Processamento Digital de Sinais. Notas de Aula. Transformada Discreta de Fourier DFT. Transformada Discreta de Fourier - DFT.

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1 Trasformada Discreta de Fourier Trasformada Discreta de Fourier Trasformada Discreta de Fourier - DFT Processameto Digital de Siais otas de Aula DTFT: X(e jω ) = x[]e jω = É uma trasformada da variável cotíua ω Usada para siais de duração fiita/ifiita ão pode ser implemetada de maeira exata um computador Uso de outras ferrametas matemáticas que a aproximam DFT: Trasformada Discreta de Fourier DFT Aplicada a siais de tempo discreto de duração fiita O resultado é um sial de frequêcia discreta e de duração fiita Pode ser implemetada de maeira exata um computador É uma aproximação da DTFT Existem algoritmos eficietes para seu cálculo (FFT - Fast Fourier Trasform) Está relacioada com siais periódicos(dfs - Discrete Fourier Series) Aplicações: Ricardo Tokio Higuti Aálise espectral de siais, resposta em frequêcia Implemetação de SLITs Departameto de Egeharia Elétrica - FEIS - Uesp Observação: Estas otas de aula estão baseadas o livro: Discrete-Time Sigal Processig, A.V. Oppeheim ad R.W. Schafer, Pretice Hall, 989/999.

2 Trasformada Discreta de Fourier Trasformada Discreta de Fourier 4 Série Discreta de Fourier - DFS Seja um sial de tempo discreto periódico, com período, que obedece a: x[] = x[+r], r, iteiros, em que defie-se a frequêcia fudametal do sial por: ω = π Aalogamete ao caso de tempo cotíuo, este sial também pode ser represetado por uma série, composta por uma soma de expoeciais complexas de tempo discreto, cujas frequêcias são múltiplas da frequêcia fudametal: x[] = k X k π ej k Devido à periodicidade das frequêcias das expoeciais complexas, há apeas frequêcias distitas: e k [] = e j π k Para k iteiro, fica-se com as expoeciais e [], e [],, e []. Quado k =, tem-se: e [] = e j π = e jπ = = e [] De forma aáloga, e + [] = e [] e assim por diate. Série Discreta de Fourier - DFS Portato, há apeas diferetes frequêcias: e portato a série fica: ω k = π k, para k =,,,, x[] = k= X k e j π k = k= X[k]e jπ k Os valores X[k] são os coeficietes da série discreta de Fourier (DFS), que represetam a cotribuição de cada compoete de frequêcia πk/ a composição do sial periódico. Os coeficietes são obtidos por: X[k] = = Chagado-se ao par trasformado: Observações: x[]e jπ k, k =,,, x[] DFS X[k] X[k] é de frequêcia discreta. Para cada k há uma frequêcia πk/ X[k] é periódico com : X[k + ] = X[k], por isso basta observar seus valores o itervalo etre e.

3 Trasformada Discreta de Fourier 5 Exemplo - DFS Calcule a DFS da sequêcia: x[] = A cos(π/) Iicialmete verifica-se que a sequêcia é periódica, com período = 4, e valores {A,, A, } em um período ( ). Portato, a os coeficietes da DFS são: Com valores: X[k] = = X[] = A( e jπ ) = X[] = A( e jπ ) = A X[] = A( e jπ ) = X[] = A( e jπ ) = A x[]e jπ k = A( e j π 4 k ) e percebe-se que X[4] = X[], e assim por diate. Outra forma de verificar o resultado é reescrevedo a sequêcia x[] em termos de expoeciais complexas: Trasformada Discreta de Fourier 6 Exemplo - DFS Calcule a DFS de um trem de impulsos periódico: x[] = δ[ m+r] Um período do sial, para é dado por δ[ m], com m uma costate iteira. Os coeficietes da DFS são dados por: X[k] = = x[]e jπ k = = δ[ m]e j π k = e j π km Portato, a represetação do sial periódico fica: x[] = k= E tem-se a idetidade: X[k]e jπ k = k= e j π km e j π k = x[] = δ[ m+r] = e j π k( m) k= e j π k( m) k= Esta idetidade será útil quado for relacioada a DFS com a DTFT. x[] = Acos(π/) = A ej π + A e jπ = A ej π 4 + A e j π 4 Deve-se otar que e j π k = e j π ( k), e portato x[] pode ser escrito como: x[] = A ej π 4 + A ej π 4 Como a expasão de x[] em termos da DFS é: ota-se que: X[] = x[] = 4 k= X[k]e jπ 4 k X[]/4 = A/, portato X[] = A X[] = X[]/4 = A/, portato X[] = A

