Aula 06 Transformadas z

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1 Aula 06 Trasformadas

2 Trasformadas Na aálise de sistemas cotíuos por vees é mais vatajoso o uso da frequêcia complexa s. No caso de sistemas discretos, uma ferrameta bastate comum usada para passar um sial o domíio do tempo para o domíio da frequêcia é a Trasformada. A Trasformada também fa o uso de uma frequêcia complexa que este caso é. Portato, as Trasformada são uma espécie de Trasformadas de Laplace para sistemas discretos.

3 Trasformadas As Trasformadas são baseadas em séries de potêcias, as Séries de Lauret, publicadas em 84 pelo matemático fracês Pierre Alphose Lauret (8-854). Mas, tudo idica que, embora ão tivessem sido publicadas ateriormete, estas séries já tiham sido desevolvidas dois aos ates, em 84, por Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (85-897), um matemático alemão que frequetemete é citado como sedo o pai da aálise modera. As séries de Lauret são uma represetação de um sial por séries de potêcias, geeraliado a cohecida expasão em séries de Taylor para casos em que esta ão pode ser aplicada. As séries de Taylor tiham sido criadas pelo matemático iglês Brook Taylor (685-7). As Trasformadas têm grade importâcia os métodos actuais de aálise de sistemas de cotrolo discreto, em processos de amostragem, o processameto de siais digitais, etc.

4 Trasformadas Brook Taylor (685 7) Karl Weierstrass (85 897) Pierre Alphose Lauret (8 854)

5 Trasformadas Da expasão em série de Taylor sabemos os seguites resultados clássicos: e ν 0 ν!, ν eq. (6.) log(+ ν) ( ) + ν, ν <, ν eq. (6.) resultados que serão utiliados mais adiate. Como trataremos de séries de potêcia ifiitas, será útil relembrar aqui esta itrodução a cohecida fórmula do limite da soma de progressões geométricas (P.G.) de raão q 0.

6 Trasformadas Isto é, se x { a : a : a : : a : } { a : a q : a q : a q : }, ou seja, a + a q,,,, ; ou, equivaletemete a a q -,,,, A soma S dos primeiros termos da P.G. é dada por: S a + a q + L+ a q S k 0 a a k (q ) (q ) eq. (6.)

7 Trasformadas equato que, se a P.G. for ilimitada (ou ifiita) e a raão q satisfa < q <, etão, a soma S de todos os termos é dada por: S a + a q + a q + a q + L a 0, isto é a ( q) S eq. (6.4) Outro resultado cohecido é o limite da série ifiita abaixo: < α <, 4 α + α + α + 4α α L eq. (6.5) α ( α)

8 Trasformadas Trasformadas defiição { x[] } ou X() + { } x[] X() x[] 0 eq. (6.6) Trasformada uilateral (para 0)

9 Trasformadas Exemplo 6.: x[ ] 5 u [ + ] + u [ ] u [ ] + 4 u 0 [ Note que o termo com valor 5, para desaparece pois está à esquerda da origem. o o x[] o 5,,, 4, 0, se se se se outro 0 valor de ] X() + 4

10 Trasformadas Trasformadas da expoecial discreta Sial x[] a u [] (expoecial discreto) x[] a u[] Usado a defiição eq. (6.6) vemos que a Trasformada deste sial é: X() 0 a u[] (a 0 ) a X() ( a ) { u [] } eq. (6.7) ou { u [] } a X() ( a) eq. (6.8)

11 Trasformadas Trasformadas do degrau discreto Sial x[] u [] (degrau uitário discreto) x[] u [] caso particular de a o sial aterior (expoecial) Logo, do resultado obtido o sial aterior, obtemos que a Trasformada do degrau uitário discreto u [] é: ou u X() ( ) { [] } { [] } u X() ( ) eq. (6.9)

12 [] u [] u 5 [] x Trasformadas Exemplo 6.: A Trasformada deste sial é: { } [] u [] u 5 [] u [] u 5 X() x[]

