Processamento Digital do Sinal

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1 ISTITUTO POLITÉCICO DE BRAGAÇA ESCOLA SUPERIOR DE TECOLOGIA E GESTÃO Processameto Digital do Sial MATERIAL DE APOIO ÀS AULAS PRÁTICAS Eg. João Paulo Coelho /4

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3 Processameto Digital de Sial 4º Ao de Eg. Electrotécica. & Eg. Iformática Parte I Siais e Sistemas Discretos oções Básicas O coceito de sial é aplicado a algo que trasporta iformação. Matematicamete, os siais são represetados como fuções de uma ou mais variáveis idepedetes. As variáveis idepedetes podem ser cotíuas ou discretas. - Um sial é dito cotíuo se for cotíuo o tempo e a amplitude. - Um sial é dito discreto se estiver defiido apeas para um cojuto discreto de istates de tempo. Ao cotrário dos siais cotíuos o tempo, o domíio discreto em sempre siais siusoidais ou expoeciais complexos são periódicos. o domíio complexo, para existir periodicidade a seguite codição deve ser verificada: Algus Tipos Básicos de Siais Digitais: Degrau Uitário, < u [ ] =, Impulso Uitário, δ [ ] =, = Sistemas Discretos o Tempo COELHO, J.P.

4 Um sistema discreto o tempo é defiido matematicamete como uma trasformação ou operador T{} que faz o mapeameto de uma determiada sequêcia de etrada com valores x[ ] para uma determiada sequêcia de valores de saída y: [ ] { } y [ ] = T x [ ] Os sistemas discretos o tempo podem possuir as seguites propriedades: Liearidade: Um sistema é liear se verificar o teorema da sobreposição, i.e. { [ ] + [ ]} = { [ ]} + { [ ]} T ax bx at x bt x Ivariâcia o Tempo: Um sistema é dito ivariate o tempo se a um deslocameto o tempo do sial de etrada correspode um deslocameto o tempo o sial de saída. { } { } T x[ ] = y[ ] T x[ τ ] = y[ τ ] Causalidade: Um sistema é dito causal se a saída ão depeder de iformação futura. Estabilidade: Um sistema é dito estável se a sua resposta a uma etrada limitada é limitada. Covolução x [ ] B < y [ ] B < B, B positivos e fiitos x y x y Qualquer sial de etrada pode ser costruído como a soma poderada e deslocada de um cojuto de impulsos. + x[ ] = x[ k] δ[ k] k= Defie-se resposta impulsioal h [ ] de um sistema discreto o tempo como sedo a resposta quado a etrada de excitação é o impulso uitário, i.e. T{[ δ ]} = h[ ] COELHO, J.P.

5 Atededo às duas últimas cosiderações é fácil demostrar que se um sistema é liear e ivariate o tempo etão: + T{ x[ ] } = T x[ k] δ[ k] k= + + y [ ] = xkh [ ] [ k] = hk [ ] x [ k] = x [ ] h [ ] k= k= Esta operação é desigada por covolução discreta. A partir da covolução é possível determiar a saída de qualquer SLIT por covolução do sial de etrada com uma fução h [ ] que represeta a diâmica do sistema discreto. Resposta em Frequêcia e Trasformada de Fourier A resposta em frequêcia de um sistema liear e ivariate o tempo com resposta impulsioal [ ] j h deomia-se por H ( e ω ) e é dada por: Um sial discreto [ ] + ( ) [ ] H e j x terá trasformada de Fourier X( e ω ) + ( ) [ ] X e = h e = = x e exista, sedo a trasformada iversa de Fourier dada por: π x[ ] = X( e ) e dω π π = desde que a soma: Referêcia: Oppeheim, A. V. e Schafer, R. W. Discrete-Time Sigal Processig. ISB Pretice Hall, 998. COELHO, J.P. 3

6 Exercícios. Ecotre uma possível expressão matemática para cada um dos seguites siais: (a) Este sial pode ser cosiderado como a sobreposição de um degrau uitário com iicio em = 3 com um degrau uitário com iicio em = 5. Desta forma a expressão matemática para o presete sial é dada por: x[ ] = u[ + 3] u[ 5] (b) Este sial é simplesmete o impulso uitário pesado e deslocado de 6 amostras. A expressão matemática para este sial é dada por: x[ ] = 8 δ[ 6] (c) Este sial é simplesmete o degrau uitário ivertido o tempo, escaloado por um factor e com iicio a amostra = 4. x[ ] = u[ 4] 4 COELHO, J.P.

7 . Verifique se os seguites siais discretos o tempo são ou ão periódicos: x[ ] = cos π 3 π x [ ] = si x[ ] = j 3 e π (a) Para o sial discreto ser periódico têm que verificar a seguite codição: x[ ] = x[ + ], iteiro Assim, cos π = cos π ( + ) 3 3 cos π = cos π + π Devido à periodicidade da fução coseo, a igualdade aterior verifica-se sempre que:,,,,... 3 π = kπ k = ou seja, = 3 k, k =,,,... Como k é uma variável iteira, e como o produto etre dois úmeros iteiros é aida um úmero iteiro etão é iteiro e o sial dado é periódico. π π (b) si + = si Devido à periodicidade da fução seo, a igualdade aterior verifica-se sempre que:,,,,... 3 = kπ k = ou seja, = 3 π k, k =,,,... Verifica-se que ão existe ehum umero iteiro k que multiplicado por 3π dê um umero iteiro logo o sial ão é periódico. COELHO, J.P. 5