4 Trasformada Discreta de Fourier 7 Relação etre a DFS e a DTFT Seja um sial periódico de tempo discreto, x[], com período. Tomadose um período desse sial, fica-se com o sial x[]: A DTFT de x[] é: E a DFS de x[]: x[] = X(e jω ) = X[k] = = x[], =,,,, caso cotrário = x[]e jω = x[]e jπ k, = x[]e jω k =.. Comparado as equações, tem-se que a DFS e a DTFT, essas codições, estão relacioadas por: X[k] = X(e jω ) ω= π k, k =.. ou seja, a DFS é composta por amostras da DTFT em potos equiespaçados de π/, etre ω = e π. Trasformada Discreta de Fourier 8 Exemplo x[] = {,,,,,,,,, }, =, L = 5 X(e jω ) = 4 X[k] = 4 = = e jω = e jωsi(5ω/) si(ω/) e j(π/) j(4π/)k si(πk/) = e si(πk/) x[], x[] X(e jω ), X[k]

5 Trasformada Discreta de Fourier 9 Exemplo x[] = {,,,,,, }, = 7, L = 5 X(e jω ) = 4 X[k] = 4 = = e jω = e jωsi(5ω/) si(ω/) e j(π/7) = e j(4π/7)ksi(5πk/7) si(πk/7) Trasformada Discreta de Fourier Exemplo x[] = {,,,, }, = 5, L = 5 X(e jω ) = 4 X[k] = 4 = = e jω = e jωsi(5ω/) si(ω/) e j(π/5) j(4π/5)k si(πk) = e si(πk/5) x[], x[] x[], x[] X(e jω ), X[k] 5 4 X(e jω ), X[k].5.5 ω/π, ω k /π = k/.5.5 ω/π, ω k /π = k/

6 Trasformada Discreta de Fourier Amostragem da DTFT Foi visto que, se, a partir de uma sequêcia de duração fiita L, x[], se produz uma sequêcia periódica x[] com período L, os coeficietes da DFS X[k] são as amostras da DTFT X(e jω ), as frequêcias ω k = πk/. x[] x[] = + m= x[+m] DFS X[k] = X(e jω ) ω= π k SupohaagoraquesetehaumaDTFTdeumsialx[]qualquer,dada por X(e jω ), e se tomam amostras da DTFT, formado coeficietes de uma DFS: Trasformada Discreta de Fourier Amostragem da DTFT Logo,aose tomar amostrasdadtft de umsialx[],obtedo-secoeficietes de uma DFS, a sequêcia periódica correspodete pode ser obtida por meio da adição de ifiitas cópias de x[], deslocadas de múltiplos de. DTFT x[] X(e jω ) amostras em que a DTFT é dada por: X[k] = X(e jω ) ω= π k x[] = + x[+r] DFS X[k] = X(e jω ) ω= π k X(e jω ) = + m= x[m]e jωm A sequêcia periódica x[] resultate pode ser calculada por meio da DFS iversa: x[] = = = + k= k= m= X[k]e jπ k + m= x[m] x[m]e jπ km e j π k e j π k( m) k= O termo etre colchetes represeta a DFS de um trem de impulsos periódico: Portato: e j π k( m) = + k= δ[ m+r] Logo: se a sequêcia x[] possuir um comprimeto L >, haverá sobreposição o domíio do tempo, e um período de x[] ão represetará corretamete a sequêcia x[]. Há um úmeromíimode amostrasde X(e jω ) paraque a sequêciax[] possa ser recuperada a partir de x[] (ou a partir das amostras da DTFT). x[] = + m= x[m] = x[] + + δ[ m+r] δ[+r] = + x[+r]