13 Trasformadas Etão, usado eq. (6.4) para cada uma destas somas, temos: 5 X() eq. (6.0) Note que e são somas de progressões geométricas e que as mesmas têm a (primeiro elemeto) e q (raão) respectivamete iguais a a q a q e

14 Trasformadas Usado as equações eq. (6.7) para a ½ e a /, descobre-se que: [] u e que [] u e logo, o resultado obtido a eq. (6.0) acima sigifica que: [] u [] u 5 [] u [] u 5

15 Trasformadas Este resultado obtido se dá devido à propriedade da liearidade da Trasformada, à semelhaça das Trasformadas de Laplace o capitulo 5, e será visto mais adiate a seção 6.9 (Propriedades da Trasformada ). Agora, cotiuado os cálculos a partir da eq. (6.0) temos que: { x[] } que também equivale a: { x[] } eq. (6.)

16 Trasformadas Exemplo 6.: Cosidere a Trasformada do sial expoecial x[] a u [] já vista as eq. (6.7) e eq. (6.8), ou seja, X(). eq. (6.) a a Faedo a divisão de por ( a) temos que:

17 Trasformadas Logo, X() a + a + a +L Comparado com eq. (6.6), a defiição de Trasformada, temos e portato, x[] a u [] 0,, a, x[] a, a, para para para para M < para que de facto correspode ao sial x[] que tem como Trasformada este X() da eq. (6.)

18 Trasformadas Pólos discretos Coforme visto o capítulo aterior [a seção 5.8, eq. (5.0) ], uma fração racioal é uma fração em que ambos o umerador e o deomiador são poliómios: p(s) q(s) ou p() q() As raíes do poliómio do deomiador [ q(s) ou q() ] são chamados de pólos. A Trasformada do sial x[] do Exemplo 6., dada pela eq. (6.), é uma fração racioal cujos pólos são: As Trasformadas dos siais x[] a u [] e x[] u [], dadas pelas eq. (6.8) e eq. (6.9), são frações racioais cujo úico pólo é: o caso eq. (6.8), e o caso eq. (6.9). a e

19 Trasformadas Exemplo 6.4: Cosidere o sial discreto da expoecial trucada x[] a, 0, que ecotra-se esboçado a figura abaixo: 0 N, < 0, 0 < a < N 0 < a <

20 Trasformadas A Trasformada deste sial é: ( ) N N a a a X() + e portato X() é a soma S N dos N primeiros termos da progressão geométrica com o primeiro termo a e a raão ( ) a q Logo, usado a eq. (6.) tem-se que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N N N N N a a a a a a X()

21 Trasformadas Em pricipio esta Trasformada parece ter um pólo em a e (N ) pólos em 0 (ou seja, pólos múltiplos a origem). Etretato, aalisado agora o umerador desta Trasformada N a N 0 ou seja N a N que os dá a seguite solução: a e j k N π, k 0,,,..., N que são N potos igualmete espaçados o círculo de raio a, e são as raíes (ou eros) do umerador desta Trasformada. Portato, para k 0 a equação eq. (6.) acima temos que: a. Ou seja, a é um pólo e um ero do umerador ao mesmo tempo. Logo eles se cacelam e esta Trasformada só tem (N ) pólos em 0.

22 Trasformadas Sial x[] u [] (rampa uitária discreta) x[] u [] u [] tem a seguite Trasformada : X() L que é uma série ifiita do tipo da eq. (6.5) com α. Logo, usado a eq. (6.5) temos que: ou X() { u []} { u [] } ( ) ( )

23 Trasformadas Sial x[] u o [] (impulso uitário discreto) x[] u o [], 0, 0 0 tem a seguite Trasformada : 0 { u []} X() u [] o + 0 o ou seja, { u o []} que é um resultado aálogo ao obtido com as Trasformadas de Laplace o capítulo aterior: L { u o (t) } X(s)

24 Trasformadas Exemplo 6.5: Cosidere o sial discreto x[], x[] uo[ ] que é o impulso uitário discreto trasladado (i.e., com um shift ) de uma uidade de tempo para a direita. A Trasformada deste sial é: + X() 0 u o [ ] ou seja, { u [ ] } eq. (6.4) o Este resultado também pode ser obtido pela propriedade da traslação (shift) da Trasformada que será visto mais adiate a seção 6.9 (Propriedades da Trasformada ).