8 (c) e j π j π ( + ) 3 3 = e j π j π j π e = e e = j 3 e π j π jk 3 e π = e, k =,,,3,... Assim, kπ= π 3 ou seja, = 3 k, k =,,,... Pela mesma razão de (a), o sial expoecial complexo dado é periódico..3 Para cada um dos sistemas defiidos subsequetemete verifique qual das seguites propriedades são exibidas: Liearidade, Ivariâcia o Tempo, Causalidade e Estabilidade. y [ ] = x [ o ] y [ ] = x [ + 3] y [ ] = log( x) (a) Causalidade: O sistema é causal se e só se Estabilidade x [ ] B < y [ ] B < B, B positivos e fiitos x y x y x [ ] B y [ ] B < B positivos e fiitos x x x logo o sistema é estável. 6 COELHO, J.P.

9 Ivariâcia o Tempo y [ ] [ ] = x o +τ y [ +τ ] = x [ o +τ ] como y[ ] y[ ] = +τ o sistema é ivariate o tempo. Liearidade Para iferir sobre a liearidade basta verificar se o sistema obedece ao teorema da sobreposição. Se dois siais de etrada distitos ax[ ], bx[ ] forem aplicados separadamete ao sistema temos: y[ ] = ax[ o ] y[ ] = bx[ o ] Quado os mesmos dois siais são adicioados e aplicados simultaeamete, a saída é dada por: ( ) y [ ] = ax[ ] + bx [ ] = y[ ] + y [ ] 3 o o logo pode-se cocluir que o sistema é liear. (b) Causalidade: O sistema é ão causal pois a saída o istate presete depede de uma etrada futura (3 amostras à frete). Estabilidade x [ ] B < y [ ] B < B, B positivos e fiitos x y x y x[ + 3] B y[ ] = x[ + 3] x[ + 3] B Apesar de x B x ser limitado sistema ão é estável. x Bx ão o é pois a variável idepedete ão é fiita logo o Sugestão: Verifique esta afirmação supodo que x[ ] = u[ ]. COELHO, J.P. 7

10 Ivariâcia o Tempo y[ ] = x[ + 3 +τ ] ( ) y [ +τ ] = +τ x [ + 3 +τ ] como y[ ] y[ ] +τ o sistema é variate o tempo. Liearidade Para iferir sobre a liearidade basta verificar se o sistema obedece ao teorema da sobreposição. Se dois siais de etrada distitos ax[ ], bx[ ] forem aplicados separadamete ao sistema temos: y[ ] = ax[ + 3] y[ ] = bx[ + 3] Quado os mesmos dois siais são adicioados e aplicados simultaeamete, a saída é dada por: ( ) y [ ] = ax[ + 3] + bx [ + 3] = y[ ] + y [ ] 3 logo pode-se cocluir que o sistema é liear. (c) Causalidade: O sistema é causal. Estabilidade O sistema ão é estável pois se x[ ] = etão y [ ] = log() = Ivariâcia o Tempo ( x ) y[ ] = log [ +τ ] ( x ) y [ +τ ] = log [ +τ como y[ ] y[ ] = +τ o sistema é ivariate o tempo. Liearidade 8 COELHO, J.P.

11 O sistema é claramete ão liear pois, como se sabe, a fução logaritmo é uma fução ão liear. Demo: Se dois siais de etrada distitos ax[ ], bx[ ] forem aplicados separadamete ao sistema temos: ( x ) ( x ) y[ ] = log [ ] y[ ] = log [ ] a b ( ) ( ) ( ) y[ ] + y [ ] = alog x[ ] + blog x [ ] = log x[ ] x [ ] Quado os mesmos dois siais são adicioados e aplicados simultaeamete, a saída é dada por: ( ) y [ ] = log ax[ ] + bx [ ] 3 Como y3[ ] y[ ] + y[ ] o sistema é ão-liear..4 Cosidere um sistema liear e ivariate o tempo com resposta impulsioal: h [ ] =δ [ ] + δ[ ] + δ[ ] 4 Calcule a resposta do sistema à etrada x[ ] = u[ ] u[ 4]. COELHO, J.P. 9

12 Resolução pelo teorema da sobreposição: Resposta do sistema (somatório das respostas impulsioais parciais): COELHO, J.P.

13 Pela Covolução: Graficamete COELHO, J.P.

14 Resposta do sistema: COELHO, J.P.

15 Pela Covolução: Aaliticamete ota: = º Amostras do Sial +º Amostras da resposta impulsioal- 3 y [ ] = xkh [ ] [ k], =,...,5 k= y[] = x[] h[] + x[] h[ ] + x[] h[ ] + x[3] h[ 3] = = 3 y[] = x[] h[] + x[] h[] + x[] h[ ] + x[3] h[ ] = = 7 y[] = x[] h[] + x[] h[] + x[] h[] + x[3] h[ ] = = y[3] = x[] h[3] + x[] h[] + x[] h[] + x[3] h[] = = y[4] = x[] h[4] + x[] h[3] + x[] h[] + x[3] h[] = = 4 4 y[5] = x[] h[5] + x[] h[4] + x[] h[3] + x[3] h[] = = Cosidere um sistema liear e ivariate o tempo com resposta impulsioal: h [ ] = u [ ] Calcule a resposta do sistema ao sial x[ ] = u[ ] u[ ]. COELHO, J.P. 3

16 y [ ] = xkh [ ] [ k] k=, 9 x [ ] =, Restates Casos k 9 9 y [ ] = h [ k] = u [ k] k= k=, k u [ k] =, k > 9 y [ ] = k= k k 9 k, > 9 k= k y [ ] =, 9 k= k, < 9 k >, 9 k= k y [ ] =, 9 k=, < OTA: Soma dos termos de uma progressão geométrica: β k=α a k = a a a α β+ ( ), 9 y [ ] = ( ) ( ), > 9, < 4 COELHO, J.P.