7 Trasformada Discreta de Fourier Amostragem da DTFT: Exemplo Seja x[] um pulso de duração 5 amostras (L = 5). sequêcias 5 5 x [] = 5 5 x [] = 5 5 x [] = + + x[] + x[+r] x[+5r] x[+4r] 5 5 amostra DTFT, DFS X(e jω ).5.5 =, X [k] = X(e jω ) ω= π k 5 = 5, X [k] = X(e jω ) ω= π 5 k 4 = 4, X [k] = X(e jω ) ω= π 4 k 4 amostra k Trasformada Discreta de Fourier 4 Amostragem da DTFT - Exemplo x[] = (7/) u[] X(e jω ) = [ (7/)e jω ] Amostrado a DTFT com = 4 potos, a sequêcia o domíio do tempo fica (em preto: amostras de x[], em vermelho: amostras de x[]): Para = 8 potos:.5 x[] = + x[+4r] Erro: x[] x[] amostra x[] = + x[+8r] Erro: x[] x[] amostra

8 Trasformada Discreta de Fourier 5 DTFT de Siais Periódicos Um sial periódico x[] pode ser represetado por sua DFS: Trasformada Discreta de Fourier 6 Propriedades da DFS Sequêcias x[] e ỹ[], e suas séries, de período. x[] = k= Usado as propriedades da DTFT: x[] DTFT X(e jω ) x[] e jω DTFT X(e j(ω ω ) ) X[k]e jπ k Propriedade Sequêcia DFS, período Liearidade a x[]+bỹ[] a X[k]+bỸ[k] j(π/)km Atraso o tempo x[ m] e X[k] Deslocameto em frequêcia e j(π/)k x[] X[k k ] Dualidade X[] x[ k] DTFT πδ(ω), e jω DTFT πδ(ω ω ), ω < π (um período) ω < π Logo, a DTFT do sial periódico, represetado por uma soma de expoeciais complexas, fica: x[] = k= X[k]e jπ k DTFT π k= ( X[k]δ ω π ) k, ω < π a prática, a iformação cotida o espectro da DTFT é a mesma da DFS de um sial periódico, a meos de uma costate (π/) e a substituição das amostras para cada k ( X[k]) pelos impulsos as frequêcias πk/, com áreas (π/) X[k]. x[], x[] - X[k] X(e jω ) - k Covolução periódica Modulação m= x[m]ỹ[ m] x[] ỹ[] X[k] Ỹ[k] Simetria x [] X [ k] x [ ] R{ x[]} I{ x[]} x e [] = x[]+ x [ ] x o [] = x[] x [ ] x[] real X[l]Ỹ[k l] l= X [k] Xe [k] = X[k]+ X [ k] Xo [k] = X[k] X [ k] R{ X[k]} I{ X[k]} X[k] = X [ k] X[k] = X[ k] { X[k]} = { X[ k]}

9 Trasformada Discreta de Fourier 7 Exemplo - Covolução periódica Deseja-se fazer a covolução periódica etre as sequêcias: Trasformada Discreta de Fourier 8 Trasformada Discreta de Fourier - DFT Seja um sial x[] de duração fiita : x[] = para < e Pode-se motar, com essa sequêcia, uma outra, periódica, tal que: x[] = x[+r] = x[ modulo ] = x[(()) ] x [] = m= x [m] x [ m] ota-se que a somatóriaérealizadaem um período apeas. Para =, deve-se ter o sial x [ m],e multiplicá-lo por x [m]: Dessasequêciaperiódica,pode-secalcularaDFS, X[k],queéperiódica com período. Para mater a dualidade etre os domíios do tempo e frequêcia, toma-se um período dessa sequêcia periódica e dá-se o ome de X[k]: de modo que: X[k] = X[k], k =,,,, caso cotrário X[k] = X[k modulo ] = X[((k)) ] Deve-se perceber que, como o sial é periódico, deslocametos posteriores do sial serão da forma: e amostras que saem pelo lado direito etram pelo lado esquerdo, quado se cosidera um período dos siais. Para obter os valores da saída, deve-se multiplicar as duas sequêciase realizar a soma das amostras em um período.