25 Trasformadas Exemplo 6.6: Cosidere o sial discreto x[], x[] u o[ m], m 0 que é o impulso uitário discreto trasladado (i.e., com um shift ) de m uidades de tempo para a direita. A Trasformada deste sial é: X() + 0 u o [ m] m m ou seja, m { u o [ m] } m eq. (6.5) Note que a eq. (6.5) só é válida para m 0 pois a Trasformada adoptada aqui é a uilateral [eq. (6.6)].

26 Trasformadas A expressão ecotrada o Exemplo 6. x[ ] 5 u [ + ] + u [ ] u [ ] + 4 u 0 [ o o o ] X() + 4 poderia ser obtida usado a Trasformada do impulso u o [] e o resultado dos exemplo 6.5 e 6.6, dados as equações eq. (6.4) e eq. (6.5), ou seja, { u o []} m { u [ m] }, m 0 o { u o [ + ] } 0

27 Trasformadas Exemplo 6.7: (expoecial multiplicada por um seo) Cosidere o sial discreto: [] u 4 se [] x π Usado a equação de Euler temos: [] u j [] u j [] x 4 j 4 j π π e e A Trasformada deste sial é: { } π π π + π + π π + 4 j 4 j 4 j o 4 j 4 j 4 j j j j j [] u j [] u j X() x[] o e e e e e e

28 Trasformadas π π 4 j 4 j X() e e Note que os dois pólos desta Trasformada são: 4 j π ± e ou seja,

29 Trasformadas A exemplo da Trasformada do degrau discreto, visto acima, em que primeiramete apresetamo-lo multiplicado pela expoecial discreta a, também aqui vamos iicialmete apresetar a Trasformada para os casos de seo e co-seo multiplicados por expoeciais discretas a.

30 Trasformadas Sial seo discreto multiplicado pela expoecial x[] a se(ω o )u [] tem a seguite Trasformada : { } a se( ωo ) a se( ωo) u[] X() eq. (6.7) a cos( ωo ) + a que equivale a { } o a se( ωo) u[] X() a se( ω a cos( ω ) o ) + a eq. (6.9)

31 Trasformadas Sial co-seo discreto multiplicado pela expoecial x[] a cos(ω o )u [] tem a seguite Trasformada : { } a cos( ωo ) a cos( ωo) u[] X() eq. (6.8) a cos( ωo ) + a que equivale a [ a cos( ωo )] { a cos( ωo) u[] } X() eq. (6.0) a cos( ωo ) + a

32 Note agora que o sial que tiha sido visto o exemplo 6.7 é Trasformadas x[] a se(ω o )u [] com a π ω 4 o eq. (6.) e a Trasformadas ecotrada aquele exemplo, dada pela eq. (6.6), pode ser reescrita como: 9 X() 4 j 4 j 4 j 4 j π π π π e e e e eq. (6.)

33 Trasformadas que, usado as equações de Euler e substituido ( π / 4) / se a eq. (6.) se tora em X() π se 4 π cos 4 + que correspode à eq. (6.9) com a e ω o dados em eq. (6.).

34 Trasformadas Sial seo discreto x[] se(ω o )u [] tem a seguite Trasformada : se( ω ) eq. (6.) o { se( ωo) u[] } cos( ω o ) + que equivale a { se( ω ) u [] } o se( ωo ) cos( ω o ) + eq. (6.5)

35 Trasformadas Sial co-seo discreto y[] cos(ω o )u [] tem a seguite Trasformada : o { cos( ωo) u[] } cos( ω cos( ω o ) ) + eq. (6.4) que equivale a { cos( ω ) u [] } o [ cos( ω o cos( ω o )] ) + eq. (6.6)

36 Trasformadas Exemplo 6.8: Cosidere o sial x[] ou seja, ( λ) x[] u[ ] x[] ( ) + 0, λ,,,, L 0,,, L Pela defiição de Trasformada, eq. (6.6), tem-se que: { } x[] X() ( ) + λ

37 Trasformadas e da expasão em série de Taylor, eq. (6.), obtém-se que a Trasformada deste sial é: X() log ( + λ ), > a eq. (6.7) As Trasformadas itroduidas aqui dos siais u o [], u o [-m], u [], u [], u [], se(ω o ), cos(ω o ), a se(ω o ), a cos(ω o estão a Tabela das Trasformadas as pág. e do Capítulo 6 das Notas de Aula.