17 .6 Calcule a resposta impulsioal dos seguites sistemas lieares e ivariates o tempo: (a) (b) y [ ] = x [ ] + x [ ] + x [ ] 3 y [ ] = x [ ] + y [ ], y[ ] = a) δ [ ] +δ[ ] +δ[ ] h [ ] = 3 b) h [ ] =δ [ ] + h [ ], h[ ] = δ [ ] h [ ] h [ ] = u [ ] h[] COELHO, J.P. 5

18 .7 Atededo ao sistema ilustrado pela figura subsequete, utilize as propriedades da covolução de modo a calcular para 8. a) A sua resposta impulsioal b) A resposta ao sial x[ ] = 3 δ[ ] δ [ ] +δ [ + ] OTA: Propriedade distributiva da Covolução: { } { } { } x[ ] h[ ] + h [ ] = x[ ] h[ ] + x[ ] h [ ] a) Se x[ ] [ ] =δ etão: h[ ] =δ [ ] + δ[ ] + 3 δ[ ] h[ ] =.8 h[ ] +δ[ ] Logo, h ( ) δ [ ] h[ ] -.8 (.8 ) 3 ( ) (.8) [ ].8 [ ] = u. As figuras que se seguem mostram as respostas impulsioais parciais do sistema: 6 COELHO, J.P.

19 Resposta Total do Sistema: Atededo à propriedade distributiva da covolução: ( ) h [ ] = h[ ] + h[ ] =δ [ ] + δ[ ] + 3 δ[ ] +.8 u [ ] Para 8 a resposta impulsioal do sistema toma os seguites valores: h [ ] RESPOSTA IMPULSIOAL DO SISTEMA b) [ ] 3 [ ] [ ] [ ] x = δ δ +δ + ( ) h [ ] =δ [ ] + δ[ ] + 3 δ[ ] +.8 u [ ] y [ ] = xkh [ ] [ k] = h [ + ] h [ ] + 3 h [ ] k= + ( ) h [ + ] =δ [ + ] + δ [ ] + 3 δ[ ] +.8 u [ + ] ( ) h [ ] =δ [ ] + δ[ ] + 3 δ[ ] +.8 u [ ] ( ) h [ ] =δ[ ] + δ[ ] + 3 δ[ 3] +.8 u [ ] 4 5 y [ ] =δ [ + ] + δ[ ] + 9 δ[ 3] + (.8 ) u [ + ] u [ ] + u [ ] 5 COELHO, J.P. 7

20 8 y [ ] Resposta do Sistema a x[] 6 4 y[] Esboce a magitude e fase das seguites respostas em frequêcia: a) b) H ( e ) = e 3 H ( e ) = 3e 3 c) ( j ω H e ) = cos( ω ) e a) - A magitude é costate e igual a /3 ao logo de todo o espectro. 8 COELHO, J.P.

21 - A fase decresce liearmete com ω ota: Graficamete, sempre que a fase ultrapasse as badas limitadas por [ π, π ] b) somar π se a fase for iferior a π ou subtrair π se for superior a π. - A magitude é costate e igual a 3 ao logo de todo o espectro. - A fase decresce liearmete com o triplo de ω. deve-se c) A magitude da resposta em frequêcia depede da frequêcia. Para traçar o gráfico dá-se algus valores a ω. ( ) ω = H e = π π ω = H ( e ) = ω = H( e ) = = e 4 3π ω = H( e ) = ω = π H( e ) = 4 ± jπ ota: A cada passagem por zero da magitude correspode uma difereça de fase de π COELHO, J.P. 9

22 .9 Cosidere o seguite sistema liear e ivariate o tempo: y [ ] = x [ ] + x [ ] + x [ ] 3 Calcule a sua resposta em frequêcia e esboce a sua magitude e fase. j Se x[ ] = e ω etão, + ( ) [ ] H e ( ) H e = h k e k= k + δ [ k] +δ[ k ] +δ[ k ] = e k= 3 k A resposta em frequêcia só é diferete de zero para k =, e, logo; H e e e e e e 3 3 ( ) = ( + + ) = ( + + ) H e e e e 3 j e cos jsi + cos( ω) H ( e ) = e 3 ( ) = ( + + ) como ω = ( ω ) + ( ω ) e j e cos ( ) jsi ( ) ω = ω ω vem que: j OTA: Como H ( e ω ) é periódica com período π, é apeas ecessário especificar a resposta em frequêcia o itervalo π ω π ou ω π. Magitude H(jw) w COELHO, J.P.

