo de (.), ão se acha evolvidas derivadas de terceira orde. As igualdades arradas e (.4) pode ser verificadas co o desevolvieto das fuções presetes o prieiro ebro e séries de Taylor. Subtraido-se ebro a ebro as equações (.4), te-se: 6u' 6u' u'' u O[ ] (.5) 5 ode o operador é siilar ao descrito a expressão (.), poré cobiadose agora teros segudo o espaço, ou sea: u u u u (.6) ode o ídice refere-se à estação da variável espaço.

46 8 Aalogaete, a deforação u' pode ser eliiada, derivado-se e ultiplicado-se por as igualdades (.4), co coseqüete adição destas duas expressões resultates, obtedo-se: 6u' 6u' u'' O[ ] (.7a) u u u u (.7b) cua substituição e (.5) resulta: ( ) u u'' O[ ] (.8) Aplicado a operação ( ) fialete a: ( ) cr a equação de ovieto, chega-se u u (.9) Iplicado-se a equação de difereças: c { }{ } { }{ } R 6 6 u u (.) ode: T { u } { u u u } (.) epregado-se, pois, otação vetorial clássica. Realizado-se as operações atriciais, obtê-se as esas atrizes de assa e de rigidez relativas ao odelo cosistete clássico, descritas segudo o expresso e (.5). É iteressate recordar que a equação de ovieto, assi coo disposta e (.9), está associada a u trucaeto de terceira orde o doíio do espaço. Isto idica que u refiaeto a itegração através da variável deslocaetos (assi coo o heritiao), ão iplica e ua resposta satisfatória e teros de freqüêcia e da freqüêcia espacial.

47 9.4. RESUTADOS As figuras. e. ilustra o valor real da razão η e fução respectivaete de ξ e de p para os casos: I) β S /4; II) β S /6 (odelo cosistete clássico); III) β S / (odelo de orde elevada) e IV) β S (odelo de assa cocetrada), fixado-se que p5 a figura. e que ξ. o seguite. A figura. deliita e quatifica a zoa evaescete do doíio cosiderado através da plotage da parcela iagiária de η e fução de p e ξ para vários casos de discretização. a) b) Figura. Valor real de η e fução de ξ co p5 para a itegração teporal de ewark co a) β/4 (odelo icodicioalete estável de ewark) e b) β/ (odelo de orde elevada). a) b) Figura. Valor real de η e fução de p co ξ. para a itegração de ewark co a) β/4 e b) β/. Observa-se a figura., que a fora da curva é ditada pelo itegrador teporal e seu cruzaeto o eixo das ordeadas é regido pela quadratura uérica espacial. A figura. idica que o erro associado ao parâetro β de ewark igual a /4 é aior que o caso ode β/, cofore o previsto.

48 4 a) b) c) d) Figura. Parcela iagiária de η e fução de p e ξ para a itegração teporal de ewark co β/ e itegração espacial co a) β S, b) β S /, c) β S /6 e d) β S /4. ota-se a figura. que a região e a agitude do doíio da oda evaescete decresce co o cofore aueta-se do parâetro β S, atigido-se seu liite o valor /4, ode ão há a preseça de oda evaescete. Toado-se ua sei-discretização espacial, a figura.4 expõe o ódulo da relação etre a aplitude espúria e a icidete e fução da relação da diesão dos eleetos cocorredo o ó / para os quatro odelos descritos o últio caso. O gráfico seguite ostra o valor da parcela iagiária para essa relação o caso p 5, acusado-se reflexão espúria evaescete. Percebe-se que a itesidade espúria está viculada à estabilidade (bifurcação) uérica relativa ao feôeo evaescete, ua vez que eleetos ais suscetíveis às odas evaescetes possue aplitude espúria ais elevada.

