Processamento Digital de Sinais

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1 Processameto Digital de Siais Carlos Alexadre Mello Cetro de Iformática UFPE 0

2 Agradecimetos à primeira turma de Processameto Digital de Siais dos cursos de Egeharia da Computação e Ciêcia da Computação de 00.: Adriao Damascea, Berardo Foseca, Daker Ferades, Daiel Brito, Ferado Rodrigues, Gabriel Carvalho, João Carlos Procópio, Lucas Adré Paes, Luis Felipe Pereira, Oildo Ferra Filho, Rafael Meees, Rea Pires, Rodolpho de Siqueira, Rodrigo Perao, Thiago Lima e Thiago Herique Ferades.

3 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Ídice. Processameto Digital de Siais Pricipais Tipos de Siais Sistemas Discretos o Tempo Sistemas Lieares e Ivariates o Tempo Sistemas LTI como Filtros Seletores de Frequêcia....5 Represetação de Sequêcias pela Trasformada de Fourier Propriedades da Trasformada de Fourier Códigos do MatLab Exercícios Bibliografia Complemetar A Trasformada Z Propriedades da Trasformada Z Pares de Trasformadas Z Exemplos de Cálculo da Trasformada Z Propriedades da Região de Covergêcia A Trasformada Z Iversa Exercícios Bibliografia Complemetar Teoria da Amostragem Teorema de Shao Re-Obteção do Sial a partir de suas amostras Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros FIR Sistemas com Fase Liear Exercícios Bibliografia Complemetar Técicas de projeto de filtros Projeto de Filtros FIR Projeto usado jaelas Técicas de Projeto por Amostragem em Frequêcia Projeto Equirriple Ótimo Projeto de Filtros IIR Escala Relativa Características de Protótipos Aalógicos Trasformações em Frequêcia Comparação etre Filtros FIR e IIR Exercícios Bibliografia Complemetar Trasformada Discreta de Fourier A Série Discreta de Fourier A Trasformada Discreta de Fourier Propriedades da Trasformada Discreta de Fourier A Trasformada Discreta Bi-Dimesioal de Fourier... 69

4 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 6.5 O Espectrograma Exercícios Bibliografia Complemetar Trasformada Rápida de Fourier (FFT- Fast Fourier Trasform) Algoritmos Rápidos Algoritmo de Cooley-Tukey ou Decimação o Tempo Outras FFTs Exercícios Bibliografia Complemetar Aálise Wavelet A Trasformada Wavelet Aálise em Multiresolução Sobre os coeficietes das wavelets Wavelets o MatLab Exercícios Bibliografia Complemetar Processameto Digital de Images Digitaliação Sistema Computacioal de Cores Histograma Filtragem de Images Digitais Compressão de Images Processameto de Images o MatLab Exercícios Bibliografia Complemetar Técicas de Codificação de Áudio e Vídeo Teoria dos Códigos Algoritmos de Compressão Código de Huffma Ru-legth Algoritmo de Lempel-Ziv-Welch Algoritmos de codificação multimídia Codificação de Vídeo Codificação de Áudio Implemetações o MatLab Processameto de Vídeo o MatLab Processameto de Áudio o MatLab Exercícios Bibliografia Complemetar Processameto de Vo Amostragem e Quatiação Técicas Temporais para Processameto de Vo Eergia de Curta Duração Magitude de Curta Duração Taxa de Passagem pelo Zero Fução de Autocorrelação... 36

5 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3.3 Aálise Cepstral Exercícios Bibliografia Complemetar... 35

6 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 4. Processameto Digital de Siais Siais estão presetes em diversas situações do dia-a-dia do ser humao. Um sial pode ser defiido como uma fução que carrega uma iformação. A forma mais comum para ós é a comuicação por sial de vo. Nesse exemplo, temos o sial gerado pelo trato vocal e o sial recebido pelo sistema auditivo. Apesar de ser o mesmo sial trasmitido a forma como ele é processado é ierete ao receptor. O processameto de siais lida com a represetação, trasformação e maipulação dos siais e da iformação que eles cotêm. Até a década de 60, a tecologia para processameto de siais era basicamete aalógica. A evolução de computadores e microprocessadores jutamete com diversos desevolvimetos teóricos causou um grade crescimeto a tecologia digital, surgido o processameto digital de siais (PDS). Um aspecto fudametal do processameto digital de siais é que ele é baseado o processameto de seqüêcias de amostras. Para tato, o sial cotíuo o tempo é covertido essa seqüêcia de amostras, i.e., covertido em um sial discreto o tempo. Após o processameto digital, a seqüêcia de saída pode ser covertida de volta a um sial cotíuo o tempo. A maior parte do processameto de siais evolve processar um sial para obter outro sial. Normalmete, isso é coseguido por um processo cohecido como filtragem. Siais podem ser classificados em quatro diferetes categorias depededo de carcaterísticas de tempo e dos tipos de valores que eles podem assumir. Siais cotíuos o tempo (ou aalógicos) são defiidos para qualquer valor de tempo e eles assumem valores o itervalo cotíuo (a, b), ode a pode ser - e b pode ser +. Podem ser represetados por uma fução de variáveis cotíuas. Siais discretos o tempo são defiidos apeas para certos valores específicos de tempo. Podem ser represetados matematicamete por uma sequêcia de úmeros reais ou complexos, x. O -ésimo úmero dessa seqüêcia é deotado por x[]. Assim, x é formalmete escrito como:

7 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 5 x {x[]}, - < < ode é um iteiro. Tais seqüêcias são geradas a partir de um processo de amostragem periódica de um sial aalógico. Assim, o valor umérico do - ésimo úmero da seqüêcia é igual ao valor do sial aalógico x a (t) o tempo T, i.e.: x[] x a (T), - < < Os valores de amplitude de siais cotíuos ou discretos o tempo podem ser cotíuos ou discretos. Se um sial pode assumir qualquer valor detro de um espaço fiito ou ifiito, ele é dito um sial cotíuo em valores. Siais digitais são aqueles para os quais tato o tempo quato a amplitude são discretos. Ou seja, ele é discreto o tempo e só pode assumir valores detro de um cojuto fiito de possíveis valores (é discreto em valores). Siais também podem ser classificados em determiísticos ou aleatórios. Qualquer sial que podem ser uicamete descrito por uma expressão matemática, uma tabela de dados ou uma regra bem defiida é chamado determiístico. Esse termo é usado para destacar que quaisquer valores passados, presetes e futuros do sial são cohecidos precisamete, sem icertea. No etato, em aplicações práticas, os siais ão podem ser represetados precisamete por equações matemáticas ou suas descrições são muito complexas para uso. Isso idica que tais siais têm comportametos imprevisíveis sedo chamados de siais aleatórios.. Pricipais Tipos de Siais Em um estudo sobre processameto digital de siais, algus siais são de mais importâcia. Detre eles, temos o impulso uitário, δ[], defiido como: 0, 0 δ [ ], 0

8 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 6 Um dos mais importates aspectos do impulso é que uma seqüêcia arbitrária pode ser represetada como uma soma de impulsos escaloados e deslocados. Por exemplo, a seqüêcia p[] abaixo: pode ser represetada como: p[] 3.δ[+3] +.δ[ + ] + 4.δ[ - ].δ[ 3] De forma mais geral, qualquer seqüêcia x[] pode ser represetada como: k x [ ] x[ k] δ [ k] Outra seqüêcia importate é o degrau uitário, u[]:, 0 u [ ] 0, < 0 O degrau relacioa-se com o impulso como: u [ ] δ [ k] k Uma forma alterativa de represetar o degrau em termos de impulso é obtida iterpretado o degrau em termos de uma soma de impulsos deslocados. Isso pode ser expresso como: k 0 u[ ] δ [ k] Por outro lado, o impulso relacioa-se com o degrau uitário como: δ[] u[] u[ ]

9 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 7 Uma seqüêcia expoecial é importate a aálise de sistemas discretos e ivariates o tempo. A forma geral de uma seqüêcia expoecial é dada por: x[] A.α. Sistemas Discretos o Tempo Um sistema discreto o tempo é defiido matematicamete como uma trasformação que mapeia uma seqüêcia de etrada x[] em uma seqüêcia de saída y[]. Isso pode ser deotado por: como represetado a Fig... y[]t{x[]} Fig... Represetação de um sistema discreto o tempo Algus exemplos ilustram sistemas simples: ) Sistema de atraso ideal: y[] x[ d ], - < < + M ) Média móvel: M + M k M x[ k] A seguir, destacamos algumas importates propriedades dos sistemas. ) Um sistema é dito sem memória (memoryless systems) se a saída y[] a cada valor de depede apeas da etrada x[] o mesmo valor de. Ex: y[] {x[]} ) Um sistema é liear se obedece ao pricípio da superposição. Ou seja:

10 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 8 T{a.x [] + b.x []} a.t{x []} + b.t{x []} Ex: Acumulador: y [ ] x[ k] k 3) Um sistema é ivariate o tempo é um sistema o qual um deslocameto o tempo (ou atraso) da seqüêcia de etrada gera um deslocameto correspodete a seqüêcia de saída. Ou seja, supoha um sistema que trasforma uma seqüêcia de etrada x[] a seqüêcia de saída y[]. Se a seqüêcia de etrada sofre um deslocameto de 0, x[] x[ 0 ], etão a seqüêcia de saída tora-se y[] y[ 0 ]. Ex: Um sistema de atraso ideal é um sistema ivariate o tempo. Ex: O seguite exemplo mostra um sistema que ão é ivariate o tempo: y[] x[m.], - < < 4) Um sistema é dito causal se ele ão depede de valores futuros da seqüêcia. Ou seja, o valor de y[ ] pode ser calculado apeas com valores de x[] para. Ex: Um sistema ão causal: y[] x[ + ] x[] 5) Um sistema é dito estável se toda etrada limitada provoca uma saída limitada. Assim, se, para todo, x[] B <, para algum valor fiito B, etão y[] C <, para algum valor fiito C..3 Sistemas Lieares e Ivariates o Tempo Uma classe importate de sistemas cosiste aqueles que são lieares e ivariates o tempo. Como dito acima, os sistemas lieares são aqueles que obedecem ao pricípio da superposição. Se a propriedade da liearidade é

11 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 9 combiada com a represetação de uma seqüêcia geral como uma combiação de impulsos, etão um sistema liear pode ser completamete caracteriado pela sua resposta ao impulso. Seja h k [] a resposta do sistema a δ[ k]. Assim, como: k etão x [ ] x[ k] δ [ k] [ ] { y T x[ k] δ [ k]} k Pelo pricípio da superposição, podemos escrever: k y [ ] x[ k] T{ δ [ k]} x[ k] h [ ] k k De acordo com essa equação, a resposta do sistema a qualquer etrada pode ser expressa em termos da resposta a δ[ k]. A propriedade da ivariâcia o tempo implica que, se h[] é a resposta a δ[], etão a resposta a δ[ - k] é h[ k]. Com isso, podemos dier que: [ ] x[ k] h[ k (Eq..) k y ] Como coseqüêcia, um sistema liear ivariate o tempo é completamete descrito por sua resposta ao impulso. Essa equação é cohecida como soma de covolução (covolutio sum) que pode ser represetada pela otação: y[] x[]*h[] (Eq..) Apesar da semelhaça a otação, deve-se salietar que a soma de covolução para siais discretos ão é uma aproximação da itegral de covolução.

12 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 0 Propriedades da soma de covolução: ) Comutatividade: x[]*h[] h[]*x[] Isso pode ser facilmete justificável com uma mudaça de variável a Eq... Especificamete, podemos faer m k. ) Distributividade: x[]*(h[] + h[]) x[]*h[] + x[]*h[] 3) Coexão em Cascata 4) Coexão em Paralelo

13 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 5) Causalidade Como defiido ateriormete, um sistema é dito causal se sua resposta ão depede de evetos futuros. Ou seja, para calcular a saída de y[ 0 ], precisamos apeas de x[], 0. Isso implica a codição: h[] 0, < 0 Assim, para testar a causalidade basta testar se h[] 0 para <0. 6) Estabilidade A estabilidade é garatida se: S h[ ] < Para qualquer que seja a etrada x[] de um sistema: x[]* δ[] x[] Assim, em geral, se um sistema liear ivariate o tempo tem uma resposta ao impulso h[], etão seu sistema iverso, se existir, tem resposta ao impulso h i [] defiida pela relação: h[]*h i [] h i []*h[] δ[] Uma classe importate de sistemas lieares ivariates o tempo cosiste daqueles para os quais x[] e y[] se relacioam através de uma equação de difereças de coeficietes costates lieares de -ésima ordem da forma: N M ak y[ k] bk x[ k] (Eq..3) k 0 k 0 Um exemplo de um tal sistema é um acumulador defiido pela seqüêcia cujo diagrama de blocos pode ser visto a figura abaixo:

14 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Tal sistema é represetado pela equação de difereças: ou y[] - y[ ] x[] y[] y[ ] + x[] Pela Eq..3, temos: N, a 0, a -, M 0 e b 0. Assim, para cada valor de a saída é dada pela etrada x[] somada com o valor aterior do acumulador, y[ ]..4 Sistemas LTI como Filtros Seletores de Frequêcia O termo filtro é ormalmete usado para descrever um dispositivo que discrimia, de acordo com algum atributo do objeto aplicado como etrada, o que passa através dele. Por exemplo, como um filtro de ar que deixa o ar passar, mas retém partículas de impurea. Um sistema LTI também fucioa como um tipo de discrimiate ou filtrado etre os vários compoetes de frequêcia a sua etrada. A forma da filtragem é defiida pela resposta de frequêcia H(ω) que depede da escolha de parâmetros do sistema (como os coeficietes do filtro). Assim, com uma escolha apropriada de parâmetros, podemos projetar filtros seletores de frequêcia que deixam passar siais cotedo compoetes de frequêcia em algumas badas e ateuado siais cotedo compoetes de frequêcia em outras badas. Em geral, um sistema LTI modifica o espectro do sial de etrada X(ω) de acordo com a resposta em frequêcia H(ω) que leva a um sial de saída com espectro Y(ω) H(ω)X(ω). De certa forma, H(ω) atua como uma fução de peso os diferetes compoetes de frequêcia do sial de etrada. Assim, um

15 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3 sistema LTI pode ser visto como um filtro embora ão bloqueie completamete qualquer compoete de frequêcia do sial de etrada. Cosequetemete, os termos sistema LTI e filtro são siôimos e são ormalmete usados sem distição. Um filtro é um sistema LTI usado para desempehar a fução de filtragem seletora de frequêcia. Filtragem é usada em processameto digital de siais em uma grade variedade de formas, como remoção de ruído, equaliação, aálise espectral de siais, etc. Filtros são ormalmete classificados de acordo com suas características o domíio da frequêcia como passa-baixa, passa-alta, passa-faixa e rejeita-faixa. As características de resposta em magitude ideais desses tipos de filtros estão ilustradas a Fig... Esses filtros ideais têm características de gaho costate a bada de passagem (ormalmete, tomados como uitários) e gaho ero a bada de corte. Mais detalhes sobre filtros digitais e formas de projeto serão vistos os Capítulos 4 e 5.

16 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 4 Fig... Resposta em magitude para algus filtros seletores de frequêcia discretos o tempo.

17 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 5 Outra característica de um filtro ideal é uma resposta de fase liear. Cosidere que um sial {x[]} com compoetes de frequêcia detro da faixa de ω < ω <ω passa por um filtro com resposta em frequêcia: jω Ce ω < ω < H ( ω) 0 seão 0 ω ode C e 0 são costates. O sial a saída do filtro terá um espectro: Y ( ω) X ( ω) H ( ω) CX ( ω) e jω 0 Aplicado as propriedades da trasformada de Fourier, obtemos a saída o domíio do tempo: Y[] C.x[ 0 ] Cosequetemete, a saída do filtro é simplesmete uma versão escaloada e atrasada do sial de etrada. Tato um atraso simples quato uma difereça em escala são cosiderados toleráveis e ão distorções do sial. Portato, filtros ideais têm uma característica de fase liear a bada de passagem que é: Θ(ω) -ω 0 A derivada da fase em relação à frequêcia é medida em uidades de atraso. Assim, podemos defiir o atraso do sial como uma fução da frequêcia como: dθ( ω) τ g ( ω) dω τ g (ω) é chamado de atraso de grupo (group delay) do filtro. Etedemos τ g (ω) como o atraso de tempo que os compoetes de frequêcia ω de um sial são

18 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 6 submetidos à medida que ele passa da etrada à saída do sistema. Note que, quado Θ(ω) é liear, τ g (ω) 0 costate. Nesse caso, todas as compoetes de frequêcia do sial de etrada sofrem o mesmo atraso de tempo. Como coclusão, todos os filtros ideais têm características de magitude costate e fase liear detro da bada de passagem. Em todos os casos, tais filtros ão são fisicamete realiáveis, mas servem como idealiações matemáticas para filtros práticos..5 Represetação de Sequêcias pela Trasformada de Fourier Assim como siais do cotíuo, os siais discretos o tempo também podem ser represetados de formas diferetes. Uma das formas mais utiliadas é através da trasformação do sial para o domíio da freqüêcia através da Trasformada de Fourier. Muitas seqüêcias podem ser represetadas por uma itegral de Fourier da forma: x[ ] π π π X ( e jω ) e jω dω (Eq..4) ode X(e jw ) é dada por: X ( e jω ) x[ ] e jω (Eq..5) A Eq..4 é cohecida como a Trasformada Iversa de Fourier, equato a Eq..5 é a Trasformada de Fourier. Em geral, a Trasformada de Fourier é uma fução complexa em ω. Como a resposta à freqüêcia, algumas vees, pode-se expressar X(e jω ) a forma: X(e jω ) X R (e jω ) + j.x I (e jω )

19 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 7 ou a forma polar: X(e jω ) X(e jω ) e j X(e^jω) As quatidades X(e jω ) e X(e jω ) são chamadas de magitude e fase da Trasformada de Fourier (também chamada de espectro de Fourier ou, simplesmete, espectro). Há casos ode a Trasformada de Fourier para uma dada seqüêcia ão coverge. Esses casos podem ser defiidos através da Trasformada Z como veremos posteriormete. Podemos verificar facilmete que as Eqs..4 e.5 são iversas realmete. Especificamete, cosidere: π π π m x [ m ] e jωm e jω dω Se trocarmos a ordem da itegração com o somatório, temos: ^ π x[ ] x[ m] e m π π jω( m) x [^ ] dω Calculado a itegral detro dos parêteses, temos: π jω( m) π π e dω si( π ( m)) π ( m), 0, m m δ [ m]

20 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 8 Assim: x [^ ] x[ m] δ[ m] m x[ ] Exemplo : Seja x[] a u[]. A TF é dada por: X ( e jw ) x[ ] e jw jw jw a e ( ae ) 0 0 ae jw Que coverge se a.e -jw < ou a <. OBS: α α 0, para α < Exemplo : Vamos calcular a resposta ao impulso de um filtro passa-baixa ideal cuja resposta em freqüêcia é: H LPF ( e jw, w < wc ) 0, wc < w < π A resposta o impulso h LPF [] pode ser ecotrada através da Trasformada Iversa de Fourier:

21 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 9 h h LPF [ ] π π jw jw H LPF ( e ) e dw π si( wc) [ ] < < π LPF, π w c w c e jw dw.5. Propriedades da Trasformada de Fourier Algumas propriedades da TF: Seja: x[] X(e jw ) e y[] Y(e jw ) Propriedade Seqüêcia Trasformada de Fourier Liearidade a.x[] + b.y[] a.x(e jw ) + b.y(e jw ) Deslocameto o Tempo x[ d] e -jwd X(e jw ) Deslocameto a Freq e jwo x[] X(e j(w w0) ) Reverso o Tempo x[-] X(e -jw ) X*(e -jw ), se x[] é real Difereciação em Freq.x[] j dx(e jw )/dw Covolução x[]*y[] X(e -jw ).Y(e -jw ) π Modulação x[].y[] π π jθ j( wθ ) X ( e ) Y( e ) dθ

22 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 0.6 Códigos do MatLab Fução Impulso fuctio [x, ] impseq(0,, ) % Impulso [:]; x [(-0) 0]; stem (x); Exemplos:. >> impseq (5, 0, 0);. x[].δ[ + ] - δ[ 4], -5 5 >> [-5:5]; >> x *impseq(-, -5,5) - impseq(4, -5, 5); >> stem (, x); title ('Exemplo de Sequecia'); xlabel(''); ylabel('x[]');

23 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Fução Degrau fuctio [x, ] stepseq(0,, ) % Degrau [:]; x [(-0) > 0]; stem (x); Exemplos. >> stepseq (5, 0, 0);. x[] [u[] u[ 0]] + 0 e-0.3( 0) [u[ 0] u[ 0]], 0 0 >> 0:0; >> x.*(stepseq(0,0,0) - stepseq(0,0,0)); >> x 0*exp(-0.3*(-0)).*(stepseq(0,0,0) - stepseq(0,0,0)); >> x x + x; >> stem(,x); title('sequecia de Degraus'); xlabel(''); ylabel ('x[]');

24 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Seóide fuctio x siseq(,) % Seóide [:0.:]; x 3*cos(0.*pi* + pi/3) + *si(0.5*pi*); stem (x); Exemplo: >> siseq (0, 0); Operações em sequêcias Adição de siais y[] x[] + x[] fuctio [y,] sigadd(x,,x,) mi(mi(),mi()):max(max(),max()); y eros(, legth()); y y; y(fid((>mi())&(<max()))) x; y(fid((>mi())&(<max()))) x; y y + y; Multiplicação de siais y[] x[].x[] fuctio [y,] sigmult(x,,x,) mi(mi(),mi()):max(max(),max()); y eros(, legth()); y y; y(fid((>mi())&(<max()))) x; y(fid((>mi())&(<max()))) x; y y.*y;

25 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3 Deslocameto y[] x[ k] fuctio [y,] sigshift(x, m, 0) m + 0; y x; Iversão y[] x[-] fuctio [y,] sigfold(x,) y fliplr(x); -fliplr(); Exemplo: Seja x[] {,, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 5, 4, 3,, }. O valor em egrito correspode ao cetro da sequêcia. Sobre as sequêcias, temos que: >> -:0; >> x [:7, 6:-:]; a) Plote x [] x( 5) 3x[ + 4]. >> [x, ] sigshift(x,, 5); >> [x, ] sigshift(x,, -4); >> [x, ] sigadd(*x,,-3*x, ); >> stem (, x); title( Sequecia ); xlabel ( ); ylabel ( x() );

26 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 4 b) Plote x [] x[3 ] + x[].x[ ] >> [x, ] sigfold(x, ); >> [x, ] sigshift(x,,3); >> [x, ] sigshift(x,,); >> [x, ] sigmult(x,, x, ); >> [x, ] sigadd(x,, x, ); >> stem (, x); title('sequecia'); >> xlabel (''); ylabel ('x()'); Covolução Cosidere as sequêcias: x [3,, 7, 0, -, 4, ], -3 3 h [, 3, 0, -5,, ]; - 4 ode, ovamete, os termos em egrito idicam a origem do eixo das abscissas. As sequêcias podem ser vistas abaixo: x[] h[]

27 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 5 Podemos usar a fução cov do MatLab diretamete: >> x [3,, 7, 0, -, 4, ]; >> h [, 3, 0, -5,, ]; >> y cov (x, h); y O problema do uso da fução cov é que ão sabemos, a resposta, ode está a origem da sequêcia. Para tato, vamos criar uma ova fução: fuctio [y, y] cov_m (x, x, h, h) yb x() + h(); ye x(legth(x)) + h(legth(h)); y [yb:ye]; y cov(h, x); >> x [3,, 7, 0, -, 4, ]; >> x [-3:3]; >> h [, 3, 0, -5,, ]; >> h [-:4]; >> [y, y] cov_m (x, x, h, h) y y A amplitude -5 está o poto de origem (y 0).

28 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 6 Equações de Difereças e Resposta ao Impulso Exemplo: Dada a seguite equação de difereças: y[] y[ ] + 0.9y[ ] x[], para todo a) Calcule e plote sua resposta ao impulso h[] para -0,.., 00. Como vimos ateriormete, uma equação de difereças é da forma: N a y[ k] M k k 0 k 0 b k x[ k] De acordo com a equação dada, temos: a [, -, 0.9] e b [] No MatLab, faemos: >> x impseq(0, -0, 0); >> [-0:0]; >> h filter(b, a, x); >> stem(, h); title('resposta ao impulso'); xlabel(''); ylabel('h[]');

29 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 7 b) Calcule e plote sua resposta ao degrau s[] para -0,.., 00. No MatLab, faemos: >> x stepseq(0, -0, 0); >> [-0:0]; >> h filter(b, a, x); >> stem(, h); title('resposta ao degrau'); xlabel(''); ylabel('s[]'); c) O sistema é estável? Como vimos, um sistema é estável se: S h[ ] < Assim, o MatLab, basta faermos: >> sum(abs(h)) As Logo, o sistema é estável.

30 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 8.7 Exercícios. Cosidere um sistema liear arbitrário com etrada x[] e saída y[]. Mostre que se x[] 0 para todo, etão y[] deve ser ero para todo também.. Usado a defiição de liearidade, mostre que o sistema de atraso ideal e a média móvel são ambos lieares. 3. Para cada sistema abaixo, determie se ele é () estável, () causal, (3) liear, (4) ivariate o tempo e (5) sem memória: a. T(x[]) g[]x[], com g[] dado b. T(x[]) Σ k0 x[k] c. T(x[]) x[ 0] d. T(x[]) exp(x[]) e. T(x[]) a.x[] + b, a e b úmeros reais f. T(x[]) x[-]) g. T(x[]) x[] + 3.u[ + ] 4. O sistema T abaixo é ivariate o tempo. Quado as etradas dele são x[], x[] e x3[], as saídas são y[], y[] e y3[], respectivamete.

31 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 9 a) Determie se o sistema pode ser liear. b) Se a etrada x[] do sistema é um impulso (δ[]), qual a saída y[]? c) Determie a relação etre a etrada e a saída do sistema. 5. Para cada par de sequêcias abaixo, use covolução discreta para ecotrar a resposta à etrada x[] do sistema liear ivariate o tempo com resposta ao impulso h[]. a) b) 6. Cosidere o sistema com etrada x[] e saída y[] que satisfa a equação de difereças: y[].y[ ] + x[] O sistema é causal tal que, se x[] 0, para < 0, etão y[] 0, para < 0. a) Se x[] δ[], determie y[] para todo. b) O sistema é liear? c) O sistema é ivariate o tempo?

32 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Plote a seguites sequêcias o MatLab: a) x[].(u[ + 5] u[ 6]) + 0.δ[], -5 5 b) x[] 0.(0,5).(u[ 4] u[ - 0]), Seja x[] {, -, 4, 6, -5, 8, 0}, gere e plote o MatLab as seguites sequêcias: a) x[] 3.x[ + ] + x[ 4].x[] b) x[] 5.x[5 + ] + 4.x[ + 4] + 3.x[] 9. Usado as seguites sequêcias: x[] u[ + 0] u[ 0] x[].δ[ ] + 5.u[ + 0] x3[] 5.u[ + ] 6.u[ 3] mostre que a covolução liear tem as seguites propriedades como válidas: Comutatividade: x[]*x[] x[]*x[] Associatividade: (x[]*x[])*x3[] x[]*(x[]*x3[]) Distributividade: x[]*(x[] + x3[]) x[]*x[] + x[]*x3[]) Idetidade: x[]* δ[ 0 ] x[ 0 ] Use a fução cov_m.m apresetada ateriormete. 0. A operação de dilatação de sial (ou decimação ou dowsamplig) é defiida por: y[] x[m] a qual a sequêcia de etrada é dow-sampled por um fator iteiro M. Por exemplo, se : x[] {..., -, 4, 3, -6, 5, -, 8,...} etão a sequêcia dow-sampled por um fator de é dada por: y[] {..., -, 3, 5, 8,..} Escreva uma fução o MatLab que execute essa dilatação. A fução deve ser da forma: fuctio [y, ] dsample(x,, M) Cuidado com a origem do eixo!!

33 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3.8 Bibliografia Complemetar. Viay K. Igle, Joh G. Proakis, Digital Sigal Processig, Thomso Learig, Michael Weeks, Digital Sigal Processig Usig MatLab ad Wavelets, Ifiity Sciece Press, Ala V. Oppeheim, Roald Schafer, Discrete Time Sigal Processig, Pretice Hall, 989

34 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3. A Trasformada Z A Trasformada Z (TZ) é uma ferrameta matemática poderosa para aálise de siais e sistemas. A trasformada Z costitui a forma discreta da trasformada de Laplace. Seja a Trasformada de Fourier (TF) de uma seqüêcia dada por: jw X ( e ) x[ ] e jw Seja e jw. Temos etão, a TZ defiida como: X ( ) x[ ] Essa é chamada também de TZ bilateral. A trasformada uilateral é dada por: X ( ) 0 x[ ] Notadamete, há uma relação etre a TZ e a TF. Se é uma variável complexa, pode ser escrita como e jw cos(w) + j.se(w). Nesse caso, a TZ trasforma-se a TF. De forma mais geral, se r.e jw, sua represetação gráfica correspode ao círculo o Plao imagiário (chamado de Plao-Z). Se esse círculo tem raio igual a, etão temos a codição da TZ TF (Fig..). Assim, a TZ calculada o círculo uitário é igual à TF. A Trasformada Z ão coverge para todos os valores de Z. Ode a TZ coverge é chamada de região de covergêcia (ROC Regio of Covergece). Para garatir a covergêcia é preciso que: 0 x [ ] < Assim, é possível que TZ covirja mesmo se a TF ão covergir. Para a TF covergir, a ROC da TZ deve coter o círculo uitário. Uma trasformada Z só está completamete defiida se sua ROC estiver determiada.

35 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 33 Fig... Plao Z: represetação gráfica da trasformada Z o plao complexo. No círculo uitário, a trasformada Z redu-se à trasformada de Fourier. A série defiida pela TZ é chamada de série de Lauret. Uma tal série represeta uma fução cotíua em qualquer poto detro da região de covergêcia. Assim, a TZ e todas as suas derivadas devem ser fuções cotíuas de a ROC. Isso implica que, se a região de covergêcia uiforme iclui o círculo uitário, etão a TF e suas derivadas com respeito a w são fuções cotíuas de w. Além disso, a seqüêcia deve ser absolutamete somável, i.e., uma seqüêcia estável. Etre as mais úteis e importates TZs estão aquelas para as quais X() é uma fução racioal detro da região de covergêcia, i.e.: P( ) X ( ) Q( ) ode P() e Q() são poliômios em. Os valores de que faem X() 0 são chamados de eros de X(). Os valores de para os quais X() tede a ifiito são chamados de pólos de X(). Os pólos de X() são as raíes do poliômio do deomiador.

36 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 34. Propriedades da Trasformada Z a) Liearidade: ax [] + bx [] ax () + bx (), ROC ROC x ROC x Cometários: A prova de tal propriedade vem diretamete da defiição de trasformada Z: x X ] [ ) ( Cosidere que x[] ax [] + bx []. Logo: + + bx ax bx ax X ] [ ] [ ]) [ ] [ ( ) ( + + x b x a bx ax ] [ ] [ ] [ ] [ ax () + bx () b) Deslocameto o tempo: x[ + 0 ] 0.X(), ROC ROC x (cuidado deve ser tomado observado o que acotece para 0 ou ). Cometários: Supoha que y[] x[ 0 ]. Logo: x Y ] [ ) ( 0 Faedo m 0 : + m m m m m m m x m x m x Y ] [.. ] [ ] [ ) ( ) ( ) (. ) ( 0 X Y

37 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 35 c) Multiplicação por uma expoecial discreta: a x[] X(/a), ROC a ROC X Cometários: Essa propriedade é observável substituido a x[] a defiição de TZ: X ( ) x[ ] a x[ ] Como coseqüêcia disso, todas as posições de pólos e eros são escaloadas por um fator de a, já que, se X() tiver um pólo em, X(a - ) terá um pólo em a.. Se a for um úmero real, essa propriedade pode ser etedida como uma compressão ou expasão do plao Z. d) Covolução o tempo: x []*x [] X ().X (), ROC cotém ROC x ROC x Cometários: Seja: Tal que: [ ] x [ k] x k y [ k] Y ( ) y[ ] x [ k] x[ k] k Se mudarmos a ordem dos somatórios: ( ) x [ k] x k Y [ k] Faedo o segudo somatório m k, temos:

38 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 36 k k m m m x k x Y ] [ ] [ ) ( Assim, para valores de detro das regiões de covergêcia para X() e X(), podemos escrever: ) ( ) ( ) ( X X Y e) Difereciação o Domíio Z:.x[] -.dx()/d, ROC ROC x (cuidado deve ser tomado observado o que acotece para 0 ou ). Cometários: Essa propriedade pode ser facilmete provada difereciado a defiição da TZ: x X ] [ ) ( x d dx ] [ ) ( ) ( ) (. (-) x d dx ] [ ) ( ) ( ) ( x Z x d dx ]} [ { ] [ ) ( ) ( f) Reverso o tempo: x[-] X( - ), ROC /ROC X Cometários: Novamete, a defiição de TZ prova esta propriedade: x X ] [ ) ( Faedo m -, temos:

39 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 37 X ( ) m x[ m] x[ m]( m m ) X ( m ). Pares de Trasformadas Z Segue um cojuto de pares de Trasformadas Z mais úteis:.3 Exemplos de Cálculo da Trasformada Z A seguir, vamos apresetar algus cálculos de trasformada Z e como defiir a ROC.

40 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 38 Exemplo : x[] a u[] X ( ) ROC: a - < > a x[ ] a u[ ] a 0 0 ( a ) X ( ) ( a ) a Para a : 0, > a a Z x[ ] u[ ] X ( ), > Observamos que, para a, a ROC ão cotém o círculo uitário. Logo, a TF para essa seqüêcia ão coverge.

41 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 39 Exemplo : x[] -a u[- ] u a u a x X ] [ ] [ ] [ ) ( 0 ) ( ) ( a a a X ROC: a - < < a, ) ( ) ( 0 a a a a X <

42 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 40 Exemplo 3: x[] (/) u[] + (-/3) u[] + u u x X ] [ 3 ] [ ] [ ) ( + u u X ] [ 3 ] [ ) ( ) ( X ) ( X (i) (ii) ROC (i) (/). - < > / ROC (ii) (-/3). - < > /3 ROC ROC (i) ROC (ii) > / 3 ) ( + + X Para X(), os pólos são dados por / e -/3 e os eros são 0 e /. Uma das propriedades da ROC que podemos observar aqui é que os pólos ão faem parte dela.

43 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 4 Exemplo 4: x[] (-/3) u[] (/) u[- ] u u x X ] [ ] [ 3 ] [ ) ( u u X ] [ ] [ 3 ) ( 0 3 ) ( X 0 3 ) ( X ) ( X (i) (ii) ROC (i) (-/3). - < > /3 ROC (ii) (/) -. < < / ROC ROC (i) ROC (ii) /3 < < /

44 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 4 ROC (i) ROC(ii) ROC: X 3 3 ) ( + + +

45 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 43 Exemplo 5: Fução delta δ[]: δ[] 0, 0, e δ[], 0 Trasformada Z: 0 X ( ) x[ ]. ROC Todo o Plao Z Exemplo 6: x[] δ[ 0 ] 0 X ( ) x[ ] δ [ 0 ] ROC Todo o Plao Z. Nos exemplos 5 e 6, x() é fiita. X() é um poliômio de base - e todo o plao Z meos quado 0. Nesse poto, a trasformada ão é defiida. Exemplo 7: Determie a trasformada Z da sequêcia: x[] ( ).(0,5) (-) cos[π( )/3]u[ ] Cosiderado a propriedade do deslocameto o tempo (x[ + 0 ] 0.X()), temos: X() Z{x[]} -.Z{(0,5).cos(π/3)u[]} Cosiderado agora a difereciação o domíio Z (.x[] -.dx()/d), temos: X() Z{x[]} -.{-.[d(z{(0,5).cos(π/3).u[]}/d} A trasformada Z de (0,5).cos(π/3).u[] é, pela tabela da Seção.:

46 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 44 [(0,5) π (0,5.cos ) π cos( ) u[ ]] 3 3 π (0,5.cos ) + 0,5 3 π 3 0,5 0,5 + 0,5 [( 0,5) cos( ) u[ ]] Assim: d 0,5 X ( ) d 0,5 + 0, ( ) 3 4 0,5 0,5 + 0, ,75 0,5 + 0,065, ROC > 0,5 X ROC > 0,5 O seguite procedimeto o MatLab pode ajudar a verificar se a trasformada está correta. Para tato, vamos calcular as primeiras 8 amostras da sequêcia x[] correspodete a X(): >> b [0, 0, 0, 0.5, -0.5, 0.065]; >> a [, -, 0.75, -0.5, 0.065]; >> [delta, ] impseq(0,0,7) delta >> x filter(b, a, delta) % checar a sequêcia x >> x [(-).*(/).^(-).*cos(pi*(-)/3)].*stepseq(, 0, 7) % sequêcia origial x Coferido com a sequêcia gerada pelo processo de filtragem.