23 Fase.5.5 < w. Cosidere o seguite sistema liear e ivariate o tempo: y [ ] = yk [ ] + x [ ] Calcule a sua resposta em frequêcia e esboce a sua magitude e fase recorredo ao MatLab. Cálculo da resposta Impulsioal h [ ] =δ [ ] + h [ ] h [ ] = u [ ] j Se x[ ] = e ω etão, δ [ ] h [ ] COELHO, J.P.

24 + ( ) [ ] H e = h k e k= k + k H( e ) = u[ k] e k= k A resposta em frequêcia só é diferete de zero para k, logo; k + + k H( e ) = e = e k= k= Série geométrica de razão ( ) H e ( ) H e j e ω e e = e = = e e + k Outra forma de resolução: Y e e Y e X e ( ) = ( ) + ( ) ( ) H e ( ) ( ) Y e = = X e e j 4 cos( ω) jsi( ω) H( e ω ) = 5 4cos( ω) Magitude e Fase j 4 cos( ω) HR ( e ω ) = 5 4cos( ω ) j si( ω) HI ( e ω ) = 5 4cos( ω ) COELHO, J.P.

25 j ( ) H e ω = H e j ( ) 5 cos( ω ) 4 ( e ) ( e ) H ta si( ) I ω = = ta H cos( ω) R ω MATLAB» w=:pi/:*pi;» H=./(-.5*exp(-j*w));» % Mostra Magitude...» plot(w,abs(h));. Determie a resposta impulsioal de um filtro passa-baixo ideal com frequêcia de corte ω c. Para um filtro passa-baixo ideal, j se ω ωc H( e ω ) = restatescasos A resposta impulsioal pode ser estimada recorredo à trasformada iversa de Fourier: π h [ ] = H( e ) e dω π π COELHO, J.P. 3

26 c h [ ] = e dω π ω ω c ωc c c { } { } ω h [ ] = e = e e πj c πj si( ω ) h [ ] = c π, Resposta Impulsioal.8.6 h[] Cosidere o seguite sistema liear e ivariate o tempo: x [ ] + x [ 3] y [ ] =. Determie a sua resposta impulsioal e resposta em frequêcia. Determie aida um sial discreto x[ ] que aplicado ao sistema produza uma saída ula. δ [ ] +δ[ 3] h [ ] = H e h e e + 3 ( ) = [ ] = + = ota: Para colocarmos e αω em evidêcia basta tomar a expoecial com maior expoete e dividi-lo por dois. 3 H( e ) = e e + e = cos ω e COELHO, J.P.

27 Magitude H(jw) w Fase.5.5 Âgulo w Aalisado a expressão aalítica da resposta em frequêcia assim como a sua represetação gráfica observa-se que qualquer sial com frequêcia π sistema produz uma saída ula. Um exemplo seria x[ ] = si 3 π kπ ω = +, k quado aplicado ao Cosidere o seguite sistema liear e ivariate o tempo: x [ ] x [ ] + x [ ] x [ 3] y [ ] =. 4 Determie a sua resposta impulsioal e resposta em frequêcia. δ[ ] δ[ ] +δ[ ] δ[ 3] h [ ] = 4 COELHO, J.P. 5

28 + ( ) [ ] H e = h e = + H( e ) = ( δ[ ] δ[ ] +δ[ ] δ[ 3] ) e 4 = Atededo á defiição de impulso discreto... H e e e e e 4 3 ( ) = ( + ) π j ω ω j 3 H( e ) = e e e + e e = e si ω si ω 4 Magitude.5 Fase H(jw).5.4 Agle w w.4 Cosidere o sistema discreto com resposta impulsioal h ( ) j sua resposta em frequêcia H ( e ω ). [ ] =.5 u [ ]. Determie a ( ) h [ ] =.5 u [ ] ( ) + + ( ) = = ( ) H e h[ ] e.5 u[ ] e = = Tedo em cota que u [ ] = se <.5 = = = = e + + ( ) (.5) e H e Aplicado a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica vem que: ( ) H e = +.5e 6 COELHO, J.P.

29 .5 Se a trasformada de Fourier de [ ] j h for H ( e ω ), qual é a trasformada de Fourier de ( ) h [ ]? Sem recorrer a cálculos e atededo ao resultado do exercício., diga qual a resposta impulsioal de um filtro passa-alto ideal. + ( ) [ ] H e = h e (OTA: ( ) j e π = jπ j( ω π) ( ) he [ ] = e he [ ] = he [ ] = H e = = = = ) j( ω π) ( ) Repare-se que a multiplicação por ( ) o domíio dos tempos equivale a uma traslação de π radiaos o domíio das frequêcias. Desta forma, e para o caso do filtro passa baixo ideal: Logo, se si( ω ) h [ ] = c π ( ) si( ω ) é a resposta impulsioal de um filtro passa-baixo ideal, h [ ] = c é a resposta impulsioal de um filtro passa-alto ideal. π.6 Cosidere um sial discreto puramete real descrito graficamete por: Determie a sua parte par e ímpar. Adicioalmete determie a parte real e imagiária da sua resposta em frequêcia. Qualquer sial discreto o tempo x[ ] pode ser decomposto como a soma de duas parcelas: uma parte par e uma parte ímpar. COELHO, J.P. 7