49 4 a) b) Figura.4 Módulo da relação κ/φ e fução de ψ a sei-discretização aalítica o doíio do tepo e itegração espacial co I) β S, II) β S /, III) β S /6 e IV) β S /4 para a) p 5 e b)p. Gráfico.5 Iage o eixo de Gauss da relação κ/φ para o caso aalisado. E tese, eleetos fiitos co reduzida orde de erro a aproxiação uérica da freqüêcia espacial sugere apresetar elhor coportaeto as operações da aálise odal. Sea etão agora o caso de se ecotrar as freqüêcias aturais da barra siplesete egastada ostrada a figura.7. Cofore a itegração espacial proposta, as atrizes de assa e de rigidez do eleeto pode ser redigidas a fora geérica (.): s s [ M ] ; [ K] β β s β β s f R (.) co: f c R R (.) T

50 4 ode a razão c R / T estabelece a freqüêcia da oda percorredo a barra e questão, aqui co coprieto T. Resolvedo-se de fora aalítica, a freqüêcia atural esse exeplo é resulta: c π ( k ) R ω k π T (k,,...,) (.4) ode k represeta o odo de vibração. esse caso te-se f R 4Hz, e as tabelas.,.,. e.4 arrola os resultados das freqüêcias aturais do sistea discretizado co o odelo clássico de assa cosistete, o odelo de orde elevada, o de assa cocetrada e o correspodete icodicioalete estável (β /4) o espaço respectivaete. βs/6 (odelo cosistete clássico) úero de Freqüêcias (Hz) eleetos º odo º odo º odo 4º odo 5º odo 6º odo Teórico Aalítico Tabela. - Freqüêcias aturais (e Hz) para β s /6. βs/ (odelo de orde elevada) úero de Freqüêcias (Hz) eleetos º odo º odo º odo 4º odo 5º odo 6º odo Teórico Aalítico Tabela. - Freqüêcias aturais (e Hz) para β s /.

51 4 βs (odelo assa cocetrada) úero de Freqüêcias (Hz) eleetos º odo º odo º odo 4º odo 5º odo 6º odo Teórico Aalítico Tabela. - Freqüêcias aturais (e Hz) para β s. βs/4 (odelo ão icodicioalete espúrio) estável) úero de Freqüêcias (Hz) eleetos º odo º odo º odo 4º odo 5º odo 6º odo Teórico Aalítico Tabela.4 - Freqüêcias aturais (e Hz) para β s /4. De acordo co os resultados, ota-se que o eleeto siples de barra odelado através da axiização da orde de erro apreseta covergêcia extreaete acelerada se coparado co os outros odelos, deostrado leve alogaeto do período teórico para altas freqüêcias.

52 44 CAPÍTUO 4 Propagação uérica e eleetos siples de viga de Tiosheko 4.. ITRODUÇÃO Ua vez ivestigado o eleeto de barra, o eleeto de viga pode ser etedido coo sedo ua extesão desse caso. Tê-se agora duas equações de equilíbrio de ações: ua de força o setido trasversal, e a outra de oeto. Tais equações de equilíbrio resulta ovaete e u problea de deteriação de autovalores e autovetores. Escolhe-se o eleeto de viga clássico co dois ós e dois graus de liberdade e cada ó, desevolvido segudo a teoria de viga de Tiosheko. Iicia-se, coo o capítulo aterior, apresetado-se a solução aalítica da teoria

53 45 de viga de Tiosheko, co o ituito de se cofrotar co a solução uérica, que é desevolvida logo e seguida. A ovidade que surge o caso da propagação das odas de flexão reside o fato de que tais odas apreseta atureza dispersiva, ou sea, a velocidade de propagação depede da freqüêcia. Por outro lado, a siulação uérica itroduz dispersão adicioal, alé de coteplar bifurcação resultado-se agora e odas evaascetes. 4.. EQUAÇÃO DE MOVIMETO Segudo a teoria clássica de flexão de Tiosheko, u eleeto de viga ifiitesial e vibração te a geoetria deforada e ações atuates cofore ilustra-se a figura 4.. A reta traceada é tagete ao eixo cetral da viga, equato a liha potilhada é oral à seção trasversal. A força cortate e o oeto fletor estão represetados segudo a otação V e M, respectivaete. Figura 4. Ações e geoetria e u eleeto ifiitesial de viga. A elástica da viga, deotada pela variável y, te coo copoetes de sua derivada prieira a rotação θ, devida ao oeto fletor, e a rotação ψ devida à distorção por cisalhaeto (esforço cortate). Portato: y x θ ψ (4.)