10 Trasformada Discreta de Fourier 9 Trasformada Discreta de Fourier DFT Dessa forma, tem-se: X[k] = x[] = = x[]e jπ k, k =,,,, caso cotrário X[k]e j π k, =,,, =, caso cotrário Operações com (( )) x[] x[] x[ ] x[] DFT X[k] Os siais x[] e X[k] são ambos discretos e de duração fiita Da mesma forma que ates, a DFT pode ser vista como amostras da DTFT do sial x[], as frequêcias ω k = πk/, k =... Aosetrabalharcomassequêciasx[]eX[k]eaDFT,deve-sesempre lembrar que há sequêcias periódicas evolvidas. Ao se usar a DFT, deve-se trabalhar com as sequêcias cosiderado que estas são periódicas e, ao fial toma-se apeas um período (, k ). Fora desse itervalo, cosidera-se que as sequêcias têm valor zero (siais de duração fiita ). x[ ] x[] x[] x[+] x[+]

11 Trasformada Discreta de Fourier Operações com (( )) Trasformada Discreta de Fourier Propriedades da DFT Sequêcias x[], y[], X[k] e Y[k] com comprimeto. x[] Propriedade Sequêcia DFT potos Liearidade ax[] + by[] ax[k] + by[k] x[] Atraso o tempo x[(( d )) ] e j(π/)k d X[k] Deslocameto em freq. e j(π/)k x[] X[((k k )) ] x[ ] Dualidade X[] x[(( k)) ] x[ ] Covolução circular v[] = x[]()y[] v[] = x[m]y[(( m)) ] m= V[k] = X[k] Y[k] Jaelameto v[] = x[] y[] V[k] = l= X[l]Y[((k l)) ] Simetria x [] X [(( k)) ] x[ ] x [(( )) ] X [k] x[ ] x[ +] x[ +] R{x[]} X ep [k] = X[((k)) ]+X [(( k)) ] I{x[]} X op [k] = X[((k)) ] X [(( k)) ] x ep [k] = x[(()) ]+x [(( )) ] x op [k] = x[(()) ] x [(( )) ] R{X[k]} I{X[k]} x[] real X[k] = X [(( k)) ] X[k] = X[(( k)) ] {X[k]} = {X[(( k)) ]}

12 Trasformada Discreta de Fourier Covolução Liear Usado a DFT Em SLITs, a saída é obtida pela covolução liear etre a etrada e a resposta impulsiva A operação de covolução pode ser muito custosa (somas e multiplicações) Quado se usa a DFT, tem-se a covolução circular Existem algoritmos eficietes para o cálculo da DFT (FFT) Como usar a DFT para implemetar a covolução liear? Parafazeracovoluçãoliearetreduassequêciasx []ex [](DTFT): x [] = x [] x [] = k= Usado-se a DFT, tem-se a covolução circular: x [k]x [ k] X (e jω ) = X (e jω ) X (e jω ) x p [] = x []()x [] X [k] = X [k] X [k] Trasformada Discreta de Fourier 4 Covolução Liear Usado a DFT Sejam duas sequêcias: x [] de comprimeto L x [] de comprimeto M O resultadoda covolução liear etrex []ex []terá comprimeto L+M x [] x [] Questão: Sob que codições x p [] = x []? x [] x []

13 Trasformada Discreta de Fourier 5 Covolução Liear Usado a DFT Vimos que se um sial de duração fiita x[] tem DTFT X(e jω ), as amostras de X(e jω ) as frequêcia ω k = πk/ formam um período de uma DFS cuja sequêcia é: e x[] = x[(()) ] = X[k] = é a DFT de um período de x[]: x[] = x[+r] X(e j(πk/) ), k =.., caso cotrário x[], =.., caso cotrário ote que, se o comprimeto de x[] for meor ou igual a, ão haverá sobreposição o tempo, e um período de x[] será igual a x[]. Trasformada Discreta de Fourier 6 Covolução Liear Usado a DFT o caso da covolução liear, tem-se: x [] = x [] x [] = Defiido a DFT: Etão, k= X [k] = X (e j(πk/) ), x [k]x [ k] X (e jω ) = X (e jω ) X (e jω ) k =.. X [k] = X (e j(πk/) ) X (e j(πk/) ) = X [k] X [k], E a DFT iversa de X [k] correspode a: x p [] = x [+r], =.., caso cotrário k =.. em que x [] é a covolução liear etre x [] e x [], e x p [] é o resultado da covolução circular etre x [] e x []: x p [] = x []()x [] Ou seja, a covolução circular etre duas sequêcias pode ser vista como a covolução liear etre essas sequêcias seguida de uma sobreposição o tempo. Com isso, coclui-se que a covolução circular será igual à covolução liear, se e se somete se for maior que o comprimeto de x []: L+M