47 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 45.4 Propriedades da Região de Covergêcia A região de covergêcia (ROC) tra algumas propriedades: ) A ROC é um ael ou disco o Plao Z com cetro a origem. ) A TF da seqüêcia x[] coverge absolutamete se e somete se a ROC da TZ cotém o círculo uitário. 3) A ROC ão pode coter pólos. 4) Se x[] é uma seqüêcia de duração fiita, a ROC é todo plao Z. 5) Se x[] é causal (right-sided), a ROC extede-se para além dos pólos mais exteros, possivelmete tededo a ifiito. 6) Se x[] é ão causal (left-sided), a ROC extede-se para uma região meor que o meor pólo até ero.

48 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 46 7) Se x[] é uma seqüêcia com compoetes parte causal e parte ão-causal, etão a ROC é um ael. 8) A ROC é uma região coectada..5 A Trasformada Z Iversa O cálculo da TZ iversa ão é tão direto quato o da TF. Aqui, existem diversas maeiras formais e iformais de calcular a TZ iversa dada uma expressão algébrica e a ROC associada. Seja a Trasformada Z defiida por: X ( ) x[ ] Supoha que multiplicamos ambos os lados da trasformada por k- e itegremos os dois lados sobre um cotoro fechado detro da ROC de X() que iclui a origem. Tal cotoro pode ser visto a Figura.. Assim, temos: C X ( ) k d C x[ ] k d () ode C deota o cotoro fechado a ROC de X(), tomado o setido atihorário. Como a série coverge esse cotoro, podemos mudar a ordem da itegração e do somatório o lado direito, ficado com:

49 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 47 X ( ) k d x[ ] C C k d () Pelo teorema de itegração de Cauchy:, 0, k k d π j C k (3) ode C é qualquer cotoro que iclui a origem. Aplicado (3), o lado direito de () redu-se a πj.x[k] e assim a fórmula iversa é alcaçada: x[ k] X ( ) d k π j (4) C Fig... Cotoro C para a itegral da trasformada Z iversa. Essa é a iversa da trasformada Z para uma dada seqüêcia. No etato, ós ão precisaremos usar essa iversão já que detro de siais e sistemas, as trasformadas Z são fuções racioais (i.e., raão etre dois poliômios). Para

50 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 48 tais trasformadas, há métodos mais simples de iversão que evolvem tabelas cohecidas e métodos mais simples. Os pricipais métodos são: - Método da ispeção - Expasão em Frações Parciais - Expasão em Séries de Potêcias O método da ispeção é o mais simples e cosiste em apeas observar a trasformada e ver se ela é da forma de alguma TZ cohecida. Por exemplo, dado: X ( ), > ½ Por observação, sabemos que: x[] -(½) u[- ] Notadamete, o método da ispeção ão é o mais apropriado para calcular TZs iversas mais complexas. Para ver como obter uma expasão em frações parciais, vamos assumir que X() pode ser expressa como uma raão de poliômios em -, i.e., X ( ) M k 0 N k 0 Para calcular a trasformada iversa, tetamos expressar X() da forma: b a k k k k X ( ) M N N r Br + r 0 k A d k k

51 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 49 Exemplo 8: Supoha: ) )( ( 3 ) ( X Vamos cosiderar que: ) ( A A B X ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( A A B ) )( ( ) ( ) ( ) ( A A B Logo: ) )( ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( B A A B A A B X ) )( ( + + Assim, temos: A A B

52 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia A A B 0 0 B B Com isso, ficamos com: A A A A A A A A Resolvedo, temos: A -9 e A 8 Logo: 8 9 ) ( + + X que correspode à Trasformada Z da sequêcia: ] [ 8. ] [ ) 9.( ] [ ] [ u u x + δ A expasão em série de potêcias é aplicada quado a trasformada Z é um poliômio da forma: x X ] [ ) ( Isso ocorre, pricipalmete, se a TZ é uma seqüêcia fiita. Por exemplo, cosidere que a TZ de uma seqüêcia x[] é da forma: ) )( )( ( ) ( + X

53 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 5 Uma expasão em frações parciais para esse caso ão é apropriada. No etato, efetuado os produtos, podemos reduir a expressão a: X ( ) + que equivale à seqüêcia: x[] δ[ + ] ½.δ[ + ] - δ[] + ½.δ[ ] Exemplo 9: Cosidere a fução: X ( ) Primeiro, vamos re-arrajar X() tal que ela se tore uma fução em potêcias de - : X 3 4 ( ) + Usado o MatLab, temos : >> b [0 ]; >> a [3-4 ]; >> [R, p, C] residue(b, a) R p C [ ] Para mais iformação sobre a fução residue, digite help residue o MatLab.

54 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 5 que correspode a: 0,5 X ( ) 0,5 3 De maeira similar, podemos voltar à forma aterior: >> [b, a] residue(r, p, C) b a que correspode a: X 0 + ( ) 4 como ates Exemplo 0: Calcule a trasformada Z iversa de: ( ) ( 0,9 ) ( + 0,9 ) X, >0, Podemos calcular o poliômio o deomiador assim como os resíduos usado MatLab: >> b ; >> a poly([ ]) % calcula os coeficietes do poliômio que tem essas raíes a

55 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 53 >> [R, p, C] residue(b, a) R p i i i i C [ ] Isso sigifica que X() pode ser expadido em frações parciais como: 0,5 0,9 0,5 ( 0,9 0,5 + 0,9 X ( ) + +, > 0,9 X 0,5 0,9 0,5 0,9 ( ) + + ) 0,9 ( 0,9 ) 0,5 + 0,9, > 0,9 que, de acordo com as propriedades da trasformada Z e a tabela da Seção., os dá: x[ ] 0,5.(0,9) u[ ] + 5 ( + )(0,9) 9 + u[ + ] + 0,5( 0,9) u[ ] Vamos tetar deixar todas as parcelas em fução de u[]. Para tato, vamos trabalhar a seguda parcela: 5 + ( + )(0,9) 9 u[ + ] Observe que: a.u[ + ] a.u[ -] + a.u[]. Logo: ( + )(0,9) 9 ( + )(0,9) 9 u[ + ] u[ + ] 5 ( + )(0,9) ( + )(0,9) 9 u[ ] 5 + ( + )(0,9) 9 u[ ]

56 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 54 5 ( + ).0,9.(0,9) 9 u[ ] 0,5( + )(0,9) 0,5(0,9) u[ ] + 0,5(0,9) u[ ] Logo: u[ ] x[ ] 0,75.(0,9) u[ ] + 0,5.(0,9) u[ ] + 0,5( 0,9) u[ ] Como ates, podemos verificar as 8 primeiras amostras da sequêcia x[], o MatLab: >> [delta, ] impseq(0,0,7); >> x filter (b, a, delta) x >> x 0.75*(0.9).^+0.5*.*(0.9).^ + 0.5*(-0.9).^ x

57 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 55.6 Exercícios. Calcule a trasformada Z das sequêcias: a. x[] -(/) u[- ] b. y[] (-/) u[] + (/3) u[- ] c. y[] δ[ 3] + (-/4) u[- - ] + (/) u[]. Calcule a trasformada Z das seguites sequêcias usado as suas propriedades e a tabela da Seção. e verifique seus resultados usado MatLab. a. x[].δ[-] + 3u[ 3] b. x[] (/3) u[ ] + (0,9) -3 u[] 3. Seja x[] uma sequêcia com trasformada Z dada por X(). O que se pode dier sobre as sequêcias que geram as seguites trasformadas: a. X () [( )/]X() b. X ().X( - ) 4. Ache a trasformada iversa de: a. b. c. X ( ), ROC > ½ + X ( ), ROC < / + X ( ), ROC > /

58 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Determie a trasformada iversa usado o método de expasão em frações parciais de: ) ( + + X sabedo que a sequêcia é causal. 6. Supoha que X() é: 0,8 3 ) ( + + X, > 0,9 Ecotre as primeiras 0 amostras de x[], usado o MatLab.

59 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 57.7 Bibliografia Complemetar. Viay K. Igle, Joh G. Proakis, Digital Sigal Processig, Thomso Learig, Michael Weeks, Digital Sigal Processig Usig MatLab ad Wavelets, Ifiity Sciece Press, Ala V. Oppeheim, Roald Schafer, Discrete Time Sigal Processig, Pretice Hall, 989

60 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Teoria da Amostragem Siais discretos o tempo podem ser gerados de diferetes formas, mas a mais comum é sedo uma represetação de siais cotíuos o tempo. Em parte, isso é devido ao fato que o processameto de siais cotíuos o tempo é feito através do processameto discreto o tempo de seqüêcias obtidas através de amostragem. Um sial cotíuo o tempo pode ser represetado por amostras como a Fig. 3.. Fig. 3.. Exemplo: (esquerda) sial origial e (direita) amostragem desse sial. A forma mais comum de obter uma represetação discreta o tempo de um sial cotíuo o tempo é através de uma amostragem periódica, quado a seqüêcia de amostras x[] é obtida de um sial cotíuo o tempo x c (t) de acordo com a relação: x[] x c (T), - < < (Eq. 3.) Na Eq. 3., T é chamado de período de amostragem e sua iversa, f s /T, é a freqüêcia de amostragem, medida em amostras por segudo. Referimo-os a um sistema que implemeta a operação da Eq. 3. como um coversor ideal cotíuo-para-discreto (C/D) o tempo. Na prática, a operação

61 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 59 de amostragem é implemetada por um coversor aalógico-para-digital (A/D). Tais sistemas podem ser vistos como aproximações de coversores C/D ideais. Na implemetação ou escolha de um coversor A/D deve-se cosiderar a quatiação da saída, liearidade, a ecessidade de circuitos sample-ad-hold e limitações a taxa de amostragem. Em geral, a amostragem é um processo ão-iversível. Ou seja, dada uma seqüêcia x[], ão é possível recostruir o sial origial x c (t). Muitos siais diferetes podem gerar a mesma seqüêcia de amostras de saída. É coveiete represetarmos matematicamete o processo de amostragem, dividido-o em duas partes coforme a Fig. 3.. O processo cosiste de um trem de impulsos seguido de uma coversão desse trem em uma seqüêcia. Na Fig. 3., a difereça fudametal etre x s (t) e x[] é que x s (t) é um sial cotíuo com valores ero exceto os iteiros múltiplos de T. x[], por outro lado, ão possui iformação explícita sobre a taxa de amostragem e é um sial ode as regiões que ão represetam valores iteiros ão têm valor defiido. São muitas as raões para o aumeto o uso de sistemas digitais:. Muitas iformações (ou dados) estão essa forma, e.g. etrada/saída de computadores, siais de cotrole digital, etc.. A dispoibilidade de compoetes pequeos, cofiáveis e de baixo custo, pricipalmete, com o aumeto da escala de itegração dos circuitos itegrados. 3. Relativa simplicidade o projeto de circuitos e facilidade de implemetação usado circuitos itegrados.

62 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 60 Fig. 3.. Amostragem com um trem de impulsos periódicos seguida de uma coversão para uma seqüêcia discreta o tempo. a) Visão geral do sistema; b) x c (t) (sial origial o tempo cotíuo) e x s (t); c) a seqüêcia x[] de saída. 4. Ampla utiliação de computadores digitais o processameto de todo tipo de dados e siais. 5. Armaeameto de siais realiado de modo simples e ecoômico (simplicidade das memórias digitais) 6. Crescete uso e dispoibilidade de técicas de processameto digital de siais (DSP).

63 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 6 7. Fidelidade em trasmissões logas devido ao uso de estações repetidoras regeerativas. 8. Flexibilidade do formato digital que permite: a. Combiação em um mesmo caal de uma variedade de diferetes tráfegos (telégrafo, dados, vo, imagem, vídeo, etc); b. Multiplexação feita de forma simples e ecoômica; c. Trasmissão com velocidade ajustável; rápida ou leta em fução do tráfego e/ou qualidade exigidas. 9. Uso de parte do sial digital para cotrolar o progresso do sial através do sistema (ex: cabeçalho). 0. Possibilidade da codificação (teoria da iformação): a. Codificação da fote, reduido redudâcia, isto é, compactado os dados; b. Codificação do caal, combatedo os efeitos do ruído, iterferêcias, etc.. Aplicações de técicas de criptografia, garatido a privacidade e auteticidade da comuicação. A digitaliação de siais aalógicos vem torado-se cada ve mais importate, pricipalmete, com o desevolvimeto das redes digitais de serviços itegrados.

64 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 6 Na coversão aalógico-digital é ecessário colher-se um úmero discreto de amostras de um sial cotíuo. O problema crucial a amostragem está com o úmero de amostras/seg devem ser colhidas. Um úmero muito pequeo de amostras pode resultar em uma represetação demasiadamete pobre do sial. A aálise quatitativa acerca desse problema é estudada pelo Teorema de Shao-Nyquist. A pricípio, pode-se imagiar que, o processo de amostragem de um sial aalógico, há sempre perda de iformação e que essa perda é tato meor quato maior a taxa de amostragem utiliada. Etretato, o teorema de Shao mostra que isto em sempre é verdade. O teorema estabelece que sob certas codições, as amostras de um sial podem coter precisamete toda a iformação a ele associada. Isto sigifica que o sial pode ser perfeitamete recuperado a partir de amostras colhidas sem ehuma aproximação. O estudo sobre o teorema da amostragem é aplicado a siais bada limitado, isto é, aqueles que ão possuem compoetes espectrais para freqüêcia acima de uma dada freqüêcia (Fig. 3.3). Fig Exemplo de um sial bada limitado.

65 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 63 Embora essa codição ão seja rigorosamete verificada, ela é bastate útil em termos práticos. 3. Teorema de Shao Teorema de Shao: Um sial de bada limitada por f m H está uicamete determiado por amostras, se são tomadas, pelo meos,.f m amostras eqüidistates por segudo. Prova: Se as amostras são obtidas a cada Ts segudos, cosidera-se etão um trem de impulsos δ Ts (t) δ Ts ( t ) δ ( t Ts) A amostragem de um sial f(t) em itervalos de T segudos será defiida por: f ( t) f ( t). δ ( t) f ( t). δ ( t Ts) s Ts Etão a fução amostrada cotém apeas iformações acerca das amostras f(ts), 0,,, 3,..., pois f ( t) f ( Ts). δ ( t Ts) s Toda a iformação de um sial bada limitada em f m H está cotida as amostras colhidas em itervalos uiformes meores que ½ f m H. Os pares sial e trasformada evolvidos o processo podem ser vistos a Fig. 3.4.

66 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 64 Fig (topo) Exemplo de um sial e sua trasformada bada limitada em w m. (cetro) Trem de impulsos e sua trasformada e (embaixo) o resultado da amostragem do sial; sua trasformada é aalisada a seguir. O espectro do sial amostrado fs(t) pode ser determiado com o auxílio do teorema da covolução a freqüêcia: f(t).f(t) (/π)f(w)*f(w) ode * é a operação de covolução. Segue, etão, que: f ( t) δ T ( t) F( w) * wsδ ( w ws ) π Se: fs(t) Fs(w) Etão, o espectro de fs(t) é dado por:

67 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 65 ws Fs ( w) F( w) * wsδ ( w ws ) F( w) δ ( w ws ) π π F s ( w) F( w) δ ( w ws ), com ws π/t T s e, fialmete, s F s ( w) F( w ws ) T s Este espectro é esboçado para vários valores de ws, isto é, vários valores para o espaçameto T s etre amostras. A escolha do valor de T s e, cosequetemete, de ws é importate para evitar a sobreposição etre siais o domíio da freqüêcia. A fig. 3.5 apreseta três casos ode o valor de w s é maior, igual ou meor a w m (freqüêcia limite da bada do sial de etrada). Nesses três casos, pode-se ver que ão há sobreposição quado w s w m. Etão, o uso de um filtro passa-baixa ideal permite recuperar o sial perfeitamete sem distorções (Fig. 3.6). A sobreposição dos siais é chamada de aliasig e deve ser evitada.

68 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 66 a) b) c) d) Fig a) Sial origial bada limitado em wm; resultado o domíio da freqüêcias de amostrages com: b) ws > wm, c) ws wm, d) ws < wm (sobreposição de siais aliasig).

69 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 67 Fig Recuperação do sial origial com um filtro passa-baixa. Para recuperação do sial com um FPB sem distorções, é preciso que: ou seja w s w m π/t s.πf m T s /(f m ) seg O limite /T s f m é chamado de taxa de Nyquist. Valores de T s que ão atedam a essa codição podem provocar diversas distorções o sial, como: Gaho as altas freqüêcias Perda as altas freqüêcias Modulação das freqüêcias do sial origial Casos híbridos Esses problemas podem ser vistos a Fig A Figura 3.8 mostra uma distorção desse tipo em uma imagem. Esse problema (cohecido como efeito Moirée) surgiu por causa de uma baixa resolução utiliada a digitaliação da imagem. Ele se apreseta de forma mais forte em partes da imagem que teham um padrão repetitivo (como essas lihas circulares).

70 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 68 Fig Distorções que podem ser provocadas por escolha errada a bada de passagem do fitro passa-baixa para recuperação do sial de etrada após a amostragem. Fig Efeito Moirée. 3. Re-Obteção do Sial a partir de suas amostras De acordo com o teorema de Shao-Nyquist, se T s /(f m ), etão a passagem do sial amostrado por um filtro passa-baixa ideal recupera exatamete o sial aalógico. Supoha que o filtro passa-baixa tem fução de trasferêcia: etão H(w) T s. (w/(w m )) Fs(w).T s. (w/(w m )) F(w)

71 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 69 A seguir, vamos aalisar o processo de re-obteção do sial o domíio do tempo: f(t) F(w) Fs(w).T s. (w/(w m )) O uso do teorema da covolução o tempo idica que f(t) F - (Fs(w))*F - (T s. (w/(w m ))) Utiliado os pares de trasformadas: f s (t) F s (w) (w m /π) Sa(w m t) (w/(w m )) ode sa(t) é a chamada fução sample e tem a forma se(x)/x, tem-se f(t) f s (t)*t s (w m /π)sa(w m t) logo Tswm f ( t) f ( Ts ) δ ( t Ts ) * Sa( wmt) π Tswm f ( t) f ( Ts )[ δ ( t Ts ) * Sa( wmt)] π Lembrado da propriedade da amostragem da fução impulso, segue-se s f ( t) f. T f ( T ) Sa( w ( t T )) m s m s No caso particular em que Ts /(f m ), tem-se f ( t) f ( ) Sa( wmt π ) f m Como o sial é recomposto através das amostras, observa-se que f(t) correspode à superposição de várias fuções sample deslocadas, cetradas em 0, ±T, ±T,... (Fig. 3.9).

72 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 70 Fig Iterpolação das amostras por filtro passa-baixa. Observações a) Nos potos de amostragem T, o valor correto de f(t) é f(t). Em T 0, todas as fuções sample se aulam, exceto aquele cetrado em t0, cujo valor é f(0). Em tt apeas a sample aí cetrada ão é ula, e assim por diate. b) Nos istates diferetes de T, as samples somam desde - a + e recostituem o valor de f(t) o poto aalisado por iterpolação.

73 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 7 4. Filtros Digitais Um sistema discreto o tempo é defiido matematicamete como uma trasformação que mapeia uma seqüêcia de etrada x[] em uma seqüêcia de saída y[]. Isso pode ser deotado por: como represetado a Fig. 4.. y[]t{x[]} Fig. 4.. Represetação de um sistema discreto o tempo Uma classe importate de sistemas cosiste aqueles que são lieares e ivariates o tempo. Os sistemas lieares são aqueles que obedecem ao pricípio da superposição. Se a propriedade da liearidade é combiada com a represetação de uma seqüêcia geral como uma combiação de impulsos, etão um sistema liear pode ser completamete caracteriado pela sua resposta ao impulso. Seja h k [] a resposta do sistema a δ[ k]. Assim, como: k x [ ] x[ k] δ [ k] etão [ ] { y T x[ k] δ [ k]} k Pelo pricípio da superposição, podemos escrever: k y [ ] x[ k] T{ δ [ k]} x[ k] h [ ] k De acordo com essa equação, a resposta do sistema a qualquer etrada pode ser expressa em termos da resposta a δ[ k] (o impulso). k

74 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 7 A propriedade da ivariâcia o tempo implica que, se h[] é a resposta a δ[], etão a resposta a δ[ - k] é h[ k]. Com isso, podemos dier que: k y ] x[ k] h[ k] [ (Eq. 4.) Como coseqüêcia, um sistema liear ivariate o tempo é completamete descrito por sua resposta ao impulso. Essa equação é cohecida como soma de covolução (covolutio sum) que pode ser represetada pela otação: y[] x[]*h[] (Eq. 4.) Apesar da semelhaça a otação, deve-se salietar que a soma de covolução para siais discretos ão é uma aproximação da itegral de covolução. Para qualquer que seja a etrada x[] de um sistema: x[]* δ[] x[] Assim, em geral, se um sistema liear ivariate o tempo tem uma resposta ao impulso h[], etão seus sistema iverso, se existir, tem resposta ao impulso h i [] defiida pela relação: h[]*h i [] h i []*h[] δ[] Uma classe importate de sistemas lieares ivariates o tempo cosiste daqueles para os quais x[] e y[] se relacioam através de uma equação de difereças de coeficietes costates lieares de -ésima ordem da forma: N M ak y[ k] bk x[ k] (Eq. 4.3) k 0 k 0 Um exemplo de um tal sistema é um acumulador defiido pela seqüêcia cujo diagrama de blocos pode ser visto a figura abaixo:

75 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 73 Esse sistema é represetado pela equação de difereças: y[] y[ ] + x[] ou y[] - y[ ] x[] Pela Eq. 4.3, temos: N, a 0, a -, M 0 e b Filtros Digitais Em geral, estamos iteressados em maipular o sial. Por exemplo, podemos querer retirar algum ruído de um sial, como o caso de um sial de vo, ode o ruído deve ser difereciado da vo propriamete dita. Para isso, filtros são utiliados. Filtros estão evolvidos em diversas partes de um sistema de processameto digital de sial. Eles podem ser implemetados tato em hardware quato em software e atuam em siais digitais de diversas atureas, como sos, vo, imagem ou vídeo. Em cada caso, os filtros assumem particularidades diferetes. Vamos eteder um pouco como se dá o processo em siais e, em seguida, particulariar para o caso de images digitais. Filtros digitais são formados por poucos compoetes. Basicamete são apeas multiplicadores, somadores e elemetos de retardo (delay). Desses, multiplicadores e somadores implemetam essas operações aritméticas em seqüêcias discretas. Retardos são uidades que processam elemetos ateriores de uma seqüêcia (Fig. 4.).

76 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 74 Fig. 4.. Retardo (delay) aplicado a uma seqüêcia x[]. A represetação mostrada a Fig. 4. em diagrama de blocos é comum para filtros. Os elemetos básicos de um filtro também são represetados dessa maeira. Nesse caso, o elemeto de delay é represetado como -, devido à Trasformada Z. As represetações em diagrama de blocos podem ser vistas a Fig Fig Diagrama de blocos de: a) Somador de duas seqüêcias, b) multiplicador de duas seqüêcias, c) multiplicador de uma seqüêcia por uma costate e d) retardo. Exemplos: ) Podemos ver a Fig. 4.4 a represetação em diagrama de blocos da equação de difereça defiida por: y[] a.y[ ] + a.y[ ] + b.x[]

77 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 75 cuja trasformada Z (ou fução de sistema) é dada por: ) ( a a b H Fig Diagrama de blocos para uma equação de difereças. ) Uma equação de difereças pode ser geeraliada da forma: N k M k k k k x b k y a y 0 ] [ ] [ ] [ com fução de sistema correspodete: ) ( ) ( ) ( 0 X Y a b H N k k k M k k k A fução de sistema ou fução de trasferêcia correspode à relação etre a saída e a etrada do sistema. Podemos re-escrever a equação de difereças a forma de uma relação de recorrêcia:

78 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 76 + N k M k k k k x b k y a y 0 ] [ ] [ ] [ que pode ser represetada em diagrama de blocos como a Fig Fig Represetação em diagrama de blocos de uma equação de difereças geral. Nessa figura, temos: M k k k x b v 0 ] [ ] [ + N k k k y a v y ] [ ] [ ] [ Como apresetado a Fig. 4.5, referimos a essa forma de diagrama de blocos como a Forma Direta I. Uma implemetação com uma meor quatidade de retardos também pode ser utiliada e é chamada de Forma Direta II (Fig. 4.6, cosiderado, sem perda de geeraliada, M N).

79 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 77 Fig Represetação com meos retardos (Forma direta II). Os filtros são classificados em relação à sua resposta ao impulso. Nesse setido, os filtros dividem-se em filtros FIR (Fiite Impulse Respose) e IIR (Ifiite Impulse Respose). 4. Filtros FIR A estrutura de um filtro FIR é bastate regular e, uma ve defiidos os coeficietes, o filtro pode ser completamete especificado. Esses são os coeficietes do filtro. Na Fig. 4.7, podemos ver uma estrutura simples de um filtro FIR. Podemos observar que a passagem pelos compoetes do filtro se dá sempre da esquerda para a direita. Por isso, esse filtro é chamado também de feed-forward.

80 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 78 Fig Exemplo de um filtro FIR. Supoha a Fig. 4.7 que o sistema tem uma etrada x[] [, 0]. Sedo um sistema causal, a etrada para < 0 é igual a ero. Assim, para 0, temos: E, para : Logo, a saída seria y[][0.5, 0.5]. A equação para cada termo é: y[0] 0.5.x[0] x[-] y[] 0.5.x[] x[0]

81 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 79 Ou, de forma geral: y[] 0.5.x[] x[ - ] Os filtros FIR são expressos como: y[ ] M k 0 b x[ k] k com fução de trasferêcia: H ( ) M k 0 b k k A resposta ao impulso h[] é dada por: b h[ ] 0 0 seão M e a represetação em equação de difereças é: y[] b 0 x[] + b x[ ] b N- x[ M + ] Um filtro FIR pode ser represetado em forma direta como: Por simplicidade, pode-se represetar um filtro FIR apeas com seus coeficietes. Por exemplo, seja um filtro FIR com coeficietes [, -], ele pode ser represetado como:

82 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 80 Dados os coeficietes, pode-se calcular de forma simples a saída do sistema para uma dada etrada. Cosidere uma etrada x[][,, 3, 4, 5] em um filtro com coeficietes [6, 7, 8]. A saída é dada por: Há três importates propriedades de um sistema: Causalidade Liearidade Ivariâcia o tempo Um sistema é dito causal quado ele ão precisa de iformações futuras para calcular a saída atual. Um sistema é liear se obedece ao pricípio da superposição. Ou seja: T{a.x [] + b.x []} a.t{x []} + b.t{x []} Por último, um sistema é dito ivariate o tempo se a saída do sistema reflete qualquer deslocameto que a etrada. Ou seja, se y[] T{x[]}, etão x[ m] gera uma saída y[ m]. Filtros FIR podem implemetar diversas diferetes fuções apeas com mudaças os seus coeficietes. A fução de um filtro depede de seu comportameto o domíio da freqüêcia. Um filtro pode ser passa-baixa, passa-alta, passa-faixa, rejeita-faixa ou otch. Um filtro otch é um filtro que tem fedas profudas ou, idealmete, eros perfeitos a sua resposta em frequêcia.

83 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 8 Filtros otch são bastate úteis quado frequêcias específicas devem ser elimiadas. Isso acotece, por exemplo, quado precisamos elimiar a frequêcia de 60H (e seus harmôicos) da rede elétrica. Filtros passa-baixa ou passa-alta permitem passar baixas ou altas freqüêcias de um sial. As Figs. 4.8 e 4.9 apresetam exemplos simples de filtros assim. Fig Exemplos de filtros passa-baixa e passa-alta ideais. Fig Exemplos de filtros passa-baixa e passa-alta. Os filtros da Fig. 4.8 são filtros ideais ão realiáveis. A Fig. 4.9 apreseta filtros com uma mudaça mais suave da bada de passagem para a bada de corte (o FPB) e vice-versa (o FPA).

84 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 8 Na prática, tais filtros têm características um pouco diferetes. Podemos observar odulações e uma bada de trasição mais suave. Essas características podem ser vistas a Fig. 4.0 a qual apreseta o espectro de diferetes filtros (ou seja, suas trasformadas de Fourier). É através do espectro que podemos aalisar o comportameto do filtro. Fig Padrões de odulação a bada de passagem ou a bada de parada e um bada de trasição suave. Por exemplo, um filtro apeas com coeficietes [0,5 0,5] comporta-se como um FPB. Seu comportameto foi avaliado ateriormete, tedo sua saída defiida por: y[] 0.5.x[] x[ - ]

85 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 83 que é o mesmo que y[] (x[] + x[ ])/. Por isso, filtros passa-baixa são chamados, às vees, de filtro da média. Um filtro com coeficietes [0,5-0,5] correspode a um filtro passa-alta, chamado de filtro de difereciação. O seguite código o MatLab apreseta a trasformada de Fourier para uma seqüêcia de coeficietes. A Fig 4. apreseta os resultados para os coeficietes [0,5 0,5] e [0,5-0,5]. x [0.5, -0.5]; f fft(x,89); Freq -5:0/89:5-/89; plot(freq, abs(fftshift(f))); Fig. 4.. (esquerda) Seqüêcia [0,5 0,5] e sua trasformada de Fourier (um FPB) e (direita) a seqüêcia [0,5-0,5] e sua trasformada (um otch FPA). Vamos aalisar o FPA: y[] (x[] - x[ ])/ Pequeas difereças etre as amostras resultam em valores pequeos; grades difereças resultam em valores grades. Assim, a resposta em frequêcia desse filtro deve ateuar mudaças suaves o sial (como as relacioadas com as

86 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 84 baixas frequêcias) e efatiar mudaças rápidas (como as relacioadas com as altas frequêcias). Dois outros tipos de filtros são otch e passa-faixa. Filtros otch elimiam frequêcias específicas. Filtros passa-faixa têm duas badas de passagem. A Fig. 4. mostra exemplos desses dois filtros. Para ver como é o comportameto de um filtro, devemos ver sua resposta em frequêcia através da trasformada de Fourier de seus coeficietes. Fig. 4.. (topo) filtro Notch e (baixo) filtro passa-faixa. Para ver como é o comportameto de um filtro, devemos ver sua resposta em frequêcia através da Trasformada de Fourier de seus coeficietes. Exemplo: >> B fir(00, 0.3, low'); >> x eros (, 000); >> x(50) ; % x é um impulso >> Y fft(cov(x, B)); % apresetamos metade apeas pois o resto é simétrico >> half :ceil(legth(y)/);

87 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 85 >> plot(half/max(half), abs(y(half)), 'b'); >> B fir(00, 0.3, high'); >> x eros (, 000); >> x(50) ; % x é um impulso >> Y fft(cov(x, B)); % apresetamos metade apeas pois o resto é simétrico >> half :ceil(legth(y)/); >> plot(half/max(half), abs(y(half)), 'b'); 4.. Sistemas com Fase Liear Em diversas aplicações como processameto de vo ou som, filtros digitais são usados para implemetar operações seletivas de frequêcia. Assim, especificações são ecessárias o domíio da frequêcia em termos de

88 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 86 magitude desejada e resposta em fase do filtro. Em geral, uma resposta em fase liear a bada de passagem é desejada (Fig. 4.3). Fig Exemplos de fases lieares e ão-lieares. Cosidere um sistema LTI cuja resposta em frequêcia sobre um período seja: H id (e jw ) e -jwα, w < π ode α é um úmero real. Tal sistema tem magitude costate e fase liear: H id (e jw ) H id (e jw ) -wα A trasformada de Fourier iversa de H id (e jw ) é a resposta ao impulso, h id [] que é dada por: h [ ] id π π π e jωα e jω dω π π π e ω ( jα j) dω

89 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 87 π π ω ωα π π α ω α π α π ) ( ) ( ) ( ) ( ] [ j j j id e j e j h [ ] ) ( ) ( ) ( ] [ j j id e e j h α π α π α π (Eq. 4.4) Lembrado que: j e e se j j α α α Temos que, a equação 4.4: ) ( )] ( [ )] ( [ ) ( ] [ α π α π α π α π se jse j h id, - << A saída desse sistema a uma etrada x[] qualquer é: k k k k x x y ) ( ) ( si ] [ ) ( ) ( si ]* [ ] [ α π α π α π α π Se α d, ode d é um iteiro, etão, pela propriedade do deslocameto o tempo: ] [ ] [ ) ( d id j j id h e e H d δ ω ω Assim: h id [] δ[ d ] e y[] x[]*δ[ d ] x[ d ]. i.e., se α d um iteiro, o sistema com fase liear e gaho uitário simplesmete desloca a sequêcia de etrada de d amostras. De forma geral, um sistema será dito ser de fase liear geeraliada se sua resposta em frequêcia puder ser expressa a forma: H(e jw ) A(e jw )e -jαw + jβ (Eq. 4.5)

90 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 88 ode α e β são costates e A(e jw ) é uma fução real em w. Para o filtro de fase liear: H LP ( e jω e ) 0, jωα, ω < ω ω < ω π c c temos β 0. Um sistema cuja resposta em frequêcia tem a forma da equação 4.5 é chamado de sistema de fase liear geeraliada já que a fase de tal sistema cosiste de termos costates adicioados á fução liear -ωα. Ou seja, a fase liear é de forma mais geral: arg[h(e jw )] β - ωα, 0 < ω < π ode α e β são costates reais. Causalidade implica que: h[] 0, > 0 e > M, M iteiro i.e., sistemas FIR causais têm fase liear geeraliada se eles têm resposta ao impulso de comprimeto (M + ) e satisfa: h[α - ] h[] ou h[α - ] -h[] No primeiro caso, temos, para β 0 ou π: seπ (α α) seπ ( α ) seπ ( α) h [ α ] h[ ] π (α α) π ( α ) π ( α) O segudo caso acotece para β π/ ou 3π/. Especificamete, se h[] h[m ], 0 M, e 0, caso cotrário etão pode ser mostrado que H(e jw ) A P (e jw )e -jwm/ ode A P (e jw ) é uma fução real, par e periódica em w. De forma similar, se h[] -h[m ], 0 M, e 0, caso cotrário

91 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 89 segue que: H(e jw ) ja I (e jw )e -jwm/ A I (e jw -jwm/ + jπ/ )e ode A I (e jw ) é uma fução real, ímpar e periódica em w. Em ambos os casos, o comprimeto da resposta ao impulso é (M + ) amostras. Depededo da sua resposta ao impulso, os filtros FIR podem ser divididos em quatro classes:. Sistemas FIR com fase liear do Tipo I Um sistema do tipo I tem resposta ao impulso simétrica h[] h[m ], 0 M com M um iteiro par (observe que isso gera um úmero ímpar de amostras). O atraso M/ é um iteiro. A resposta em frequêcia é: H ( e jω ) M 0 h[ ] e jω Cosiderado a codição de similaridade, essa resposta em frequêcia pode ser expressa como: ode a[0] h[m/], H ( e jω ) e jωm / M / k 0 a[k] h[(m/) k], k,, 3,..., M/ a[ k]cos( ωk) Assim, H(e jw ) tem a forma de A P (e jw )e -jwm/.. Sistemas FIR com fase liear do Tipo II Um sistema do tipo II tem uma resposta ao impulso simétrica como h[] h[m ], 0 M mas com M um iteiro ímpar. Nesse caso, H(e jw ) pode ser expresso como:

92 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 90 ode H ( e jω ) e jωm / { ( M + k ) / b[ k]cos[ ω( k ]} b[k].h[(m + )/ - k], k,,..., (M + )/ Novamete H(e jw ) tem a forma de A P (e jw )e -jwm/. 3. Sistemas FIR com fase liear do Tipo III Se o sistema tem uma resposta ao impulso assimétrica: h[] -h[m - ], com M um iteiro par, etão H(e jw ) tem a forma: ode H ( e jω ) je jωm / M / k 0 0 M c[ k]si( ωk) c[k] h[(m/) - k], k,,..., M/ Nesse caso, H(e jw ) tem a forma: H(e jw ) A I (e jw -jwm/ + jπ/ )e 4. Sistemas FIR com fase liear do Tipo IV Se o sistema tem uma resposta ao impulso assimétrica: h[] -h[m - ], com M um iteiro ímpar, etão H(e jw ) tem a forma: ode H ( e e H(e jw ) tem a forma: jω ) je jωm / { ( M + k ) / 0 M d[ k]si[ ω( k ]} d[k] h[(m+)/ - k], k,,..., (M + )/ H(e jw ) A I (e jw -jwm/ + jπ/ )e

93 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 9 Exemplos: a) Tipo I, resposta simétrica, M par h[], 0 4, e 0, caso cotrário h[] h[m ] A resposta em frequêcia é: H ( e jw ) e e si(5w / ) si( / ) 4 jw5 jw jw e e jw 0 w Magitude e fase: b) Tipo II, resposta simétrica, M ímpar h[], 0 5, e 0, caso cotrário h[] h[m ] A resposta em frequêcia é:

94 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 9 H ( e ) e jw jw(5/ ) Magitude e fase: si(3w) si( w / ) c) Tipo III, resposta assimétrica, M par Se h[] δ[] - δ[ ] Etão H(e jw ) e -jw j[.si(w/)]e -jw Magitude e fase:

95 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 93 d) Tipo IV, resposta assimétrica, M ímpar Se h[] δ[] - δ[ ] Etão H(e jw ) e -jw j[.si(w/)]e -jw/ Magitude e fase:

96 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 94 Exemplo: O seguite código implemeta o MatLab um filtro FIR tipo I: h [ ]/30; % Veja que vai de ero a seis M legth(h); N (M-)/; L 5; H fft([h eros(,l-m)]); k 0:L-; W exp(j**pi/l); A H.* W.^(N*k); A real(a); figure() w [0:L-]**pi/(L-); subplot(,,) plot(w/pi,abs(h)) ylabel(' H(\omega) A(\omega) ') xlabel('\omega/\pi') subplot(,,) plot(w/pi,a) ylabel('a(\omega)') xlabel('\omega/\pi')

97 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 95 Exemplo: O seguite código implemeta o MatLab um filtro FIR tipo II: h [ ]/4; M legth(h); N (M-)/; L 5; H fft([h eros(,l-m)]); k 0:L-; W exp(j**pi/l); A H.* W.^(N*k); A real(a); figure() w [0:L-]**pi/(L-); subplot(,,) plot(w/pi,abs(h)) ylabel(' H(\omega) A(\omega) ') xlabel('\omega/\pi') subplot(,,) plot(w/pi,a) ylabel('a(\omega)') xlabel('\omega/\pi')

98 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Filtros IIR Os filtros FIR usam apeas cálculos feed forward. Se feedback é permitido, a resposta de um filtro ao impulso ão será ecessariamete fiita. Assim, filtros com feedback são chamados de filtros com resposta ao Impulso Ifiita (IIR Ifiite Impulse Respose). Por exemplo, o filtro abaixo: cuja equação que descreve sua saída é dada por: y[] 0,6.x[] + 0,.x[-] + 0,4.y[ ] Se um impulso passa por esse filtro teremos como resposta as seguites saídas, cosiderado o filtro causal: Etrada Saída 0 0 0,6 0 0,44 0 0, Ou seja, mesmo quado a etrada se aula, o filtro cotiua apresetado uma saída. Essa saída dimiui, mas ão tora-se ero. Claro que, a prática, a resposta chega a ero em algum mometo. Cosidere etão o filtro a seguir:

99 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 97 Esse filtro tem saídas: Etrada Saída 0 0 0,6 0 0,8 0 0, Esse é um filtro IIR. A saída será sempre 0,8 mesmo a etrada permaecedo 0. Nesse próximo exemplo, a saída cresce mesmo com etrada ero. Etrada Saída 0 0 0,6 0 0,86 0 0,

100 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 98 De uma maeira geral, os filtros IIR são expressos como: N k M k k k k x b k y a y 0 ] [ ] [ ] [ com a seguite fução de sistema: N k k k M k k k a b H 0 ) ( Suas formas Direta I e Direta II são mostradas as Figs. 4.4 e 4.5. Fig Forma Direta I de um filtro IIR

101 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 99 Fig Forma Direta II de um filtro IIR. Exemplo : Cosidere a fução de sistema: H + ( ) A forma direta I e II podem ser desehadas como: Forma direta I: e Forma direta II:

102 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 00 Exemplo : Coexão em cascata Cosidere a fução de sistema: ) ( H Como os pólos e eros são reais, uma estrutura em cascata tem seções com coeficietes reais. Duas estruturas em cascata equivaletes podem ser criadas para essa fução: i) ii) Exemplo 3: Coexão em paralelo: Cosidere a fução de sistema (observe que é a mesma fução aterior): ) ( H

103 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 0 A forma paralela para esse sistema com uma seção de seguda ordem é: Como os pólos são reais, podemos obter aida uma forma paralela alterativa expadido H() como: H ( ) que gera o diagrama abaixo apeas com seções de primeira ordem:

104 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Exercícios. Um filtro IIR é defiido por: H ( ) Desehe sua estrutura a Forma Direta I ou a Forma Direta II. 3. Um filtro causal e ivariate o tempo é defiido por: H ( ) Desehe sua estrutura a Forma Direta I ou a Forma Direta II. Esse filtro é FIR ou IIR? 3. Um filtro IIR é defiido por: + H ( ) Desehe sua estrutura a Forma Direta I ou a Forma Direta II. 4. Modifique os códigos das págias 86 e 87 para implemetar exemplos de filtros FIR dos tipos III e IV.