30 x[ ] = x [ ] + x [ ] par impar A parte par de um sial é calculado a partir de x[ ] recorredo á seguite expressão: * xpar[ ] = ( x[ ] + x [ ] ) ode * se refere ao operador cojugado. Da mesma forma a parte ímpar de um sial x[ ] é calculado por: ximpar[ ] = x[ ] x [ ] * ( ) Como para este problema cocreto, o sial é real puro, x[ ] =δ [ ] +δ[ ] * [ ] = x [ ] x x * [ ] =δ [ ] +δ[ ] Atededo a que x * [ ] é o cojugado do sial ivertido o tempo, x * [ ] =δ [ ] +δ [ + ] Desta forma a parte par e a parte ímpar do sial é defiido como: xpar[ ] = δ [ + ] +δ [ ] + δ[ ] ximpar[ ] = δ[ ] δ [ + ] j Também a trasformada de Fourier X( e ω ) pode ser decomposta em: X( e ) = X par ( e ) + Ximpar ( e ) ou X( e ) = Xreal ( e ) + jximag ( e ) Cosiderado as propriedades de simetria da trasformada de Fourier, x [ ] X e par real ( ) ( ) x [ ] jx e impar imag OTA: δ[ k] e ω j k 8 COELHO, J.P.

31 Xreal ( e ) = e + + e = + cos( ω ) jx imag ( e ) = e e = jsi( ω ).7 Determie a trasformada de Fourier do seguite sial: Adicioalmete determie a trasformada de Fourier do sial que se obtém itercalado um zero etre amostras sucessivas do sial aterior. Comete os resultados. a) x [ ] =δ [ ] + δ[ ] +δ[ ] j X( e ) e e e ω = + + = + cos( ω).5 Magitude Fase X(jw) Agle w w b) COELHO, J.P. 9

32 x [ ] =δ [ ] + δ[ ] +δ[ 4] 4 j X( e ) e e e ω = + + = + cos( ω).5 Magitude Fase X(jw) X(jw) w w Coclusão: A iserção de um zero etre amostras cosecutivas teve o efeito de comprimir o espectro de frequêcias do sial origial o itervalo [, π ]..8 Seja [ ] j x um sial discreto com trasformada de Fourier ( ) X e ω e x [ ] m o sial que se obtém do aterior itercalado M zeros etre valores sucessivos de x[ ]. Obteha a trasformada de Fourier do sial xm[ ]. x[ M], se multiplo de M xo[ ] =, restates casos + x [ ] [ ] [ ] o = x k δ km k= X( e ) = xo[ ] e = x[ k] δ[ km] e = = k= X e xk km e xke X e k= = k= km M ( ) = [ ] δ[ ] = [ ] = ( ) 3 COELHO, J.P.

33 Coclusão: A trasformada de um sial que se obtém por iserção de zeros de um sial primitivo é a trasformada de Fourier do sial origial «comprimida» o itervalo [ π M, π M ] e depois repetida periodicamete com período π M. Esta estratégia serve para fazer iterpolação do sial..9 Determie a equação às difereças que rege o sistema discreto com a seguite resposta impulsioal: h [ ] =δ [ ] + 3 u [ ] 4 Pretede-se represetar o sistema a partir da sua resposta impulsioal sob a forma: y x y[ ] = a y[ k] + b x[ k] k k= k= Ye ( ) Sabe-se que He ( ) = X( e ) A resposta em frequêcia do sistema é: + He ( ) = δ [ ] + 3 u [ ] e = 4 k + ω 4e 4e 3e + e He ( ) = = + = + = = 4e 4 e 4 e 4e Ye ( ) + e He ( ) = = X( e ) 4 e j ( ) ( ) Ye ( ) 4 e = Xe ( ) + e 4 Ye ( ) e Ye ( ) = 4 Xe ( ) + e Xe ( ) Aplicado a trasformada iversa de Fourier: 4 y [ ] y [ ] = 4 x [ ] + x [ ] e fialmete... y [ ] = x [ ] + x [ ] + y [ ] 4 + COELHO, J.P. 3

34 Processameto Digital de Sial 4º Ao de Eg. Electrotécica. & Eg. Iformática Parte II Amostragem de Siais Cotíuos Itrodução O método típico para obter uma represetação discreta de um sial cotíuo o tempo é através de amostragem periódica. Deste modo, uma sequêcia de amostras x[ ] é obtida a partir do sial cotíuo xc () t de acordo com a relação: x[ ] = x ( T), ode T represeta o período de amostragem e c Ω s = π T é a frequêcia agular de amostragem em radiaos por segudo. O processo teórico de amostragem é ilustrado pela seguite figura: Cosidere-se que o sial cotiuo o tempo xc () t é limitado em bada, ou seja a sua compoete de máxima frequêcia têm um valor fiito e igual a Ω. Se este sial for amostrado a uma frequêcia Ω, o sial resultate x () t possui o seguite espectro de frequêcias: s s 3 COELHO, J.P.