54 46 O equilíbrio de forças verticais este caso é coposto de duas parcelas: a prieira é a força de iércia de D Alebert trasversal, e a seguda é dada pela variação (icreeto) de força cortate, que resulta da ultiplicação da distorção ψ pela rigidez φ k G A, ode G é o ódulo de elasticidade trasversal, A a área da seção trasversal, e k o coeficiete de cisalhaeto que depede da seção trasversal e do coeficiete de Poisso ν [COWPER (966)]. Assi, a prieira equação diferecial de ovieto é dada por [FRAKI (97)]: A y y θ ρ φ t x x (4.) o equilíbrio de oetos acha-se evolvidas a cotribuição do oeto oriudo da iércia de rotação, de acordo co o pricípio de D Alebert, a cotribuição do oeto fletor atuate a viga, que relacioa-se costitutivaete co a copoete de giro θ, e, fialete, a cotribuição da força ediate seu biário eleetar. Dessa fora a seguda equação de ovieto de oetos se exprie: I θ θ y ρ EI φ θ (4.) t x x ode I é o oeto de área da seção trasversal. Por outro lado, dividido (4.) e (4.) por ρa, te-se [BIGER (998)]: ( y'' θ' ) y c (4.4a) S ( y' θ) r θ r c θ'' c (4.4b) R S ode r e c S são, respectivaete, o raio de giração e a velocidade de cisalhaeto de referêcia, que se expressa: I r ; A kg c S (4.5) A

55 47 valedo-se otar que c s pode ser etedida coo velocidade de ua oda de distorção, caso fosse possível ão haver deforação por flexão. A solução ão fiita (ovieto odulatório) das equações difereciais parciais (4.4) pode ser expressa e otação coplexa coo: i( αxωt) y(x,t) C e ; ι i( αxωt) θ (x,t) C e (4.6) ι ode C i são as aplitudes dos ovietos acoplados da oda e questão. A substituição destas e (4.4), após alguas operações algébricas, retora o sistea: ( α C iαc ) ω Cι c S ι ι (4.7a) ( iαc C ) r ω Cι r crα Cι c S ι ι (4.7b) que, e otação atricial, gaha a seguite redação: α c S iαc ω S r ω iαc r c S R α c S C C ι ι (4.8) resultado-se, pois, u problea de autovalor, que, para ua dada freqüêcia ω, te coo auto valor a freqüêcia espacial α. A solução ão trivial ocorre quado o deteriate da atriz do prieiro ebro se aula, ou sea: cuas raízes e α são dadas por: 4 4 rcc α (rω c c rω c ) α rω (4.9) R S R S S α ± π λ R ( γ ) ± ( γ ) 4γ λr πrγ (4.) ode γ é a razão c R /c S. Pode-se cocluir que γ depede apeas da geoetria da seção trasversal e do coeficiete de Poisso. A igualdade (4.) idica que são

56 48 dois os pares de odas acopladas presetes o ovieto. Portato, os par de raízes positivas são: ( ) ( ) γ π λ γ γ γ λ π α R R r 4 (4.a) ( ) ( ) γ π λ γ γ γ λ π α R R r 4 (4.b) ode α e α são respectivaete a prieira e seguda freqüêcia espacial resultate. Os autovetores de (4.8) para a prieira e a seguda raizes são dados respectivaete por: Λ ; Λ (4.) co: ( ) ( ) λ π α ω α Λ γ π λ γ γ γ γ π λ γ γ γ R R r 4 r 4 R S S i c c i (,) (4.) ode cosidera-se uitária a prieira copoete do autovetor. É oportuo atetar-se para o fato de que dois diferetes casos de solução ocorre, quais sea, u co dois pares de raízes iagiárias e outro co u par de raízes iagiárias e u par de raízes reais. Cofore ecioado o capítulo aterior, o caso ode a freqüêcia espacial assue valor iagiário caracteriza o feôeo de oda dita evaescete. Esta divisão de soluções está associada à existêcia de bifurcação as codições do ovieto. De acordo co (4.a), a prieira freqüêcia espacial é iagiária quado: ( ) ( ) r 4 R < γ π λ γ γ γ (4.4)