105 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Bibliografia Complemetar. Viay K. Igle, Joh G. Proakis, Digital Sigal Processig, Thomso Learig, Michael Weeks, Digital Sigal Processig Usig MatLab ad Wavelets, Ifiity Sciece Press, Ala V. Oppeheim, Roald Schafer, Discrete Time Sigal Processig, Pretice Hall, 989

106 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Técicas de projeto de filtros Neste Capítulo, tratamos ao problema de projetar um filtro a partir de especificações. Em processameto digital de siais há dois importates tipos de sistemas: o primeiro tipo filtra os siais o domíio do tempo e são chamados filtros digitais. O segudo tipo provê a represetação do sial o domíio da frequêcia e são chamados de aalisadores de espectro. Os filtros são projetados como seletores de frequêcia. Há cosiderações diferetes se o projeto é voltado para criação de filtros FIR ou IIR. O projeto de um filtro digital tem três passos: Especificações: determiada pela aplicação a qual o filtro está sedo costruído; Aproximações: o projeto do filtro especificamete. Aqui, defie-se H(). Implemetações: a trascrição da fução de trasferêcia para hardware ou software. Em diversas aplicações como processameto de vo ou som, filtros digitais são usados para implemetar operações seletivas de frequêcia. Assim, especificações são ecessárias o domíio da frequêcia em termos de magitude desejada e resposta em fase do filtro. Em geral, como vimos o Capítulo aterior, uma resposta em fase liear a bada de passagem é ecessária (Fig. 4.3). No caso de filtros FIR, é possível ecotrar um filtro de fase exatamete liear. Para filtros IIR, uma fase liear a bada de passagem ão é possível. Assim, cosideraremos especificações em magitude apeas. As especificações em magitude podem ser dadas de duas maeiras: Especificações absolutas que provêem um cojuto de requisitos a magitude da fução de trasferêcia, H(e jw ). Essas especificações são comus para

107 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 05 filtros FIR. A seguda forma é chamada de especificações relativas que provê os requisitos em decibéis (db) e é dada por: H ( e escala db 0log0 0 H ( e jω jω ) ) max Essa é a forma mais comum a prática e é usada tato para filtros FIR quato IIR. Vamos cosiderar o projeto de um filtro passa-baixa como exemplo. Uma especificação absoluta de um filtro passa-baixa é mostrada a Fig. 5. a qual: A bada [0, w p ] é chamada de bada de passagem, e δ é a tolerâcia a qual são permitidas odulações (ripples) a resposta ideal da bada de passagem; A bada [w s, π] é chamada de bada de corte, e δ é a tolerâcia a qual são permitidas odulações; A bada [w s, w p ] é chamada de bada de trasição, e ão há qualquer restrição a resposta em magitude essa bada. Fig. 5.. Especificação absoluta de um filtro passa-baixa real: bada de passagem, bada de trasição e bada de corte.

108 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 06 A especificação relativa de um filtro passa-baixa pode ser vista a Fig. 5. a qual: R p é a odulação a bada de passagem em db, e A s é a ateuação a bada de corte em db. Fig. 5.. Especificação relativa de um filtro passa-baixa real. Os parâmetros das duas especificações são relacioados. Como H(e jw ) max a especificação absoluta é igual a ( + δ ), temos: R P 0log δ 0 > + δ 0 A e S 0log δ + δ 0 > 0 Exemplo: As especificações de um FPB defiem as odulações da bada de passagem em 0,5 db e a ateuação a bada de corte em 50 db. Determie δ e δ. R P 0,5-0 log0 [( - δ )/( + δ )] δ 0,044 A S 50-0 log0 [δ /( + δ )] δ 0,003 Especificações semelhates podem ser dadas para outros tipos de filtros seletores de frequêcia (como passa-alta ou passa-faixa).

109 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 07 Aalisaremos o problema de especificar um filtro passa-baixa e, facilmete, esses coceitos podem ser repassados para outros tipos de filtros. Nosso problema é projetar um filtro passa-baixa (i.e., obter sua fução de trasferêcia H() ou sua equação de difereças) que tem uma bada de passagem [0, w p ] com tolerâcia δ (ou R P i db) e uma bada de corte [w S, π] com tolerâcia δ (ou A S i db). A seguir, vamos projetar filtros digitais FIR. Esses filtros têm diversas vatages de projeto e implemetação: A resposta em fase pode ser exatamete liear; São relativamete simples de projetar já que eles ão têm problemas de estabilidade; São eficietes para implemetar; A Trasformada Discreta de Fourier pode ser usada em sua implemetação. 5. Projeto de Filtros FIR Tato a aproximação quato a implemetação podem ser realiadas de diversas maeiras diferetes, com o resultado de que ão existe uma solução úica para o problema de projeto de filtros com um cojuto prescrito de especificações. Todavia, podemos mecioar três diferetes abordages para o projeto de filtros aalógicos e digitais: Abordagem aalógica, a qual se aplica à classe de filtros aalógicos. Abordagem de aalógico para digital, em que a motivação é projetar um filtro digital laçado mão de um projeto de filtro aalógico. Abordagem digital direta a qual se aplica à classe de filtros digitais. Para o projeto de filtros FIR, as técicas são divididas as seguites categorias: Projeto usado jaelas

110 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 08 Método da amostragem em freqüêcia Projeto equirriple ótimo Projeto de míimos quadrados 5.. Projeto usado jaelas A ideia básica de um projeto por jaelas é selecioar um filtro seletor de frequêcias ideal apropriado (que sempre é ão-causal e de resposta ao impulso ifiita) e etão trucar sua resposta ao impulso em uma jaela para obter um filtro FIR causal e de fase liear. Assim, o foco está a escolha de uma fução de jaelameto e um filtro ideal apropriados. Seja H d (e jw ) um filtro seletivo de frequêcia ideal que tem magitude uitária e características de fase liear sobre sua bada de passagem, e resposta ero a bada de corte. Um filtro passa-baixa (FPB) ideal de largura de bada w c < π é dado por: H d ( e jω j. e ) 0, αω, ω ω ω < ω π ode w c é chamado de frequêcia de corte (cut-off) e α é chamado de atraso de amostra (sample delay). A resposta ao impulso desse filtro é de duração ifiita e é dada por: h π jω jω d [ ] I [ H d ( e )] π H d ( e ) π c e c jω dω ω C hd [ ]. π e ω C jαω e jω dω se[ ωc( α)] π ( α) Para obter um filtro FIR a partir de h d [], precisamos trucar h d [] em ambos os lados. Para obter um filtro FIR causal de fase liear h[] de comprimeto M, devemos ter:

111 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 09 h[ ] hd [ ], 0, 0 M seão e α (M )/. Essa operação é chamada de jaelameto. Em geral, h[] pode ser pesado como sedo formado pelo produto de h d [] e uma jaela w[] tal que: h[] h d [].w[] ode w[] é alguma fução simétrica com respeito a α o itervalo 0 M e 0 fora desse itervalo. Depededo de como obtivermos w[] acima, temos diferetes projetos de filtros. Por exemplo:, 0 M w[ ] 0, seão é uma jaela retagular. No domíio da frequêcia, a resposta H(e jw ) do filtro FIR causal é dada pela covolução de H d (e jw ) e a resposta da jaela W(e jw ): H ( e jw ) H d ( e jw ) * W ( e jw ) π π π W ( e jλ ) H d ( e j( wλ) Podemos ver essa covolução a Fig. 5.3 para uma jaela comum. ) dλ

112 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 0 Fig Operação de jaelameto o domíio da frequêcia. Observações:. Como a jaela w[] tem comprimeto fiito igual a M, sua resposta em frequêcia tem uma região de pico cetral (lóbulo pricipal) cuja largura é proporcioal a /M e tem lóbulos laterais com pesos meores.. A covolução gera uma versão da resposta ideal H d (e jw ), mas com algumas distorções (odulações). 3. A largura da bada de trasição é proporcioal a /M. 4. Os lóbulos laterais produem odulações que têm forma similar tato a bada de passagem quato a de corte. Projeto usado jaelas: Para uma dada especificação de filtro, escolha um filtro de comprimeto M e uma fução jaela w[] para a mais estreita largura do lóbulo pricipal e a meor ateuação os lóbulos laterais possível. Da observação 4 acima, podemos otar que a tolerâcia δ da bada de passagem e a tolerâcia δ da bada de corte ão podem ser especificadas de forma idepedete. Geralmete, toma-se δ δ. Vamos descrever algus tipos comus de fuções de jaelameto.

113 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia ) Jaela Retagular Essa é a jaela mais simples, mas que provê o pior desempeho em termos de ateuação da bada de corte. Ela é defiida como:, 0 M w[ ] 0, seão sedo sua resposta em frequêcia: W ( e M jw( M + ) jw jw e jwm / + ) e e jw 0 e se[ w( M ) / ] se( w / ) A magitude da fução se[w(m + )/]/se(w/) é mostrada a Fig. 5.4 para o caso de M 7. Note que W(e jw ) tem fase liear geeraliada. À medida que M aumeta, a largura do lóbulo pricipal dimiui. Fig Magitude da trasformada de Fourier de uma jaela retagular (M 7).

114 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Pode ser provado que a largura do lóbulo cetral é w m 4π/(M + ) para uma jaela retagular. O primeiro ero de W(e jw ) ocorre quado: se (w(m + )/) 0 w(m + )/ π π/(m + ) Assim, a largura do lóbulo cetral é o dobro desse valor (já que evolve os valores egativos e positivos): w 4π/(M + ) Observa-se também que a magitude do primeiro lóbulo lateral é aproximadamete em w 3π/(M + ) e é dada por: se[( w( M + ) / )] se(3π / ) ( + ) M se( w / ) 3π 3π se ( ) M + À medida que M cresce, a largura de cada lóbulo lateral dimiui, mas a área sobre cada um permaece costate. Assim, as amplitudes relativas dos picos laterais vão permaecer costates e a ateuação da bada de passagem permaece em cerca de db. Isso sigifica que as odulações vão sofrer um pico perto das bordas das badas. Isso é cohecido como feômeo de Gibbs (Fig. 5.5). Esse feômeo ocorre por causa da trasição brusca de 0 para (e de para 0) da jaela retagular.

115 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3 Fig Feômeo de Gibbs: Pico das odulações as froteiras etre as badas. ) Jaela Triagular ou de Bartlett Bartlett sugeriu uma trasição mais suave para evitar o feômeo de Gibbs. Isso seria coseguido através de uma jaela triagular da forma: < seão M M M M M w, 0 /, / 0, ] [ Essa jaela e sua resposta em frequêcia podem ser vistas a Fig. 5.6

116 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 4 Fig Jaela triagular. 3) Jaela de Haig (homeagem a Julius vo Ha, meteorologista austríaco) 0,5 0,5cos(π / M ), 0 M w[ ] 0, seão Fig Jaela de Haig 4) Jaela de Hammig (Richard Hammig, matemático americao) 0,54 0,46cos(π / M ), 0 M w[ ] 0, seão Tem uma quatidade meor de descotiuidades em relação à jaela de Haig.

117 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 5 Fig Jaela de Hammig. 5) Jaela de Blackma 0,4 0,5cos(π / M ) + 0,08cos(4π / M ), w[ ] 0, 0 M seão Também é similar às duas ateriores, mas tem um segudo harmôico o que fa com que ela se aproxime de ero com mais suavidade. Fig Jaela de Blackma. Tato a jaela de Bartlett, quato Hammig, Haig e Blackma têm lóbulos laterais meores do que os da jaela retagular. No etato, para o mesmo valor de M, a largura do lóbulo pricipal também é mais larga para essas jaelas se comparadas à jaela retagular. Cosequetemete, essas jaelas coseguem uma covolução o domíio da frequêcia mais suave e, como

118 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 6 resultado, a região de trasição a resposta do filtro FIR é mais larga. Para reduir a largura da região de trasição podemos aumetar o comprimeto da jaela, o que resulta em filtros mais largos. A tabela a seguir resume algumas características o domíio da frequêcia dessas jaelas. Tabela 5.. Algumas características do domíio da frequêcia de algumas fuções de jaelameto Tipo de jaela Largura de trasição aproximada Pico do lóbulo lateral do lóbulo pricipal (db) Retagular 4π/M -3 Bartlett 8π/M -5 Haig 8π/M -3 Hammig 8π/M -4 Blackma π/m -57 6) Jaela de Kaiser (James F. Kaiser) Esta é a melhor jaela. Ela e cosiderada ótima porque provê um lóbulo pricipal largo para a dada ateuação da bada de corte, o que implica a mais brusca bada de trasição. A fução foi defiida por Kaiser e é dada por: I w[ ] 0 β M I 0 [ β ] 0,, 0 M seão I 0 (.) é a fução de Bessel modificada de ordem ero: I ( x) 0 + ( x / )!

119 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 7 Fig Variadas formas da Jaela de Kaiser. Na expressão de w[], existem dois parâmetros:. O comprimeto M. O parâmetro β Variado β e M, é possível ajustar a amplitude dos lóbulos laterais. Kaiser ecotrou duas fórmulas que permitem achar M e β de modo a ateder às especificações do filtro. Assim, dado que δ é fixo (especificado), a frequêcia de corte w P da bada de passagem do filtro passa-baixa é a maior frequêcia tal que: H(e jw ) - δ A frequêcia da bada de corte tem tolerâcia δ, satisfaedo: H(e jw ) δ A largura da bada de trasição é: w w S - w P Dado: A -0log 0 δ, cosiderado δ δ. Kaiser mostrou que:

120 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 8 0,( A 8,7) 0,4 β 0,584( A ) + 0,07886( A ) 0 Além disso, dados w e A, M é aproximadamete: A 8 M, 85 w, A > 50, A 50, A < (Eq. 5.) O procedimeto para projetar um filtro passa-baixa digital FIR usado a jaela de Kaiser cosiste os seguites passos: i) Estabelecer as especificações w P, w S e δ. ii) Estabelecer a frequêcia de corte w c do filtro passa-baixa ideal ao qual se aplicará a jaela (w c (w P + w S )/). iii) Calcular A 0log 0 δ e w w P - w S e usar as fórmulas de Kaiser para ecotrar os valores de M e β. iv) Ecotra a resposta ao impulso do filtro através de h[]h d []w[], ode w[] é a jaela de Kaiser e h d [] I - [H d (e jw )]. Devido à complexidade de cálculos com fuções de Bessel, o projeto dessas jaelas ão é fácil. A equação de w[] defiida por Kaiser tem valores ecotrados empiricamete e são defiidos sem prova. Exemplo: Projetar, usado jaelas de Kaiser, um filtro passa-baixa com as seguites especificações: w P 0,4π, w S 0,6π e δ 0,00. w c (w S + w P )/ 0,5π w w S - w P 0,π A -0log 0 δ 60 db Como A > 50, pela Eq. 5.: β 0,0(A 8,7) 5,633

121 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 9 M (A - 8)/(,85 w) 36,9 M 37 (M iteiro) A resposta ao impulso é: se[ wc ( M / )] h[ ] hd [ ] w[ ] w[ ] π ( M / ) com w[] dado pela defiição da jaela de Kaiser. Implemetações o MatLab O MatLab tem diversas fuções para implemetar jaelas:. w rectwi(m): Jaela retagular. w bartlett(m): Jaela de Bartlett 3. w haig(m): Jaela de Haig 4. w hammig(m): Jaela de Hammig 5. w blackma(m): Jaela de Blackma 6. w kaiser(m, beta): Jaela de Kaiser Ates de projetarmos algus exemplos, vamos implemetar duas fuções base importates para os exemplos a seguir. Uma implemeta uma resposta ao impulso ideal de um filtro passa-baixa h d []. A outra fução implemeta a plotagem o domíio da frequêcia, apresetado também a resposta em magitude absoluta e em escala db (é uma variação da fução freq do MatLab). Fução : fuctio hd ideal_lp(wc, M) % Ideal low pass filter % wc cutoff frequecy % M legth of the ideal filter alpha (M - )/ [0:(M-)]; m - alpha + eps; hd si(wc*m)./(pi*m);

122 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 0 Fução : fuctio [db, mag, pha, w] freq_m(b, a) % Versao modificada da fucao freq [H, w] freq(b, a, 000, 'whole'); H (H(:50))'; w (w(:50))'; mag abs(h); db 0*log0((mag + eps)/(max(mag))); pha agle(h); Exemplo : Projetar um filtro passa-baixa FIR com as seguites especificações w P 0,π, R P 0,5 db, w S 0,3π e A S 50 db. Tato a jaela de Hammig quato a de Blackma provêem ateuação de mais de 50 db. Vamos escolher a jaela de Hammig que provê a meor bada de trasição e assim tem a meor ordem. wp 0.*pi; ws 0.3*pi; tr_width ws - wp; M ceil(6.6*pi/tr_width) + [0:M-]; wc (ws + wp)/; hd ideal_lp (wc, M); w_ham (hammig(m))'; h hd.*w_ham; [db, mag, pha, w] freq_m(h, []); delta_w *pi/000; Rp -(mi(db(:wp/delta_w+))) As -roud(max(db(ws/delta_w+:50))) subplot(,, ) subplot (,, ); stem(, hd); title('resposta ao Impulso Ideal'); axis([0 M ]);xlabel('');ylabel('hd[]'); subplot (,, ); stem(, w_ham); title('jaela de Hammig'); axis([0 M- 0.]);xlabel('');ylabel('w[]');

123 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia subplot (,, 3); stem(, h); title('resposta ao Impulso Atual'); axis([0 M ]);xlabel('');ylabel('h[]'); subplot (,, 4); plot(w/pi, db); title('magitude em db');grid axis([0-00 0]);xlabel('frequecia em pi uidades');ylabel('decibeis'); M 67 alpha 33 Rp 0,0394 As 5

124 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Exemplo : Resolva o exemplo aterior usado uma jaela de Kaiser. wp 0.*pi; ws 0.3*pi; As 50; tr_width ws - wp; M ceil((as )/(4.36*tr_width/(*pi))+) + [0:M-]; beta 0.0*(As - 8.7) wc (ws + wp)/; hd ideal_lp (wc, M); w_kai (kaiser(m, beta))'; h hd.*w_kai; [db, mag, pha, w] freq_m(h, []); delta_w *pi/000; As -roud(max(db(ws/delta_w+:50))) subplot(,, ) subplot (,, ); stem(, hd); title('resposta ao Impulso Ideal'); axis([0 M ]);xlabel('');ylabel('hd[]'); subplot (,, ); stem(, w_kai); title('jaela de Kaiser'); axis([0 M- 0.]);xlabel('');ylabel('w[]'); subplot (,, 3); stem(, h); title('resposta ao Impulso Atual'); axis([0 M ]);xlabel('');ylabel('h[]'); subplot (,, 4); plot(w/pi, db); title('magitude em db');grid axis([0-00 0]);xlabel('frequecia em pi uidades');ylabel('decibeis'); M 6 beta 4,553 alpha 30 As 5

125 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3

126 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 4 Exemplo 3: Vamos projetar o filtro com as seguites especificações (coforme a figura abaixo): Borda da bada de corte mais baixa: w s 0,π, A s 60 db Borda da bada de passagem mais baixa: w p 0,35π, A s db Borda da bada de corte mais alta: w s 0,65π, A s db Borda da bada de passagem mais alta: w p 0,8π, A s 60 db Existem duas badas de trasição: w w P w S, w w S w P. Essas duas larguras de bada devem ser a mesma o projeto da jaela; i.e., ão há cotrole idepedete sobre w e w. Assim w w w. Para esse projeto, podemos usar a jaela de Kaiser ou a de Blackma. Vamos escolher a jaela de Blackma. Vamos precisar também da resposta ideal ao impulso de um filtro passa-faixa h d []. Observe que essa resposta ao impulso pode ser obtida a partir de duas respostas em magitude de filtros passa-baixa ideais, cosiderado que elas teham a mesma resposta em fase. Isso pode ser visto a figura a seguir:

127 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 5 ws 0.*pi; wp 0.35*pi; wp 0.65*pi; ws 0.8*pi; As 60; tr_width mi((wp-ws), (ws-wp)); M ceil(*pi/tr_width) + [0:M-]; wc (ws + wp)/; wc (ws + wp)/; hd ideal_lp(wc, M) - ideal_lp(wc, M); w_bla (blackma(m))'; h hd.*w_bla; [db, mag, pha, w] freq_m(h, []); delta_w *pi/000; Rp -(mi(db(wp/delta_w+:wp/delta_w))) As -roud(max(db(ws/delta_w+:50))) subplot (,, ); stem(,hd); title('resposta ao Impulso Ideal'); axis([0 M ]); xlabel(''); ylabel ('hd[]'); subplot (,, ); stem (, w_bla); title ('Jaela de Blackma'); axis ([0 M- 0.]); xlabel(''); ylabel('w[]'); subplot (,, 3); stem(, h); title('resposta ao Impulso Atual'); axis([0 M ]);xlabel('');ylabel('h[]');

128 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 6 subplot (,, 4); plot(w/pi, db); title('magitude em db');grid axis([0-50 0]);xlabel('frequecia em pi uidades');ylabel('decibeis'); M 75 alpha 37 Rp 0,0030 As 75

129 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 7 Exemplo 4: A resposta em frequêcia de um filtro passa-faixa ideal é dada por: H e ( e jw ) 0, 0 w < π / 3, π / 3 w π / 3, π / 3 < w π Usado uma jaela de Kaiser, projete um filtro passa-faixa de comprimeto 45 com ateuação a bada de corte de 60 db. Observe que a largura da bada de trasição ão foi dada. Ela será ecotrada a partir do comprimeto M 45 e do parâmetro β da jaela de Kaiser. Das equações de projeto da jaela de Kaiser, podemos determiar β a partir de A s : β S 0,0( A 8,7) Vamos agora implemetar a jaela de Kaiser e observar a ateuação a bada de corte. M 45; As 60; [0:M-]; beta 0.0*(As - 8.7) w_kai (kaiser(m, beta))'; wc pi/3; wc *pi/3; hd ideal_lp(wc, M) + ideal_lp(pi, M) - ideal_lp(wc, M); h hd.*w_kai; [db, mag, pha, w] freq_m(h, []); subplot (,, ); subplot (,, ); stem(,hd); title('resposta ao Impulso Ideal'); axis([0 M ]); xlabel(''); ylabel ('hd[]'); subplot (,, ); stem (, w_kai); title ('Jaela de Kaiser'); axis ([0 M- 0.]); xlabel(''); ylabel('w[]'); subplot (,, 3); stem(, h); title('resposta ao Impulso Atual'); axis([0 M ]);xlabel('');ylabel('h[]'); subplot (,, 4); plot(w/pi, db); title('magitude em db');grid

130 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 8 axis([0-80 0]);xlabel('frequecia em pi uidades');ylabel('decibeis'); beta 5,6533 Observe que, com esse valor, a míima ateuação da bada de corte é meor que 60 db (observe que há lóbulos a bada de corte com pico acima de 60 a escala egativa - ou seja, é meor que 60 em módulo resposta em magitude a figura acima, destacada em vermelho). Assim, precisamos aumetar BETA para aumetar a ateuação para 60 db. Vamos colocar um acréscimo o valor calculado de BETA para coseguir uma ateuação maior. Observamos que, assim, a ateuação fica maior que 60 db a bada de corte. M 45; As 60; [0:M - ]; beta 0.0*(As - 8.7) w_kai (kaiser(m, beta))';

131 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 9 wc pi/3; wc *pi/3; hd ideal_lp(wc, M) + ideal_lp(pi, M) - ideal_lp(wc, M); h hd.*w_kai; [db, mag, pha, w] freq_m(h, []); subplot (,, ); subplot (,, ); stem(,hd); title('resposta ao Impulso Ideal'); axis([0 M ]); xlabel(''); ylabel ('hd[]'); subplot (,, ); stem (, w_kai); title ('Jaela de Kaiser'); axis ([0 M- 0.]); xlabel(''); ylabel('w[]'); subplot (,, 3); stem(, h); title('resposta ao Impulso Atual'); axis([0 M ]);xlabel('');ylabel('h[]'); subplot (,, 4); plot(w/pi, db); title('magitude em db');grid axis([0-80 0]);xlabel('frequecia em pi uidades');ylabel('decibeis'); beta 5,9533

132 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 30 Exemplo 5: A resposta em frequêcia de um filtro difereciador digital ideal é dada por: H d ( e jw jw ) jw,, 0 < w π π < w < 0 Usado uma jaela de Hammig de comprimeto, projete um difereciador FIR. Plote as respostas o domíio do tempo e da frequêcia. A resposta ao impulso de um difereciador ideal com fase liear é dada por: h π jw jαw jw d [ ] I[ H d ( e ) e ] π H d ( e ) π e jαw e jw dw 0 π jαw jw ( jw) e e dw + π π π 0 ( jw) e jαw e jw dw cosπ ( α) ( α) 0,, α α A resposta ao impulso acima pode ser implemetada o MatLab através da jaela de Hammig para projetar o difereciador requisitado. Note que se M é um úmero par, etão α (M - )/ ão é um iteiro e h d [] será ero para todo. Assim, M deve ser um úmero ímpar e teremos um filtro FIR de fase liear do tipo III. Para projetar um filtro FIR de fase liear (de qualquer tipo) usamos o código abaixo: fuctio [Hr, w, coef, L] Hr_Type(h, type) % Calcula a resposta em ampiltude Hr[w] para filtros FIR tipo I, II, III e IV % type tipo de filtro M legth(h); if ((type ) (type )) L (M - mod(type, ))/; if (type ) coef [h(l+) *h(l:-:)];

133 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3 [0:L]; w [0:500]'*pi/500; Hr cos(w*)*coef'; else coef *[h(l:-:)]; [:L]; - 0.5; w [0:500]'*pi/500; Hr cos(w*)*coef'; ed else L (M - mod(type, ))/; if (type 3) coef *[h(l+:-:)]; [0:L]; w [0:500]'*pi/500; Hr si(w*)*coef'; else coef *[h(l:-:)]; [:L]; - 0.5; w [0:500]'*pi/500; Hr si(w*)*coef'; ed ed Assim, podemos resolver a questão da seguite forma: M ; alpha (M - )/; 0:M-; hd (cos(pi*( - alpha)))./( - alpha); hd (alpha + ) 0; w_ham (hammig(m))'; h hd.*w_ham; [Hr, w, P, L] Hr_Type(h, 3); subplot(,, ) subplot (,, ); stem(, hd); title('resposta ao Impulso Ideal'); axis([0 M- -..]);xlabel('');ylabel('hd[]'); subplot (,, ); stem(, w_ham); title('jaela de Hammig'); axis([0 M- 0.]);xlabel('');ylabel('w[]'); subplot (,, 3); stem(, h); title('resposta ao Impulso Atual');

134 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3 axis([0 M- -..]);xlabel('');ylabel('h[]'); subplot (,, 4); plot(w/pi, Hr/pi); title('magitude em db');grid axis([0 0 ]);xlabel('frequecia em pi uidades');ylabel('slope i pi uits'); Exemplo 6: Projete um filtro trasformador digital de Hilbert de comprimeto 5 usado uma jaela de Haig. A resposta em frequêcia ideal de um trasformador de Hilbert de fase liear é dada por: H d ( e jw ) je je jαw jαw,, 0 < w < π π < w < 0 A resposta ao impulso ideal é dada por:

135 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 33 se [ π ( α) / ], α h d [ ] π ( α) 0, α que pode ser implemetado o MatLab. Como M 5, o projeto do filtro é do tipo III: M 5; alpha (M - )/; 0:M-; hd (/pi)*((si((pi/)*( - alpha)).^)./( - alpha)); hd (alpha + ) 0; w_ha (haig(m))'; h hd.*w_ha; [Hr, w, P, L] Hr_Type(h, 3); subplot (,, ); stem(, hd); title('resposta ao Impulso Ideal'); axis([0 M- -..]);xlabel('');ylabel('hd[]'); subplot (,, ); stem(, w_ha); title('jaela de Hammig'); axis([0 M- 0.]);xlabel('');ylabel('w[]'); subplot (,, 3); stem(, h); title('resposta ao Impulso Atual'); axis([0 M- -..]);xlabel('');ylabel('h[]'); w w'; Hr Hr'; w [-fliplr(w), w(:50)]; Hr [-fliplr(hr), Hr(:50)]; subplot (,, 4); plot(w/pi, Hr); title('resposta em Amplitude');grid axis([- -..]);xlabel('frequecia em pi uidades');ylabel('hr');

136 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Técicas de Projeto por Amostragem em Frequêcia Nessa técica, usamos o fato de que a fução de sistema H() pode ser obtida a partir de amostras H(k) da resposta em frequêcia H(e jw ). Seja h[] a resposta ao impulso de um filtro FIR com M amostras, H[k] é sua trasformada discreta de Fourier com M-potos (Capítulo 6) e H() sua fução de sistema. Etão temos: 0 / 0 ] [ ] [ ) ( M k M k j M M e k H M h H π e 0 / ] [ ) ( M k M k j jw jwm jw e e k H M e e H π (Eq. 5.) com

137 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 35,...,, ] *[ 0, [0] ) ( ] [ / M k k M H k H e H k H M j πk Para um filtro FIR de fase liear temos: h[] ±h[m - ], 0,,..., M- ode o sial positivo idica filtros FIR de fase liear dos tipos e e o egativo é para filtros FIR de fase liear dos tipos 3 e 4. Etão H[k] é dado por: ] [ ] [ k H j r e M k H k H π ode,...,, ) ( 0, [0] M k M k M H k H M k H r r r π π e + +,...,, ) ( 0,...,, ] [ M M k k M M M M k M k M k H π π (para tipos e ) ou + + ± ±,...,, ) ( 0,...,, ] [ M M k k M M M M k M k M k H π π π π (para tipos 3 e 4)

138 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 36 Dado um filtro passa-baixa ideal H d (e jw ), escolha o filtro de comprimeto M e etão amostre H d (e jw ) em M igualmete espaçadas freqüêcias etre 0 e π. A resposta H(e jw ) é a iterpolação das amostras H[k] dadas pela Eq. 5. (Fig. 5.9). A resposta ao impulso é dada por h[] TDF - (H[k]). Fig Exemplo da técica de amostragem em frequêcia. Da Fig. 5.9, podemos observar que: ) O erro de aproximação a difereça etre a resposta ideal e a atual é ero as freqüêcias amostradas. ) O erro de aproximação as outras freqüêcias depede da forma da resposta ideal, ou seja, quato mais sharp a resposta ideal, maior o erro de aproximação. 3) O erro é maior perto das froteiras das badas e meor detro das badas Projeto Equirriple Ótimo Os métodos de jaelameto e de amostragem a frequêcia têm algus problemas: ) Não podemos especificar w P e w S precisamete os projetos. ) Não podemos especificar δ e δ simultaeamete. Ou cosideramos δ δ (como o jaelameto) ou otimiamos δ (como a amostragem). 3) O erro de aproximação ão é distribuído uiformemete as badas. Ele é mais alto perto das froteiras das badas e meor quato mais distate delas.

139 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 37 O método equirriple ótimo evita esses problemas. No etato ele é bastate difícil de utiliar e requer computador a sua implemetação. O objetivo é miimiar o erro máximo de aproximação (miimax do erro). Tais filtros são chamados de equirriple porque o erro é distribuído de maeira uiforme a bada de passagem e de corte o que resulta em um filtro de meor ordem. No MatLab, um projeto por equirriple é feito usado a fução reme que implemeta o algoritmo Parks-McClella. Exemplo: Vamos projetar um filtro passa-baixa usado o algoritmo de Parks-McClella. Os parâmetros de projeto são: w P 0,π, R P 0,5 db w S 0,3π, A S 50 db wp 0.*pi; ws 0.3*pi; Rp 0.5; As 50; delta (0^(Rp/0)-)/(0^(Rp/0)+); delta ( + delta)*(0^(-as/0)); deltah max(delta, delta); deltal mi(delta, delta); weights [delta/delta ]; deltaf (ws - wp)/(*pi); M ceil((-0*log0(sqrt(delta*delta))-3)/(4.6*deltaf) + ) f [0 wp/pi ws/pi ]; m [ 0 0]; h reme(m -, f, m, weights); [db, mag, pha, w] freq_m(h, []); delta_w *pi/000; wsi ws/delta_w + ; Asd -max(db(wsi:50)) while (Asd < As)

140 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 38 M M + ; h reme(m -, f, m, weights); [db, mag, pha, w] freq_m(h, []); delta_w *pi/000; wsi ws/delta_w + ; Asd -max(db(wsi:50)) ed subplot (,, ); stem(h); title('resposta ao Impulso Atual'); axis([0 M ]);xlabel('');ylabel('h[]'); subplot (,, ); plot(w/pi, db); title('magitude em db');grid axis([0-00 0]);xlabel('frequecia em pi uidades');ylabel('decibeis'); M 43 Asd M 44 Asd 48.3 M 45 Asd M 46 Asd M 47 Asd

141 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Projeto de Filtros IIR Filtros IIR têm resposta ifiita ao impulso, assim eles podem ser igualados a filtros aalógicos, os quais, em geral, têm resposta ao impulso ifiitamete loga. Assim, a técica básica de projeto de filtros IIR trasforma filtros aalógicos bem cohecidos em filtros digitais. A vatagem dessa técica está o fato que tato tabelas de filtros aalógicos quato as coversões estão vastamete dispoíveis a literatura. Essa técica é chamada de trasformação de filtro aalógica-digital (A/D). No etato, as tabelas de filtros só estão dispoíveis para filtros passa-baixa. Para gerar outros filtros seletores de frequêcia, temos que aplicar trasformações a filtros passa-baixa. Essas trasformações também estão dispoíveis a literatura. Existem duas formas de projeto de filtros IIR: ) ) Para projetar filtros IIR, vamos: ) Projetar FPB aalógicos; ) Aplicar trasformações o filtro para obter FPB digitais; 3) Aplicar trasformações de frequêcia as badas para obter outros filtros digitais a partir do FPB. O pricipal problema dessas técicas é que ão temos cotrole sobre a fase do filtro. Assim, os projetos de filtros IIR serão apeas em magitude. Técica mais avaçadas usam otimiação e ão serão tratadas.