35 Desta forma a frequêcia de amostragem deve ser tal que as cópias de X ( jω ) ão se sobrepoham, caso cotrário ão é possível recuperar o sial origial a partir da sua versão amostrada. Sedo assim e observado a figura aterior, é codição ecessária que Ω <Ω Ω, ou seja Ω > Ω. Esta codição reporta ao teorema de yquist que s s estabelece a frequêcia de amostragem como pelo meos o dobro da compoete de máxima frequêcia do sial a amostrar. Caso esta codição ão se cumpra, observa-se a ocorrêcia de um feómeo desigado por aliasig, i.e. as compoetes do sial com frequêcia maior do que metade da frequêcia de amostragem são trasladadas para o itervalo limitado [, ] Ω Ω. s s OTA: a prática, um filtro ati-aliasig é ormalmete utilizado de forma a garatir que o sial a amostrar está limitado em bada. A recostrução de um sial amostrado faz-se calculado a iversa da trasformada de Fourier da trasformada de Fourier do sial cotíuo obtido a partir da trasformada do sial discreto sem as badas laterais abaixo e acima de π e π respectivamete: ( t T) + π xc () t = x[ ]sic = T Desta forma, a recostrução do sial origial a partir da sua versão discreta o tempo é levada a cabo por meio de um filtro passa baixo com frequêcia de corte regida pelas seguites codição: Ω <Ω corte <Ωs Ω c Relação etre Frequêcia Aalógica e Frequêcia Discreta Se um determiado sial cotíuo o tempo xc () t, limitado em bada à frequêcia de sua trasformada de Fourier X ( jω ) possui o seguite aspecto: c Ω, a COELHO, J.P. 33

36 Se o sial em questão for devidamete amostrado à frequêcia aalógica de sial amostrado xs () t tem a seguite represetação: Ω s, o espectro do Como se pode observar, o espectro do sial amostrado ão é mais do que o espectro do sial origial repetido de j ( ) s ( ) Ω s em X e ω = X jω para ω =Ω T. Ω s. Devido ao efeito de escaloameto da frequêcia, ota: Logo a primeira figura da itrodução verifica-se que o eixo do tempo é ormalizado por um factor T, desta forma, o domíio das frequêcias, o eixo das frequêcias é ormalizado por um factor igual ao iverso do período de amostragem. Como Ω = π T, ω = π e as restates frequêcias digitais são simplesmete as frequêcias aalógicas s divididas pelo período de amostragem... Desta forma, a trasformada de Fourier do sial discreto o tempo x[ ] obtido por amostragem do sial cotíuo possui o seguite espectro. s Aaliticamete, e tedo em cota a figura aterior, a relação etre a trasformada discreta e a trasformada cotíua de um sial amostrado e dado por: 34 COELHO, J.P.

37 j T ( ) X ( jω ) = TX e Ω para π<ω T <π c ota: Até agora ão se deu importâcia á amplitude do espectro. Cotudo a discretização implica uma divisão por T do amplitude do espectro do sial cotíuo o tempo. É por essa razão que a relação aterior vêm multiplicada pelo factor T. Amostragem Real O modelo de amostragem ideal discutido ateriormete ão é utilizado a prática. ormalmete utiliza-se um modelo de amostragem baseado o valor médio, i.e. o valor tomado para a amostra actual ão é o valor istatâeo mas um valor médio como se ilustra de seguida para um sial cotíuo xc () t amostrado a um período T. Ideal Prática x[ ] = xc ( T), x[ ] = xc ( t) dt Como se pode ver pela figura aterior, a prática o sial amostrado é simplesmete a covolução do sial cotíuo com um pulso ut () ut ( τ ) T. Desta forma esta operação pode ser vista como uma filtragem do tipo passa-baixo do sial origial. Teoricamete, a recostrução do sial a partir da sua versão amostrada é levada a cabo por itermédio de um filtro passa-baixo ideal. Cotudo, a prática a operação de coversão discreta para cotíua é ormalmete realizada com um segurador de primeira ordem (zero order hold). Por este facto, e dado que a magitude da resposta em frequêcia deste tipo de filtros ão é costate ao logo da sua bada passate, existe maior ateuação as compoetes de maior frequêcia do sial. ota: Devido ao facto de tato o processo de amostragem como o de recostrução evolver ateuações maiores às altas frequêcias do sial, muitas vezes um filtro de recostrução compesado é dimesioado de forma a iverter o efeito causado pelo processo de discretização. T T τ COELHO, J.P. 35

38 Exercícios. Atededo ao teorema de yquist, determie a míima frequêcia de amostragem para os seguites siais cotíuos o tempo: a) x ( t) = 3si( π t) c π b) xc ( t) = cos( t+ ) 3 9 c) xc( t) = cos ( π t) si(3 πt) d) xc () t = 3πt a) O sial aalógico x ( t) = 3si( π t) possui apeas uma compoete em frequêcia com c valor π rad / s. Deste modo o seu espectro pode ser represetado por: Atededo ao teorema de yquist que refere que a frequêcia de amostragem deve ser superior a duas vezes a compoete de máxima frequêcia do sial, observa-se que para este sial, a frequêcia de amostragem Ω s deve obedecer à seguite codição: Ω > π rad / s ou f > KHz s s b) O sial aalógico π xc ( t) = cos( t+ ) possui, tal como o sial aterior, apeas uma 3 9 compoete em frequêcia com valor rad / s. 36 COELHO, J.P.