38 Trasformadas Na pág. e do Capítulo 6 das Notas de Aula tem uma Tabela das Trasformadas dos siais que precisaremos. Tabela 6.

39 Trasformadas Na pág. e do Capítulo 6 das Notas de Aula tem uma Tabela das Trasformadas dos siais que precisaremos. Tabela 6. (cotiuação)

40 Trasformadas Na pág. e do Capítulo 6 das Notas de Aula tem uma Tabela das Trasformadas dos siais que precisaremos. Tabela 6. (cotiuação) Tabela 6. (cotiuação)

41 Trasformadas Homogeeidade ( homogeeity ) Propriedades da Trasformada k x k x k X() eq. (6.8) Aditividade ( additivity ) { x [] + x []} { x []} + { x []} X () + X () eq. (6.9) Liearidade ( liearity ) Como já vimos em ateriormete, a liearidade é a propriedade da aditividade, eq. (6.9), e da homogeeidade eq. (6.8) jutas: { α x [] + β x []} α { x []} + β { x []} α X () + β X () eq. (6.0) ode α, β Csão costates e x [], x [] são dois siais discretos com Trasformadas dadas por X () e X () respectivamete.

42 Trasformadas Coforme já mecioado ateriormete (o Exemplo 6.), a propriedade da liearidade da Trasformada permite escrever 5 5 [] u [] u 5 [] u [] u 5 que correspode à equação eq. (6.0)

43 Trasformadas Traslação ( time shiftig ): Se x[] é um sial discreto defiido apeas para 0,,,, ou seja x[] 0, < 0, e com Trasformada dada por X(), uma traslação de m (shift de uidade para direita): { x[ ] } X() + x[ ] Para m (shift de para direita): eq. (6.) { x[ ] } X() + x[ ] + x[ ] eq. (6.) e o caso geral, m,,, (shift de m > 0 para direita) { x[ m] } m X() + x[ m] + + x[ m + ] x[ m + ] + L + x[ ] m+ + + x[ ] m+ eq. (6.) Os termos x[ ], x[ ] -, x[ ], x[ m+] -, etc. correspodem aos resíduos a propriedade da derivada em Trasformadas de Laplace.

44 M M Trasformadas M Estes M termos aparecem pois estamos cosiderado a Trasformada uilateral, coforme a defiição a eq. (6.6), assim como o capítulo 5 cosideramos a Trasformadas de Laplace uilateral. Note que se x[] tem codições iiciais ulas (x[] 0, < 0), isto é, se x[]0, x[]0, x[]0,, etc. eq. (6.4) etão estes termos residuais são todos ulos e uma traslação de m > 0 (shift de m para direita) equivale a multiplicar por m (o domíio, da frequêcia). Isto é, o caso de codições iiciais ulas [eq. (6.4)], temos que os termos residuais desaparecem e as eq. (6.), eq. (6.) e eq. (6.) se trasformam a forma bem mais simplificada, resumidas a eq. (6.5). { x[ ] } X() X() { x [ ] } X() X() M m m { x [ m] } X() X() eq. (6.5)

45 Trasformadas As traslações ( time shiftig ) acima, x[ ]. x[ ], x[ m], m > 0, shift para direita, são também chamadas de atraso o tempo ( time delay ). No caso de shift para esquerda, x[ + ]. x[ + ], x[ + m], m > 0, são também chamadas de avaço o tempo ( time advace ). Temos etão que a traslação (shift) de uidade para esquerda: { x[ + ] } X() x[0] eq. (6.6) e a traslação (shift) de uidades para esquerda: { x[ + ] } X() x[] x[0] eq. (6.7) e o caso geral, a traslação (shift) de m uidades para esquerda): { x[ + m] } m X() x[m ] x[m ] L x[] x[m ] m + x[0] m eq. (6.8)