142 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Escala Relativa Seja H a (jω) a resposta em frequêcia do filtro aalógico. Etão as especificações do FPB quato à resposta quadrática de magitude são dadas por: + H ( jω) a ε, Ω Ω P 0 H a ( jω), Ω A S Ω ode ε é o parâmetro de odulação da bada de passagem, Ω P é a frequêcia de corte da bada de passagem em rad/seg, A é o parâmetro de ateuação da bada de corte e Ω S é a frequêcia da bada de corte (Fig. 5.0). Fig Especificações de um filtro passa-baixa aalógico. Da Fig. 5.0, temos: + ε H a ( jω) em Ω ΩP H a ( j A Ω ) em Ω Ω S

143 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 4 Os parâmetros ε e A estão relacioados aos parâmetros R P e A S a escala db como: 0 0log /0 0 + P R P R ε ε (Eq. 5.3) e 0 / 0 0 log 0 S A S A A A (Eq. 5.4) As tolerâcias δ e δ da escala absoluta são relacioados a ε e A por: δ δ ε ε δ δ + + e δ δ δ δ + + A A Especificações de filtros aalógicos ão têm iformação de fase. Para calcular a fução de sistema H a (s) o domíio-s cosidere: j s a a s H j H / ) ( ) ( Ω Ω etão temos Ω Ω Ω Ω Ω Ω j s a a a a a a a s H s H j H j H j H j H j H ) ( ) ( ) ( ). ( ) *( ). ( ) ( ou j s a a a j H s H s H / ) ( ) ( ). ( Ω Ω Observação: O domíio-s ou plao-s é o ome do plao complexo o qual a trasformada de Laplace é apresetada graficamete. A trasformada de Laplace se relacioa com a trasformada de Fourier, mas equato a trasformada de Fourier

144 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 4 mapeia um sial ou fução em termos de vibrações (seóides), a trasformada de Laplace mapeia uma fução em relação aos seus mometos: L{ f ( t)} st f ( t) e dt ode s σ + jω, com σ e ω úmeros reais. A trasformada de Fourier é equivalete à trasformada bilateral de Laplace com argumeto complexo s jω. Para um sial amostrado x[], a trasformada de Laplace é dada por: X ( s) 0 x[ ] e st, ode T é o período de amostragem. Essa relação expressa exatamete a trasformada Z quado e st. O mapeameto do plao-s o plao- pode ser visto a Fig. 5.. Nesse diagrama, lihas verticais o plao-s são mapeadas em âgulos o plao-, equato lihas horiotais são mapeadas em raios. Fig. 5.. Mapeameto do plao-s o plao-.

145 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Características de Protótipos Aalógicos O projeto de filtros IIR reside a existêcia de filtros aalógicos para obter filtros digitais. Esses filtros aalógicos são chamados de filtros protótipos. Três protótipos são largamete usados a prática: Butterworth, Chebyshev (tipo I e II) e Elíptico. Vamos ver as características das versões passa-baixa desses filtros. ) Filtro Passa-Baixa de Butterworth A pricipal característica desse filtro é que a resposta em magitude é plaa (flat) a bada de passagem e de corte. A resposta quadrática de magitude de um FPB de N-ésima ordem é dada por: H a ( jω) N Ω + Ωc ode N é a ordem do filtro e Ω c é a frequêcia de corte. A plotagem de H a (jω) é mostrada a Fig. 5.. Fig. 5.. Característica de um filtro Butterworth com variação de parâmetros. Desse gráfico, podemos observar: i) Em Ω 0, H a (j0), para todo N.

146 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 44 ii) Em Ω Ω c, H a (jω c ) 0,5, para todo N, o que implica 3 db de ateuação em Ω c. iii) H a (jω) é uma fução mootoicamete decrescete em Ω. iv) H a (jω) se aproxima de um FPB ideal em N. V) H a (jω) é maximamete plao em Ω 0. Sua fução de sistema H a (s) é: N H a ( s) H a ( s) H a ( jω) Ω s / j N N N s + ( jω c ) + s jω c ( jω) Para projetar o filtro, precisamos ecotrar as raíes e pólos da fução do sistema. Os pólos são dados por p k e jπ(k + )/N.e jπ/ Ω c, k 0,,,..., N-. Assim, os pólos estão em um círculo de raio Ω c os âgulos θ k (π/n)k + (π/n) + π/, k 0,..., N. E os eros são s k (-) /N.j Ω c Ω c e jπ(k+n+)/n, k 0,,..., N. O FPB aalógico é especificado pelos parâmetros Ω P, Ω S, R P e A S. Assim, a essêcia do projeto o caso do filtro de Butterworth é obter a ordem N e a frequêcia de corte dada Ω c. Assim, dadas essas especificações, queremos: i) em Ω Ω c, 0 log0 H a ( jω) RP ou 0 log0 N + ( Ω P / Ω c ) e ii) em Ω Ω S, R 0 log H A ou P 0 a ( jω) S 0 log0 N + ( Ω S / Ω c ) A S

147 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 45 Resolvedo as equações para N Ω c, temos: N log 0 [(0 R P log /0 0 ) /(0 ( Ω P / Ω A S S ) /0 )] Em geral, N ão é um iteiro e, por isso, deve ser trucado para o meor iteiro maior que o valor calculado: N N. Obviamete, isso irá gerar um filtro com ordem maior do que o ecessário. Para satisfaer exatamete as especificações do projeto em Ω P : Ω C Ω P P 0 N R / 0 ou para satisfaer exatamete as especificações em Ω S : Ω C Ω S S 0 N A / 0 Exemplo: Projete um filtro Butterworth satisfaedo: Poto de corte a bada de passagem: Ω P 0,π Ripple a bada de passagem: R P 7 db Poto de corte a bada de corte: Ω S 0,3π Ripple a bada de corte: A S 6 db Solução: log [(0 N log 0,6 ) /(0 )] (0,π / 0,3π ) 0,7 0 Para satisfaer exatamete as especificações em Ω P temos: Ω C 0,π 0,4985 0, 0.3 7,79 3

148 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 46 Para satisfaer exatamete as especificações em Ω S temos: Ω C 0,3π 0,5, Podemos escolher Ω c etre esses dois valores, por exemplo Ω c 0,5. Temos que projetar um filtro Butterworth com N 3 e Ω c 0,5. Ou seja: H a ( jω) Como Ω s/j, temos: H a ( s) Ω + 0,5 S + 0,5 j s 6 64s cujos pólos podem ser calculados o MatLab (ou calculado p K, como ates): >> a [ ]; >> b roots(a) b i i i i 6

149 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 47 Para termos um filtro causal e estável, usamos os pólos do semi-plao esquerdo: H a H a ( s) ( s + 0,5)( s + 0,5 + j0,433)( s + 0,5 j0,433) ( s) ( s + 0,5)( s + 0,5s + 0,5) Vamos ajustar o umerador para que o gaho a frequêcia ero seja uitário. Ou seja, o deomiador, quado s 0, temos: (s + 0,5)(s + 0,5s + 0,5) 0,5.0,5 0,5 Logo, o umerador é multiplicado por um fator de /8 e temos: H a / 8 0,5 ( s) ( s + 0,5)( s + 0,5s + 0,5) ( s + 0,5)( s + 0,5s + 0,5) Para trasformar o filtro em digital, podemos usar o método de trasformação biliear. Nele, cosideramos: s T + + st st / / (Eq. 5.5) ode T é um parâmetro. Historicamete, o valor de T foi icluído porque a equação de difereças correspodedo a H() pode ser obtida aplicado a regra da itegração trapeoidal a equação de difereças de H(s), com T represetado o passo de itegração. Dada a ivariâcia ao impulso, o parâmetro T ão tem coseqüêcia o projeto já que, o mapeameto de aalógico para discreto, o efeito de T é cacelado. Logo, T pode ser escolhido de forma coveiete para cada problema. No osso caso, seja T : s + H ( ) H a a ( s) s +

150 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 48 H a ( ) + 0,5 0,5 + 0,5 + 0,5 A trasformação biliear pode ser ligada à fórmula trapeoidal para itegração umérica. Por exemplo, cosidere um filtro liear aalógico com fução de trasferêcia: b H ( s) (Eq. 5.6) s + a Esse sistema pode ser caracteriado também pela equação de difereças: dy( t) + a. y( t) b. x( t) dt Ao ivés de substituir uma difereça fiita pela derivada, supoha que itegramos a derivada e aproximamos a itegral pela fórmula trapeoidal. Assim: y t ( t) y' ( τ ) dτ + y( t0 t 0 ) ode y (t) deota a derivada de y(t). A aproximação da itegral aterior pela fórmula trapeoidal em t T e t 0 T T leva a: T y( t) T [ y' ( T ) + y' ( T T )] + y( T ) (Eq. 5.7) Agora, essa equação diferecial calculada em t T leva a: y '( T ) a. y( T ) + b. x( T ) (Eq. 5.8) Usamos a Eq. 5.8 a Eq. 5.7 e obtemos a equação de difereças para o sistema discreto o tempo equivalete. Com y() y(t) e x() x(t), obtemos o resultado:

151 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 49 at at bt + y( ) y( ) cuja trasformada Z é + at Y ( ) at bt Y ( ) ( x ( ) + x ( ) ) ( + ) X ( ) Cosequetemete, a fução de trasferêcia do filtro digital equivalete é: H Y ( ) X ( ) ( bt / )( + + at / ( at ) / ) ( ) ou, equivaletemete: H ( ) b T + + a (Eq. 5.9) Notadamete, comparado a Eq. 5.9 com a Eq. 5.6, ou seja, mapeado o plao s com o plao, temos: s T + que é a chamada trasformação biliear. ) Filtro Passa-Baixa de Chebyshev Existem dois tipos de filtros de Chebyshev. O Chebyshev do tipo I tem resposta equirriple a bada de passagem e o tipo II, a bada de corte. Os filtros Butterworth têm resposta mootôica em ambas as badas. Lembramos que um filtro de resposta equirriple tem meor ordem. Assim, um filtro de Chebyshev tem meor ordem que um de Butterworth para as mesmas especificações. Veja o exemplo a Fig. 5.3 gerado usado o fdatool do MatLab. Nele, temos dois

152 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 50 filtros (um de Butterworth e um de Chebysshev tipo I) gerados sobre as mesmas codições, buscado sempre a meor ordem possível. O filtro de Butterworth tem ordem 3, equato o de Chebyshev I tem ordem 6. A resposta quadrática de magitude de um filtro Chebyshev tipo I é dada por: Ω Ω + Ω c N a T j H ) ( ε ode N é a ordem do filtro, ε é o fator de odulação da bada de passagem (Eq. 5.3) e T N (x) é o poliômio de Chebyshev dado por: < < x x x x N x T N, )) ( cosh(cosh 0, )) (.cos cos( ) ( Podemos cosiderar x (Ω/Ω c ). Para um filtro de Chebyshev do tipo II: ) ( Ω Ω + Ω c N a T j H ε Ou seja, x (Ω/Ω c ) é substituído por seu iverso e ε T N (x) também.

153 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 5 Fig Dois filtros com as mesmas especificações gerados como Butterworth e Chebyshev tipo I: o de Chebyshev tem meor ordem. 3) Filtro Passa-Baixa Elíptico Esses filtros apresetam odulações a bada de passagem e de corte. São similares em magitude a filtros FIR equirriple. São filtros ótimos o setido que eles alcaçam a meor ordem N para as dadas especificações. Esses filtros são muito difíceis de projetar e aalisar. Não é possível projetá-los com ferrametas simples, sedo ecessário uso de tabelas e computadores.

154 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 5 A resposta quadrática de magitude é dada por: H a ( jω) + ε U N Ω Ω c ode N é a ordem do filtro, ε é o fator de odulação da bada de passagem (Eq. 5.3) e U N (x) é a fução elíptica Jacobiaa de ordem N. Apesar da aálise complexa, o cálculo da ordem do filtro é simples e dado por: N ode K( k) K( K( k ) K( k k ) ) k Ω P, ΩS k ε A e K( x) π / 0 x se θ dθ 5.3 Trasformações em Frequêcia Como dissemos ateriormete, o projeto de filtros seletores de frequêcia como passa-alta, passa-faixa ou rejeita faixa, são feitos a partir de um protótipo do tipo passa baixa. A partir desse protótipo, é possível aplicar uma trasformação algébrica para costruir o filtro desejado. Seja H PB (Z) a fução do sistema de um filtro passa-baixa dado o qual se quer trasformar para obter uma ova fução H(). Observe que as variáveis complexas Z e estão associadas ao filtro passa-baixa protótipo e ao filtro obtido pela trasformação, respectivamete. O que se deseja, portato, é uma fução ZG() que satisfaça: H ( ) H ( Z PB ) Z G( )

155 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 53 Se H PB (Z) é a fução racioal de um sistema causal e estável, uma exigêcia atural é que a fução trasformada H(Z) também apresete essas características. Isso implica que:. G( - ) deve ser uma fução racioal de -.. O iterior do círculo uitário do plao Z deve mapear o iterior do círculo uitário do plao. 3. O círculo uitário do plao Z deve mapear o círculo uitário do plao. Deotado por θ e w as variáveis (âgulos) associados, respectivamete, aos plaos Z e, a trasformação Z - G( - ) pode ser re-escrita como: e e jθ jθ G( e G( e jw jw ) ) e j G( e jw ) De forma que: G(e -jw ) e -θ G(e -jw ) A forma mais geral da fução G( - ) que satisfa às codições acima é: Z G( ) ± N k α α k k ode α k <. Depededo da escolha de N e α k, diversos mapeametos podem ser obtidos. O mais simples é (N, α α): Z G α α ( ) Agora, escolhedo uma ordem apropriada N e os coeficietes {α k }, podemos obter uma variedade de mapeametos. As trasformações mais comus estão a Tabela 5.. Nessa tabela, vale a pea cometar a trasformação passa-baixa para passabaixa (primeira coversão da tabela). Isso é feito para que se possa costruir um

156 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 54 filtro passa-baixa que pode ser modificado apeas com a variação de um parâmetro: α. 5.4 Comparação etre Filtros FIR e IIR Seja M o comprimeto (úmero de coeficietes) de um filtro FIR de fase liear e N a ordem de um filtro elíptico (IIR). Se assumirmos que ambos os filtros atedem exatamete às mesmas especificações, os dois filtros são equivaletes e atedem à relação: M N 3 Isso mostra que, para a maior parte das aplicações, filtros IIR elípticos são desejáveis do poto de vista computacioal. As codições mais favoráveis para filtros FIR são:. Grades valores de δ ;. Pequeos valores de δ ; 3. Grade largura da bada de trasição.

157 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 55 Tabela 5.. Trasformações em frequêcia para filtros digitais (filtro passa-baixa protótipo tem frequêcia de corte em w c ).

158 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Exercícios. Projete um filtro passa-faixa, usado filtros passa-baixa ideais e jaela de Hammig, de acordo com a seguite resposta em frequêcia: H ( e e jw, 0, ), 0,, 0 w < 0,3π 0,3π w < 0,4π 0,4π w < 0,5π 0,5π w < 0,6π 0,6π w < π A S 50 db e R P 0,5 db Plote a resposta ao impulso e a resposta em magitude do filtro.. Projete um filtro passa-alta, usado filtros passa-baixa ideais e jaela de Haig, de acordo com as seguites especificações: Frequêcia da Bada de corte: 0,4π Frequêcia da Bada de passage: 0,6π A S 60 db e R P 0,5 db Plote a resposta ao impulso e a resposta em magitude do filtro. Modifique o que for ecessário do filtro para que as especificações sejam completamete atedidas. 3. A resposta em frequêcia de um filtro passa-faixa ideal é dada por: H e ( e jw 0 ) 0, 0 w < π /3, π /3 w π /3, π /3 < w π Usado uma jaela de Kaiser, projete um filtro passa-faixa de comprimeto 45 com ateuação a bada de corte de 60 db. Plote a resposta ao impulso e a resposta em magitude do filtro. Modifique o que for ecessário do filtro para que as especificações sejam completamete atedidas.

159 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Projetar um filtro digital passa-baixas, a partir do filtro aalógico de Butterworth com as seguites especificações do filtro digital: 0,895 H(e jw ), 0 w 0,π H(e jw ) 0,7783, 0,3π w π 5.6 Bibliografia Complemetar. Viay K. Igle, Joh G. Proakis, Digital Sigal Processig, Thomso Learig, Michael Weeks, Digital Sigal Processig Usig MatLab ad Wavelets, Ifiity Sciece Press, Ala V. Oppeheim, Roald Schafer, Discrete Time Sigal Processig, Pretice Hall, Tamal Bose, Digital Sigal ad Image Processig, Joh Wiley ad Sos, 004.

160 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Trasformada Discreta de Fourier O uso de trasformadas serve para observar características de um sial que já estavam presetes ele, mas que podem ão ser observáveis em um domíio. Assim, as trasformadas coseguem levar o sial para outro domíio e traê-lo de volta ao domíio origial. A mais cohecida das trasformadas é a trasformada de Fourier. Criada por Jea-Baptiste Fourier, a Trasformada de Fourier muda um sial do domíio do tempo para o domíio da freqüêcia. Além da observação de outras características do sial, a mudaça de domíio também tra outras vatages. No caso da trasformada de Fourier, mudamos um sial de um domíio o qual ão temos cotrole (o tempo) para outro domíio que pode ser facilmete modificado (a freqüêcia). Uma mudaça de estação de rádio ada mais é que uma mudaça de freqüêcia de um sial. A trasformada de Fourier é uma ferrameta muito utiliada em aálise e processameto de siais. Cosiste de uma geeraliação da série complexa de Fourier quado o período tede a ifiito. A trasformada de Fourier F(w) da fução f (t) é defiida por: F( w) I{ f ( t)} ode e -jwπ é o kerel da trasformada de Fourier. f ( t) e jπwt dt A trasformada iversa de Fourier é defiida como: f ( t) I { F( w)} π F( w) e jπwt Existem algumas propriedades que caracteriam a trasformada de Fourier. Cosidere os pares de trasformadas f(t) F(w) e g(t) G(w). As seguites pricipais propriedades são válidas: dw ) Liearidade: a.f(t) + b.g(t) a.f(w) + b.g(w), a e b costates ) Deslocameto o tempo: f(t - t 0 ) e- jπwt 0.F(w)

161 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 59 3) Deslocameto a freqüêcia: f(t)e jπw 0 t F(w w 0 ) 4) Escaloameto: f(a.t) (/ a )F(w/a) 5) Covolução o tempo: f(t)*g(t) F(w).G(w) 6) Covolução a freqüêcia: f(t).g(t) (/π)f(w)*g(w) 6. A Série Discreta de Fourier Com o adveto do computador digital, foi ecessária uma adequação da trasformada para siais de tempo discreto. Cosidere uma seqüêcia x[] que é periódica com período N, tal que x[] x[ + k.n], para qualquer iteiro k, e N é o período fudametal da sequêcia. Da aálise de Fourier, sabemos que fuções periódicas podem ser sitetiadas como uma combiação liear de expoeciais complexas cujas freqüêcias são múltiplas (ou harmôicas) da frequêcia fudametal (o caso π/n). Da periodicidade o domíio da frequêcia da trasformada de Fourier discreta o tempo, cocluímos que existe um úmero fiito de harmôicos; as frequêcias {(π/n)k, k 0,,,..., N-}. Assim, a sequêcia periódica x[] pode ser expressa como: x[ ] N N k 0 X[ k] e π j k N, 0, ±,... (Eq. 6.) ode {X[k], k 0, ±,...} são chamados de coeficietes da série discreta de Fourier, sedo dados por: X[ k] N 0 x[ ] e π j k N, k 0, ±,... (Eq. 6.) ode x[] é a seqüêcia discreta o domíio do tempo que descreve os valores amostrados da variável cotíua x(t) e N é o úmero de amostras da seqüêcia

162 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 60 da etrada. Observe que X[k] também é uma sequêcia periódica com período fudametal igual a N. Ou seja, X[k + N] X[k]. As equações 6. e 6. são a represetação discreta em série de Fourier de sequêcias periódicas. Por coveiêcia de otação, podemos chamar: W N e -j(π/n) e assim o par de equações tora-se: X[ k] N Equação de aálise: 0 x[ ] W N k x[ ] N N Equação de sítese: k 0 X[ k] k W N Tato x[] quato X[k] são seqüêcias periódicas. Exemplo: Ecotre a represetação em série de Fourier da sequêcia: x[] {...0,,, 3, 0,,, 3, 0,,, 3,...} O período fudametal da sequêcia é N 4. Assim, W 4 e -jπ/4 e -jπ/ cos(- π/) + j.se(-π/) 0 + j.(-) -j Agora X[ k] Assim: 3 0 x[ ] W k 4

163 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 6 X[0] 3 0 De forma similar: x[ ] W 3 k.0 4 x[ ] x[0] + x[] + x[] + x[3] 6 0 X[] X[] X[3] x[ ] W x[ ] W x[ ] W 3 k. 4 x[ ]( j) k. 4 x[ ]( j) 0 3 k x[ ]( j) 0 j j Uma outra forma de ver a trasformada discreta de Fourier é através de uma represetação em matries. Cosidere que x e X são vetores colua correspodedo aos períodos primários das sequêcias x[] e X[k], respectivamete. Etão as equações de sítese e aálise podem ser vistas como: X W N x e x (/N)W * NX ode W N é dada por:

164 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 6 A matri W N é chamada de matri DFS. Essa forma de calcular os coeficietes da série discreta de Fourier pode ser implemetado o MatLab da seguite forma: fuctio [Xk] dfs (x, N) [0::N-]; k [0::N-]; WN exp(-j**pi/n); k '*k; WNk WN.^k; Xk x*wnk; Por exemplo: >> x [0 3]; N 4; >> Xk dfs(x, N) Xk i - - 0i - - i Exatamete como calculamos ateriormete. A trasformada iversa pode ser obtida como: fuctio [x] idfs(xk, N) [0::N-]; k [0::N-]; WN exp(-j**pi/n); k '*k; WNk WN.^(-k); x (Xk*WNk)/N; Para o Xk aterior, temos: >> x idfs(xk, N) x 0-0i - 0i - 0i 3 + 0i. Exemplo: Cosidere uma sequêcia represetado uma oda quadrada periódica:

165 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 63 No MatLab: >> L 5; N 0; k [-N/:N/]; >> x [oes(, L), eros(, N-L)]; >> Xk dfs(x, N); >> magxk abs([xk(n/+:n) Xk(:N/+)]); % DFS magitude >> stem(k, magxk); axis([-n/, N/, -0.5, 5.5]);xlabel('k'); ylabel('x[k]'); Para N 40, temos:

166 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia A Trasformada Discreta de Fourier Na prática, defiimos a Trasformada Discreta de Fourier (DFT) como o período primário da DFS. Essa DFT é a trasformada de Fourier para sequêcias arbitrárias de duração fiita. Primeiro, defiimos a squêcia de duração fiita x[] que tem N amostras sobre 0 N como uma sequêcia de N-potos. Seja x ~ [] um sial periódico de período N, criado usado uma sequêcia de N-potos x[]; isto é: ~ x [ ] x[ rn] r O teorema da amostragem o domíio da frequêcia di que, se x[] é de duração fiita ([0, N-]), etão N amostras de X() o círculo uitário determiam X() para todo. Nesse setido, N eqüidistates amostras da trasformada de Fourier discreta o tempo X(e jw ) da sequêcia de N-potos x[] pode recostruir uicamete X(e jw ). Essas N amostras ao redor do círculo uitário são chamdas de coeficietes da trasformada discreta de Fourier. Seja X ~ [k] DFS ~ x [], que é uma sequêcia periódica (e assim de duração fiita). Seu itervalo primário é etão a trasformada discreta de Fourier, que é de duração fiita. Essas oções

167 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 65 são claras a seguite defiição. A Trasformada Discreta de Fourier de uma sequêcia de N-potos é dada por: ~ X[ k], 0 k N X[ k] DFT( x[ ]) 0, seão ou X[ k] N 0 x[ ] W N k, 0 k N Note que X[k] também é uma sequêcia de N-potos, ou seja, ela ão é defiida fora do itervalo de 0 k N. A trasformada discreta de Fourier iversa de uma DFT de N-potos X[k] é dada por: x [ ] IDFT( X[ k]) ou x[ ] N N k 0 X[ k] k W N, 0 N Novamete, x[] ão é defiida fora do itervalo 0 N. A extesão de x[] fora desse itervalo é x ~ []. Do iício desse capítulo, fica claro que a DFS é praticamete equivalete à DFT quado 0 N. Assim a implemetação da DFT pode ser feita de forma similar. Se x[] e X[k] são orgaiados como vetores colua x e X, respetivamete, etão temos: X W N x e x (/N)W * NX

168 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 66 ode W N é a matri DFS como ates. A implemetação tato da DFT quato da IDFT o MatLab é igual às da DFS e IDFS que apresetamos ateriormete. Cosidere aquelas mesmas fuções com omes dft e idft apeas. Uma outra possível represetação da trasformada discreta de Fourier é a forma retagular que se utilia da relação de Euler. A relação de Euler é dada por e jθ cosθ + jseθ. A DFT pode ser escrita etão da seguite forma: X[ m] N 0 πm x[ ] cos N πm jse N lembrado que j. Este é um coceito abstrato coveiete para os ajudar a comparar a relação de fase etre várias compoetes seóidais do sial. A DFT apreseta algumas propriedades que são muito úteis o processameto digital de siais, como: simetria, liearidade, deslocameto o tempo e freqüêcia, etre outras. Fora a simetria, as outras propriedades são comus à trasformada de Fourier de tempo cotíuo. 6.3 Propriedades da Trasformada Discreta de Fourier ) Liearidade Dadas duas seqüêcias periódicas com período N, x [] e x [], e suas respectivas DFTs X [k] e X [k], etão: a.x [] + b.x [] a.x [k] + b.x [k] Obs: Se x [] e x [] são sequêcias de durações diferetes (N -potos e N - potos, por exemplo), escolha N 3 max(n, N ). Se, por exemplo, N < N, etão X [k] é a DFT de x [] aumetada de (N N ) eros. ) Deslocameto de uma seqüêcia Seja x[] uma seqüêcia periódica com coeficietes de Fourier X[m]. Assim:

169 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 67 x[ m] W N km X[m] 3) Dualidade Se x[] X[k] etão X[] N.x[-k] 4) Simetria A simetria pode poupar muito esforço computacioal. Quado a seqüêcia do sial for real, etão X[N m]* X[m]. Ou seja, basta que calculemos as compoetes de X[m] para 0 m N/. Prova: 0 ] [ ] [ N k N j e x k X π Logo * 0 * 0 ) ( * ] [ ] [ ] [ N m N j N N j N m N N j e e x e x m N X π π π * 0 * ] [ ] [ N m N j j e e x m N X π π ode e -jπk cos(π) - jse(π) j.0. Assim: * 0 * ] [ ] [ N m N j e x m N X π Se x[] for real: ] [ ] [ ] [ 0 * m X e x m N X N m N j π 5) Covolução Periódica 0 ] [ ] [ ] [ ] [ N m k X k X m x m x

170 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 68 ode o lado esquerdo da igualdade é cohecido como covolução, represetado por x []*x []. É importate observar que o somatório ocorre o itervalo 0 m N-. O valor de x [ m] se repete periodicamete fora desse itervalo. Exemplo: >> 0:99; >> fs 00; >> Ts/fs; >>xcos(*pi*0**ts + pi/4) + 3*cos(*pi*40**Ts - *pi/5) + *cos(*pi*60**ts + pi/8); >> X fft(x); >> m 0:legth(X) - ; >> subplot(3,, ); stem(x); xlabel('');ylabel('x()');title('sequecia'); >> subplot(3,, ); stem(m*fs/legth(x), abs(x), 'b'); ylabel('magitude'); >> xlabel('frequecia (H)'); title('magitude da Resposta em Frequecia'); >> subplot(3,,3); stem(m*fs/legth(x), agle(x), 'b'); ylabel('agulo'); >> xlabel('frequecia (H)'); title('fase');

171 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 69 Observe que, como o sial x[] é real, a magitude da resposta em frequêcia apreseta uma imagem refletida. Assim, precisamos apeas da primeira metade dela. Para a fase, o padrão também aparece refletido o eixo da freqüêcia; ovamete, só precisamos de metade da plotagem. Para a questão da magitude podemos faer: >> half_m 0:ceil(legth(X)/); >> stem(half_m*fs/legth(x), abs(x(half_m + )), 'b'); >> ylabel('magitude'); >> xlabel('frequecia (H)'); title('magitude da Resposta em Frequecia'); 6.4 A Trasformada Discreta Bi-Dimesioal de Fourier Para duas dimesões, a DFT e sua iversa podem ser vistas como:

172 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 70 Essa é a forma como a trasformada é calculada para images digitais, por exemplo. Se cosiderarmos uma imagem em íveis de cia ode o valor 0 correspode à ausêcia de cor (o preto) e o valor correspode ao valor máximo da cor (o braco), a imagem abaixo: Pode ser vista como uma figura tridimesioal, cuja visão em perspectiva seria como a figura: que é uma versão tridimesioal da fução porta. Dessa forma, a trasformada também é uma fução sample, mas também tridimesioal:

173 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 7 Uma propriedade importate da DFT aplicada a images é sua sesibilidade à rotação. Por exemplo, cosidere a figura abaixo e sua DFT: Se for imposta uma rotação à imagem, a trasformada guardará a iformação da icliação iicial, podedo ser possível ecotrar o âgulo de rotação da imagem. Por exemplo, a figura a seguir, foi imposta uma rotação de 45º à imagem da figura acima. Veja o resultado da DFT como apreseta a icliação. 6.5 O Espectrograma O espectrograma apreseta a desidade espectral do sial ao logo do tempo. Em processameto de vo, o espectrograma é usado para idetificar foemas

174 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 7 o sial. A forma mais comum de represetarmos um espectrograma é através de um gráfico bi-dimesioal ode a abscissa correspode ao tempo e a ordeada à frequêcia. Uma terceira dimesão idica a amplitude de cada frequêcia e é ormalmete associada a uma cor. Com isso, o espectrograma pode ser visto como uma imagem. Normalmete, espectrogramas são gerados através do cálculo do quadrado da magitude da STFT (Short-Time Fourier Trasform Trasformada de Fourier de Tempo Curto) do sial. Ou seja, Espectrograma(t, ω) STFT(t, ω) Exemplo: Cosidere o sial de vo abaixo. Nele está sedo dito: jessica brow. O som foi gerado por uma vo femiia, com ruído de fudo. Arquivo phrase59_6k.wav, da pasta Eroll_Sessio -> f6 -> female_list_4a (base TIMIT do MIT). Em seguida, apresetamos seu espectrograma. No padrão de cores do MatLab, as cores vermelha e amarela correspodem a picos (o que idica alta desidade da frequêcia), equato os tos auis correspodem a valores baixos. Há um ruído o iício da gravação.

175 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 73 A fução usada para gerar esse espectrograma pode ser vista abaixo: % read the sigal [y,fs]wavread('phrase59_6k.wav'); % calculate the table of amplitudes [B,f,t]specgram(y,04,fs,56,9); % calculate amplitude 50dB dow from maximum bmimax(max(abs(b)))/300; % plot top 50dB as image imagesc(t,f,0*log0(max(abs(b),bmi)/bmi)); % label plot axis xy; xlabel('time (s)'); ylabel('frequecy (H)'); colormap(jet); (fote: As figuras a seguir mostram as mesmas palavras ditas pela mesma mulher, mas com outro tipo de microfoe. Observe as difereças mais visíveis o espectrograma.

176 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 74

177 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Exercícios. Determie os coeficietes da DFS das seguites sequêcias periódicas, usado a defiição de DFS: a) x [] {, 0,, 0}, N 4 b) x [] {0, 0,, 0, 0}, N 5 c) x 3 [] {3, -3, 3, -3}, N 4 d) x 4 [] {j, j, -j, -j}, N 4. Determie as sequêcias periódicas, dados os seguites coeficietes DFS, usado a defiição de IDFS: a) X [k] {5, -j, 3, j}, N 4 b) X [k] {4, -5, 3, -5}, N 4 c) X 3 [k] {,, 3, 4, 5}, N 5 d) X 4 [k] {0, 0,, 0}, N 4 3. Seja x[] periódica com período fudametal N 50, ode um período é dado por: e x[ ] 0, 0,3, e seja x[] periódica com período fudametal N 00, ode um período é dado por: x e [ ] 0, 0,3, a) Ecotre DFT{x[]} e plote (usado a fução stem) os gráficos de sua magitude e de sua fase. b) Ecotre DFT{x[]} e plote (usado a fução stem) os gráficos de sua magitude e de sua fase. c) Qual a difereça etre as duas plotages?