57 49 Sedo evidete que esta iequação é satisfeita quado: λr > πrγ (4.5) e cua iplicação o coportaeto odulatório será discutida e detalhe oportuaete. 4.. CÁCUO DA PROPAGAÇÃO UMÉRICA O eleeto fiito siples de viga odelado segudo a teoria de Tiosheko coté dois graus de liberdade e cada extreidade: u de traslação e outro de rotação. A figura 4. ilustra os setidos das coordeadas. y y θ θ Figura 4. Eleeto siples de viga de Tiosheko. As atrizes de assa e de rigidez obtidas pela forulação clássica, be coo seus parâetros, são apresetadas o que se segue [THOMAS (97)]: ρa I 9 8 M (4.6a) ( Φ) A 7 8 SIM 5 SIM 9 [ ] [ K] 6 6 ( ) ( ) EI 4 Φ 6 Φ ( ) (4.6b) Φ 6 SIM ( 4 Φ) EI φ Φ (4.6c)

58 5 7Φ Φ ; 5 4 Φ Φ (4.6d) 9 Φ Φ ; Φ Φ (4.6e) Φ ; 5 6 Φ 5 Φ (4.6f) 4 6 Φ ; Φ 8 (4.6g) Φ ; 5 6 Φ 9 Φ (4.6h) 6 6 Φ que, coo sabido, trata-se de u eficiete eleeto fiito desprovido do travaeto de cortate Para o estudo da propagação odulatória pela via uérica, cosidere-se ua viga de coprieto ifiito, dividida e eleetos fiitos uifores, sedo percorrida por ua oda de flexão, propagado-se da esquerda para a direita, coo ilustrado a figura 4., a qual se detalha apeas o etoro de u ó geérico. y- k Oda de icidete y k y θ- - θ θ Figura 4. Viga de coprieto ifiito sueita a ua oda de icidete. O equilíbrio de força trasversal e oeto referete ao ó geérico, e redação atricial, gaha a seguite escrita: co: [K k ]{u} [K k ]{u} [Mk ]{u} [Mk ]{u} {} (4.7)

59 5 M k (4.8a) [ ] δ M k (4.8b) [ ] δ p δ ξ 6 6 K k ( ) ( ) (4.8c) T 6 γ δ 6 4 γ δ [ ] ( γ δ ) p δ ξ 6 6 K k ( ) ( ) (4.8d) T 6 4 γ δ 6 γ δ [ ] ( γ δ ) r δ ; T { u} {y θ y θ } (4.8e) ode a otação [M k ] e [K k ] idica as cotribuições das atrizes de assa e de rigidez respectivaete do eleeto k, valedo a esa para a cotribuição do eleeto k; sedo que a prieira liha refere-se ao equilíbrio de forças trasversais e a seguda ao equilíbrio de oetos. Para caracterizar ua oda que se propaga da esquerda para a direita, cosiderado coo orige do sistea o ó, eprega-se u capo de deslocaeto uérico a fora [UDÉ (98)]: y i( α ωt) C.e ; i( α ωt ) θ C e (4.9) Iplicado os vetores de deslocaetos: {u } i(πξ) {u } e (4.a) {u } T iα iα {Ce C e C C } (4.b) T iα iα {u } {C C Ce C e } (4.c)