46 Trasformadas Mudaça de escala o domíio ( -domai scalig ): α { } α x[] X ode α C é uma costate e x[] é um sial discreto com Trasformada dada por X(). Portato, a mudaça de escala o domíio equivale à multiplicação por α o domíio do tempo. Em particular, se α e jω, etão, como e jω, ω, e jω x[] X e jω

47 Trasformadas Expasão o tempo ( time scalig ): Para um sial discreto x[] cosidere o sial expadido x (k) [] defiido abaixo. x ) [] k x[ / k], 0, se é múltiplo de k ( se ão é múltiplo de k o qual está ilustrado a figura abaixo para k e x[],,, Estes siais expadidos x (k) [] satisfaem a seguite propriedade { } ( k x X ) ) [] ( k

48 Trasformadas Cojugado ( cojugate ) { } ( x [] X ) ode x[] é um sial discreto com Trasformada dada por X(). Note que, se x[] for um sial real (x[] R) etão: X() X*(*) logo, se X() tem um pólo em a também terá em a *. Covolução ( covolutio ) Semelhatemete às trasformadas de Laplace, também a Trasformada temos que a trasformada da covolução é o produto das Trasformadas : { []* x []} X ( ) X () eq. (6.9) x

49 Trasformadas Derivada do domíio de ( -domai derivative ) { x[] } dx( ) d ode x[] é um sial discreto com Trasformada dada por X(). Portato a derivada do domíio de equivale à multiplicação por o domíio do tempo. Esta propriedade permite geeraliar algus siais da tabela Tab 6. das Trasformadas. Por exemplo, essa tabela pode-se ver as Trasformadas dos siais: x[] u [], x[] u [] e x[] u [] e com esta propriedade pode-se geeraliar para os siais: x[] u [], x[] 4 u [],, etc. Nessa mesma tabela também se ecotram as Trasformadas dos siais: x[] a u [], x[] a u [] e x[] a u [] e com esta propriedade pode-se geeraliar para os siais: x[] a u [], x[] a 4 u [],, etc.

50 Trasformadas Teorema Valor Iicial (TVI) e Teorema Valor Fial (TVF) A exemplo dos teoremas TVI e TVF para Trasformadas de Laplace, estes teoremas para Trasformadas permitem que se descubra o valor iicial x[0] e o valor fial x[ ] de um sial x[] cujo X(), a Trasformada, seja cohecida. Teorema do valor iicial (TVI): x[0] ( ) lim X Teorema do valor fial (TVF): x[ ] lim ( ) X( )

51 Trasformadas Exemplo 6.9: Cosidere o sial discreto do exemplo 6., x 5 + u cuja Trasformada de Laplace é dada pela eq. (6.). Aplicado-se os teoremas TVI e TVF obtemos: x 0 lim! # X lim! # $ e x lim! X lim! $ 0 que estão de acordo com o esperado pois que como temos x[], claro, sabemos que este caso são de facto x[0] e x[ ] 0.

52 Trasformadas Exemplo 6.0: Se tomarmos o sial degrau uitário discreto x u cuja Trasformadas é dada por (tabela Tab 6. da secção 6.8) X &, etão, aplicado-se os teoremas TVI e TVF para Trasformada, obtemos: e x 0 ' lim! # X lim! # & x lim! X lim! & que ovamete estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para o degrau uitário discreto x 0 e x. Por outro lado, se tomarmos o sial rampa uitária discreta x u $ cuja Trasformadas é dada por (tabela Tab 6.) X $, etão, aplicadose os teoremas TVI e TVF para Trasformada, obtemos: x 0 ' lim! # X lim! # $ 0

53 Trasformadas e x lim! X lim! $ lim! que ovamete estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para a rampa uitária discreta x 0 0 e x. Fialmete, se tomarmos o sial impulso uitário discreto x u ( cuja Trasformadas é dada por (tabela Tab 6.) X, etão, aplicado-se os teoremas TVI e TVF para Trasformada, obtemos: e x 0 ' lim! # X lim! # x lim! X lim! 0 que ovamete estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para o impulso uitário discreto x 0 e x 0.