178 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Nas questões abaixo, para cada fução, plote a magitude e a fase de sua DFT (crie as fuções o MatLab): a) Dete de serra: b) Oda quadrada

179 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Bibliografia Complemetar. Viay K. Igle, Joh G. Proakis, Digital Sigal Processig, Thomso Learig, Michael Weeks, Digital Sigal Processig Usig MatLab ad Wavelets, Ifiity Sciece Press, Ala V. Oppeheim, Roald Schafer, Discrete Time Sigal Processig, Pretice Hall, 989

180 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Trasformada Rápida de Fourier (FFT- Fast Fourier Trasform) Embora a DFT seja o melhor procedimeto matemático para determiar o coteúdo espectral de uma seqüêcia o domíio do tempo, ela é muito ieficiete. Em 965, um artigo foi publicado por J.W.Cooley e J.W.Tukey descrevedo um algoritmo eficiete para implemetação da DFT, este algoritmo ficou cohecido como Trasformada rápida de Fourier (FFT). Ates do adveto da FFT, a DFT com muitos potos estava restrita a grades cetros de pesquisas. Graças a Cooley e Tukey, e a idústria dos semicodutores, DFTs com 04 potos podem ser calculadas em apeas algus segudos em computadores pessoais. O esforço computacioal pode ser defiido como o úmero máximo de operações elemetares ecessárias para resolver o problema. No caso da DFT, pode-se tratar da complexidade multiplicativa e complexidade aditiva i.e., úmero de multiplicações poto flutuate (respectivamete adições) ecessárias para calculá-la. Tradicioalmete tem-se usado apeas a complexidade multiplicativa como o parâmetro mais importate. A FFT foi implemetada com o objetivo de dimiuir complexidade (temporal) ecessária para calcular uma DFT (Trasformada Discreta de Fourier), visado aplicações em tempo real.para uma seqüêcia de N potos, o algoritmo comum para cálculo da DFT realia N multiplicações, equato o algoritmo FFT realia apeas (N/)log N. A FFT usa um úmero reduido de operações aritméticas para calcular a DFT em relação ao seu cálculo direto. As primeiras aplicações práticas da FFT usado computação digital foram resultates de maipulações da DFT. 7. Algoritmos Rápidos Existem diversos algoritmos para executar computações. Por exemplo, há diversos algoritmos dedicados à ordeação de uma seqüêcia. O que difere esses algoritmos é o tempo de resposta deles ou a chamada complexidade do

181 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 79 algoritmo. No etato, a aálise de complexidade de um algoritmo ão cosidera detalhes de implemetação. Nesse setido, os algoritmos rápidos propõem modificações a forma de resolver algum problema a fim de coseguir um gaho de tempo de processameto. Isso pode ão afetar a complexidade do algoritmo, mas deve dimiuir seu tempo de processameto. Claro, há codições específicas para que isso ocorra. Casos ode essas codições ão são atedidas podem provocar até um aumeto o tempo de processameto. A busca por soluções rápidas deve ser costate o desevolvimeto de um algoritmo. Por exemplo, cosidere a computação da variável A dada por: A a.c + a.d + b.c + b.d Esse cálculo direto leva o programa a executar 4 multiplicações e 3 adições. Essa expressão, o etato, pode ser simplificada para: A (a + b).(c + d) provocado uma redução das operações para apeas multiplicação e adições. Em geral, a multiplicação é o elemeto de maior custo cosiderado. Observamos que essa expressão é equivalete à primeira, apeas executado meos operações aritméticas. Um outro exemplo meos trivial é o cálculo de uma multiplicação complexa. O produto complexo: (e + jf) (a + jb).(c + jd) é defiido por: e (ac bd) f (ad + bc) exigido 4 multiplicações e duas adições. Um algoritmo mais eficiete calcula:

182 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 80 e (a b)d + a(c d) f (a b)d + b(c + d) tedo 3 multiplicações apeas. O aumeto a quatidade de adições ão prejudica o desempeho do algoritmo já que a multiplicação é o elemeto mais custoso. 7. Algoritmo de Cooley-Tukey ou Decimação o Tempo J.W.Cooley (IBM) em colaboração com J.W.Tukey (Bell Labs) coseguiram uma revolução maior o tratameto digital de siais em 965 com a publicação da trasformada rápida de Fourier, a FFT. Trata-se de um método egehoso e altamete eficiete de reagrupar os cálculos dos coeficietes de uma DFT. A idéia é represetar uma DFT de tamaho arbitrário N N.N em termos de DFTs meores de tamahos N e N, procededo recursivamete. Lembrado que os coeficietes da DFT são defiidos por: X ( k) N 0 x[ ]( e j π / N ) k N 0 x[ ] W k N (Eq. 7.) ode k 0,,,..., N. Calculada assim diretamete, a DFT requer O(N ) operações. A idéia do algoritmo de Cooley-Tukey é dividir a seqüêcia x[] em duas seqüêcias: uma com os coeficietes de ídice par e outra com os coeficietes de ídice ímpar. Como a quebra é em duas seqüêcias, o algoritmo é cohecido também como Radix-. Algoritmos o qual a seqüêcia é decomposta sucessivamete em seqüêcias meores são chamados de algoritmos de decimação em tempo. O pricípio do algoritmo de decimação em tempo pode ser aalisado cosiderado que N é um iteiro potêcia de, i.e., N v. Como N é um iteiro

183 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 8 par, podemos cosiderar calcular X(k), separado x[] em duas seqüêcias de N/ potos, cosistido dos potos de ídice par em x[] e os potos de ídice ímpar em x[]. Como X(k) é dado pela Eq. 7., separado x[] o potos de ídice par e ímpar: + par ímpar k N k N W x W x k X ] [ ] [ ) ( Substituido as variáveis r para par e r + para ímpar: / 0 ) ( / 0 ] [ ] [ ) ( N r k r N N r rk N W r x W r x k X (Eq. 7.) + + / 0 / 0 ) ]( [ ) ]( [ ) ( N r rk N k N N r rk N W r x W W r x k X (Eq. 7.3) Mas W N W N/ já que: W N e -j(π/n) e -j(π/(n/)) W N/ Cosequetemete, a Eq. 7.3 pode ser escrita como: + + / 0 / / 0 / ] [ ] [ ) ( N r rk N k N N r rk N W r x W W r x k X ] [ ] [ ) ( k H W G k k X k N + (Eq. 7.4)

184 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 8 Cada parcela a Eq. 7.4 é recohecida como uma DFT de N/ potos, sedo a primeira parcela uma DFT de N/ potos dos potos de ídice par da sequêcia origial e o segudo termos uma DFT de N/ potos dos potos de ídice ímpar da seqüêcia origial. A Fig. 7. apreseta um diagrama de fluxo do cálculo de uma DFT de 8 potos. Fig. 7.. Decimação o tempo de uma DFT de N-potos (N 8) computada em duas DFTs de N/ potos. Na Fig. 7. duas DFTs de 4 potos são calculadas, com G[k] desigado a DFT de 4 potos dos termos de ídice par e H[k] desigado a DFT de 4 potos dos termos de ídice ímpar. Na saída, X[0] é obtido multiplicado H[0] por W 0 N e somado o produto com G[0]. X[] é obtido multiplicado H[] por W N e somado o resultado com G[]. Para calcular X[4] deveríamos multiplicar H[4] por W 4 N e somar o resultado com G[4]. Cotudo, como G[k] e H[k] são

185 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 83 periódicas em k com período 4 (esse caso), H[4] H[0] e G[4] G[0]. Assim, H[4] é obtido multiplicado h[0] por W N 4 e somado o resultado com G[0]. Os outros valores são obtidos de forma similar. Com a computação re-estruturada de acordo com a Eq. 7.4, podemos aalisar a complexidade desse ovo método e comparar com o algoritmo clássico da DFT. A computação direta da DFT requer N multiplicações complexas e adições. A Eq. 4 requer o cálculo de duas DFTs de N/ potos o que sigifica (N/) multiplicações complexas e o mesmo úmero de adições, se usarmos o método clássico para calcular cada DFT dessas. Etão as duas DFTs de N/ potos devem ser combiadas precisado N multiplicações complexas, correspodedo a multiplicar H[k] pelo twiddle e N adições complexas para somar G[k] com o resultado desse produto. Assim, a computação da Eq. 6.4 para todos os valores de k requer, o máximo: N + (N/) N + N / multiplicações complexas e adições. Para N>, esse valor é meor que as N operações ecessárias pela DFT clássica. A Eq. 7.4 correspode a quebrar a computação da DFT de N-potos em duas DFTs de N/ potos. Se N/ é par, o que acotece quado N é igual a uma potêcia de, podemos cosiderar calcular cada DFT de N/ potos usado o mesmo método. Assim, cada uma será quebrada em duas DFTs de N/4 potos. Com isso, G[k] e H[k] serão dados por: N / 4 l 0 N / 4 lk k N / 4 + WN / g[l + ] l 0 lk G [ k] g[l] W WN / 4 (Eq. 7.5) N / 4 l 0 N / 4 lk k N / 4 + WN / h[l + ] l 0 lk H [ k] h[l] W WN / 4 (Eq. 7.6)

186 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 84 Cosequetemete, a DFT de N/ potos G[k] pode ser obtida combiado as DFTs de N/4 potos das sequêcias g[l] e g[l + ]. O mesmo acotecedo com o cálculo de H[k]. Assim, se as DFTs de 4 potos da Fig. 7. forem calculadas de acordo com as Eqs. 7.5 e 7.6, etão o cálculo acoteceria como a Fig. 7.. Iserido a computação da Fig. 7. o diagrama de fluxo da Fig. 7., obtemos o diagrama completo da Fig. 7.3, ode expressamos os coeficietes em termos de potêcias de W N ao ivés de W N/, cosiderado que W N/ W N. Fig. 7.. Gráfico de fluxo da decimação em tempo de uma DFT de N/ potos em duas DFTs de N/4 potos (para N 8).

187 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 85 Fig Fluxo completo do cálculo da DFT de 8 potos, sedo dividida em 4 de N/4 potos. Para a DFT de 8 potos que estamos usado como exemplo, a computação foi reduida a DFTs de potos. A DFT de potos para, por exemplo, x[0] e x[4] é detalhada a Fig Fig Detalhe do cálculo de uma DFT de potos. Para o caso geral, mas aida cosiderado N como potêcia de, podemos cotiuar com a decomposição da DFT de N/4 potos em duas de N/8 potos e cotiuarmos até que só restem DFTs de potos. Como em uma árvore, esse

188 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 86 processo requer v estágios, ode v log N. Ateriormete, calculamos a quatidade de operações executadas para uma DFT usado uma úica decimação em tempo (uma úica quebra) e chegamos a N + (N/) N + N /. Quado temos uma decomposição de uma DFT de N/ potos e duas de N/4 potos, o fator (N/) é substituído por N/ + (N/4), assim, a computação total requer: N + N + 4(N/4) multiplicações complexas e adições. Se N v, isso pode ser feito o máximo v log N vees. Assim, se fiermos a decomposição o maior úmero de vees possível, temos uma quatidade total de multiplicações complexas e adições igual a N.log N. Todo o processo aida pode ser mais simplificado se explorarmos a simetria e periodicidade dos coeficietes W r N. Primeiro, podemos observar que a passagem de um estágio para o outro a Fig. 7.3 tem uma computação básica como mostrada a Fig Ou seja, ela evolve a obteção de um par de valores de um estágio a partir de um par de valores do estágio aterior, ode os coeficietes são sempre potêcias de W N e os expoetes são separados por N/. Por causa de sua forma, essa computação é chamada de butterfly. Como: W N N/ e -j(π/n)n/ e -jπ - o fator W N r+n/ pode ser escrito como: W N r+n/ W N N/.W N r -W N r Com isso em mete, o cálculo da butterfly da Fig. 7.5 pode ser simplificado para a forma da Fig. 7.6 que requer apeas uma multiplicação complexa ao ivés de duas.

189 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 87 Fig Gráfico de fluxo de uma computação butterfly. Fig Gráfico de fluxo de uma computação butterfly simplificada. Em termos práticos, para desevolver o cálculo apresetado a Fig. 7.3, poderíamos usar dois arrays: um para o array sedo computado e outro para o array usado a computação. Vamos deotar a seqüêcia de úmeros complexos resultate do m-ésimo estágio como X m [l], ode l 0,,..., N-, e m,,..., v. Além disso, vamos defiir o cojuto de amostras de etrada como X 0 [l]. Podemos pesar em X m- [l] como o array de etrada e X m [l] como o array de saída do m-ésimo estágio. Assim, para o caso de m 8 como a Fig. 7.3: X 0 [0] x[0] X 0 [] x[4] X 0 [] x[] X 0 [3] x[6] X 0 [4] x[] X 0 [5] x[5]

190 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 88 X 0 [6] x[3] X 0 [7] x[7] Usado essa otação, podemos legedar a etrada e a saída do butterfly da Fig. 7.6, como idicado a Fig. 7.7, de acordo com as seguites equações: que podem ser re-escritas como: (Eqs. 7.7) (Eqs. 7.8) Fig Gráfico de fluxo das Eqs Pelas equações 7.8 e pela Fig. 7.3, está claro que apeas o passo m- é ecessário estar armaeado para poder calcular os valores do array o passo m. Esse tipo de computação é chamado de computação i-place. É importate observar também, pela Fig. 7.3, que a seqüêcia de etrada é acessada de uma maeira ão-sequecial. De fato, a ordem o qual os dados de etrada são armaeados e acessados é chamada de ordem bit-reverso. Para etedermos essa termiologia, a DFT de 8 potos que vimos usado como exemplo precisa de 3 bits para armaear os ídices dos dados.

191 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 89 Escrevedo esses ídices a forma biária, obtemos o seguite cojuto de equações: X 0 [000] x[000] X 0 [00] x[00] X 0 [00] x[00] X 0 [0] x[0] X 0 [00] x[00] X 0 [0] x[0] X 0 [0] x[0] X 0 [] x[] Se (,, 0 ) é a represetação biária do ídice da seqüêcia x[], etão o valor da seqüêcia x[,, 0 ] é armaeado o array a posição X 0 [ 0,, ], ivertedo os bits do ídice. Essa ordeação em subseqüêcias de ídices pares e ímpares é apresetada o diagrama em árvore da Fig Outra forma de melhorar o desempeho do cálculo da DFT é através da subdivisão da seqüêcia de saída. Esses algoritmos são chamados de algoritmos de decimação em freqüêcia. Todo o processo é bem semelhate à decimação em tempo.

192 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 90 Fig Diagrama em árvore apresetado a ordeação bit-reverso Fig Diagrama fial de uma DFT de 8 potos Fig Diagrama da DFT de 8 potos usado computação butterfly

193 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Outras FFTs Existem diversas variações o algoritmo da FFT. O algoritmo de Cooley-Tukey ou de decimação o tempo re-arraja os elemetos de etrada e depois costrói a saída em log N iterações. Também é possível derivar algoritmos de FFT que primeiro desevolvam um cojuto de log N iterações os dados de etrada e re-arraje os valores de saída em ordem reversa de bits. Tais algoritmos são chamados de decimação em freqüêcia ou algoritmos de FFT de Sade-Tukey. Para algumas aplicações, como a covolução, os dados são covertidos para o domíio da freqüêcia e depois de volta ao domíio do tempo. Nesses casos, é possível evitar todo o reverso dos bits. Outra classe de FFTs sub-dividem o cojuto de dados iicial de comprimeto N em cojuto meores de tamaho proporcioal a potêcias de, por exemplo, N 4, FFTs de base 4, ou N 8, FFTs de base 8. Essas trasformações são feitas por seções de códigos otimiadas que usam características de simetria desses valores de N. Por exemplo, para N 4, os seos e cosseos são todos ± ou 0, elimiado muitas multiplicações, deixado mais adições e subtrações. A melhoria de desempeho em relação a FFTs mais simples é de cerca de 0 a 30%. Existem também algoritmos de FFT que atuam em cojutos de comprimeto N que ão é potêcia de. Eles trabalham usado relações aálogas ao lema de Daielso-Lacos para sub-dividir o problema iicial em problemas sucessivamete meores, ão por potêcias de, mas por qualquer primo pequeo que divida N. Quato maior for o maior fator primo de N, pior o método fucioa. Se N é primo, etão ehuma sub-divisão é possível e o usuário termia usado uma FFT com complexidade O(N ) ao ivés de O(N.log N). Deve-se ficar ateto a esse tipo de implemetação. Algoritmos de Wiograd são de certa forma aálogos às FFTs de base 4 e 8. Wiograd derivou códigos altamete otimiados para atuar em DFTs de N

194 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 9 pequeo, e.g., para N, 3, 4, 5, 7, 8,, 3, 6. Os algoritmos também usam um método mais eficiete para combiar os sub-fatores. O método evolve uma re-ordeação de dados ates e depois do processameto, coseguido uma grade redução o úmero de multiplicações do algoritmo. Para valores de N da ordem de potêcias de, o algoritmo de Wiograd pode ser mais rápido que algoritmos mais simples de FFT. Essa vatagem deve ser aalisada com cuidado já que o método tora bastate mais complicada a idexação dos dados evolvidos a trasformada. Fialmete, uma classe iteressate de trasformadas para gerar covoluções mais rápidas são as trasformadas baseadas em teoria dos úmeros. Esses esquemas substituem a aritmética de poto-flutuate por uma aritmética de iteiros módulo algum valor primo grade N. De fato, esses métodos ão são trasformadas de Fourier em absoluto, mas suas propriedades são similares e a velocidade computacioal pode ser muito superior.

195 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Exercícios. Dada a equação abaixo para a trasformada discreta do cosseo, apresete como ficaria sua implemetação usado o algoritmo rápido de decimação o tempo. N N k x k w k y ) )( ( ) cos ( ) ( ) ( π, k,..., N Ode: N k N k k k w ) (

196 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Bibliografia Complemetar. Michael Weeks, Digital Sigal Processig Usig MatLab ad Wavelets, Ifiity Sciece Press, Ala V. Oppeheim, Roald Schafer, Discrete Time Sigal Processig, Pretice Hall, 989

197 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Aálise Wavelet Em 807, Joseph Fourier propôs sua aálise de freqüêcia em siais. Através dessa aálise, um sial o domíio do tempo poderia ser covertido para o domíio da freqüêcia e vice-versa. Dessa forma, características do sial podem ser observadas de uma maeira mais apropriadas. A trasformada de Fourier é defiida como: F( ω) j πωt f ( t) e dt sedo a trasformada iversa: (Eq. 8.) f j t F ω e πω t ) ( ) dω π ( (Eq. 8.) A Trasformada de Fourier represeta o domíio da freqüêcia uma fução do domíio do tempo. A represetação o domíio do tempo especifica uma fução, em cada itervalo de tempo, equato que a represetação o domíio da freqüêcia especifica as amplitudes relativas das compoetes de freqüêcia da fução. Por exemplo, a Fig. 8., a trasformada de Fourier da fução porta é a chamada fução sample (se(x)/x).

198 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 96 Fig. 8.. Exemplo de trasformada de Fourier. Lembrado que e jw se(w) + j.cos(w), a trasformada de Fourier represeta um sial como uma série de seos e cosseos. O problema é que a trasformada cosidera o sial todo. A trasformada ão é sesível a mudaças de freqüêcia o sial. Assim, ela é apropriada para os chamados siais estacioários: siais cuja freqüêcia ão muda com o tempo. O problema é que os siais reais são ão-estacioários. Assim, esses casos, a trasformada de Fourier tora-se iútil. A Fig. 8. apreseta a represetação de dois siais: um estacioário e outro ão. Uma solução para esse problema foi sugerida por Gabor em 946. Ao ivés da trasformada de Fourier ser aplicada a todo o sial, ela atuaria apeas em partes dele. O sial passaria a ser visto em jaelas e a trasformada seria calculada em cada jaela. A esse processo chamou-se de Trasformada de Fourier de Tempo Curto (Short-Time Fourier Trasform). O sial passa a ser cosiderado apeas a porção que está sob a jaela, sedo todo o restate descosiderado esse mometo. Detro da jaela, cosidera-se que o sial tem comportameto estacioário (Fig. 8.3).

199 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 97 Fig. 8.. Exemplo de um sial estacioário e um ão-estacioário. Fig Trasformada de Fourier de Tempo Curto A aplicação de jaelas a um sial é uma prática comum, usada bastate em processameto digital de vo. O problema associado ao uso dessa técica está quato ao tamaho da jaela. No caso da Trasformada de Fourier de Tempo Curto, a jaela tem tamaho ivariate durate todo o processameto. Assim,

200 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 98 uma jaela pequea pode traer pouca iformação sobre o sial e exige muito processameto. Já uma jaela grade pode aumetar o erro a cosideração de estacioaridade do sial. Nesse setido, o próximo passo atural a evolução das trasformadas é a aplicação de uma trasformada em uma jaela de tamaho variável. Essa é a idéia básica da Trasformada Wavelet. As jaelas podem atuar em itervalos maiores quado queremos iformações mais precisas sobre baixas freqüêcias ou em itervalos meores quado queremos iformações mais precisas sobre altas freqüêcias (Fig. 8.4). Fig Trasformada Wavelet 8. A Trasformada Wavelet A fução da trasformada Wavelet cotíua é dada por: (Eq. 8.3) Nessa equação, s atua como fator de escala e τ atua como fator de traslação (deslocameto) da jaela; ψ é uma fução cohecida como a wavelet mãe. Essa fução é aplicada sobre a fução em aálise (x(t)), em jaelas (cuja posição é defiida pelo deslocameto τ) e com dimesões diferetes (defiidas pelo fator de escala s). Variações essa fução criam as chamadas famílias de wavelets. A primeira família de wavelets é a Haar criada a tese de Alfred Haar aida em 909 sem o propósito atual das Wavelets.

201 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 99 A Eq. 8.3 pode ser vista como uma forma geral da trasformada que pode variar, depededo da fução assumida por ψ. Dessa forma, podemos eteder a trasformada de Fourier como um caso particular da trasformada Wavelet com a wavelet mãe sedo a fução expoecial. Existem codições que defiem uma fução como passível de ser wavelet, como veremos posteriormete. O ome wavelet é a versão em iglês para o termo origial odeletteque sigifica pequea oda como referêcia ao deslocar da oda por todo o sial desde escalas pequeas. O termo também referecia o fato da jaela ter comprimeto fiito. A wavelet mãe é a fução que aalisa o sial, efetivamete. Todas as jaelas são versões expadidas ou comprimidas e deslocadas dessa fução. O fator de escala afeta o sial de forma que: Se s>, etão o sial é expadido; Se s<, etão o sial é comprimido. Para aálises de baixas freqüêcias do sial, usamos uma alta escala para ter uma visão global ão detalhada do sial. Para aálise de altas freqüêcias usase baixa escala para ter uma visão global detalhada do sial. A Fig. 8.5 apreseta um exemplo de uma wavelet e o resultado da aplicação de um elemeto de escala ela. A Fig. 8.6 apreseta o resultado do deslocameto a fução. Fig Ifluêcia da escala a wavelet mãe.

202 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 00 A Fig. 8.7 represeta o comportameto da wavelet mãe ao logo de toda a aálise wavelet; à medida que a escala vai sedo modificada, como a wavelet mãe se comporta. Fig Ifluêcia do deslocameto a wavelet mãe. Fig Comportameto da wavelet mãe à medida que mudaças de escala vão sedo impostas a ela durate a aálise. Há algumas propriedades que devem ser obedecidas para que uma fução possa ser chamada de wavelet. Neste cotexto, wavelets devem satisfaer requisitos como: possuírem eergia fiita; possuírem certo grau de regularidade (suavidade); serem ulas o ifiito; possuírem um certo úmero de mometos ulos; que sejam fuções de classe C k (0<k< ); que teham suporte compacto, o tempo e a freqüêcia.

203 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 0 A aálise wavelet o cotíuo acotece da seguite forma: - Tome uma fução wavelet e compare-a com a região o iício do sial origial; - Calcule a correlação C etre a fução e a região do sial origial (Fig. 8.8a); 3- Desloque a wavelet para a direita e repita os passos e até que todo o sial teha sido coberto (Fig. 8.8b); 4 Aplique uma escala a wavelet e repita os passos a 3 (Fig. 8.8c); 5 Repita os passos a 4 para todas as escalas. a) b) c) Fig Aálise de wavelet o cotíuo: a) correlação etre a fução e a wavelet mãe; b) ovo cálculo com a fução deslocada; c) re-iício do processameto com uma ova escala aplicada à wavelet mãe. Quado o processo é cocluído, temos os coeficietes resultates das comparações em cada escala da wavelet mãe. Esse resultado é plotado em um gráfico tridimesioal que apreseta o tempo versus a escala e o valor dos coeficietes para cada escala.

204 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 0 Para as wavelets discretas, tradicioalmete discretiam-se os parâmetros s (escala) e τ (deslocameto), variáveis do sial trasformado F(a,b), os coeficietes wavelet. Para s toma-se valores iteiros (positivos e egativos), potêcias de um parâmetro fixo s 0 : -j s s 0, s 0 > e j Z A discretiação de b deve depeder de j tal que wavelets estreitas (de alta freqüêcia) sejam deslocadas por passos pequeos, e wavelets largas (de baixa freqüêcia) sejam deslocadas por passos maiores. Assim, uma escolha atural é: -j b k.b 0.s 0 b 0 > 0, fixo, j,k Z A wavelet discreta fica etão: j / j, k ( t) s0 ψ ( s0t kb0 ) ψ j (Eq. 8.3) O fator s 0 ão pode ser arbitrário. Diferetes valores de s 0 levam a wavelets diferetes, e bases ortoormais de wavelets só são cohecidas para valores racioais de s 0. A escolha mais atural é s 0. Faedo-se b 0, a wavelet da equação 3 fica: j / j ψ j, k ( t) ψ ( t k) A wavelet acima é cohecida por wavelet diádica. 8. Aálise em Multiresolução A implemetação da aálise de wavelets é um processo bastate custoso. Em 988, Mallat propôs sua implemetação com filtros. Observamos que a iteção iicial da trasformada wavelet é poder observar um sial em suas diferetes freqüêcias. No etato, a maioria dos casos práticos, as iformações de baixa freqüêcia são as mais importates. Assim, um sial pode ser dividido em duas partes: Aproximações: compoetes de alta escala e baixa freqüêcia do sial

205 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 03 Detalhes: compoetes de pequea escala e alta freqüêcia do sial. Essa divisão ada mais é do que a divisão de um sial em baixas e altas freqüêcias. Isso pode ser facilmete coseguido com o uso de filtros passabaixa e passa-alta (Fig. 8.9). Fig Decomposição de um sial em suas compoetes de baixa (aproximações) e alta (detalhes) freqüêcias. Um problema quato a essa decomposição é o aumeto a quatidade de amostras a serem armaeadas do sial e processadas posteriormete. Se um sial tem, por exemplo,.000 amostras, a passagem desse sial por um filtro passa-baixa, por exemplo, gera um sial com cerca de.000 amostras também, embora as amostras de alta freqüêcia sejam suaviadas. Assim, cada decomposição, aumetaria muito a quatidade de amostras. Para resolver esse problema, a cada passo da decomposição, o sial resultate é ovamete amostrado em um processo chamado de dowsamplig. Dessa forma, a saída dos filtros passa-baixa e passa-alta passam a ter aproximadamete a mesma quatidade de amostras que o sial origial de etrada (Fig. 8.0).

206 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 04 Todo esse processo pode ser repetido em cascata, tratado, como sugerido, apeas os compoetes de baixa freqüêcia do sial (os mais importates). Isso pode ser visto a Fig. 8.. A isso se chama aálise em multiresolução. a) b) Fig a) Processameto sem uso de dowsamplig e b) com uso (represetado pelo bloco com a seta para baixo). Fig. 8.. Decomposição do sial em baixas e altas freqüêcias com o mesmo processo se repetido para as compoetes de baixa freqüêcia. Para o processo iverso, usa-se o processo de upsamplig para recuperar o sial (Fig. 8.). Com o processo de dowsamplig, há perda de iformação que ão se cosegue recuperar com o upsamplig.

207 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 05 Fig. 8.. Uso do upsamplig (bloco com seta para cima) para recostrução do sial. 8.3 Sobre os coeficietes das wavelets Existem diversos tipos de wavelets como a Haar, Daubechies, Coiflets, Shao, etc. Diversas são as aplicações de wavelets em processameto de siais ou de images. Detre elas, podemos citar remoção de ruído, compressão (já que o dowsamplig já é, aturalmete, um elemeto de compressão com perda), aálise de texturas, filtragem, etc. Por exemplo, por processarem as diferetes freqüêcias de um sial, a aálise wavelet é apropriada para images que teham diferete ilumiação ao logo dela. Para demostrar uma trasformada geral, vamos usar o esquema apresetado a Fig Nela, um sial de etrada alimeta dois caais, cada qual com um par de filtros FIR. Tal estrutura é chamada de two-chael filter baks. Aálise Sítese Fig Um two chael filter bak.

208 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 06 A metade esquerda da Fig. 8.3 (filtros h 0 e h ) correspode à trasformada direta, chamada de aálise. A metade da direita é a trasformada iversa, chamada de sítese. É esperado que a sítese gere um sial de saída que seja igual ao sial de etrada. Os filtros complemetares de baco de filtros (h 0 para h e g 0 para g ) dividem o sial em sub-siais de baixa e alta freqüêcia. Isso é chamado de subbad codig. Para a trasformada iversa, as saídas dos filtros da parte de aálise ([] e w[]) passam por outros filtros FIR e, em seguida, são combiadas para gerar a saída y[]. A idéia é que w[] e [] sejam versões trasformadas de x[] e que y[] é o sial após a trasformada iversa. Como dito ateriormete, espera-se que y[] seja igual a x[]. Vamos cosiderar o filter bak da Fig. 8.4 e vamos ver como se comportam w[] e []. Fig Exemplo de filter bak. Na parte da aálise, w[] e [] são defiidos por: w[] a.x[] + b.x[ ] [] b.x[] a.x[ ] Precisamos saber também que são w[ ] e [ ]: w[ - ] a.x[ - ] + b.x[ ]

209 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 07 [ - ] b.x[ - ] a.x[ ] Assim, y[] será: y[] -a.[] + b.[ ] + b.w[] + a.w[ ] E, em relação ao sial origial: y[] -a.( b.x[] a.x[ ]) + b.(b.x[ - ] a.x[ ]) + b.( a.x[] + b.x[ ]) + a.(a.x[ - ] + b.x[ ]) y[] -ab.x[] + aa.x[ ] + b.b.x[ - ] ba.x[ ] + b.a.x[] + b.b.x[ ] + a.a.x[ - ] + ab.x[ ] y[] aa.x[ ] + bb.x[ ] + bb.x[ ] + aa.x[ ] y[] (aa + bb).x[ ] Essas operações retratam o processameto da wavelet de Haar. Essa é a mais simples das wavelets. Se escolhermos com cuidado os coeficietes, teremos a trasformada de Haar. Por exemplo, se: aa + bb etão y[] x[ ] ou seja, a saída é a etrada com um retardo de. Se procurarmos a e b tal que: aa + bb podemos ter aa ½ e bb ½. Assim, se a b /, teremos os coeficietes da trasformada de Haar. A busca por coeficietes que torem aa + bb e ão (aa + bb) está relacioada ao processo de dowsamplig como explicado ateriormete.

210 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 08 Algumas vees, um two chael filter bak é chamado de quadrature mirror filter (QMF). Um QMF é um filter baks com codições especiais os coeficietes dos filtros para evitar aliasig e coseguir uma recostrução perfeita. Ou seja, sua úica difereça para filter baks é a escolha dos coeficietes dos filtros. Seja um dos filtros da aálise h 0. Os outros filtros (h, g 0 e g ) são gerados a partir de h 0. Especificamete, h usa os mesmos coeficietes de h 0, mas egativa os coeficietes de ídice par. O filtro de recostrução g 0 é igual a h 0 e g -h. O cojugate quadrature filter (CQF) especifica que h deve ser o reverso de h 0 com os valores em ídices de ordem par egativados. Para a recostrução, g 0 e g são os reversos de h 0 e h, respectivamete. As Figs. 8.5 e 8.6 mostram exemplos de QMF e CQF para a trasformada de Haar. Se a b, etão QMF CQF. h g h 0 g 0 Fig QMF para a trasformada de Haar. Fig CQF para a trasformada de Haar. O termo quadratura quer dier que as respostas dos filtros passa-baixa e passa-alta são simétricas ao redor do poto de quadratura π/. O termo

211 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 09 mirror vem do fato de que a magitude da resposta em freqüêcia do filtro HPF é uma imagem espelhada da magitude da resposta em freqüêcia do filtro LPF. Um das famílias de wavelets mais utiliadas é a família das Daubechies. Criada por Igrid Daubechies, a família das wavelets Daubechies (ou db) é a úica família de wavelets que tem suporte compacto e decaimeto suave. O suporte compacto impede que a wavelet se espalhe por todo o espectro. O decaimeto suave impede que a wavelet itrodua artefatos de altas freqüêcias. Um exemplo de uma wavelete de daubechies pode ser visto a Fig Fig Forma de uma oda da família das Daubechies. Vamos aalisar o processameto de um sial usado uma wavelet de 4 coeficietes e um cojugate quadrature filter coforme a Fig Fig Um cojugate quadrature filter com quatro coeficietes. Como foi feito ateriormete: w[] a.x[] + b.x[ ] + c.x[ ] + d.x[ 3]

212 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 0 [] d.x[] - c.x[ ] + b.x[ ] - a.x[ 3] Cosiderado que: w[ - k] a.x[ - k] + b.x[ k - ] + c.x[ k - ] + d.x[ k - 3] [ - k] d.x[ - k] - c.x[ k - ] + b.x[ k - ] - a.x[ k -3] Se cosideramos, essas operações, que ac -bd, etão, chegamos à expressão fial: y[] (aa + bb + cc + dd).x[ 3] Novamete, precisamos ter (aa + bb + cc + dd). Os coeficietes de Daubechies obedecem a essas duas codições: i) (aa + bb + cc + dd) ii) ac -bd 8.4 Wavelets o MatLab O MatLab tra uma série de ferrametas para lidar com wavelets. A mais básica é a fução swt (e swt para siais bi-dimesioais como images) ou dwt. A fução swt permite diversos parâmetros de etrada (veja a documetação do MatLab para ver todos), sedo os pricipais: o sial de etrada, a quatidade de íveis de decomposição e o tipo de wavelet (com o úmero de coeficietes previamete calculados até certo poto). Já a fução dwt apreseta apeas a decomposição do sial os compoetes de aproximação e detalhes (como apresetado a Fig. 8.). A fução wavemeu abre uma jaela com diversas fucioalidades do MatLab relacioadas com wavelets (Fig. 8.9). Todas essas fuções podem ser ativadas por liha de comado o próprio MatLab.

213 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Fig Tela do ambiete de processameto por wavelets do MatLab. Exemplos:. Sial de vo: >> [som, F] wavread( a_casa.wav ); >> plot (som); >> [ca, cd] dwt(som, 'db'); >> % recostrução >> l_s legth(som); >> A idwt(ca,[ ],'db',l_s); >> D idwt([ ],cd,'db',l_s); >> subplot(,,); plot(a); title('aproximacao A'); >> subplot(,,); plot(d); title('detalhes D');

214 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Plotagem do sial de vo: Plotagem das aproximações e detalhes: Recuperação do sial: >> A0 idwt(ca,cd,'db',l_s); >> err max(abs(som-a0)) err.0e-06 >> plot (A0);

215 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3 No wavemeu, selecioe Wavelet -D, carregue o arquivo a_casa.wav e clique em aalye com uma wavelet haar e 5 íveis de decomposição. O resultado está apresetado abaixo: Podemos visualiar a árvore de decomposição e o resultado fial da recostrução comparado com o arquivo origial a próxima imagem:

216 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 4 Para images, podemos usar o comado Wavelet -D do wavemeu. Carregado a imagem lea.bmp e processado com uma db com 5 íveis de decomposição, temos a jaela apresetada a próxima figura e detalhada as seguites.

217 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 5

218 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 6 Imagem origial Imagem sitetiada

219 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Exercícios. a) Verifique se os coeficietes a (- 3)/(4 ), b (3-3)/(4 ), c (3+ 3)/(4 ) e d (+ 3)/(4 ) podem ser coeficietes de uma wavelet de Daubechies. b) Use esses coeficietes para filtrar a sequêcia: x[] {8, 4, 0, 6, 3, 7,, 9} de acordo com o filter baks da figura desta questão. c) Agora, acrescete o dowsamplig ates das saídas [] e w[] e um upsamplig após o processameto dessas saídas (ates da soma que gera y[]). Qual o erro etre a resposta da letra aterior e desta em relação à saída?. Para os coeficietes de filtros abaixo, use o MatLab para plotar a resposta em frequêcia. Determie se os coeficietes correspodem a filtros passa-baixa, passa-alta ou passa-faixa: a) { , , 0.707, 0.707, , } b) {-0.94, 0.4, , } c) { , , -0.4, -0.94}

220 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 8 3. No cojugate quadrature filter da Figura 8.6, se a 3 e b, temos uma trasformada de Haar? Justifique. 4. Use o QMF da Figura 8.5 e ecotre, w e y para a b ½, dada a etrada x[] {6,, 3, 7,, 5, 8, 0}. 5. Apresete as codições e exemplo de coeficietes para outra família de wavelets.

221 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Bibliografia Complemetar. Stéphae Mallat, A Wavelet Tour of Sigal Processig, Academic Press, Michael Weeks, Digital Sigal Processig Usig MatLab ad Wavelets, Ifiity Sciece Press, 007.

222 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 0 9. Processameto Digital de Images Ao logo dos aos, o iteresse em técicas de processameto digital de images (PDI) vem aumetado. Diversas são as aplicações que precisam utiliar algum algoritmo associado ao processameto digital de images. Na prática, os pricipais objetivos relacioados com PDI são: i) melhoria a qualidade da imagem para observação humaa ou para um mais recohecimeto automático por máquias; e ii) compressão para trasmissão ou armaeameto de images. Cada um desses objetivos leva a um grade leque de técicas e algoritmos. No primeiro caso, podemos destacar aplicações relacioadas com images via satélite, ode, em geral, as images chegam com distorções e ruídos que precisam ser filtrados para uma aálise humaa. Da mesma forma, a quatidade de estudos voltados para a visão computacioal vêm crescedo mudialmete e, a maioria dos casos, o primeiro passo para um sistema de visão computacioal é a aplicação de algoritmos de processameto de images para, por exemplo, extrair a borda de objetos, permitido uma melhor aálise da sua forma. No segudo caso, em termos de compressão e trasmissão, podemos observar aplicações voltadas para a Iteret que, cada ve mais, precisam usar images para trasmitir iformações. Algumas dessas aplicações exigem images de alta resolução, como o sesoriameto remoto. Nesses casos, é preciso usar algoritmos que provoquem uma grade redução a quatidade de dados, sem perder iformação. Esse é o caso também de images médicas, mas, esse tipo de aplicação, a preocupação maior é o armaeameto das images. Por exemplo, os Estados Uidos, mamografia digitais precisam ser armaeadas por 5 aos após o exame. Cada exame gera diversas lâmias que são images de alta resolução ocupado GigaBytes de espaço de armaeameto. Nesse caso também, é essecial que a compressão seja feita sem perdas.

223 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Uma imagem digital pode ser etedida como uma fução f(x,y), ode x e y são as coordeadas espaciais e a fução f é o ível de cia (ou de brilho) aquele poto. Quado x, y e f estão uma escala fiita e discreta, diemos que temos uma imagem digital. A imagem digital pode ser gerada diretamete através de um dispositivo digital ou pode ser digitaliada a partir de uma imagem real. Esse segudo caso é o mais clássico, ode dispositivos, como scaers, por exemplo, faiam a trasposição da imagem do meio real para o digital. Para tato, algus processos são fudametais como veremos posteriormete. Em termos de pesquisa e desevolvimeto, processameto digital de images está iserido a grade área de processameto gráfico. Nessa área, ecotramos aida elemetos de computação gráfica e de visão computacioal. [Gomes e Velho, 995] relacioam essas áreas de acordo com a represetação gráfica da Fig. 9.. Essa represetação e essa relação estão associadas ao tipo de dado que etra e que sai de um sistema específico. Notadamete, essa represetação está relacioada com a percepção humaa para os dados iseridos e retorados pelos sistemas. Para os dispositivos, como computadores, tudo é apeas processameto de dados.