60 5 Mateaticaete, o fato de os eleetos tere o eso coprieto tora os vetores T { u } e T { u } liearete depedetes, podedo-se obter ua relação direta etre eles do tipo: T iα T { u } e {u } (4.) fato que perite ua ova redação para a equação (4.7), ou sea: [ M]{ u } [ K]{ u } {} (4.) co: iα iα [ M] e [ M ] [ M ] ; [ K] e [ K ] [ K ] k k (4.) k k ode á se cosidera ua otação ais copacta para as atrizes evolvidas. Itegrado-se a equação (4.) o tepo co o eprego do itegrador trapezoidal de ewark (passo duplo) cofore a redação (.), te-se: [ M ]{u } ( β ) [ K ]{u } {} (4.4) ode [ K ] represeta o produto T [ K], co o operador sedo defiido e (.). Recorredo-se à relação (.5), pode-se reescrever (4.4) a fora: [( cos( ) )[ ] ( ( ) )[ ] πξ β K cos πξ M {u } { } β (4.5) resultado-se, pois, a equação de difereças regete da propagação odulatória da versão uérica relativa a esse eleeto fiito clássico de viga de Tiosheko. a aipulação ateática da equação de difereças, visado ua coveiete redação da equação de ovieto, é oportuo o eprego das seguites relações evolvedo as atrizes do eleeto e : co: [ ] [ A][ K ][ B] ; [ ] [ A][ M ][ B] K k k Mk k (4.6)

61 5 [ ] A ; [ ] B (4.7) Assi sedo, exaiado-se separadaete a atriz de rigidez da equação de difereças (4.5), face ao exposto e (4.6), te-se: [ ]{ } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ } α k i k u K e u A K B u K (4.8) ode: [ ]{ } { } { } T i i i e C e C C C u ~ e u A α α α (4.9) Alé disso, é tabé oportuo proceder a seguite decoposição da atriz [B] e duas outras, coo ostrado o que se segue, o que cofere ua ova redação para o exposto e (4.) a fora: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } k k U K U K u K (4.a) { } { } { } ( ) ( ) { } T se ic C cos C u~ u U α α (4.b) { } { } { } ( ) ( ) { } T cos C icse C u ~ u U α α (4.c) cocluido-se, assi, que é possível tratar o expresso e (4.8) á evolvedo apeas expressões trigooétricas, ou sea: [ ]{ } ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) α δ γ δ γ α α α ξ δ C C )cos ( ) (4 i6se i6se cos p u K (4.) Procedieto aálogo pode ser realizado para o caso da atriz de assa e (4.5), iplicado-se e:

62 54 [ M]{ u } ( δ ) ( α ) δ ( δ ) ( α ) C 7 cos 7 i 4 8 se i( δ ) se( α ) δ ( δ ) se( α ) C γ δ (4.) resultado, e coseqüêcia de (4.) e (4.), que a equação (4.5) fica agora expressa coo: D cos id ( α ) ( α ) C D idse ( α ) ( α ) D D cos C se 4 5 (4.a) ode: D D ϕ ϕ ( δ ) ; D ϕ ϕ ( δ ) K M 7 D (4.4a) K M 7 6ϕ ϕ ( δ ) ; D (4 γ δ ) ϕ ϕ ( δ ) K M 4 8 (4.4b) 4 K M 5 9 ( δ ) 5 ( γ δ ) ϕk ϕm 6 (4.4c) ϕ p δ ξ ( βcos( πξ) β ) ; ϕ ( cos( πξ) ) K M γ δ (4.4d) É iteressate salietar que a expressão (4.8) é siilar à (4.a), ua vez que a expasão e série de Taylor das fuções trigooétricas evolvidas resulta e ua aproxiação daquela. A solução ão trivial do sistea (4.) é obtida aulado-se o deteriate da atriz [D], iplicado-se e: ( ) σ cos( α ) σ cos α (4.5) co: D D D σ ; DD5 D DD5 D D D D D σ (4.6) A expressão (4.5) é a equação característica disposta a fora de u poliôio do segudo grau e relação à variável cos(α ). Observa-se que, para o caso da barra siples, de acordo co a expressão (.), a equação característica tabé se apreseta coo u poliôio, poré de prieiro grau. A solução da equação (4.5) e cos(α ) é dada por:

63 55 σ ± σ 4σ cos α, (4.7) ode α, e α, são, respectivaete, a prieira e a seguda freqüêcia espacial uérico para ua dada freqüêcia de oda ω. Para se ecotrar a relação etre o valor uérico da freqüêcia espacial e o valor teórico da propagação, aqui deoiado ovaete pela letra grega η, divide-se α pertecete à equação (4.7) pela (4.), resultado: η α α, p π σ arc.cos ± ( γ ) ( γ ) σ 4σ 4γ πγδ p (4.8) Coo a odelage do eleeto foi aditida seção trasversal costate, p e δ se relacioa liearete, pois abos são iversaete proporcioais ao coprieto do eleeto. Esta costate de proporcioalidade pode ser obtida fazedo: r Z (4.9) λ peritido-se que se escreva: R δ Zp (4.4) Respeitado a iequação (4.5), a prieira freqüêcia espacial é iagiária quado Z é eor que (πγ) -. Devido à forulação adiesioal epregada, pode-se cocluir que o problea uérico ecessita apeas de dois parâetros físicos: γ e Z. Aditido os valores γ.4, Z e β/4, a tabela 4. e a figura 4.4 reúe valores de η da prieira e da seguda freqüêcias espaciais para algus casos de discretização.

64 56 Valores de η Valores de η ξ. ξ. ξ.5 ξ. ξ. ξ.5 p p p p p p Tabela 4. Valores de η da prieira e da seguda freqüêcia espacial para algus casos de itegração espacial e teporal. ota-se claraete a figura (4.4), que o forato da curva é ditado pelo itegrador teporal e que o poto de cruzaeto co a ordeada depede da discretização espacial. a) b) Figura 4.4 Curva η da prieira e da seguda freqüêcia espacial para casos co a) β/4 e b) β. Assi coo o caso uiaxial, o surgieto de odas evaescetes acaba ocorredo os casos e que a freqüêcia espacial uérica resulta iagiária. A superfície da figura 4.5 ilustra a iage o eixo de Gauss de η co γ.4, p c 5, δ c 5 e β/4. Já a tabela 4. idica os valores de p i para tais casos. a) b) Figura 4.5 Superfície de η da prieira e da seguda freqüêcia espacial.

65 57 Valores de pi ξ. ξ. ξ.5 ª freqüêcia espacial ª freqüêcia espacial Tabela 4. Valores liites de p para o qual a oda se tora evaescete. Visado-se verificar o coportaeto da propagação odulatória das odas de Tiosheko, sea ovaete cosiderado o caso ilustrado a figura.6, agora forado por eleetos de viga, e co a odificação apeas do setido de aplicação da força F(t)se(ωt) (e k), que passa a ser trasversal; sedo que o ódulo de elasticidade vale E kpa, a assa específica vale ρ5 kg/, o oeto de área da seção trasversal vale I.5 4, a área da seção trasversal vale A.5, o coeficiete de Poisso assue o valor ν., o coeficiete de deforação por cortate da seção valedo k/, o coprieto da viga e balaço vale T, o úero de eleetos, o passo de tepo T.s e, fialete, cosidera-se o caso do itegrador co β¼. Assi sedo, te-se iicialete que γ.897, δ., e que a freqüêcia liite, para a qual abas freqüêcias espaciais são evaescetes, passa a valer 6.Hz. o setido de se visualizar elhor o tais ovieto evaescetes, aplicase u filtro digital cetrado esta freqüêcia e outro que coleta a bada iediataete após 6Hz, cuos siais são respectivaete os forecidos pelas lihas verde e azul da figura 4.6. Cada ua das figuras 4.7 copara o deslocaeto trasversal do ó (azul) co o do ó (verde), ou sea, do prieiro co o últio ó livre da viga. o prieiro, filtra-se a bada -5Hz (verde) para ua excitação de 6Hz e, o segudo, a bada 6-5 (azul) para ua excitação de Hz. Praticaete ão há propagação de oda os casos de ovieto evaescete.

66 58 Figura 4.6 Filtros epregados. a) b) Figura 4.7 Deslocaeto trasversal do ó e do ó (azul e verde respectivaete) para a) filtro -5Hz e freqüêcia de excitação de 6Hz e b) filtro 6-5Hz co excitação de Hz. A equação atricial (4.a) te coo autovetores: Prieira freqüêcia espacial: Λ, ; Seguda freqüêcia espacial: Λ, (4.4) e coo D e D são adiesioais e D é proporcioal a, te-se: ode ( α ) ( α ) i D D cos Λ, (4.4) D se D é a adiesioalização D /.