54 Trasformadas Trasformada iversa As Trasformadas dos pricipais siais de iteresse para sistemas lieares ivariates o tempo (SLIT) vêm em forma de uma fração racioal, ou seja, uma fração do tipo: eq. (6.40) ode p() e q() são poliómios em. Coforme podemos observar a tabela das Trasformadas ou etc.

55 Trasformadas De forma semelhate a que é feita para se achar a Trasformadas iversas de Laplace, aqui também, para se achar a Trasformadas iversa é ecessário desmembrar o X() a forma de frações meores, ou seja, é preciso se faer a expasão de X() em frações parciais. Assim como as Trasformadas iversas de Laplace, vamos apresetar aqui, através de exemplos, três casos de expasão em frações parciais para Trasformadas iversa: o pólos reais e distitos, o pólos complexos e o pólos múltiplos.

56 Trasformadas Caso Pólos reais e distitos 8 8 X() que, separado-se em duas frações temos: X() facilmete calculamos que A A 6 ( 9 4) ( / )( / ) + B e B, logo eq. (6.4) - ( / ) u [] e podemos escrever a Trasformada iversa de X() - ( / ) u [] x[] u[] + u[] eq. (6.4)

57 Trasformadas Alterativamete pode-se calcular este x[] reescrevedo X() a forma: 4 X() + B A () X A e B que, separado-se em duas frações temos: [] u [] u [] x + e chegamos ao mesmo resultado:

58 Trasformadas Caso Pólos complexos cojugados X() (ρ cos θ) + ρ eq. (6.4) ode ρ > 0 0 < θ < π e eq. (6.44) X() tem pólos complexos cojugados: ρ ± e jθ ρ(cos θ ± jseθ) Para calcular x[] [X()] reescreve-se X() a forma, ( ρseθ) X() ( ρseθ) (ρcosθ) + ρ

59 Trasformadas e, usado a tabela Tab 6. das Trasformadas e a eq. (6.6) x[] ( ρse θ) { + ρ se[( + ) θ] } u [ + ] ρ se[( + ) θ] u se θ [ + ] que este caso equivale a ρ se[( + ) θ] x[] u[] se θ eq. (6.45) pois para, se (+) se(0) 0, etão x[ ] 0.

60 Trasformadas Alterativamete pode-se calcular este x[] reescrevedo X() a forma: X() (ρcos θ) + ρ que pode ser colocado a forma: ( se ) X() ρ θ ( ρ seθ) (ρ cos θ) + ρ e, ovamete, usado a tabela Tab 6. das Trasformadas, podemos escrever a Trasformada iversa de X() obtedo x[] e chegado ao mesmo resultado. ρ se[( + ) θ] x[] u[] eq. (6.45) se θ

61 Trasformadas Esta solução da Trasformada iversa de X()da eq. (6.4) egloba a família de trasformadas X() do tipo eq. (6.40) cujo deomiador satisfa q() b + c b < 4c eq. (6.46) ou seja, tal que o poliómio q() tem raíes complexas cojugadas. Uma fração racioal do tipo q() b + c b + c ode a codição eq. (6.46) é satisfeita, pode sempre ser reescrita a forma da eq. (6.4) X() eq. (6.4) com ρ > 0 e 0 < θ < π. (ρ cos θ) + ρ

62 Trasformadas Exemplo 6.: Aqui o poliómio do deomiador e portato, Logo, usado eq. (6.45) com ρ e θ,8 rad, x[], a Trasformada iversa de X(), é X () + 4 ρ c 4 ρ cos θ b + 4 q() b + c + 4 ρ cos θ θ arccos,8 rad 75,5º 4 se[( + ),8] x[] u[] se (,8) que está a forma da eq. (6.4) 4 b e c 4