39 Em termos de trasformada de Fourier, este sial pode represetado por: Atededo ao teorema de yquist, a frequêcia de amostragem codição: Ω > rad / s ou f > 38.4 s s Ω s deve obedecer à seguite Hz c) Existem (pelo meos) duas formas de resolver este problema. O primeiro é atededo a que a trasformada de Fourier do produto de dois siais é a covolução das trasformadas de Fourier parciais de cada sial. Outra forma passa apeas por desevolver o quadrado através da fórmula trigoométrica do meio-arco + cos( φ) cos ( φ ) =, + cos( πt) xc ( t) = cos ( π t) = = + cos( πt) Por ispecção verifica-se que o sial aalógico xc () t possui duas compoetes em frequêcia: uma á frequêcia zero (desigada por compoete DC) e outra à frequêcia de π rad / s. A trasformada de Fourier deste sial possui a seguite forma: Para este sial, a frequêcia de amostragem Ω s deve obedecer à seguite codição: Ω > 4 π rad / s ou f > s s KHz COELHO, J.P. 37

40 d) Relembrado a teoria sobre sistemas e siais, x () t = si(3 πt)3π t represeta em termos de trasformada de Fourier, um pedestal etre 3π e 3π rad / s coforme se ilustra a seguite figura: c O sial cotíuo é portato limitado em bada etre 3π e 3π rad / s, e a frequêcia de amostragem Ω deve ser: Ω > 6 π rad / s ou f > 3 Hz s s s. Cosidere o seguite sial cotíuo o tempo: x t c( ) = sic(4) t Qual a sua frequêcia míima de amostragem? o tempo, trata-se do produto de dois seos cardiais com igual frequêcia, logo o domíio das frequêcias a trasformada de Fourier do sial pode ser dado como a covolução das trasformadas de Fourier de cada seo cardial. Se x () t = x () t x () t ode x () t = sic(4) t e adicioalmete x () t possui trasformada c p p o domíio de Fourier ( ) p π X p( jω ) = { u Ω+ 4 u( Ω 4) } etão: 4 p x ( t) x ( t) X ( jω) X ( jω) x ( t) X ( jω) X ( jω) p p F π p p c F π p p Desta forma vêm que: Xc( jω ) = X p( jω) X p( jω ) = X p( jθ) X p( j( Ω θ)) dθ π π + 38 COELHO, J.P.

41 π 4 { } como X ( jθ ) = u( θ+ 4 ) u( θ 4) e ( ) etão: p + π X p( j( Ω θ )) = u Ω θ+ 4 u( Ω θ 4) 4 π Xc( jω ) = ( u( θ+ 4 ) u( θ 4) )( u( Ω θ+ 4 ) u( Ω θ 4) ) dθ 6 4 π Xc( jω ) = ( u( Ω θ+ 4 ) u( Ω θ 4) ) dθ 6 4 { } Separado os itegrais obtém-se: 4 4 π π Xc( jω ) = u 4 d u( 4) d X( j ) X( j ) 6 Ω θ+ θ Ω θ θ = Ω Ω ( ) [ ], Ω< 8 4 se 8 Ω+ 4 Ω< X( jω ) = u( Ω θ+ 4 ) dθ= dθ, 8 Ω< = Ω+ 8 se 8 Ω< se Ω 4 dθ, Ω 4, Ω< 4 se Ω 4 Ω< X( jω ) = u( Ω θ 4 ) dθ= dθ, Ω< 8= Ω se Ω< se Ω 8 4 dθ, Ω 8 4 π 6, Ω< 8 π ( Ω+ 8, ) 8 Ω< 6 Ω Ω = π ( 8 Ω), Ω< 8 6, Ω 8 [ X ( j ) X ( j )] Graficamete, X ( jω ) possui a seguite aparêcia: c COELHO, J.P. 39

42 Coclusão: A frequêcia de amostragem deve ser superior a 6 rad/s. (O QUE ACOTECERIA SE ESTE SIAL FOSSE AMOSTRADO A rad/s?).3 Dois siais cotíuos x () t e x () t limitados em bada pelas frequêcias Ω e Ω, possuem trasformadas de Fourier X ( jω ) e X ( jω ) respectivamete. Diga qual a frequêcia de amostragem para o sial cotíuo o tempo x 3 () t resultate das seguites operações: x () t = x () t + x () t a) 3 x () t = x () t x () t b) 3 x () t = x () t x () t c) 3 O siais x () t e x () t possuem geericamete o seguite espectro: a) Atededo á seguite propriedade (Liearidade): ax() t + by() t ax ( jω ) + by ( jω ) O espectro do sial resultate pode ser aalisado recorredo à seguite figura: 4 COELHO, J.P.

43 Logo a frequêcia de amostragem do sial obtido pela soma dos dois siais parciais deverá obedecer á seguite restrição: Ω > max { Ω, Ω } s b) Recorredo á seguite propriedade: x () t y () t ( ) ( ) X j Ω Y j Ω π O espectro do sial resultate é represetado pela figura: Desta forma a frequêcia de amostragem do sial obtido pelo produto dos dois siais parciais deverá obedecer á seguite codição: Ω > ( Ω +Ω ) s c) Como se sabe que: x( t) y( t) X( jω) Y( jω ) COELHO, J.P. 4

44 O espectro do sial resultate é apresetado pela seguite figura: Desta forma a frequêcia de amostragem do sial obtido pelo produto dos dois siais parciais deverá obedecer á seguite codição: Ω > mi { Ω, Ω } s 4 COELHO, J.P.