14 Trasformada Discreta de Fourier 7 Covolução Liear Usado a DFT Trasformada Discreta de Fourier 8 Covolução Liear Usado a DFT x [] x [] x [] x [] x [](4)x [] x [](6)x [] x [] x [] x [] x [] x [](5)x [] x [](7)x []

15 Trasformada Discreta de Fourier 9 Covolução Liear Usado a DFT Coclusão: sedo x[] de comprimeto L; h[] de comprimeto M; A covolução circular etre x[] e h[] é igual à covolução liear se L+M. Covolução rápida (Fast Covolutio). Calcular a DFT X[k], de comprimeto L+M ; Trasformada Discreta de Fourier Covolução por Blocos Covolução rápida: para siais de duração fiita; Sistemas práticos: a etrada pode ter duração muito grade; Se a resposta impulsiva tiver duração fiita, pode-se separar a etrada em blocos de comprimeto fiito e utilizar a covolução rápida, aplicada aos blocos - liearidade da operação de filtragem; O comprimeto da covolução liear etre dois siais é maior que a duração de cada sial - ecessário um ajuste etre resultados de covoluções aplicadas a blocos adjacetes;. Calcular a DFT H[k], de comprimeto ;. Obter Y[k] = X[k] H[k]; 4. Calcular a DFT iversa de Y[k] para obter y[] estas operações se utilizam algoritmos eficietes para o cálculo da DFT, que são os algoritmos de FFT (Fast Fourier Trasform). 8 7 Covolução rápida Covolução liear 6 flops L = M ( = L)

16 Trasformada Discreta de Fourier Overlap-Add Trasformada Discreta de Fourier Overlap-Add este método, cosidera-se o seguite: O sistema FIR tem resposta impulsiva h[], com comprimeto M; O sial de etrada x[] tem comprimeto muito maior que M; Separa-se o sial x[] em blocos de comprimeto L, produzido siais x i []; Calcula-se a covolução rápida etre x i [] e h[], produzido os siais y i []. x[] x [] L L (M ) zeros (M ) zeros x [] L Como visto ateriormete, a covolução rápida deve ser realizada com um úmero de potos L+M, que é o comprimetoresultate das sequêcias y i []. o processameto por blocos: a prática, adicioam-se zeros a x i [] e h[] para que atijam o comprimeto. A saída y [] correspode às amostras etre e ; A saída y [] correspode às amostras etre L e L+ ; Há uma sobreposição etre y [] e y [], para L. Essas amostras devem ser somadas a resposta total; y [] adicioa M potos x [] y [] adicioa M potos (M ) zeros y [] Há um atraso o processameto. y[] x i [] = x[+il], L ; i =,, y i [] = DFT {H[k] X i [k]}, = L+M y[] = y []+y [ L]+y [ L]+

17 Trasformada Discreta de Fourier Overlap-Add - Exemplo Trasformada Discreta de Fourier 4 Overlap-Save h[] x[] x [] M = 4, L = 5, = 8 este método, se faz a sobreposição dos blocos de etrada, de modo que ão seja ecessário adicioar saídas adjacetes. Separa-se a etrada x[] em sequêcias de comprimeto L = > M; Calcula-se a DFT com comprimeto ; O comprimeto de h[] é igual a M < L, e adicioam-se M zeros para que fique com comprimeto ; Faz-se uma sobreposiçãodas etradas, em que as M últimasamostras de x i [] serão as M primeiras amostras de x i+ []. y [] x [] x [] A sequêcia x [] é motada com zeros as primeiras M amostras e depois com as L (M ) primeiras amostras de x[]. A covolução circular etre h[] e x i [] (y i []) terá valores diferetes da covolução liear as M primeiras amostras. Essas M primeiras amostras de y i [] são descartadas; y [] y [] y[]

18 Trasformada Discreta de Fourier 5 Overlap-Save Trasformada Discreta de Fourier 6 Overlap-Save - Exemplo L (M ) x[] x [] (M ) zeros L x [] L sobreposição (M ) potos x [] h[] x[] x [] x [] M = 4, L = = 8 y [] x [] y [] y [] descarta (M ) potos y [] y [] y[] x i [] = x[+il i(m ) (M )], L, i > x [] =, M x[], M < L (M ) y[] y [] y i [] = DFT {H[k] X i [k]}, = L, L y li [] = y i [], M < L y[] = + y li [ il i(m ) (M )] i=