224 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Fig. 9.. Relação etre processameto de images e outras áreas correlatas. Da Fig. 9., podemos defiir os sistemas de processameto de images como sistemas que recebem uma imagem de etrada e devolvem uma imagem de saída. A computação gráfica refere-se ao uso de dados de etrada para geração das images de saída. Por exemplo, uma imagem 3D de uma esfera é gerada por um cojuto de dados que defiem o cetro da esfera, seu raio, quatidade de faces, etc. Esses dados são rederiados compodo a imagem fial. Já a visão computacioal correspode ao oposto da computação gráfica: uma imagem é iserida o sistema e dados são extraídos dela. Um exemplo pode ser uma cotagem automática de pessoas a partir de uma fotografia. As primeiras aplicações relacioadas a images datam do iício do século XX com as primeiras trasmissões de images para jorais. As images eram trasmitidas em 5 tos de cia em cerca de uma semaa. Com a iveção do sistema Bartlae (dedicado para esse tipo de trasmissão), o tempo de evio de uma imagem passou a ser de apeas poucas horas. Em 99, as images

225 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3 começaram a ser geradas em 5 tos de cia. A partir daí, o tratameto de images começou a ter um maior desevolvimeto juto com o desevolvimeto de tecologias digitais, de uma maeira geral. Na década de 60, registra-se o primeiro uso de computador para tratameto de images. No caso, procurava-se corrigir distorções as images trasmitidas pela soda Rager Digitaliação Um sistema de processameto digital de images ecessita de um dispositivo de digitaliação (câmera digital, scaer, etc), um meio para processar e armaear a imagem (como o computador) e uma forma de visualiação da imagem. Em geral, a grade dificuldade está relacioada com a digitaliação que pode gerar images com grade quatidade de dados a serem processados. Detalhado as pricipais fuções relativas ao processameto digital de images, comecemos com o processo de geração de uma imagem digital a partir de uma imagem real: a digitaliação. Dada uma imagem real, a digitaliação cosiste em colher amostras dessa imagem para represetá-la em um meio discreto. O processo de coleta de amostras é o mesmo que a digitaliação de uma fução como pode ser visto a Fig. 9.. Nela, vemos uma fução o cotíuo. Para ser represetada em algum domíio discreto, é preciso adaptar a fução a esse domíio. Ou seja, partes dela serão perdidas porque ão podem ser represetadas. Assim, amostras da fução são coletadas por impulsos separados por itervalos defiidos de tempo de forma que represetem da melhor forma possível a fução origial. Notadamete, em muitos casos reais, essa represetação perde elemetos que ão podem ser recuperados. Mas espera-se que a perda ão seja sigificativa. De qualquer forma, a recostrução do sial leva a uma forma aproximada do sial origial. Isso está represetado a Fig O sial origial é discretiado. Cada amostra é etão codificada e armaeada. A decodificação é feita sem

226 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 4 perda, recuperado o sial discreto correto. A recostrução que seria o processo iverso da discretiação é que ocorre de forma aproximada. O úmero de amostras que deve ser colhido de um sial para poder recuperá-lo é defiido pela taxa de Nyquist. Fig. 9.. Em aul (liha cotíua) o sial origial e em vermelho (liha potilhada) as amostras colhidas do sial para represetá-lo em um domíio discreto. Fig Discretiação e codificação em oposição à decodificação e recostrução do sial cotíuo origial.

227 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 5 Tato para siais quato para images, o processo de digitaliação ocorre da mesma forma. Em images, porém, aida há outros elemetos a serem cuidados como será descrito posteriormete. Para geração do sial (ou imagem) discretiado, é preciso ter defiido todo o modelo coceitual dos objetos em estudo. Nesse caso, temos o que se chama [Gomes e Velho, 995] do Paradigma dos Quatro Uiversos (Fig. 9.4). Nele, temos o Uiverso Físico (que são os objetos reais, como eles existem a aturea), o Uiverso Matemático (que é uma descrição abstrata desses objetos), o Uiverso de Represetação (com descrições simbólicas dos objetos) e, por fim, o Uiverso de Implemetação (ode são associadas às descrições abstratas e simbólicas com estruturas de dados implemetáveis o computador). No caso, a imagem digital é represetada o computador através de uma matri. A matri imagem tem suas dimesões defiidas durate o processo de digitaliação. A coleta de amostras defie qual será a dimesão da matri. Essa medida defie a resolução da imagem e é especificada em dpi (dots per ich ou potos por polegada). A resolução da imagem ão pode ser alterada após o processo de digitaliação a ão ser por uma ova digitaliação. Defiida as dimesões da matri, defie-se cada elemeto dessa matri. Em uma imagem digital, o seu meor elemeto, ou seja, a célula da matri, é chamado de pixel. Seu valor é defiido também durate a digitaliação em um processo semelhate ao de amostragem chamado de quatiação. Em uma aalogia com siais, como fiemos a Fig. 9., a quatiação é resposável por discretiar o sial em sua amplitude. Isso pode ser visto a Fig Nas images, a amplitude de cada célula da matri correspode à sua cor. Assim, através da quatiação defiimos quatas cores a imagem terá. A essa defiição de cores chama-se de resolução de cor da imagem. Diferete da resolução da imagem, a resolução de cor, em algus casos, pode ser alterada após a digitaliação. Dessa forma, uma imagem digital está completamete defiida: suas dimesões e a cor de cada pixel. Como está claro, etão, uma imagem ada mais é do que

228 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 6 uma matri ode cada célula tem uma cor específica. O cojuto e a disposição dessas cores é percebida pelo sistema visual humao e iterpretado pelo osso cérebro como uma imagem. Fig Como ates (Fig. 9.3), em aul (liha cotíua) temos o sial origial, em vermelho (liha potilhada vertical) as amostras colhidas do sial durate a amostragem e em potilhado a horiotal temos a discretiação das amplitudes durate a quatiação. Dada a importâcia das cores a formação e percepção da imagem, descreveremos a seguir o sistema computacioal de cores desde sua defiição. 9. Sistema Computacioal de Cores A cor é tida como um feômeo psicofísico. Ou seja, por um lado, ela deriva de um feômeo físico relacioado com a lu. No etato, ossa percepção da cor depede de sua iteração com osso sistema visual. Percebemos uma parede como braca se uma lu braca icidir sobre ela. Se a úica fote de lu o ambiete for uma lu vermelha, perceberemos a parede como um tom de vermelho e ão coseguiremos distigui-lo de outra cor.

229 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 7 No iício do estudo sobre cores, o feômeo que mais chamava a ateção era a decomposição da lu braca em todas as cores do espectro ao passar por um prisma. Acreditava-se que o prisma tiha essa propriedade mágica de decompor a lu. Foi Sir Isaac Newto, físico, matemático e astrôomo iglês, o século XVII, que derrubou essa idéia com um experimeto simples: Newto colocou um prisma a frete de outro e a decomposição da lu braca provocada pelo primeiro prisma icidia sobre o segudo prisma retorado lu braca ovamete (Fig. 9.5). Newto acreditava que o olho humao era composto por ifiitas células fotossesíveis, cada uma resposável pela percepção de uma cor. Fig Experimeto de Newto sobre a decomposição da lu braca. No século XIX, Youg propôs o modelo tricromático: ele, o sistema visual humao era composto apeas de três células que seriam resposáveis pela percepção de altas, médias e baixas freqüêcias. A idéia do modelo tricromático foi comprovada por Helmholt a década de 60, mas o modelo de Youg ão explicava algus feômeos do sistema visual. No etato, com seu trabalho, Youg mostrou que com apeas essas três cores primárias (de alta, média e baixa freqüêcias) todas as cores do espectro poderiam ser geradas através de um processo aditivo. Atualmete, teoria da percepção das cores usa o modelo de Youg-Helmholt e o modelo de Herig. De fato, osso sistema visual ão é sesível às freqüêcias

230 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 8 de forma separada, mas, sim, à composição delas. Seja L a compoete de baixa freqüêcia, M a média freqüêcia e H a alta freqüêcia, temos células fotossesíveis às combiações: L - M H (L + M) L + M As altas freqüêcias (baixo comprimeto de oda) correspodem ao tom de aul (B), as médias aos tos de verde (G) e as altas freqüêcias ao vermelho (R). Assim, percebemos as combiações: i) R G ii) B (R + G) iii) R + G A combiação (iii) correspode ao amarelo ou à lumiosidade da cor. As combiações (i) e (ii) formam a compoete de cromiâcia. Em 93, a Compahia Iteracioal de Ilumiação defiiu o modelo RGB baseado a teoria de Youg, ode a soma de diferetes itesidades de cada uma dessas cores primárias correspoderia a uma cor do sistema. Esse é o modelo adotado pelos sistemas computacioais, por televisores, projetores, moitores, etc. Além do sistema RGB, outros sistemas surgiram ao logo dos tempos para aplicações específicas como o HSV, HSL, CMYK, CieLab, Patoe, etc. A mudaça de um sistema para outro pode traer diversas vatages depededo da aplicação. No sistema computacioal de cores, cada cor é represetada pela tríplice (R, G, B), ode cada compoete de cor tem seu valor iteiro variado de 0 a 55, ou seja, byte. Assim, 3 bytes são ecessários para represetar uma cor. Com isso, a quatidade máxima de cores que uma imagem pode ter em um computador comum é cerca de 6 milhões.

231 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 9 No sistema padrão do Widows, adotado pela maioria dos sistemas computacioais, as images podem ser armaeadas em 4 diferetes formatos, baseado a quatidade de bits ecessária para armaear a cor do pixel: ) bit cores ) 4 bits 6 cores 3) 8 bits 56 cores 4) 4 bits (3 bytes) 6 milhões de cores Nos casos, e 3, o pixel armaea, de fato, uma etrada para uma tabela de cores. A tabela é que armaea, efetivamete, a cor daquele pixel. Essa tabela é chamada de paleta de cores. No quarto caso, o pixel armaea a cor propriamete dita, sem haver a ecessidade de uma paleta. Aida quato ao modelo de cores, as images podem ser armaeadas também em uma paleta pré-defiida, cotedo apeas o ível de brilho de cada cor, também chamado de tom de cia. Essa paleta cotém 56 etradas (cores), precisado, assim, de 8 bits para cada pixel da imagem codificar a etrada da paleta. O ível de brilho de uma cor é calculado tomado como base sua cor (R, G, B). Seja C o tom de cia: C 0,30.R + 0,50.G + 0,.B. (Eq. 9.) Podemos observar que: i) um tom de cia correspode a iguais valores de R, G e B (já que a Eq. 9. gera apeas um valor C); ii) a cotribuição do compoete B é pequea em relação aos outros compoetes. Existem diferetes formas de represetar as cores de um sistema. A mais comum é através de um sólido como o cubo de cor, ou o cilidro ou o coe. Essas são três represetações comus para o sistema RGB.

232 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 30 No sistema RGB, o braco correspode à cor (55, 55, 55) e o preto à cor (0, 0, 0). Por exemplo, o vermelho puro seria (55, 0, 0), o verde puro é (0, 55, 0) e o aul é (0, 0, 55). Variações esses valores geram as outras cores do sistema computacioal de cores. 9.3 Histograma Em uma imagem, o histograma é um gráfico que mostra a distribuição das cores a imagem. No eixo x, ecotramos todos os valores possíveis de cada compoete de cor de uma imagem. Cada poto desse eixo correspode a um cotador que armaea quatas vees aquela cor aparece a imagem. Observamos que o histograma ão di como as cores estão distribuídas a imagem; apeas quatas vees cada compoete aparece. No etato, existem outras iformações agregadas ao histograma de uma imagem que permitem alterar algumas de suas características. Por exemplo, supoha uma imagem em tos de cia, com histograma variado de 0 a 55 (0 sedo o preto e 55 sedo o braco). Nesse caso, um histograma cocetrado próximo ao 0 idica uma imagem escura, assim como um histograma cocetrado próximo ao 55 idica uma imagem clara. Um histograma com uma pequea variação de cores (Fig. 9.6) idica uma imagem com baixo cotraste (o cotraste está associado à separação das cores a imagem). Fig Histograma de uma imagem de baixo cotraste. Por ão coter iformação sobre a distribuição das cores em uma imagem, diferetes images podem ter o mesmo histograma (Fig. 9.7)

233 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3 Fig Images completamete opostas, mas que têm o mesmo histograma. As images podem ser maipuladas através de mudaças em seus histogramas. As operações mais básicas são de equaliação, stretch e especificação. Na equaliação, procura-se distribuir as cores de forma uiforme ao logo do histograma; isso fa com que o cotraste de uma imagem aumete. No stretch, procura-se ocupar todo o espectro de cores de cada compoete. Assim, se, por exemplo, o tom 0 do vermelho ão estiver presete a imagem origial, ele deverá estar a imagem fial após a aplicação dessa operação. Já a especificação fa com que uma imagem passe a ter o histograma como defiido em outra imagem. Por outro lado, mudaças a imagem traem coseqüêcias em seu histograma. Por exemplo, se cada pixel da imagem é somado com um valor positivo X, as cores dessa imagem torar-se-ão mais próximas do braco; a imagem estará mais clara. Se o valor de X for egativo, claro, a imagem ficará mais escura. O produto de cada pixel por um valor maior do que provocará a expasão do histograma, aumetado seu cotraste. Já o produto por um valor etre 0 e provocará a compressão do histograma, dimiuido seu cotraste. Nesse caso, valores egativos, claro, ão faem setido já que as cores são positivas etre 0 e 55. Assim, através do histograma podemos obter algumas iformações sobre a imagem que o gerou ou modificar a imagem já atigido, de uma primeira forma, o objetivo iicial de maipular uma imagem digital. Outras formas de maipular uma imagem, modificado suas características são vistas a seguir.

234 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Filtragem de Images Digitais A forma mais comum de maipular uma imagem (mudar suas características) é através do processo de filtragem. Existem diversos tipos de filtros e maeiras diferetes de realiar uma filtragem. Os filtros digitais podem ser classificados em: ) Filtros Estatísticos ou Determiísticos: ode os estatísticos são os que usam alguma propriedade estatística da imagem. Exs: filtro da moda, da mediaa. ) Filtros lieares ou ão-lieares: os filtros lieares ão geram ovas freqüêcias a imagem, equato os lieares geram. Exs: Lieares: passabaixa, passa-alta, passa-faixa; Não-Lieares: filtros poliomiais com base de poliômios de ordem maior que. 3) Filtros Topológicos ou de Amplitude: filtros topológicos são os que afetam a estrutura da imagem (como os filtros de warpig) e os filtros de amplitude atuam apeas o espaço de cores da imagem. Uma das formas de executar o processo de filtragem de uma imagem é através da covolução. A covolução é uma operação comum em processameto de siais, resultate do seguite cálculo: f t)* h( t) f ( τ ). h( t τ ) dτ ( (Eq. 9.) A Eq. 9. represeta a covolução de uma fução f(t) por uma fução g(t). Em termos gráficos, a covolução pode ser represetada como a Fig. 9.8 (ode as fuções estão represetadas como retâgulos apeas para facilitar o etedimeto). Uma das fuções, h, é rebatida e desloca-se pelo espaço das fuções. No mometo que ela começa a ter alguma iterseção com a fução f a área dessa iterseção é calculada (resultado da itegração). Equato as fuções tiverem área comum ao logo do deslocameto de h, o resultado é avaliado. A itegração é feita de - a +, mas, claro, a área só é diferete de ero equato há área em comum.

235 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 33 Para images, a covolução é aplicada de forma discreta. Ou seja, o caso das images, as fuções que covoluem são matries. Da mesma forma, a itegração é substituída por somatório. Na sua execução, como a versão cotíua, uma matri é fixa e a outra desloca-se sobre ela. A área (resultado da itegração) é a região em comum etre as fuções. Podemos ver esse processo com as matries apresetadas a Fig Fig Represetação gráfica da covolução da fução f pela fução h. Fig Covolução discreta aplicada a matries. Uma característica da covolução discreta ão é desejável a filtragem de images. Por exemplo, cosidere a Fig. 9.9 que f é a imagem e h é o filtro. A imagem de etrada tem dimesões x3, equato o resultado da operação é uma matri 3x4. Na prática, o processo de filtragem ão pode acrescetar lihas ou coluas à imagem. Assim, para aplicação em images digitais, a covolução digital ocorre de maeira um pouco diferete.

236 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 34 No caso de images, o pixel a ser processado de deve ser casado com o cetro da matri do filtro (Fig. 9.0). O resultado da filtragem para esse pixel será o somatório do produto de cada valor da máscara pelo valor da imagem sob a máscara. Fig Processo de covolução aplicado em images. Por exemplo, supoha que a matri de um filtro tem os valores: w w4 w7 w w5 w8 w3 w6 w9 Quado o poto w5 casar o pixel p, supoha que os valores abaixo da matri do filtro teham valores: O resultado da filtragem será: w. + w w Assim, a matri do filtro (chamada de máscara) atua como uma matri de pesos. Para evitar perda das características do filtro, a máscara deve ser sempre multiplicada por / i w. Se o cetro da máscara estiver uma posição (x,y) a imagem, o tom do pixel posicioado em (x,y) será substituído por R. A máscara é etão movida para a

237 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 35 próxima posição de pixel a imagem e o processo se repete. É prática criar uma ova imagem para armaear os valores de R em ve de mudar os valores de pixel o lugar. Isso evita o uso de pixels que teham sido alterados a operação aterior. É preciso observar que essa operação exige algumas alterações a matri imagem para fis de processameto. Supoha um filtro formado por uma matri 3x3. No mometo que o poto cetral dessa matri processa o primeiro pixel da imagem (pixel do cato superior esquerdo), parte da máscara ão estará sobre ehum elemeto da imagem. No etato, essa parte como todo o resto da imagem precisa ser processado. Para garatir que o processameto ocorra, é comum provocar uma extesão da imagem. Ou seja, a matri imagem é estedida, gahado ovos elemetos em sua borda extera de forma que a operação de covolução possa ser executada. É importate ressaltar que esses ovos elemetos são iseridos apeas para fis de processameto. Eles ão farão parte da imagem origial e em da imagem de saída. Para um filtro 3x3 precisa-se esteder a imagem de uma liha para cima, uma liha para baixo e uma colua para cada lado. A Fig. 9. retrata essa situação, estado em cia a imagem origial e em braco a área estedida da imagem. Nessa figura, o filtro está sedo aplicado exatamete o primeiro pixel da imagem. Essa extesão é ecessária para o processameto de toda a borda itera da imagem. A quatidade de elemetos a ser estedidos depede da dimesão do filtro. Os elemetos iseridos a extesão depedem do tipo de extesão. A extesão mais simples é a fixa que preeche toda a borda extera com um valor fixo. Se esse valor é ero, a extesão é chamada de ula. O preferível é que a extesão seja preechida com os valores da borda itera da imagem para dimiuir os efeitos de borda (pixels com cores ão relacioadas com as cores presetes o restate da imagem).

238 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 36 Fig. 9.. A imagem origial (em cia) é estedida (parte em braco) para poder ser processada pelo filtro (em destaque o cato superior esquerdo). Detre os filtros baseados em máscaras, os filtros lieares são os que têm as maiores aplicações práticas. Como defiido, os filtros lieares ão acrescetam ovas freqüêcias à imagem. Vamos descrever esses filtros, exemplificá-los e discutir a fução deles em images. São eles: filtro passa-baixa, passa-alta e passa-faixa. ) Filtro Passa-Baixa Teoricamete, esse filtro é gerado por uma fução que tem valor etre w e w e ero fora desse itervalo (Fig. 9.a). O filtro Box é um exemplo de um filtro passa baixa (Fig 9.b). Como um filtro passa-baixa, sua fução é deixar passar as baixas freqüêcias (freqüêcias etre w e w) e elimiar as altas freqüêcias. Na prática, esse filtro tem um comportameto como o da Fig. 9.c, ode ele, a verdade, ão elimia completamete as altas freqüêcias, mas as ateua.

239 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 37 a) b) c) Fig. 9.. a) Forma de um filtro passa-baixa ideal, b) matri de um filtro passabaixa (filtro Box) e c) forma de um filtro passa-baixa real. O resultado da aplicação de um filtro passa-baixa em uma imagem é seu embaçameto. Em images, as freqüêcias estão associadas a regiões de mudaças bruscas etre tos (como, por exemplo, uma passagem de braco para preto). A ateuação dessas mudaças é iterpretada por osso sistema visual como um embaçameto a imagem. A Fig. 9.3 ilustra essa idéia. A Fig. 9.3a mostra uma região de alta freqüêcia da imagem e a Fig. 9.3b apreseta o resultado de uma filtragem passa-baixa. a) b) Fig Ilustração do efeito de um filtro passa-baixa: a) imagem origial e b) imagem resultate. ) Filtro Passa-Alta Esse filtro tem comportameto oposto ao passa-baixa e é gerado por uma fução que tem valor ero etre w e w e fora desse itervalo (Fig. 9.4a). O

240 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 38 filtro Laplaciao é um exemplo de um filtro passa-alta (Fig 9.4b). Como um filtro passa-alta, sua fução é deixar passar as altas freqüêcias e elimiar as baixas freqüêcias. Na prática, esse filtro tem um comportameto como o da Fig. 9.4c, ode ele, a verdade, ão elimia completamete as baixas freqüêcias, mas as ateua, itesificado as altas. a) b) c) Fig a) Forma de um filtro passa-alta ideal, b) matri de um filtro passa-alta (filtro Laplaciao) e c) forma de um filtro passa-alta real. O resultado da aplicação de um filtro passa-alta em uma imagem é o destaque de seus cotoros. A ateuação das baixas freqüêcias e itesificação das altas provoca um realce as regiões de froteiras da imagem (regiões que há mudaças bruscas etre tos claros e escuros). Uma ilustração do efeito da aplicação desse filtro em uma imagem pode ser visto a Fig a) b) Fig Ilustração do efeito de um filtro passa-alta: a) imagem origial e b) imagem resultate.

241 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 39 3) Filtro Passa-Faixa Esse filtro permite a passagem de freqüêcias detro de um itervalo e cortam as freqüêcias fora dele (Fig. 9.6a). O filtro de Prewitt é um exemplo de um filtro passa-faixa (Fig 9.6b). Como um filtro passa-faixa, sua fução é deixar passar freqüêcias específicas da imagem. Na prática, esse filtro tem um comportameto como o da Fig. 9.6c. a) b) c) Fig a) Forma de um filtro passa-faixa ideal, b) matri de um filtro passafaixa (filtro Prewitt detector de lihas horiotais) e c) forma de um filtro passafaixa real. O resultado da aplicação de um filtro passa-faixa em uma imagem é o destaque de algus compoetes. Por exemplo, o filtro de Prewitt da Fig. 9.6b destaca as compoetes horiotais de uma imagem. Além da extesão da imagem, a implemetação de uma filtragem digital devese cosiderar questões relacioadas a cores ão-realiáveis. O processo de filtragem pode, por exemplo, gerar uma cor egativa ou maior que 55. Esse feômeo é chamado de cor ão-realiável. Assim, é preciso trucar o resultado da filtragem para que as cores resultates sejam sempre iteiras e etre 0 e 55.

242 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 40 É possível também aplicar uma filtragem o domíio da frequêcia. Cosidere a fução abaixo o MatLab que calcula a trasformada de Fourier de uma imagem. fuctio [F] img_fourier (ome, ext) ome_i [ome '.' ext]; im imread(ome_i); figure, imshow (im); F fft(im); figure; F fftshift(f); imshow(log(abs(f)), []); colormap (jet); O código acima pode ser complemetado com as lihas abaixo para implemetar um filtro passa-baixas (gaussiao) e um filtro passa-alta (laplaciao). x sie(f, ); y sie(f, ); cxrage [0:x/, -x/+:-]; cyrage [0:y/, -y/+:-]; [cx, cy] meshgrid(cxrage, cyrage); fxrage cxrage * *pi/x; fyrage cyrage * *pi/y; [fx, fy] meshgrid(fxrage, fyrage); sigma 0.3; % Gaussiaa ms exp(-(fx.^ + fy.^)/(*sigma^)); smoothf F.* ms; smooth ifft(smoothf); figure, imshow(smooth, []); ftd F.*fx.*i; % Difereciacao ftd(:, x/+) 0; d ifft(ftd); figure, imshow(d, []); 9.5 Compressão de Images Como uma imagem é apeas uma matri de dados, qualquer algoritmo de compressão de dados pode ser usado para gerar compressão o arquivo imagem. No etato, podemos usar características da própria imagem para alcaçar mais altas taxas de compressão.

243 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 4 Por exemplo, um dos primeiros algoritmos utiliados especificamete para comprimir algus tipos de images é o algoritmo de ru-legth. Esse algoritmo armaea a quatidade de vees que uma cor se repete e qual essa cor. Ele é muito útil para algus tipos de images, pricipalmete, images com apeas duas cores. Cosidere, por exemplo, uma imagem em preto-e-braco de um documeto. Em geral, maior parte do documeto é papel, ou seja, tos em braco. Assim, esse exemplo, regiões iteiras da imagem podem ser codificadas com apeas um cotador e o valor do tom braco. Em algus casos como esse, o algoritmo de ru-legth é bastate eficiete. Para images coloridas em geral, o algoritmo ão fucioa bem, podedo até expadir o espaço de armaeameto ecessário para a imagem. No etato, esse algoritmo de compressão ecotra-se implemetado em uma variação do formato BMP, o BMP_RLE (Ru-Legth Ecodig). Outro algoritmo que sofreu uma variação e foi implemetado para images é o Lempel-Ziv. O LZ77 foi criado por Abraham Lempel e Jacob Ziv em 977, sedo um algoritmo de compressão diâmico. Ou seja, ele gera a codificação à medida que lê o arquivo de etrada. Isso é diferete de outros algoritmos clássicos de compressão de dados como o código de Huffma que, em sua versão clássica, primeiro lê todo o arquivo, gerado a codificação. Somete depois, outra varredura é feita para gerar a compactação. Em 984, Terry Welch propôs uma modificação o LZ77 (a qual foi chamada de LZW) que o torou mais eficiete. Essa modificação é, por exemplo, implemetada o formato GIF (Graphic Iterchage Format) para armaeameto de images de até 56 cores. O LZW é iicialiado com um dicioário básico de codificação e esse dicioário vai gahado ovos códigos à medida que o arquivo vai sedo lido. Na trasmissão ou armaeameto, apeas o dicioário básico é eviado com o arquivo. Durate a descompactação, o mesmo dicioário é formado automaticamete.

244 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 4 Uma forma mais ova para gerar compressão é através do uso de wavelets. A decomposição wavelet gera um dowsamplig em cada ível que, por defiição, já dimiui a quatidade de dados. Assim, é bastate atural que ela seja usada como mecaismo para gerar compressão. 9.6 Processameto de Images o MatLab O MatLab possui uma toolbox específica para o tratameto de images digitais. Essa toolbox possui diversos comados para as diversas técicas de processameto de images. Pelas próprias características do MatLab, ele se tora bastate apropriado para trabalhar com images. Por exemplo, a estrutura básica do MatLab é a matri e uma imagem ada mais é do que uma matri. Uma imagem é lida o MatLab e armaeada como uma matri do tipo uit8. Esse tipo armaea valores iteiros de 0 a 55 (correspodedo aos tos da imagem), mas ão podem ser usados com operadores de úmeros do tipo double como adição, subtração, multiplicação e divisão. Para tato, é preciso primeiro coverter a matri imagem para o tipo double. O seguite código apreseta diversas fuções do MatLab para images a prática: >> im imread ( lea.jpg ); % Leitura da imagem em tos de cia >> [li, col] sie(im); % lê o úmero de lihas e coluas de uma imagem % e armaea as variáveis li e col (variáveis quaisquer) >> imshow (im); % visualiação de images >> im double(im); % coversão da imagem para tipo umérico >> im im + 0; % aumeto do brilho de uma imagem >> im uit8(im); % volta ao tipo imagem >> imwrite (im, ome.bmp, bmp ); %salva a ova imagem O código acima apreseta apeas um exemplo de trabalho com images. No caso, uma imagem em tos de cia é carregada e armaeada a variável im.

245 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 43 Não há ecessidade de idicar o tipo da imagem já que isso é lido direto do cabeçalho da mesma. O MatLab aceita images do tipo bmp, jpg, tif, pcx e algus outros. A pricipal fução desse código é a leitura do arquivo da imagem com o comado imread. É possível esse comado ter dois argumetos de saída quado queremos armaear em uma variável a paleta de cores de uma imagem (o caso de images com até 56 cores). Isso pode ser feito da forma: [im, map] imread( lea.bmp ); Para images armaeadas o formato true color (4 bits) ão há paleta de cores. As matries R, G, B são armaeadas assim a imagem. Isso é tratado o MatLab como uma matri 3 dimesioal. Cada dimesõ cotém uma matri mx que correspode à matri de um dos tos (exatamete a ordem RGB). Para separar cada compoete, o seguite código pode ser utiliado: >> im imread( flowers.bmp ); % imagem 4 bits >> r im(:, :, ); % atribui todas as lihas e todas as coluas do primeiro plao % de im à variável r >> g im(:, :, ); % matri do segudo plao >> b im(:, :, 3); % matri do terceiro plao Nesse caso, observe que a leitura das dimesões da imagem deve ser feita como: >> [li, col, plao] sie(im); Ou seja, um terceiro parâmetro de saída deve ser usado. Podemos criar uma ova imagem 4 bits faedo: >> im uit8(eros(li, col, 3)); % criada uma imagem só de eros Cada plao dessa ova imagem pode receber os plaos da outra imagem, por exemplo: >> im(:, :, ) r; >> im(:, :, ) g; >> im(:, :, 3) b; Recorte de cores pode ser feito com os comados:

246 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 44 rgbgrey: coversão de 4 bits para tos de cia imbw: coversão para preto-e-braco (dado um poto de corte) rgbid: coversão de 4 bits para 56 cores As dimesões de uma imagem podem ser alteradas com o comado imresie: B imresie(a, M, method ) % Retora uma matri que é M vees maior (ou meor) que a imagem A % ode method % earest viiho mais próximo % biliear iterpolação biliear % bicubic iterpolação bicúbica % Exemplo: >> B imresie (A, 0.5, earest ); O comado imrotate rotacioa uma imagem: B imrotate(a, Âgulo, method ); ode method earest, biliear ou bicubic. Exemplo: >> A imread ( eight, tif ); >> B imrotate (A, 45, earest ); imhist calcula o histograma de uma imagem: >> h imhist(im). Quato a histograma, as fuções histeq e imadjust provocam a equaliação e a especificação do histograma de uma imagem, respectivamete. A filtragem de uma imagem pode ser coseguida com a fução filter. Observase que a fução devolve uma matri de valores reais. Assim, eles precisam ser arredodados e covertidos para uit8 para poderem ser visualiados e armaeados como uma imagem: >> im imread( lea.bmp ); >> h fspecial ( average, 5); % cria um filtro da média (box) >> im uit8(roud(filter(h, im)));

247 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 45 >> imshow (im); No código acima, usamos a fução fspecial para criar o filtro da média. O parâmetro 5 idica a ordem do filtro (dimesões da matri quadrada). A fução permite aida a criação de filtros: gaussia, sobel, prewitt, laplacia, log, average e usharp. Cada um com sua particularidade quato à ordem.

248 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Exercícios. Diferecie os processos de amostragem e quatiação.. Sobre filtros digitais: a. Como os filtros se classificam de maeira geral? b. Como se classificam os filtros lieares? Explique o resultado da aplicação de cada um desses tipos a uma imagem. 3. O que represeta o histograma de uma imagem e cite, pelo meos, duas características diferetes que podemos iferir de uma imagem olhado apeas para seu histograma (ou seja, sem precisar visualiar a imagem). 4. Cosidere a imagem abaixo: Qual a imagem resultate após a aplicação de um filtro Box 3x3? 5. No MatLab, aplique um mesmo filtro passa-baixa de ordes diferetes as images camerama.bmp e lea.bmp. Compare os resultados ecotrados e aalise as difereças à medida que as ordes se difereciam mais e mais. Explique os motivos das difereças ecotradas os resultados.

249 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Bibliografia Complemetar. Rafael Goale, Richard Woods, Digital Image Processig, Ed. Pretice- Hall, Joas Gomes, Lui Velho, Computação Gráfica: Imagem, Sociedade Brasileira de Matemática, Hélio Pedrii, Aálise de Images Digitais, Ed. Thomso, 007.

250 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Técicas de Codificação de Áudio e Vídeo Com a melhoria dos dispositivos digitaliadores, tem sido costate o aumeto a quatidade de dados a serem armaeados. Isso é mais sesível quado falamos de dados relacioados com áudio ou images. Para images, o problema agrava-se com vídeos que ada mais são do que seqüêcias de images. Para reduir o espaço ecessário para armaear tais arquivos (seja para fis de preservação ou trasmissão dos mesmos), algoritmos de compressão de dados são usados. A compressão de dados é uma forma de codificação que visa a reduir o tamaho dos dados com ou sem perda de iformação. Caso haja perda, essa perda pode ser relevate ou ão. Assim, ates de começarmos a falar de codificação de áudio e vídeo, precisamos eteder os coceitos associados à teoria dos códigos. 0. Teoria dos Códigos Codificação cosiste o mapeameto de um alfabeto (alfabeto fote) em outro (alfabeto código). Cada símbolo ou palavra da fote deve ser mapeada de forma úica ou ão em um código. O código pode ser formado por uma seqüêcia de símbolos do alfabeto fote. Por exemplo, seja o alfabeto fote S {A, B, C, D} que se deseja codificar usado bits (ou seja, o alfabeto código é apeas {0, }). Uma codificação possível seria: A 00 B 0 C 0 D Os códigos podem ser classificados da seguite maeira: Códigos de comprimeto variável ou de bloco Os códigos de comprimeto variável são aqueles que têm atribuídos códigos de comprimeto diferete a uma mesma palavra. Por exemplo, se A é codificado como 0 ou como 0, temos um código de comprimeto variável. Pode haver

251 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 49 diferetes comprimetos etre diferetes palavras de um código. Por exemplo, se: A 0 B 0 temos um código de bloco. Os códigos de bloco, por sua ve, podem ser divididos em sigulares ou ãosigulares. Nos códigos ão-sigulares todas as palavras código são distitas. Por exemplo: A 0 B Se há repetição, as palavras código, temos um código sigular. Por exemplo: A 0 B 0 C 0 Os códigos ão-sigulares são divididos em uicamete decodificáveis ou ão uicamete decodificáveis. Os códigos uicamete decodificáveis ão geram ambigüidades a decodificação; o mapeameto de volta ao alfabeto fote é feito de forma úica. Já os ão-uicamete decodificáveis geram ambigüidades. Por exemplo: A 0 B C 0 é um código uicamete decodificável, equato: A 0 B C 0 ão é. Se o receptor recebe a seqüêcia 0, ela pode ser decodificada em AB ou C.

252 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 50 Por último, os códigos uicamete decodificáveis podem ser divididos em istatâeos ou ão-istatâeos. Os códigos são ditos istatâeos se sua decodificação ão precisa de iformação futura. Por exemplo, o código: A 0 B 00 C 000 é ão istatâeo. Para decodificar uma seqüêcia de bits, precisamos ler o próximo bit para saber se ele é ero ou um, deotado o ecerrameto ou ão da seqüêcia. Já o código: A 0 B 00 C 000 é istatâeo; ao ecotrarmos um bit sabemos que o código acabou. Essa classificação pode ser vista em resumo a figura abaixo: Uma codição ecessária e suficiete para um código ser uicamete decodificável é que ehuma palavra completa do código seja prefixo de outra palavra qualquer.

253 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 5 Por exemplo, se: A 0 B 0 C? C ão pode receber ehum código que comece com 0 ou 0 para garatir que o código seja uicamete decodificável. A desigualdade de Kraft garate que um código é istatâeo. Se, para um código de base r, com q palavras, cada palavra com comprimeto Li, a desigualdade é satisfeita, etão o código é dito istatâeo. Por exemplo, cosidere o código: A 0 comprimeto Li B 0 comprimeto Li C comprimeto Li Número biário base r Ou seja, Isso garate que o código é istatâeo. McMilla mostrou que, se um código satisfa a mesma desigualdade, ele também é uicamete decodificável. Para um código, o comprimeto médio é calculado como: ode Li é o comprimeto de cada uma das q palavras do código e Pi é a probabilidade de cada palavra. Um código é dito compacto para uma fote S,

254 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 5 se seu comprimeto médio é meor ou igual ao comprimeto médio de todos os outros códigos uicamete decodificáveis para a mesma fote S. Já a taxa de compressão, C, para arquivos em geral, é medida como: C Comprimeto _ do _ Arquivo _ Origial Comprimeto _ do _ Arquivo _ Compactado 0. Algoritmos de Compressão Os algoritmos de compressão dividem-se em: - Algoritmos com perda ou sem perda - Algoritmos estáticos ou diâmicos O termo perda relacioa-se com perda de iformação. Algum símbolo que havia o arquivo origial e foi perdido o arquivo compactado. Depededo da fote e do ível de perda, essa perda pode ão ser sesível ao ser humao. Por exemplo, em termos de images, ão percebemos a difereça etre tos muito próximos, pricipalmete, se colocados em posições adjacetes em uma imagem. Assim, se o poto (i, j) em uma imagem tem tom de cia 30 e o poto (i, j + ) tem tom 3, ós ão coseguimos ver essa difereça. Assim, os dois potos podem passar a ter o valor 30 sem que osso sistema visual perceba. No etato, isso pode provocar um aumeto a taxa de compressão de um arquivo de imagem. Algoritmos baseados em wavelets e em quatiação vetorial são algoritmos de compressão com perda. Já algoritmos sem perda, temos o código de Huffma, o Ru-legth e o Lempel-Ziv-Welch. Algoritmos estáticos são algoritmos que geram toda a tabela de codificação ates de, efetivamete, codificar o arquivo. Em geral, tais algoritmos são ditos de dois passos: primeiro, eles lêem todo o arquivo a fim de gerar a tabela de codificação e, em seguida, eles precisam ler o arquivo de ovo para codificar o arquivo. Algoritmos diâmicos geram a codificação e codificam à medida que eles lêem o arquivo de etrada. Assim, todo o processo é feito em um passo apeas.