63 Trasformadas Exemplo 6.: X() que está a forma da eq. (6.4) Aqui o poliómio do deomiador q() b + c b 5 e c 0 ρ c 0 ρ cos θ b 5 cos ρ 0 5 θ 0,79 0 e portato, θ arccos( 0,79),48 rad 4,º Logo, usado eq. (6.45) com iversa de X(), é ρ 0 e θ 0,79 rad, x[], a Trasformada (,6) se[( + ),48] x[] u[] se (,48)

64 Trasformadas Caso Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.) Se a eq. (6.4) cosiderarmos agora os casos i) θ 0 cos θ ρ > 0, ou ii) θ π cos θ ρ < 0, que ão estavam icluídos a eq. (6.44), etão a eq. (6.4) pode ser reescrita como: X() ρ + ρ ( ρ ) eq. (6.47) Observe que, i) θ 0 cos θ ρ > 0, ou ii) θ π cos θ ρ < 0. Além disso, será cosiderado também o caso ρ 0, iii) ρ 0 que também ão estava cotemplado a eq. (6.44). Note que ρ é o próprio pólo duplo ( ρ) que pode ser positivo ou egativo e até mesmo ero (ρ 0).

65 Trasformadas Pólos múltiplos a origem: Começamos com este último caso (iii), ρ 0, ou seja pólos duplos a origem (i.e., pólos duplos em 0). A equação eq. (6.47) X() eq. (6.47) ( ρ) com ρ 0, os forece X () ( 0) ou seja, X(), e logo, x[] é o impulso uitário x[] u o []

66 Trasformadas No caso de pólos triplos a origem (em 0), por exemplo, X() terá a expressão: X() ( 0) e a Trasformadas fica: x[] uo[ ] No caso de pólos quádruplos em 0, X() terá a expressão: X () 4 ( 0) e a Trasformadas fica: e assim por diate. x[] uo[ ]

67 Trasformadas Pólos múltiplos fora da origem: Agora vamos cosiderar o caso de ρ 0. Ou seja, casos (i) e (ii) Reescrevedo eq. (6.47) como i) ρ > 0, ou ii) ρ < 0. X() ρ ρ ( ρ) e, usado a tabela Tab 6. das Trasformadas, pode-se obter x[], a Trasformadas iversa de X(), que este caso equivale a + x[] ρ u [] ρ u [] ρ x[] ( + ) ρ u[] eq. (6.49) pois u [] u [].

68 Trasformadas Alterativamete pode-se calcular este x[] reescrevedo X() a forma: X() ρ ( ρ ρ ) e, usado a tabela Tab 6. das Trasformadas, obtém-se x[], a Trasformadas iversa de X() x[] ( + ) ρ u[] eq. (6.50) o mesmo resultado já obtido, isto é, x[] da eq. (6.49).

69 Trasformadas Esta solução da Trasformada iversa de X() egloba uma família de X() do tipo ode q() b + c b 4c eq. (6.5) ou seja, tal que o poliómio q() tem raíes duplas ρ b/

70 Trasformadas Exemplo 6.4: X() ( + ) Aqui o poliómio do deomiador é dado por q() b + c b 6 e c 9 Além disso, ρ 6/ Logo, x[], Trasformada iversa de X(), com ρ, é dada por: x[] ( + ) ( ) u[]

71 Trasformadas Exemplo 6.5: X() ( 4) Aqui o poliómio do deomiador é dado por q() b + c b 8 e c 6 Além disso, ρ ( 8)/ 4 Logo, x[], Trasformada iversa de X(), com ρ 4, é dada por: x[] 5 ( + ) 4 u[]

72 Trasformadas Exemplo 6.6: X() ( + ) Aqui o poliómio do deomiador é dado por q() b + c b 4 e c 4 Além disso, ρ ( 4)/. Logo, reescrevemos X() a forma que equivale a X() ( + ) 4 ( + ) X() ( ) ( + ) ( ) ( + )

73 Trasformadas Logo, x[], a Trasformada iversa de X(), com ρ, é facilmete obtida usado as propriedade da Trasformada (liearidade, traslação/time shift, etc.) x[] - ( ) ( + ) + - ( ) ( + ) - ( ) ( + ) - ( ) ( + ) ou seja, x[] ( ) u[] ( ) ( ) u[ ]