255 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 53 Vamos ver o exemplo de fucioameto de algus algoritmos, começado com algoritmos de compressão sem perdas. 0.. Código de Huffma Defiido por David Huffma em 95, é uma variação do algoritmo de Shao- Fao. O código de Huffma divide o cojuto de etrada em dois subcojutos, atribuido 0 a um deles e ao outro. Prossegue com a codificação da mesma forma. O algoritmo completo pode ser resumido da seguite forma: Orgaiam-se os símbolos em ordem decrescete de suas probabilidades; Uma fote reduida é formada a partir dos símbolos de meor probabilidade; Cotiua o passo aterior até que só restem símbolos; Atribui-se 0 a um dos símbolos e ao outro, aleatoriamete; Cotiua atribuido 0 s e s até chegar aos símbolos iiciais. Por exemplo, cosidere um arquivo com apeas 5 símbolos (a, b, c, d, e) dispostos a mesagem M da seguite forma: M a a a b b b c e c d Primeiro, deve-se calcular a probabilidade de cada símbolo. Assim, temos a com probabilidade de 0,3; b com probabilidade de 0,3; c com 0,; d com 0,; e e com 0,. Esses símbolos são listados em ordem decrescete de probabilidade. Os símbolos de meor probabilidade vão sedo agrupados, gerado símbolos cuja probabilidade é dada pela soma das probabilidades dos símbolos que os gerou e criado, assim, as chamadas fotes reduidas. O processo cotiua até que só reste uma quatidade de símbolos igual à base a que se deseja gerar a codificação (por exemplo, para uma codificação biária base o processo cotiua até que só restem dois símbolos). A figura abaixo represeta o processo:

256 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 54 A partir dos símbolos da última fote reduida, atribui-se 0 para um símbolo e para o outro, aleatoriamete. Esse processo vai se repetido pelas outras fotes reduidas até chegar aos símbolos da fote. A partir da peúltima fote, as atribuições de 0 s e s são feitas à direita dos símbolos, garatido que ehuma palavra do código será prefixo de outra (torado o código uicamete decodificável): No caso desse exemplo, a seguite codificação é gerada: a 0 ( bits) b ( bits) c 00 ( bits) d 00 (3 bits)

257 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 55 e 0 (3 bits) Assim, se o arquivo origial, cada símbolo ocupava 8 bits, tíhamos uma mesagem com 80 bits. Agora, apeas 6 bits são ecessários para codificar a mesagem (sem cotar o espaço ecessário para armaear a tabela de codificação). O comprimeto médio desse código é,6. Nesse exemplo, podemos observar algumas características do código de Huffma: ) O código gerado é uicamete decodificável e istatâeo. ) A codificação atribuiu para os símbolos de maior probabilidade os meores códigos (claro, observado, as codições para garatir o item acima). O código de Huffma é um algoritmo de compressão sem perda e estático. Sua codificação é dita bottom-up já que podemos comparar a estrutura motada como uma árvore ivertida (a rai embaixo) cuja codificação iria da rai às folhas. Existem algumas variações do código de Huffma como a versão para multi-símbolos, o código de Huffma adaptativo, o trucado e a versão modificada. O problema do código de Huffma é que, depededo da quatidade de símbolos o código fote, sua codificação pode atigir rapidamete grades quatidades de bits. Uma tabela de codificação deve ser aexada ao arquivo, permitido sua decodificação. Uma variação o código de Huffma é a Codificação Aritmética. Ela fucioa basicamete da mesma forma que o código de Huffma, mas gera a codificação baseado-se em itervalos ao ivés de probabilidades. Cada símbolo da fote será represetado por um itervalo, ode, à medida que o itervalo se tora meor, o úmero de bits ecessário para especificá-lo aumeta.

258 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 56 A codificação aritmética é utiliada em parte da compactação do formato JPEG para images. 0.. Ru-legth O algoritmo de ru-legth é um dos mais simples. Ele é apropriado para algus tipos de arquivos em codições específicas. Por exemplo, images em preto-ebraco com grades quatidades de um dos tos, como uma imagem de um documeto ode a maior parte é o braco do papel. O ru-legth armaea, como o ome di, comprimetos de carreiras. Sua codificação é da forma: <cotador, símbolo> ode o cotador di quatas vees o símbolo se repete em seqüêcia. Por exemplo, para a seqüêcia: o resultado da codificação seria: <3, 0> <, 30> <3, 45> <, 60> Como dito ates, se o arquivo tem grades repetições de um mesmo valor, essa codificação pode se mostrar bastate eficiete. O ru-legth é implemetado em uma versão do formato BMP para armaeameto de images (o BMP_RLE) Algoritmo de Lempel-Ziv-Welch Criado por Abraham Lempel e Jacob Ziv, o LZ-77 é um algoritmo de compressão diâmico e sem perda. Em 984, Terry Welch modificou o algoritmo, criado uma versão mais eficiete que é a utiliada hoje em dia, o LZW. No LZW, a codificação começa com um dicioário base o qual cotém a codificação dos símbolos da fote. Esse dicioário vai gahado ovos símbolos à medida que o arquivo origial vai sedo lido e codificado.

259 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 57 Por exemplo, cosidere o dicioário base abaixo (sem os preocuparmos com o código que foi atribuído a cada símbolo da fote): X # Y # Z #3 W #4 e a seguite mesagem M: M XYXZXYXW Ao ler o primeiro símbolo da mesagem (X), o algoritmo verifica se esse símbolo está o dicioário. Se estiver, atribui a codificação (#). Em seguida, o próximo símbolo (Y) é lido e codificado de acordo com o dicioário (#). Agora, o algoritmo verifica se XY (o símbolo aterior completo cocateado com o atual) fa parte do dicioário. Se ão fa parte, ele é acrescetado com uma ova codificação (por exemplo, #5). O dicioário agora passa a ter essa etrada. O processo prossegue, acrescetado ovas etradas que passam a poderem ser usadas a codificação. No etato, apeas o dicioário base é armaeado juto com a mesagem codificada. Ao decodificar, o dicioário base é utiliado e é estedido da mesma forma que foi feito a codificação. 0.3 Algoritmos de codificação multimídia Os algoritmos de compressão com perdas mais cohecidos utiliados em multimídia são: MPEG- MPEG é a sigla de Movig Pictures Experts Group, que é um grupo de pesquisadores que desevolvem padrões para compressão de áudio e vídeo. O MPEG- é o padrão origial do MPEG e é capa de codificar áudio e vídeo a uma taxa de,5 Mbps.

260 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 58 O MPEG defie três íveis ou camadas de compressão para áudio. Em cada camada o ível de compressão é mais complexo e exige mais poder computacioal. A terceira camada (layer 3) se torou bastate popular para a compressão de áudio e atualmete é o que cohecemos como MP3, ou melhor, MPEG Layer 3. MPEG- É um padrão de compactação de maior qualidade utiliado em radiodifusão por satélite, por exemplo. Pode ser utiliado em trasmissões a taxas de 4 a 9 Mbps. Uma versão modificada do MPEG- é usada pelo padrão HDTV e também os DVDs. MPEG-4 e derivados - O padrão MPEG 4 e seus derivados (DiVX, XViD, etc.) é um dos mais usados atualmete. Devido à melhoria dos recursos computacioais, pricipalmete, eles podem oferecer qualidade semelhate à MPEG- sem ocupar tato espaço. Vamos detalhar mais sobre compressão de áudio e vídeo a seguir: 0.3. Codificação de Vídeo A fim de avaliar sistemas de compressão de vídeo, os seguites parâmetros devem ser cosiderados quato ao desempeho da compressão: Quatidade ou grau da compressão Qualidade da Imagem Velocidade da compressão e descompressão É preciso aalisar também a implemetação em hardware ou software. O grau da compressão é, geralmete, avaliado como uma raão etre os dados de saída e os de etrada. Essa medida, o etato, pode traer problemas para images (estáticas ou diâmicas) quado temos uma matri m versus com aida uma quatidade de bits por pixel para represetar a cor. Uma maeira

261 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 59 mais eficiete de especificar o total de compressão é determiar o úmero de bits por pixel apresetado (displayed) ecessário o bitstream comprimido. Por exemplo, se estamos reproduido uma imagem 56x40 pixels de um bitstream de byte, estamos comprimido: (bits)/(pixels) (5.000x8 bits)/(56x40 pixels) bits por pixel A taxa de compressão apeas, o etato, ão é medida suficiete para avaliar um sistema. Outro fator igualmete importate é a qualidade da imagem gerada. Nesse setido, podemos dividir os algoritmos de compressão, de uma maeira geral, em com perda ou sem perda. Nos algoritmos de compressão sem perda, ão há ecessidade de avaliar a qualidade da imagem já que ela é exatamete igual à imagem origial. Nesse caso, porém, deve ser feita a trasmissão de todos os pixels da imagem. Algoritmos de compressão sem perda, ormalmete, geram uma quatidade maior de dados a serem trasmitidos. Algoritmos de compressão com perda provocam alguma mudaça a imagem. O objetivo, porém, é faer com que essa mudaça ão seja perceptível pelo usuário. Algoritmos de compressão com perda podem iserir diversos artefatos a imagem e ão é fácil quatificar o desempeho desses algoritmos. Normalmete, essa avaliação é feita com algum critério subjetivo. Tais algoritmos aida traem um outro problema a ser tratado: a velocidade de compactação e descompactação. Para vídeo, esse é um problema fudametal, pois são milhares de images (quadros ou frames) que são compactados/descompactados. Se, para images, uma compactação/descompactação de segudo é cosiderada rápida, para vídeos essa é uma taxa iaceitável. Uma taxa mais rápida está associada ao algoritmo utiliado e a como esse algoritmo é implemetado (hardware ou software). Na maioria dos casos, hardware específico é ecessário para coseguir implemetar os algoritmos com a máxima eficiêcia. Saída do compactador.

262 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 60 Os algoritmos de compressão buscam reduir a quatidade de elemetos redudates o arquivo. Em images de vídeo digital essa redudâcia pode ser ecotrada de diferetes formas: Algumas áreas do frame possuem a mesma cor que se espalha por mais de um pixel (redudâcia espacial); Quado a cea ou parte dela cotém predomiatemete objetos orietados verticalmete existe grade probabilidade que duas lihas adjacetes sejam as mesmas (redudâcia espacial); Images ode algus pixels se repetem por diversos frames (redudâcia temporal). Algoritmos de compressão podem explorar essas características de redudâcia a fim de coseguirem uma melhor taxa de compressão. Outros elemetos podem ser cosiderados pelo algoritmo de compressão. Por exemplo, quato à resolução de cor, o sistema visual humao tem certas limitações quato à percepção de cores. Não coseguimos difereciar cores que estão muito próximas o espectro. Necessitamos de uma difereça de até 0 tos (em termos de sistema computacioal de cores) para perceber duas cores adjacetes diferetes. Assim, podemos coverter duas cores adjacetes que teham uma distâcia meor do que 0 etre elas para que se torem uma mesma cor. Com isso, iserimos elemetos redudates que melhoram os resultados de algoritmos de compressão (observamos que essa mudaça provoca perdas a imagem mesmo elas ão sedo perceptíveis, são mudaças a imagem origial). As pricipais técicas de compressão de vídeo são baseadas em:

263 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 6 Color Look-Up Table: o pixel a matri da imagem correspode a verdade a um ídice para uma tabela que aloca as cores reais. Codificação Ru-legth: já explicada ateriormete. Técicas de iterpolação: compressão através de iterpolação atua a ível de pixel e cosiste de trasmitir um subcojuto de pixels, usado técicas de iterpolação para recostruir os pixels itermediários. Iterpolação é sugerida para ser usada em sistemas baseados o modelo YIQ (como o NTSC) ou YUV (como o Pal). Técicas preditivas: técicas de compressão preditivas são baseadas o fato que podemos armaear um elemeto aterior (como um frame, por exemplo) e usar essa iformação para predier qual o próximo elemeto. o DPCM: a forma mais simples de compressão preditiva é chamada de PCM diferecial (ou DPCM, ode PCM pulse code modulatio). Em DPCM, pixels adjacetes são comparados e apeas a difereça etre eles é trasmitida. Há uma grade probabilidade de alta compressão por esse método porque pixels adjacetes, em geral, têm cores muito próximas. Assim, espera-se uma difereça pequea que pode ser trasmitida em uma quatidade meor de bits. Um problema de DPCM ocorre quado a difereça etre os pixels ultrapassa o limite de represetação da quatidade de bits adotada pelo sistema. Por exemplo, supoha um sistema que use apeas 4 bits para armaear/trasmitir a difereça etre tos. Se há uma região de mudaça de preto para braco, essa mudaça ão poderá acotecer etre pixels adjacetes, pois ão haveria como represetá-la. Seria ecessário um certo úmero de pixels itermediários para coseguir a

264 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 6 represetação. Esse efeito é chamado de slope overload. Esse efeito pode provocar um embaçameto a imagem. o ADPCM: O slope overload pode ser reduido torado o DPCM adaptativo (ADPCM). Uma forma simples de implemetá-lo é torado adaptativa a quatidade de bits ecessária para armaear a difereça etre os pixels. O uso de ADPCM pode provocar ruídos as regiões de alta freqüêcia. Técicas de codificação por trasformadas: uma trasformada é uma técica que coverte um cojuto de dados de um domíio para outro mais apropriado para a aplicação. As trasformadas, em geral, são reversíveis. Uma das trasformadas mais utiliadas para compressão de imagem e vídeo é a Trasformada Discreta do Cosseo (DCT). o DCT: A DCT é executada em blocos adjacetes de pixels (em geral, 8x8). Assim, 64 pixels por ve são processados pela DCT. A DCT é calculada como: ode Sedo a iversa calculada como: A DCT está relacioada com a DFT; a DFT, de fato, é um passo o cálculo da DCT para uma seqüêcia. A DCT, o etato, tem

265 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 63 propriedades de compactação de eergia, com apeas us poucos coeficietes da trasformada represetado a maior parte da eergia da seqüêcia. Essas propriedades faem a DCT bem apropriada para compressão de dados. Por causa dessa compressão, é possível recostruir um sial a partir de apeas algus coeficietes da DCT. Apesar de serem relativamete fáceis de implemetar em qualquer liguagem de computador, a compressão de images demada um grade poder de processameto e por isso precisa ser otimiada ao máximo. O uso da DCT em images grades, apesar de apresetar ótimos resultados, exige um processameto muito grade. Por isso a prática a estratégia que se adota é de dividir a imagem em blocos de tamaho meor (em geral de tamaho 8x8 pixels, como o JPEG), levado a ossa primeira otimiação: Otimiação : a imagem a ser tratada deve ser dividida em blocos meores facilitado a computação das trasformadas. Outra justificativa para esta abordagem é que apesar de terem bastate correlação com os viihos próximos, existe pouca ou ehuma correlação etre potos distates de uma mesma imagem. Os gahos de processameto com esta abordagem suplatam em muito as perdas em termos de compressão. O cálculo das fuções de cosseo, por ser uma fução trascedetal, também exige bastate poder de processameto. Se verificarmos a fórmula da trasformada discreta de cosseo veremos que podemos pré-calcular todos os valores de cosseo a serem utiliados, e depois disto apeas realiar operações

266 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 64 aritméticas de soma e multiplicação. Isso os leva a seguda regra: Otimiação : os cosseos utiliados devem ser précalculados e armaeados, realiado-se assim apeas operações aritméticas ao se calcular a fórmula da trasformada. Ao aplicar a trasformada discreta de cosseo, os coeficietes mais sigificativos se acumulam o iício do vetor (ou matri) dos dados, ficado o restate com valores muito pequeos e carregado pouca iformação. Este tipo de distribuição já é suficiete para que uma técica de redução de redudâcia (como os algoritmos LZ77, LZ78 ou LZW) ou uma codificação otimiada (como codificação de Huffma ou codificação aritmética) produam melhores resultados do que a imagem ou os dados origiais. Etretato, por trabalharmos sempre com uma precisão fiita as represetações uméricas utiliadas, acabamos por ter uma perda os dados. Portato, mesmo sem aplicar ehuma forma de quatiação, a compressão usado trasformada discreta de cosseo é uma compressão com perdas. Etretato, a forma mais comum e que gera melhores resultados, é a aplicação de uma operação de quatiação os dados gerados pela trasformada, e armaear apeas os dados quatiados. Essa quatiação permite uma maior eficiêcia das técicas de codificação e elimiação de redudâcia utiliadas. Algumas formas de quatiação ormalmete utiliadas com a trasformada discreta de cosseo são: Elimiação dos compoetes meos sigificativos (determia-se um patamar de valor ou mesmo de posição

267 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 65 a matri de resultados da trasformada, e elimia-se ou substitui-se esses valores por 0). Divisão iteira dos valores por um coeficiete de quatiação fixo (assim pode-se usar meos dígitos, ou bits, para se represetar os valores). Divisão iteira por uma matri de coeficietes de quatiação (Esta técica é a empregada pela maioria dos padrões de compressão de dados, pois é mais flexível e permite que se ajuste a matri a qualidade desejada da imagem). Codificação estatística: como o código de Huffma ou a codificação aritmética. Detre os formatos mais utiliados para compressão de áudio e vídeo, temos: MPEG (Movig Picture Expert Groups) DiVX Vamos detalhar cada um desses. MPEG Na década de 80, ficou claro a ecessidade de aliar imagem com tecologia digital. Nesse setido, em 988 ISO esquematiou o MPEG (Movig Picture Experts Groups), para desevolver padrões para o vídeo digital. Foram defiidos três ites a serem desevolvidos:. Vídeo e áudio associados a uma taxa de.5 Mbps (mais tarde chamado de MPEG-);. Images em movimeto e áudio associados a uma taxa de 0 Mbps (mais tarde chamado de MPEG-);

268 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Images em movimeto e áudio associados a uma taxa de 60 Mbps (mais tarde reduido para 40 Mbps e etão cacelado). MPEG era orietado como imagem digital armaeada em Mídia de armaeagem digital (DSM - Digital Storage Media). MPEG- foi orietado como broadcast. MPEG-3 para televisão de alta-defiição (HDTV). Equato os padrões se desevolviam ficou claro que as técicas empregadas os padrões poderiam ser usados em qualquer bit-rate (quatidade de bits ecessários para codificar um segudo de iformação, seja esta vídeo, áudio ou ambos). Assim, os títulos dos que icluíam a taxa de trasmissão foram alterados para MPEG- e MPEG- e ficou claro que MPEG- poderia satisfaer as ecessidades do HDTV, assim, o MPEG-3 foi descartado. O vídeo, áudio, ou qualquer outra iformação para um serviço codificado em MPEG deve ser multiplexado um úico fluxo de bits. Essa é a pricipal tarefa do MPEG- Systems. Quado o multiplexador está recebedo um fluxo de bits de vídeo e áudio comprimidos, como eles devem ser multiplexados para que o decodificador possa obtê-los sicroiados? Uma outra tarefa do sistema é forecer meios para essa sicroiação. Apesar de que um fluxo MPEG represeta um fluxo costate de bits, os bits precisam ser orgaiados em grupos (pacotes) para que erros de bit ão se propaguem além das froteiras de um úico pacote. Geralmete, quato maior o pacote, mais suscetível ele é aos erros de bit. Por outro lado, agrupado os bits em pacotes cria um maior tráfego para acomodar os cabeçalhos dos pacotes. Geralmete quato meores os pacotes, maior o tráfego. Assim, existe um trade-off etre escolher o tamaho do pacote e sua resiliêcia e eficiêcia. Podese cosiderar, portato, que formar pacotes é uma terceira fução para os MPEG Systems.

269 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 67 Na maioria dos casos, decodificadores ecessitam de Iformações Específicas do Programa (PSI - Program Specific Iformatio) para decodificar o os dados que chegam. Forecer estas PSIs é a quarta tarefa do MPEG Systems. Um MPEG Systems deve: ) Multiplexar fluxos de bits idividuais um úico fluxo de bits. ) Prover maeiras para sicroiar os fluxos de bits que compõem um serviço de áudio e/ou vídeo. 3) Empacota os bits em grupos. 4) Provê iformações específicas chamadas PSI. Nos MPEG- Systems, um programa é defiido como o cojuto de Fluxos Elemetares sigificativos, como áudio e vídeo, que têm a mesma base de tempo. Um arquivo MPEG é um arquivo digital cotedo vídeo e áudio digitais codificados seguido determiados padrões de compressão e armaeados em um dado formato específico. O comitê ISO especifica separadamete o tratameto de áudio e de vídeo, permitido streams sem áudio, por exemplo. Um filme é uma seqüêcia de blocos. Cada bloco do filme cotém seções idividuais para o vídeo e para o áudio. A sicroiação etre o vídeo e o áudio é feita através de marcadores de tempo que são fixados durate a codificação os idetificadores de blocos. O padrão MPEG especifica 3 tipos de quadros comprimidos o arquivo de saída. Nos quadros I (Itraframe) somete se aplicam algoritmos de redução de redudâcia espacial. Nos quadros P (Predicted) e B (Bidirectioally Predicted) também se aplicam algoritmos de redução de redudâcia temporal. No caso dos quadros B a predição de movimeto é bidirecioal, ou seja, é feita com quadros o passado e o futuro em relação ao quadro sedo codificado.

270 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 68 Os quadros apresetam diferetes taxas de compressão, sedo que os quadros B apresetam a maior taxa, seguidos dos P e dos I (Tabela 0.). Isto se deve ao fato de que os quadros I elimiamos apeas a redudâcia espacial. Quato maior a compressão, maiores as perdas de qualidade sofridas os quadros, por isso há a ecessidade de itercalar quadros I de tempos em tempos para permitir a restauração da qualidade do sial e também acesso aleatório aos quadros do filme (Fig. 0.). Uma aálise bilateral (observado frames passados e futuros) é importate para permitir que frames futuros sejam usados em uma predição mais correta. Tabela 0.. Taxa de compressão de cada tipo de quadro o MPEG. Quadro Taxa de Compressão I 0-0: P 0-30: B 30-50: Fig. 0.. Disposição dos quadros o formato MPEG. O padrão publicado pela ISO especifica o formato fial do arquivo comprimido, deixado margem para que diferetes abordages possam ser utiliadas, com diferetes compromissos etre compressão e complexidade computacioal. Além disso, também faem parte do padrão:

271 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 69 Uso da Trasformada Discreta do Cosseo (DCT), seguida de Quatiação e Ru Legth Ecodig (RLE) para redução da redudâcia espacial de cada quadro do filme; Uso de Motio Estimatio e Motio Compesatio (MEC) preditiva e iterpolativa para redução de redudâcia temporal etre quadros e Uso de Codificação de Huffma ao fial do processo, gerado a compressão efetiva. A DCT fa uma trasformação a imagem, mudado o domíio de represetação da mesma. Este processo ão itrodu perdas de qualidade a imagem, sua utiliação se dá porque ela permite uma represetação mais compacta da imagem, facilitado a compressão. O uso da DCT fa com que as maiores frequêcias se cocetrem o cato superior esquerdo da matri (Fig. 0.-direita, quadro em vermelho). Por exemplo, cosidere que a Fig. 0.-esquerda temos o resultado da coversão de uma imagem do formato RGB para o formato YCbCr (mais idicado para vídeo). Após a aplicação da DCT esse bloco da imagem, temos como resultado a matri apresetada a Fig. 0.-direita. Fig. 0.. Aplicação da DCT: (esquerda) região 8x8 da imagem em YCbCr e (direita) o resultado da aplicação da DCT essa região.

272 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 70 Após a aplicação da DCT, uma quatiação é feita tomado uma matri de quatiação fixa (Fig. 0.3-esquerda). Cada valor da matri gerada pela DCT é dividido pelo valor correspodete a máscara de quatiação e arredodado para um iteiro. O resultado para a matri DCT da Fig. 0.-direita é apresetado a Fig. 0.3-esquerda. Fig (esquerda) Matri de quatiação e (direita) resultado da quatiação da matri DCT da Fig. 0.-direita. Observamos essa matri quatiada uma grade preseça de valores ero. Assim, podemos agrupá-los, usado, por exemplo, uma codificação ru-legth. Para tê-los agrupados de forma mais adjacete, uma leitura em ig-ag (Fig. 0.4) é feita essa matri. Fig Leitura em ig-ag da matri DCT para aplicação da codificação Ru- Legth.

273 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 7 Existem diferetes formas de se detectar movimeto de objetos uma seqüêcia de images. O padrão MPEG adota algoritmos de MEC baseados em casameto de blocos. Este algoritmo cosiste a procura de um bloco de tamaho fixo (6x6 pixels o padrão MPEG) de um quadro em uma jaela de busca em um quadro seguite (ou aterior). Esta jaela pode ser de tamaho variável, mas o tamaho usual é de 30x30 pixels. A Fig. 0.5 mostra um exemplo de tal técica. Fig Aplicação de Motio Estimatio. O padrão MPEG usa uma variação da DCT chamada MDCT (Modified DCT): S i k 0 x k π cos( [k + + ](i + )), i 0,,..., E a sua iversa, cohecida como IMDCT é dada por: x k / i 0 S i π cos( [k + + ](i + )), k 0,,..., DivX O DivX é um codec de vídeo criado pela DivX, Ic. Ele foi produido para ser usado em compactação de vídeo digital, deixado os vídeos com qualidade, apesar da alta compactação, utiliada para ocupar meos espaço o Disco rígido. Para alcaçar tal compactação é ecessário muito processameto, o que pode faer com que um computador tecologicamete defasado demore para

274 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 7 realiar a operação ou teha dificuldades para realiar a exibição. O DivX é compatível com Widows, Liux, Solaris e Mac OS X. Atualmete, os arquivos DivX estão amplamete presetes as redes dos programas de PP, devido ao seu reduido tamaho e à ótima qualidade. O método de compactação DIVX fucioa como um MP3 para vídeo. Mas, ao cotrário do MP3, que apaga sos sobrepostos que osso cérebro ão coseguiria recohecer, o DIVX tora repetitivas as images que ão se modificam o decorrer dos frames (quadros) que formam o vídeo. Simplificado: tomado-se uma cea ode a câmera é estática e fudo ão se modifica, o codec DIVX grava um úico frame dessa imagem e repete-o até a imagem sofrer alguma alteração. Na mesma cea, caso haja uma pessoa adado, somete os pixels em que sua imagem se sobrepõe são modificados. O resto da cea pode ser cosiderado, grosseiramete, como uma foto estática ao fudo do vídeo. Desta forma, são guardados muito meos dados pelo vídeo compactado, resultado um arquivo de tamaho reduido com uma perda de qualidade pequea. Assim como que em outros programas e plug-is ecotrados a Iteret, para se coverter um arquivo de vídeo em formato ão compactado para um em DivX é preciso comprar o DivX Codec que é o software resposável por esta tarefa, porém, se seu objetivo é apeas o de assistir os vídeos já compactados em DivX, é possível se faer o dowload gratuito do tocador (player) o site oficial da DivX, Ic ou em quaisquer sites de dowloads Codificação de Áudio Um dos primeiros sistemas desevolvidos para compressão de áudio usa métodos parecidos com o algoritmo de ru-legth. A idéia da compressão usada em arquivos VOC é a redução dos chamados blocos de silêcio. A vatagem é a redução do tamaho a até um quarto do tamaho origial. No etato, como desvatages têm a degradação o som, ão é possível uma coversão para

275 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 73 outro formato e só é aplicado a arquivos amostrados com baixas taxas. Blocos de silêcio são marcadores que cotêm um valor de duração do tempo que represeta a extesão do silêcio ou quase silêcio. Silêcio é defiido como a amplitude da forma de oda que ão ultrapassa a jaela de silêcio. Uma extesão de silêcio meor que a jaela é cosiderada muito curta para merecer a coversão para bloco de silêcio. Os Blocos de silêcio ão existem a maioria dos formatos de arquivos de áudio. Outro problema é que pode haver uma cofusão do silêcio com o iício de um som (como um fricativo iaudível - /f/, /s/, /sh/) (Fig. 0.6). Fig Som fricativo iaudível que pode ser cofudido com um silêcio por ter baixas amplitudes em parte dele.

276 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 74 MP3 MP3 é uma abreviação de MPEG Layer-3 (camada 3). Trata-se de um padrão de arquivos digitais de áudio estabelecido pelo Movig Picture Experts Group (MPEG), grupo de trabalho de especialistas de Tecologias da Iformação viculado ao ISO e à CEI. As camadas referem-se ao esquema de compressão de áudio do MPEG-. Foram projetadas em úmero de 3, cada uma com fialidades e capacidades diferetes. Equato a camada, que dá meor compressão, se destia a utiliação em ambietes de áudio profissioal (estúdios, emissoras de TV, etc) ode o ível de perda de qualidade deve ser míimo devido à ecessidade de pré-processameto, a 3 se destia ao áudio que será usado pelo cliete fial. Como se espera que esse áudio ão sofrerá ovos ciclos de processameto, a compressão pode ser meos coservadora e aproveitar melhor as características psicoacústicas do som limitado-se apeas pela qualidade desejada para o ouvido humao. A compressão típica da camada é de : equato a da 3 é de 0:. É importate lembrar que essa difereça da compressão ão tem ada a ver com uma camada ser mais avaçado que o outro tecologicamete, mas sim com o objetivo da aplicação do áudio ser processado. Um erro comum é cofudir o MP3 com MPEG-3. MPEG-3 é um formato morto, pois o formato MPEG-4 o suplatou com muitas vatages. Equato o MPEG-3 deveria ter sido um formato para compressão tato de áudio como de vídeo o MP3 respode apeas pela compressão de áudio do MPEG-. As taxas de compressão alcaçadas pelo MP3 chegam a até vees, depededo da qualidade desejada. Para faer isso o MP3 utilia-se, além das técicas habituais de compressão, de estudos de psico-acústica, sedo que estes permitem aproveitar-se das limitações e imperfeições da audição humaa. A utiliação dos limites da audição humaa baseia-se em três pricípios básicos:

277 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 75 Faixa de freqüêcia audível dos seres humaos; Faixa de freqüêcia audível humaa: O ouvido humao, devido às suas limitações físicas, é capa de detectar sos em uma faixa de freqüêcia que varia de 0 H a 0 KH, sedo que estes valores podem variar de idivíduo para idivíduo e também com a idade (com o evelhecimeto perdemos a capacidade de ouvir freqüêcias mais altas). Assim, ão fa setido armaear dados referetes a sos fora desta faixa de freqüêcia, pois ao serem reproduidos, os mesmos ão serão percebidos por um ser humao. Esta é a primeira limitação da audição humaa do qual o sistema MP3 fa uso para alcaçar altas taxas de compressão. De acordo com o Teorema de Nyquist, para garatir a reprodução de um sial, temos de amostrá-lo pelo meos a duas vees sua freqüêcia máxima. Ou seja, este caso, como a freqüêcia máxima de iteresse é 0 KH, basta amostrar a 40 KH. Utilia-se H como taxa de amostragem, pois leva-se em cosideração 0% de tolerâcia e busca-se um valor produto dos quatro primeiros úmeros primos (Obs: (x3x5x7)^ 4400). Dessa forma, esta taxa de amostragem fucioa como um filtro passa-baixa, que remove todos os compoetes de freqüêcia fora da faixa de iteresse, este caso, acima de 0 Kh. Limiar de audição a faixa de freqüêcia audível; Limiar de audição a faixa de freqüêcia audível: Outro fator utiliado pela codificação MP3 é a curva de percepção da audição humaa detro da faixa de freqüêcias audíveis, ou Limiar de Audição. Apesar da faixa de audição humaa variar etre 0H e 0KH, a sesibilidade para sos detro desta faixa ão é uiforme. Ou seja, a percepção da itesidade de um som varia com a freqüêcia em que este se ecotra. Assim, o MP3 utilia-se desta propriedade para obter compressão em arquivos de áudios. Esta abordagem é bastate ituitiva, sedo que o que se fa é descartar amostras que se ecotrem abaixo deste limiar.

278 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 76 Mascarameto em freqüêcia e mascarameto temporal. Mascarameto em freqüêcia e mascarameto temporal: Por fim, uma última propriedade da audição humaa aida é utiliada pelo método é o chamado mascarameto auditivo, ou audiabilidade dimiuída de um som devido à preseça de outro, podedo este ser em freqüêcia ou o tempo. O mascarameto em freqüêcia ocorre quado um som que ormalmete poderia ser ouvido é mascarado por outro, de maior itesidade, que se ecotra em uma freqüêcia próxima. Ou seja, o limiar de audição é modificado (aumetado) a região próxima à freqüêcia do som que causa a ocorrêcia do mascarameto, sedo que isto se deve à limitação da percepção de freqüêcias do ouvido humao. O mascarameto em freqüêcia depede da freqüêcia em que o sial se ecotra, podedo variar de 00 H a 4 KH. Em fução deste comportameto, o que o método de compressão do MP3 fa é idetificar casos de mascarameto em freqüêcia e descartar siais que ão serão audíveis devido a este feômeo. Além do mascarameto em freqüêcia, temos aida o mascarameto o tempo, sedo que este ocorre quado um som forte é precedido por um mais fraco que se ecotra em uma freqüêcia próxima à do primeiro. Se o itervalo de tempo etre os dois for suficietemete pequeo, este som mais fraco ão será percebido pela audição humaa. Se um som é mascarado após um som mais forte, temos o chamado pós-mascarameto. No caso de um som ser mascarado ates do som mais forte, temos o que chamamos de prémascarameto. O pré-mascarameto existe só por um curto mometo, cerca de 0ms, equato que o pós-mascarameto tem efeito por até 00 ms. O método de compressão do MP3 utilia-se, portato, deste feômeo, idetificado casos ode o mesmo ocorre e descartado sos que seriam mascarados, o que permite reduir a iformação de áudio cosideravelmete sem mudaça audível.

279 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 77 A Thomso Cosumer Electroics cotrola o liceciameto da patete do MPEG-/ Layer 3 os poucos países que recohecem patetes de software, tais como Estados Uidos da América e Japão. Em setembro de 998, o Istituto Frauhofer eviou um comuicado a diversos desevolvedores de programas MP3, exigido cobraça de royalties por essa patete. O comuicado iformava que o liceciameto era ecessário para "distribuir e/ou veder decodificadores e/ou codificadores", e que os produtos ão liceciados ifrigiam os "direitos sobre a patete do Istituto Frauhofer e da Thomso. Para produir, veder e/ou distribuir produtos que se utiliem do padrão MPEG-/ Audio Layer 3 e, portato, de suas respectivas patetes, é ecessário obter uma liceça". O sistema empregado pelo MP3 também possibilita trasmissões por streamig, ode o arquivo pode ser iterpretado a medida em que é feito o dowload ou em que é baixado (ão é ecessário que o arquivo chegue iteiro para iiciar a reprodução). 0.4 Implemetações o MatLab 0.4. Processameto de Vídeo o MatLab O MatLab tem algumas fuções para processameto de vídeo, trabalhado mais facilmte com arquivos do tipo AVI (Audio Vídeo Iterleave), aceitado algus CODECs (codificadores/decodificadores) mais cohecidos como o XViD. É possível abrir arquivos MPEG também. Fuções de Video file import/export: aviread Lê arquivo de vídeo (AVI) aviifo - Retora iformação sobre o arquivo AVI avifile - Cria um ovo arquivo AVI mmreader Lê frames de vídeo de um arquivo multimídia (como MPEG)

280 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 78 mmfileifo - Retora iformação sobre o arquivo multimídia movieavi Cria filme AVI a partir de um filme MATLAB (.mov ão do Quicktime) Exemplo: >> ifo aviifo('video.avi') ifo Fileame: 'D:\MATLABR008b\work\video.avi' FileSie: FileModDate: '03-mai-00 9:53:44' NumFrames: 3 FramesPerSecod: 5 Width: 30 Height: 40 ImageType: 'truecolor' VideoCompressio: 'oe' Quality: 4.950e+007 NumColormapEtries: 0 Para acessar as iformações: >> ifo.numframes as 3 >> h ifo.height; >> w ifo.width; A leitura do arquivo de vídeo é feita pelo comado aviread (arquivo AVI): >> mov aviread('video.avi'); É possível acessar um frame específico do arquivo de vídeo:

281 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 79 >> mov aviread('video.avi', 3); No caso, o 3º frame está sedo lido. Mas o arquivo de saída cotiua sedo um arquivo de vídeo: >> whos Name Sie Bytes Class Attributes mov x struct Observe que a saída mov é do tipo struct. >> mov mov cdata: [40x30x3 uit8] colormap: [ ] >> mov mov.cdata; Agora, temos um arquivo de imagem que pode ser exibido como tal: >> imshow (mov) Para exibição do vídeo podemos usar o comado movie: >> movie(mov, repetições, ifo.framespersecod); O parâmetro repetições idica quatas vees o vídeo será repetido. A coversão de images para frame é feita com o comado imframe: >> mov(i) imframe(imagem, map);

282 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 80 Isso fa com que imagem seja iserida como frame i do arquivo de vídeo mov com mapa de cores especificado em map. Variado i criamos o arquivo de vídeo a partir de diversas images. O MatLab permite também o processameto de vídeo usado o módulo Simulik. As fuções (para imagem e vídeo) podem ser acessadas através do muu Vídeo ad Image Processig Blockset coforme a Fig Fig Acesso aos blocos de processameto de imagem e vídeo pelo Simulik. As possíveis etradas para o sistema são acessadas pelo item sources equato as saídas podem ser geradas pelos blocos siks (Fig. 0.8).

283 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 8 Fig Etrada e saída de dados multimídia via Simulik. A Fig. 0.9 apreseta um esquema simples com um vídeo exemplo do MatLab iserido e apresetado. Para executar a simulação, basta clicar em Simulatio- >Start (tecla de atalho: CTRL+T).

284 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 8 Fig Sequêcia de blocos do Simulik para apresetar um vídeo. Outros blocos podem ser colocados etre a etrada e saída para gerar processameto do vídeo como a Fig. 0. (uma rotação) e a Fig. 0. (uma trasformação geométrica). Fig. 0.. Execução de uma rotação em um vídeo

285 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 83 Fig. 0.. Execução de uma trasformação geométrica em um vídeo 0.4. Processameto de Áudio o MatLab Um som pode ser gravado com a fução wavrecord que gera um arquivo do tipo wav: >> som wavrecord (6000, 8000,, double ); Esse comado grava 6000 amostras com uma taxa de amostragem de 8 kh e o armaea o vetor som do tipo double. O parâmetro idica que a gravação é feita em apeas um caal (moo) e ão em estéreo. Para tocar o som, basta usar o comado soudsc: >> soudsc (som); Às vees, é importate iformar a frequêcia de amostragem: >> soudsc (som, 8000); O arquivo de som pode ser plotado em um gráfico como um vetor comum:

286 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 84 >> plot (som); É comum precisarmos trabalhar com o arquivo de som ormaliado. Para tato, usamos: >> som som/max(abs(som)); Isso ão muda o sial apeas o apreseta com amplitude etre - e. A leitura de um arquivo wav pode ser feita com o comado wavread: >> som wavread ( teste.wav ); ou >> [som, fs] wavread ( teste.wav ); Nesse segudo caso, a frequêcia de amostragem do sial é salva a variável fs. O comado wavread ão permite que o parâmetro de etrada seja uma variável com o ome do arquivo. A etrada precisa ser especificamete o ome do arquivo de som. O processameto do sial de áudio pode ser feito através de filtros como o processameto de siais, usado a fução filter: >> y filter (b, a, som); ode a e b são os coeficietes do filtro a ser aplicado (para filtros FIR, a ).

287 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 85 Exemplo : >> som wavread( a_casa.wav ); >> plot (som); Calculado a trasformada de Fourier: >> som_spec fft (som, 56); >> plot (abs(som_spec)); Um gráfico em formato mais padrão pode ser obtido com as baixas freqüêcias cetraliadas: >> plot (abs(fftshift(som_spec)));

288 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 86 Supoha um filtro IIR com fução de trasferêcia: H() 0, : >> h [ ]; >> y filter(h,, som); >> soudsc(y, 000); Ouviremos um som mais asal. Vamos faer o mesmo processameto, mas dividido o som em amostras de 40 frames cada que serão filtradas idividualmete e re-agrupadas depois: >> w 40; >> floor(legth(som)/w); >> for k: seg som(+(k - )*w:k*w); segf filter(h,, seg); outsp(+(k-)*w:k*w) segf; ed >> soudsc(outsp, 000); Observem, a seguir (Fig. 0.3), a plotagem do sial origial (som) e filtrado (outsp), assim como suas trasformadas de Fourier:

289 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 87 Fig (colua da esquerda) Sial origial e sua trasformada e (colua da direita) sial filtrado e sua trasformada.

290 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 88 Exemplo : Como um exemplo da dificuldade de aalisar um sial que muda costatemete, vamos costruir um sial ágil a frequêcia (um que muda rapidamete suas características de frequêcia): >> y chirp([0:0.00:5],0,5,500); >> soudsc (y); % Escute o som para etede-lo!! >> [y, y(legth(y):-:), y]; >> f abs(fft(, 89)); >> plot(f(:4096)); Mas esse gráfico represeta mesmo o sial que criamos? Vamos observar melhor o sial quebrado ele em jaelas e plotado-as como uma queda d água (waterfall) para ver como as freqüêcias mudam pelo tempo. >> s spectrogram(, 04); >> waterfall(abs(s)');

291 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 89 A plotagem em queda d água mostra cerca de 30 pedaços o tempo, cada um correspodedo a uma FFT-5 e idicado claramete que diferetes compoetes de frequêcia estão presetes durate cada período de tempo. Veja o resultado para diferetes FFTs de N-Potos: >> s spectrogram(, 56); >> waterfall(abs(s)');

292 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 90 >> s spectrogram(, 89); >> figure, waterfall(abs(s)');

293 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 9 Exemplo 3: Criado música o MatLab: Primeiro, vamos crier uma oda seoidal de amplitude A, com uma frequêcia de 53,5 H (correspodete a um pitch C em um piao; uma oitava acima do C médio): cote si(*pi*53.5*(0:0.0005:0.5)); Esse vetor cote cotém amostras da oda seoidal de t 0s a t 0.5s, as amostras são separadas de s (que é o itervalo de amostragem Ts). Note que esse itervalo de amostragem correspode à frequêcia de amostragem de 8 kh (/Ts fs). Podemos graver esse som com o comado wavwrite: wavwrite(cote, c.wav ); E temos a primeira ota. O seguite site apreseta a frequêcia de diferetes otas (apresetadas a tabela a seguir):

294 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 9 Usado essa iformação, podemos criar diferetes otas o MatLab. Observe que existem diferetes oitavas da mesma forma que existem diferetes teclas em um piao. Aqui estão algumas o MatLab: f si(*pi*74.6*(0:0.0005:0.5)); g si(*pi*95.99*(0:0.0005:0.5)); a si(*pi*0*(0:0.0005:0.5)); b si(*pi*46.94*(0:0.0005:0.5)); Pas de música faça: lie [a,b,c,d,e,f]; lie [a,b,c,d,e,f]; As letras correspodem às otas que você cria o MatLab de acordo com a tabela aterior. Coloque as otas a ordem que você quiser tocá-las. Para crier uma música use: sog [lie, lie]; e toque com soud() ou soudsc().

295 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Exercícios. Implemete o MatLab o Código de Huffma e aplique-o para compressão do arquivo de vo setece.wav.. Como podemos avaliar a qualidade de um algoritmo de compressão para images estáticas ou diâmicas (vídeos)? 3. No mesmo arquivo de vo, implemete a técica DPCM e apresete qual a maior difereça etre tos adjacetes que ela possui. Nesse caso, você acha que o algoritmo seria eficiete para compressão ou ão? 4. No MatLab, capture dois frames próximos do arquivo vipme.avi e calcule com PSNR a difereça etre os frames. 5. Usado o MatLab (fuções dct.m e idct.m), calcule através do uso do PSNR a perda provocada pelo uso da DCT a imagem lea.bmp. 6. Cite os pricípios básicos de fucioameto da compressão MP3, defiidos pela psicoacústica.

296 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia Bibliografia Complemetar. A.C.Bovik, The Essetial Guide to Video Processig, Academic Press, C.Wootto,A Practical Guide to Video ad Audio Compressio, Focal Press, D.Hakersso,Itroductio to Iformatio Theory ad Data Compressio, CRC Press, 003.

297 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 95. Processameto de Vo O som é uma vibração que propaga pelas moléculas do ar até ossos ouvidos. De uma forma geral, os sos são variações a pressão do ar ao logo do tempo em freqüêcias que podemos ouvir. A vo é um tipo específico de som. Logo, um som pode ser uma vo ou ão. A vo cosiste de um cojuto de sos que podem ser gerados pelo ser humao. O sial de vo pode ser plotado (Fig..) como uma forma de oda a qual podemos observar valores positivos e egativos. Isso acotece porque a radiação de vo da boca fa com que a pressão do ar seja temporariamete maior ou meor que a pressão do ar do ambiete. Fig... Exemplo de plotagem de um sial de vo. O propósito primário da vo é comuicação. De acordo com a Teoria da Iformação coforme defiida por Claude Shao [Shao, 945], a vo pode ser represetada em termos de coteúdo ou iformação. Outra maeira de caracteriar o sial de vo é como sedo uma oda acústica que carrega a iformação. Para o processameto de vo, o mais comum é etedermos o sial de vo como sedo uma oda ou algum modelo paramétrico como discutiremos posteriormete. A Iformação gerada o cérebro é covertida em um cojuto de siais eurais os quais cotrolam o mecaismo articulatório (movimetos da lígua, lábios, cordas vocais, etc). As articulações movem-se em resposta a estes siais eurais para desempehar uma seqüêcia de gestos os quais resultam em uma forma de oda acústica que cotém a iformação da mesagem origial.

298 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 96 A iformação que é comuicada através do sial de vo é itrisicamete discreta, ou seja, pode ser represetada como uma cocateação de um cojuto fiito de símbolos foemas. Um foema é uma uidade de vo, o cojuto que defie todos os sos dos quais palavras podem ser costruídas em uma liguagem particular: as líguas possuem cerca de 30 a 50 foemas distitos (por exemplo, o iglês possui 4 foemas). Assim, um código de 6 bits pode represetar todos os foemas. Na fala usamos cerca de 0 foemas por segudo o que leva a uma taxa média de iformação de 60 bits/seg. Ou seja, o equivalete escrito da vo cotém iformação equivalete a 60 bits/seg para uma taxa ormal de fala. A vo é trasmitida, armaeada e processada de maeiras diferetes de modo a preservar o seu coteúdo. O iteresse em qualquer sistema é: - Preservação do coteúdo da mesagem o sial de vo; - Represetação do sial de vo em uma forma que seja coveiete para trasmissão ou armaeameto ou uma forma flexível tal que modificações possam ser feitas sem degradar o coteúdo do sial de vo. A Fig.. mostra ode o processameto de siais, de uma forma geral, se ecaixa em todo o uiverso do sial de vo. Nela, vemos a figura humaa como sedo a fote de iformação, ou seja, de ode a vo é gerada. Essa iformação é covertida para algum meio observável (a forma de oda) o qual é pode sofrer diferetes represetações (como a mudaça para o domíio da freqüêcia) e trasformações. Por fim, o sial trasformado é utiliado ovamete pelo homem ou por algum dispositivo.

299 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 97 Fig... Visão geral da maipulação e processameto da iformação. O processameto do Sial de Vo é o veículo para obteção de uma represetação geral do sial tato como forma de oda ou a forma paramétrica Ele serve como fução auxiliar o processo de trasformar a represetação do sial em formas alterativas que sejam mais gerais em aturea, mas mais apropriadas para aplicações específicas. O processameto digital de siais (PDS) tem iteresse a obteção de represetações discretas dos siais e o desig e implemetação de procedimetos uméricos para processar essa represetação. As técicas digitais surgiram, primeiramete, para simular sistemas aalógicos. Em meados da década de 60, PDS torou-se viável devido à criação de processadores mais rápidos e a avaços teóricos quato ao tema. Há diversas vatages dos sistemas digitais para os aalógicos: - Sistemas digitais são mais cofiáveis; - Grade capacidade de itegração, podedo ser implemetados em um úico chip;

300 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 98 - Baixo custo; - Permitem comuicação em caais ruidosos; - Maior seguraça de iformação (permite iclusão de elemetos de criptografia). O propósito do processameto digital pode ser: Saber se determiado sial correspode a um sial de vo ou ão Classificar uma seção de um sial de vo como: o vo audível (voiced speech) o vo iaudível (uvoiced speech) o silêcio ou ruído de fudo Redução de ruído Para redução de ruído, por exemplo, a filtragem digital do sial usado filtros FIR ou IIR pode traer bos resultados. Vejamos o exemplo a seguir. Dado o sial de vo abaixo: Trata-se de um sial de vo ruidoso cotedo a expressão a casa com um ruído de fudo. Esse sial pode ser filtrado com a redução do ruído através do uso de uma jaela de Haig coforme o código: [y, fs] wavread('casa.wav'); b fir(98, 3/80, haig(99)); filt_spfilter(b,,y); f 0:8000/(7):8000; subplot(,,) spectfft(y, 56); plot(f, abs(spect(:8)))/max(abs(spect(:8)));

301 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 99 xlabel ('frequecia'); subplot(,,); filt_spectfft(filt_sp, 56); plot(f, abs(filt_spect(:8))/max(abs(filt_spect(:8)))); wavwrite (filt_sp, fs, 'casa_firfilt.wav'); Gerado como resposta o seguite sial: Os soogramas abaixo mostram o resultado da aplicação do filtro o domíio da frequêcia, sedo esse o sial origial: e esse o sial filtrado:

302 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 300 Cosiderado a aplicação de técicas de processameto digital de siais a problemas de comuicação por vo, é iteressate observar três aspectos pricipais: a represetação do sial de vo a forma digital, a implemetação das técicas de processameto e a classe de aplicações. A represetação do sial de vo a forma discreta é, claro, de fudametal importâcia para todo o processo. Essa coversão é guiada pelo teorema da amostragem que di que um sial bada-limitado pode ser represetado por amostras colhidas periodicamete o tempo desde que elas sejam tomadas a uma taxa alta o suficiete (teorema de Nyquist). Assim, o processo de amostragem é o passo iicial de toda a teoria e aplicações do processameto digital da vo. Existem muitas formas de represetar um sial de vo. Essas represetações podem ser classificadas em dois grades grupos (Fig..3): represetações em forma de oda e represetações paramétricas. A represetação em forma de oda está preocupada com a preservação da forma de oda do sial aalógico através de um processo de amostragem e quatiação. Já a represetação paramétrica está preocupada com a represetação do sial de vo como a saída de um modelo para produção de vo. A obteção de uma represetação paramétrica, em geral, começa com a forma de oda (ou seja, o sial amostrado e quatiado). A seguir, o sial é tratado para obteção dos parâmetros ecessários para sua represetação. Esses parâmetros são classificados em parâmetros de excitação (relativos à fote da vo) e parâmetros do trato vocal (relativos a sos de vo idividuais).

303 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 30 Fig..3. Represetações do sial de vo. Existem diversas aplicações relacioadas com processameto do sial de vo. A Fig..4 exemplifica algumas delas. A trasmissão e o armaeameto digital relacioam-se com técicas de compressão do sial de vo. A produção de vo humaa para, por exemplo, leitura de textos é a preocupação em métodos de sítese de vo, ode os maiores problemas estão relacioados com a criação automática de elemetos como etoação da vo e a produção de um texto que soe atural ao osso sistema auditivo. O recohecimeto de iterlocutor pode estar associado a questões de seguraça; ode um dado sistema só se tora acessível se padrões de vo permitidos forem recohecidos. O recohecimeto da fala pode permitir que o computador ateda a comados vocais. O sial de vo pode ser melhorado com elimiação de ruído ou eco como um préprocessameto para quaisquer das aplicações ateriores. Muitas dessas aplicações são aturalmete idicadas para ajudar pessoas com ecessidades especiais como deficietes visuais.

304 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 30 Fig..4. Aplicações relacioadas com processameto de vo.. Amostragem e Quatiação Dada a relação direta etre processameto de vo e processameto de siais, vamos faer uma breve revisão de algus coceitos básicos de processameto de siais. Um sial é geralmete represetado por um padrão que varia o tempo. A vo produida pelo ser humao é desta aturea: x(t). É possível represetar um sial como uma seqüêcia de úmeros: x(). Esta seqüêcia pode ser vista como uma seqüêcia de amostras de um sial aalógico feitas com período de amostragem T: x a (T). A Fig..5 ilustra essa represetação. Fig..5. Represetação de um sial de vo a forma de oda e amostrado.

305 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 303 As fuções básicas para o processameto digital de siais são o impulso e o degrau uitário. Elas podem ser defiidas como: Impulso: δ(), para 0, e δ() 0, caso cotrário Degrau Uitário: u(), para 0, u() 0, caso cotrário No caso, podemos afirmar que: δ() u() - u( ) É através da fução impulso que podemos represetar as amostras de um sial digitaliado (Fig..6). Fig..6. Seqüêcia de impulsos represetado uma fução expoecial discreta. A discretiação do sial é um passo fudametal para que o processameto posterior acoteça de forma adequada. A Fig..7 ilustra os possíveis resultados da discretiação de uma fução com diferetes taxas de amostragem, resultado em um sial de boa ou de má qualidade.

306 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 304 a) b) Fig..7. a) Sial amostrado com uma taxa apropriada para sua recuperação e b) o mesmo sial amostrado de forma icorreta (baixa taxa de amostragem) torado impossível uma recuperação fiel ao origial. Além da amostragem, o sial de vo passa por outro processo para ser digitaliado: a quatiação. Na Fig..8, podemos ver o sial de etrada cotíuo, sedo iserido em um amostrador que cuida da discretiação do sial o tempo. O quatiador é resposável etão pela discretiação do sial em amplitude. Fig..8. Amostragem e quatiação, gerado o sial discreto fial. Se um sial aalógico for bada limitado e amostrado a taxa de Nyquist podese recostruir o sial origial. O sial de vo ão é bada limitado, embora o espectro teda a cair rapidamete para freqüêcias mais altas. Uma represetação fiel da vo exige uma taxa de amostragem de, pelo meos, 0 kh. As freqüêcias que mais cotribuem para o sial de vo estão abaixo de 3,5 kh. É por isso que há uma certa dificuldade em recohecer uma vo ao

307 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 305 telefoe. Se passarmos o sial de vo por um filtro passa-baixa, podemos, para a maioria das aplicações, utiliar uma taxa de Nyquist de 8 kh. É coveiete separar os processos de amostragem e quatiação. Na prática é geralmete impossível distiguir etre eles. Números biários são usados para represetarmos os íveis de quatiação. Podemos represetar a quatiação como a Fig..9. O sial amostrado, x(), é quatiado com um passo, gerado o sial codificado c(). Esse sial é trasmitido e decodificado. Se ão houve erros a trasmissão, o sial recebido c () deverá ser igual a c(). Fig..9. Processo de quatiação, codificação e evio do sial. Na trasmissão, o sial é decodificado. Se a trasmissão foi sem erro, c() c (). A quatiação pode ser: a) Quatiação Istaâea; b) Quatiação Uiforme; c) Compadig Istaâeo; d) Quatiação Adaptativa. Na quatiação istatâea as amplitudes das amostras são quatiadas dividido-se a amplitude em um cojuto fiito de pequeas variações de amplitude. Dá-se o mesmo valor a todas as amostras detro de um mesmo

308 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 306 patamar de amplitude. Para uma represetação em 3 bits há 8 possíveis rótulos (Fig..0) e coseqüetemete o úmero de diferetes seqüêcias de rotulação é o fatorial de 8. Fig..0. Quatiação istatâea com 3 bits. Q quatiação uiforme exige uma mesma distâcia etre x i e x i-. Existem duas classes de quatiadores uiformes: mid-riser e mid-tread. No mid-riser, a origem aparece o poto médio da parte crescete de uma fução escada. O quatiador mid-riser é coveiete quado temos o úmero de íveis uma potêcia de. O mid-riser possui o mesmo úmero de íveis positivos e egativos que estão simetricamete posicioados em relação à origem. O quatiador mid-tread possui um ível egativo a mais que positivo. O quatiador mid-tread possui o ero (000) o meio da escala o que é útil em diversas aplicações. O quatiador mid-riser ão possui o ível ero. Pode-se ter desde a codificação direta a escolhas que tetem mater equilibrada a potêcia utiliada etre os bits da amostra em relação a origem, etc. A Fig.. apreseta esses dois quatiadores para uma quatiação de 3 bits como a Fig...

309 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 307 a) b) Fig... Quatiadores de 3 bits: a) mid-riser e b) mid-tread.

310 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 308 Compadig é uma expressão que sigifica compress + expad. Para torar a porcetagem de erro costate os íveis de quatiação devem ser espaçados logaritmicamete. Para tato, o logaritmo da etrada é quatiado ao ivés da própria etrada: y() l x() Cujo iverso é: x() exp[y()]sg[x()] Dessa maeira, pode-se mostrar que o ível sial-ruído é idepedete da variâcia do sial. Problemas acotecem com pequeas amplitudes (x[] 0). A Fig.. apreseta em diagrama de blocos como se desevolve a codificação e a decodificação do sial. Fig... Represetação da técica de compadig. O problema da quatiação é quato a quatidade de degraus. Desejamos faer essa quatidade suficietemete grade para termos uma varredura pico-a-pico do sial. Mas isso implica mais íveis de quatiação. Porém, mais íveis de quatiação implica em uma cpdificação com mais bits o que implica em maior tempo de processameto/espaço de armaeameto; o que ão é iteressate. Esse é o grade dilema.

311 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 309 Uma solução está em utiliar um quatiador ão-uiforme. Alterativamete, pode-se adaptar as propriedades do quatiador aos íveis do sial de etrada. O tamaho do degrau varia casadamete com a variâcia do sial de etrada. A Fig..3 apreseta o comportameto de um tal quatiador. Fig..3. Quatiação adaptativa.. Técicas Temporais para Processameto de Vo Técicas temporais para processameto de vo evolvem a forma de oda do sial diretamete (em cotraste com métodos do domíio da freqüêcia). São simples de implemetar e ricas em iformação. As técicas mais difudidas são: a) Taxa de passagem pelo Zero (ero-crossig rate); b) Eergia do Sial; c) Magitude do Sial; d) Auto-Correlação.

312 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 30 As propriedades do sial de vo variam com o tempo: a excitação muda etre a vo audível e ão audível; a amplitude do sial varia; há uma variação sigificativa da freqüêcia fudametal para a vo audível. Essas propriedades são itidamete observáveis a forma de oda. Por isso, os métodos podem ser aplicados o domíio do tempo, diferete de outros tipos de siais que são preferivelmete tratados o domíio da freqüêcia. A maioria dos sistemas de processameto de vo assume que as propriedades da fala mudam relativamete devagar com o tempo. Afial, ão há variações bruscas um foema ou etre foemas. Assim, podem-se utiliar métodos de processameto em tempo curto (short-time), os quais aalisam-se amostras de curta duração do sial. Cada segmeto curto de vo é visto como um som estável com propriedades fixas. Às vees, esses segmetos se sobrepõem. Essas amostras de curta duração são geralmete chamadas de moldura de aálise (aalysis frames). O resultado da aálise de uma moldura pode ser um úmero ou um cojuto de úmeros. A seqüêcia gerada pode ser tomada como uma ova represetação o tempo do sial origial. É geralmete assumido que o sial de vo foi limitado em faixa e que foi amostrado em taxa ão iferior a taxa de Nyquist (pelo meos amostras/segudo). É também cosiderado que o sial foi quatiado e que o erro de quatiação é despreível. A maioria das técicas de processameto em tempo curto pode ser represetada pela equação: m Q T x( m)] w( m) [ (Eq..) o sial de vo, x(.), é submetido a trasformação T[ ], liear ou ão, a qual pode depeder de um cojuto ajustável de parâmetros.

313 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3 Observado a Eq.., podemos vê-la como uma operação de covolução da trasformação do sial de etrada x() por uma fução w. Aqui, podemos eteder w como uma seqüêcia de jaelas posicioadas em um tempo correspodete a amostra ídice (Fig..4). O produto é somado sobre todos os valores diferetes de ero. Geralmete, w é de duração fiita, mas pode ser ifiita. Fig..4. Processameto de um sial de vo em uma jaela w... Eergia de Curta Duração Das técicas temporais para processameto de vo a mais simples é a Eergia de Curta-Duração. A amplitude do sial de vo varia apreciavelmete com o tempo. A vo audível apreseta amplitude maior que a vo iaudível ou o silêcio (ruído de fudo), assim, a eergia de curta duração de um sial provê uma represetação coveiete que reflete as variações de amplitude. A eergia de um sial discreto o tempo pode ser defiida como: m E x ( m) Em relação à equação de Q (Eq..), temos: T[ ] quadrado w(), 0 N e 0, caso cotrário. A eergia de tempo curto de um sial de vo pode ser defiida como:

314 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3 E que pode ser re-escrita como: m m [ x( m). w( m)] E x( m). h( m) com h() w (). Observamos que E é um úmero e ão uma fução. Um problema relacioado ao processameto em tempo curto é o tamaho da jaela. Para o caso da Eergia, por exemplo, se a jaela for muito loga e costate em amplitude, E varia muito pouco em relação ao tempo. Essa jaela seria equivalete a um filtro de passa-baixa de bada (muito) estreita. Uma jaela estreita demais ão cosegue produir uma fução suave de eergia. Se a jaela for muito estreita, ão proverá medições suficietes para produir uma fução de eergia suave. Se a jaela for da ordem de vários picos do sial, E ão vai refletir as variações do sial. Esse coflito é de grade importâcia a represetação em tempo curto de siais de vo. Dessa maeira o tamaho da jaela varia desde: a) 0 amostras para uma vo aguda de mulher ou criaça; b) 50 amostras para uma vo grave de homem. Na prática, para uma freqüêcia de amostragem do sial de 0 kh deve-se utiliar uma jaela da ordem de 00 < N < 00 amostras (0 ms < t < 0 ms). A maior sigificâcia de E está em coseguir distiguir etre segmetos com vo audível e vo iaudível. Os valores de E são sigificativamete maiores para siais audíveis. E pode ser usada para determiar o tempo ode um sial audível tora-se iaudível e vice-versa; se o sial for de boa qualidade pode-se distiguir a vo do silêcio.

315 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 33.. Magitude de Curta Duração Outra técica de processameto em tempo curto é a Magitude de Curta Duração. O cálculo da eergia é muito sesível a íveis altos de sial (devido à poteciação a computação de E ). Uma maeira de aliviar este problema é utiliar-se uma fução de magitude média: m M x( m) w( m) Essa fução é de aritmética mais simples que a eergia, porém tem meor capacidade de difereciação etre vo audível e iaudível. Tato para a Eergia quato para a Magitude de Curta Duração para uma jaela de 0ms uma taxa de amostragem de 00 amostras/seg. é adequada. A jaela ão precisa ser restrita a qualquer fução comumete utiliada como filtro. Ela também ão precisa ser retagular; é ecessário apeas que o filtro seja suave e passa-baixa. Pode ser um filtro FIR ou IIR; sugere-se FIR, pois a saída é mais fácil de ser computada a uma baixa taxa de amostragem. A jaela ão precisa ter dimesão fiita; basta que a Trasformada-Z seja uma fução racioal. Por exemplo, se: h() a, 0 0, < 0 ou seja, h() a u() Um valor de 0 < a < dá uma jaela cuja duração efetiva pode ser ajustada como desejado (Fig..5). Isso pode produir um LPF com bada-passate mais larga ou mais estreita. A trasformada Z é dada por:

316 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 34 H, ROC > a ( ) a Que possui as propriedades de um filtro passa-baixa. A Eergia e a Magitude devem ser calculadas para cada amostra do sial de etrada, correspodedo a filtros causais com fase liear. Fig..5. Um valor de a etre 0 e pode produir jaelas de maior ou meor bada-passate...3. Taxa de Passagem pelo Zero Di-se que houve uma passagem pelo ero quado duas amostras sucessivas possuem siais diferetes. A taxa com que há a passagem pelo ero é apeas uma medida do coteúdo de freqüêcia do sial. Este fato é particularmete verdadeiro para siais faixa-estreita. Esse coceito defie a técica de processameto de Passagem pelo Zero em Tempo Curto. Um sial seoidal de freqüêcia F 0, amostrado uma taxa F s, possui F s /F 0 amostras por ciclo de seóide. Cada ciclo possui duas passages pelo ero (Fig..6), ou seja, a taxa média de passages pelo ero é: Z.F 0 /F s passages/amostra

317 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 35 Fig..6. Uma seóide tem duas passages pelo ero em um ciclo. Os siais de vo são siais faixa-larga e, portato, a iterpretação da taxa média de passagem pelo ero é meos precisa. Estimativas grosseiras das propriedades espectrais podem ser obtidas baseadas a taxa de passagem pelo ero média em tempo curto. Pode-se defiir: m sg[ x( m)] sg[ x( m )] w( m) ode sg[x(m)], se x() 0 -, se x() < 0 e w() /(N), para 0 N- 0, caso cotrário O modelo para a produção da fala sugere que a eergia dos siais de vo está cocetrada abaixo de 3 kh (340 H a 4 KH) devido ao corte produido pela oda produida a glote. A maior parte da eergia para siais de vo ão audíveis é de alta-freqüêcia: altas freqüêcias implicam uma taxa alta de passagem pelo ero e baixas freqüêcias implicam uma taxa baixa de passagem pelo ero. Assim, há uma correlação forte etre taxa de passagem

318 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 36 pelo ero e a distribuição de eergia com a freqüêcia: se a taxa de passagem pelo ero é alta, o sial é iaudível; do cotrário, o sial é audível. A taxa média de passagem pelo ero em tempo curto é de: i) 49 vees por 0 ms para siais ão-audíveis. ii) 4 vees por 0 ms para siais audíveis. Há uma sobreposição das distribuições de siais audíveis e ão-audíveis de forma que esta divisão ão pode ser tomada somete com a iformação da taxa de passagem pelo ero. Isso dificulta a decisão etre vo audível e iaudível. A taxa de passagem pelo ero é fortemete afetada por: a) sial de rede elétrica; b) qualquer ruído o processo de digitaliação. Cuidado extremo deve ser tomado o processo aalógico ates da digitaliação; é preferível utiliar-se um filtro passa-faixa ao ivés de passa-baixa. Para elimiar a freqüêcia de 60 H da rede elétrica que pode corromper o sial origial. O problema de ruído de fudo é de grade importâcia o recohecimeto de vo. É essecial saber ode cada palavra iicia e termia. A separação Vo/Silêcio ão é simples exceto o caso de gravações de alta-fidelidade em câmaras de gravação. Em gravações com alta relação sial/ruído os sos da vo de meor itesidade são mais fortes que o ruído de fudo...4. Fução de Autocorrelação A última técica de processameto de sial de vo é a Fução de Autocorrelação de Tempo Curto. A autocorrelação de um sial determiístico discreto o tempo é dada por: m Φ( k ) x( m) x( m + k)

319 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 37 A represetação em fução de autocorrelação de um sial é um modo coveiete de apresetar algumas propriedades do sial. Por exemplo, se o sial é periódico com período de P amostras, etão: φ(k) φ(k+p) Ou seja, a autocorrelação de uma fução periódica também é periódica com o mesmo período. Outras propriedades importates da fução de autocorrelação são: ) Ela é uma fução par: φ(k) φ(-k); ) Ela alcaça seu valor máximo quado k 0; i.e.; φ(k) 0, para todo k; 3) O valor de φ(0) é igual à Eergia para siais determiísticos ou à potêcia média para siais periódicos. A fução de autocorrelação para tempo curto é defiida como: m R ( k) x( m) w( m) x( m + k) w( k m) Ou seja, primeiro, um segmeto de vo é selecioado pelo produto com a jaela; em seguida, a autocorrelação é aplicada ao segmeto de vo sob a jaela. A técica de autocorrelação pode ser usada para estimativa do pitch (frequêcia fudametal) de um sial de vo. O seguite código do MatLab pode ser usado para estimar a frequêcia fudametal de um sial usado a fução de autocorrelação: [x,fs]wavread('casa.wav'); ms0fs/50; % miimum speech Fx at 50H % % plot waveform t(0:legth(x)-)/fs; % times of samplig istats subplot(,,); plot(t,x); leged('waveform');

320 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 38 xlabel('time (s)'); ylabel('amplitude'); % % calculate autocorrelatio rxcorr(x,ms0,'coeff'); % % plot autocorrelatio d(-ms0:ms0)/fs; % times of delays subplot(,,); plot(d,r); leged('autocorrelatio'); xlabel('delay (s)'); ylabel('correlatio coeff.'); % Estimativa da frequecia fudametal msfs/000; % maximum speech Fx at 000H ms0fs/50; % miimum speech Fx at 50H % just look at regio correspodig to positive delays rr(ms0+:*ms0+); [rmax,tx]max(r(ms:ms0)); fpritf('rmax%g Fx%gH\',rmax,fs/(ms+tx-)); Podemos ver a aplicação desse código o sial de vo correspodete ao som a casa. Nesse caso, a frequêcia fudametal estimada é: Fx5.95H

321 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 39.3 Aálise Cepstral O ome cepstrum vem do iverso da primeira metade da palavra spectrum (espectro) e plota a amplitude de um sial versus sua quefrêcia (que seria o iverso da frequêcia). Essa técica é útil para separar compoetes de um sial complexo formado por diversos simultâeos, mas diferetes elemetos combiados. O cepstrum é gerado pela trasformada de Fourier de logaritmo da trasformada de Fourier. São duas trasformadas de Fourier calculadas, mas, de fato, a prática, a seguda trasformada pode ser a trasformada iversa. A utilidade da aálise do cepstrum deriva do fato que ele correspode à trasformada iversa de Fourier do logaritmo da trasformada de Fourier. Isso sigifica que os compoetes de frequêcia foram ordeados logaritmicamete. Na matemática, um dos pricípios do logaritmo é que, se alguma expressão é a combiação multiplicativa de dois elemetos, etão, o domíio logarítmico,

322 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 30 esses elemetos são combiados aditivamete. Colocado de outra forma, se o sial sob aálise y(t) é igual a h(t) vees x(t): y(t) h(t).x(t) etão: log[y(t)) log[h(t)] + log[x(t)] No domíio do processameto digital de vo, x(t) pode ser o pitch equato h(t) é o compoete do trato vocal. A quefrêcia é uma medida de tempo, embora ão o setido de um sial o domíio do tempo. Por exemplo, se a taxa de amostragem de um sial de áudio é 4400 H e existe um pico o gráfico do cepstrum cuja quefrêcia é 00 amostras, o pico idica a preseça de um pitch que é 4400/00 44 H. Esse pico ocorre o cepstrum porque os harmôicos o espectro são periódicos e o período correspode ao pitch. O código de MatLab abaixo estima a frequêcia fudametal do arquivo casa.wav : [x,fs]wavread('casa.wav'); msfs/000; % máxima frequêcia de vo Fx em 000H ms0fs/50; % míima frequêcia de vo Fx em 50H % % plotagem da forma de oda t(0:legth(x)-)/fs; subplot(3,,); plot(t,x); leged('waveform'); xlabel('time (s)'); ylabel('amplitude'); Y fft(x); % plotagem do espectro abaixo de 5000H h *legth(y)/fs; f(0:h5000)*fs/legth(y);

323 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3 subplot(3,,); plot(f,0*log0(abs(y(:legth(f)))+eps)); leged('spectrum'); xlabel('frequecy (H)'); ylabel('magitude (db)'); % cepstrum Cfft(log(abs(Y)+eps)); % plotagem etre ms (000H) e 0ms (50H) q(ms:ms0)/fs; subplot(3,,3); plot(q,abs(c(ms:ms0))); leged('cepstrum'); xlabel('quefrecy (s)'); ylabel('amplitude'); [c,fx]max(abs(c(ms:ms0))); fpritf('fx%gh\',fs/(ms+fx-)); Frequêcia estimada: 667.7H

324 Processameto Digital de Siais - Prof. Carlos Alexadre Mello Págia 3 Outra aplicação do cepstrum é a extração da iformação de evelope para aálise da vo. Em geral, o evelope espectral é uma forma mais suave do gráfico da frequêcia, ode o processo de suaviação igora os compoetes de mais alta frequêcia. No domíio cepstral, isso correspode ao descarte de todos os coeficietes cepstrais relacioados às frequêcias maiores que o evelope da frequêcia. Isso pode ser coseguido o MatLab com o código abaixo: [som, fs] wavread('casa.wav'); ps log(abs(fft(som))); le legth(som); cep ifft(ps); % Filtragem cut 30; cep eros(, le); cep(:cut-) cep(:cut-)*; cep() cep(); cep(cut) cep(cut); % Coverte para o domiio da frequecia ev real(fft(cep)); act real(fft(cep)); pl 0*log0(ev(:le/)); pl 0*log0(act(:le/)); spa [:fs/le:fs/]; pl(legth(pl)) []; pl(legth(pl)) []; plot (spa, pl, 'k-.'); figure, plot(spa, pl, 'g'); Na figura a seguir temos o cepstrum (em verde) e o evelope (em preto).

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