74 Trasformadas Solução de equações de difereças usado Trasformadas

75 Trasformadas Exemplo 6.7: Cosidere a equação de difereças de ª ordem y [] + y[ ] x[] com codição iicial ula, y[ ] 0. Faedo-se a Trasformada termo a termo, Y[] + Y() X() isto é, e logo, Y[] ( + ) X() Y[] X() X() + + e o problema de achar a solução y[] da equação de difereça se coverte o problema de achar a Trasformada iversa de Y() y[] { Y() }

76 Trasformadas Se x[] u o [] (impulso uitário discreto), por exemplo, etão X() y[] - { Y[] } - + ou seja, y[] ( ) u[] que é a solução da equação de difereças com codição iicial ula, i.e., y[ ] 0 e etrada x[] u o [] (impulso uitário discreto). Pode-se facilmete verificar que y[] ( ) u[] de facto satisfa a equação de difereças com x[] u o [] e que y[ ] 0.

77 Trasformadas Se etretato x[] u [] (degrau uitário discreto), etão portato y[] - { Y[] } X() /( ) - e facilmete se calcula que A ¾ y[] A B + ( + ) ( ) ( + ) ( ) e B ¼, logo + ( + ) ( ) y[] ( ) + u[] e agora, usado a tabela Tab 6. das Trasformadas assim como a propriedade da liearidade obtém-se: que é a solução da equação de difereças com codição iicial ula, i.e., y[ ] 0 e etrada x[] u [] (degrau uitário discreto). Pode-se facilmete verificar que y[] de facto satisfa a equação de difereças com x[] u [] e que a codição iicial, y[ ] 0, se verifica.

78 Trasformadas Exemplo 6.8: Cosidere agora a mesma equação de difereças do exemplo aterior (exemplo 6.7), ou seja, y [] + y[ ] com codição iicial y[ ]. x[] Y() + y[ ] + Y() X() Y() [ + ] + X() Y() + ( + ) ( + ) X() ero iput respose ero state respose

79 Trasformadas Cosideremos agora que a etrada x[] é o sial: Logo, e portato Y() 8 X() ( ) ( + ) x[] 8u [] 8 ( ) ( + 8 )( + ) ( + ) + ( 8 + )( ) o que permite acharmos a solução y[] da equação de difereça através da sua Trasformada iversa Y() ( + ) + ( ) y[] { Y() }

80 Trasformadas y[] ( ) u [ + ] + u [ + ] [ ( ) + ] u [ + ] que é a solução da equação de difereças com codição iicial, i.e., y[ ]. e etrada x[] 8u [] (degrau de amplitude 8 discreto). Note que, como a equação de difereças é de ª ordem e y[ ] 0, foi ecessário recuar uma uidade de tempo, o que correspode de u [] para u [+]. Pode-se facilmete verificar que y[] de facto satisfa a equação de difereças com x[] 8u [] e que a codição iicial, y[ ], se verifica.

81 Trasformadas Exemplo 6.9: Cosidere a equação às difereças de ª ordem y[] y[ ] x[] x[ ] com codição iicial ula y[ ] 0, ode a etrada x[] é + Y[] x[] u [] degrau uitário discreto ( y[ ] + Y() ) X() + x[ ] 0 0 ( + X() ) Note também X() /( - ) e que x[ ] u [ ] 0. Logo, Y[] + X() +

82 Trasformadas e portato, Y[] + + ( ) e mais uma ve pode-se achar a solução y[] da equação de difereças achado-se a Trasformada iversa de Y(), ou seja, y[] { Y() } Y[],5 +,5 ( /) ( )

83 Trasformadas y[],5 +,5 u [] que é a solução da equação de difereças com codição iicial ula, i.e., y[ ] 0 e etrada x[] u [] (degrau uitário discreto). Pode-se facilmete verificar que y[] de facto satisfa a equação de difereças com x[] u [] e que a codição iicial, y[ ] 0, se verifica.

84 Obrigado! Felippe de Soua