45 Processameto Digital de Sial 4º Ao de Eg. Electrotécica. & Eg. Iformática Parte III Trasformada em Z Itrodução a Parte I, falou-se a trasformada de Fourier de um sial discreto x[ ] como sedo: X( e ) = x[ ] e = o etato em todos os siais possuem trasformada de Fourier. Apeas aqueles que toram o somatório covergete podem ser descritos este domíio, i.e. a trasformada de Fourier de j um sial apeas existe se X( e ω ) < ou seja: = x [ ] < De forma a cotorar este problema um ovo domíio é itroduzido: o domíio de Z. A trasformada de Z é uma geeralização da trasformada de Fourier, sedo defiida aaliticamete como: X( z) = x[ ] z (Versão Bilateral) = A sua covergêcia é assegurada se X( z ) <, i.e. = x [ ] z < O cojuto de valores de Z para os quais a trasformada coverge é chamada de região de covergêcia (RdC). Graficamete, a região de covergêcia cosiste um ael o plao Z cetrada a origem cujos limites superior e iferior podem ser um circulo ou esteder-se o ifiito. COELHO, J.P. 43

46 O plao Z é simplesmete o plao de Argad para úmeros complexos ode adicioalmete é desehada uma circuferêcia cetrada a origem com raio uitário. A trasformada de Z avaliada sobre esse circulo uitário (i.e. para z = ) correspode à trasformada de Fourier. Etre as trasformadas de Z mais importates estão aquelas para as quais X( z ) é uma fracção racioal do tipo: Pz ( ) X( z) = ode Pz ( ) e Qz ( ) são poliómios em z Qz ( ) Os valores que toram X( z ) = são desigados de zeros de X( z ), e os valores que toram X( z ) = são deomiados de pólos de X( z ). Para este tipo de fracções racioais um cojuto de relações importates existem etre a localização dos pólos e a região de covergêcia. Algumas coclusões que podem ser obtidas por aálise da RdC: Se a RdC ão icluir o circulo uitário a trasformada de Fourier ão coverge. Os pólos da trasformada de Z de um sial discreto situam-se sempre fora da sua região de covergêcia. Um sistema é estável sse a RdC cotiver a circuferêcia uitária. Um sistema é causal sse a RdC for o exterior de um circulo. Avaliação geométrica da trasformada de Fourier o plao Z Como já foi dito, a trasformada de Z é equivalete à trasformada de Fourier quado z =, i.e. z j = e ω se z =. Graficamete cosiste em avaliar a trasformada de Z ao logo do circulo de raio uitário cetrado a origem. Em termos de mapa de Z observa-se que: A frequêcia ω= refere-se o plao Z ao poto z = (, j). Aumetado a frequêcia verifica-se que o poto z se move o setido ati-horário em toro do circulo uitário. Á frequêcia ω= π o poto z está-se ovamete o poto de partida. A figura seguite ilustra este raciocíio para uma frequêcia geérica ω a 44 COELHO, J.P.

47 (recorde-se que a repetição da trasformada de Fourier com período de π é uma cosequêcia do processo de amostragem) Devido à relação etre as trasformadas de Z e de Fourier, a partir do mapa de pólos e zeros é possível avaliar pelo plao Z a magitude e a fase da trasformada de Fourier. Cosidere-se um sial discreto x[ ] com trasformada em Z X( z ) cujos cohecidos: Atededo a que ( z p i ) e ( z q i ) ser avaliada em Z da seguite forma: X( z) = p i= q i= ( z p ) i ( z q ) i p pólos e q zeros são são vectores o plao Z, a trasformada de Fourier pode A magitude da trasformada de Fourier é igual ao produto de todos os vectores zero dividido pelo produto de todos os vectores polo: X( e ) = p i= A fase é igual à soma das fases de todos os vectores zero meos a soma das fases de todos os vectores polo (ota: Os âgulos são medidos em referêcia ao eixo real positivo). p q i= e e p i q q ( i) ( i) j j j X( e ω ) = e ω p e ω q i= i= i Por exemplo cosidere-se o seguite sistema defiido em Z por: COELHO, J.P. 45

48 z.5 H( z) = z +.5 Este processo possui um zero em.5 e um polo em.5. Para uma frequêcia geérica ω a podemos traçar os seguites vectores polo e zero ( p e q ): Para valores cocretos de ω temos: ω p q p q j H ( e ω j ) H ( e ω ).5.5 /3 π π.5.5 π π 3 O módulo e a fase da trasformada de Fourier terão o seguite aspecto: 3 MAGITUDE FASE H(jw).5 <H(jw) w w 46 COELHO, J.P.

49 MATLAB» um=[ -.5];» de=[.5];» pritsys(um,de,'z');» pzmap(um,de)» zgrid» figure» [H,W]=freqz(um,de); Devido a esta relação etre as trasformadas, é por vezes fácil defiir um filtro digital de forma a cumprir determiadas especificações bastado para isso colocar os pólos e zeros em locais oportuos o plao Z. Algumas cosiderações: Os pólos quado colocados perto do circulo uitário produzem picos bem defiidos a resposta em frequêcia para as frequêcias agulares correspodetes. Os pólos devem estar o iterior do círculo uitário de forma a garatir estabilidade. Zeros colocados a circuferêcia uitária têm o efeito de produzir uma resposta ula em frequêcia para as frequêcias agulares correspodetes. Trasformada Iversa de Z A trasformada iversa de Z é dada formalmete por: ode c [ ] = ( ) π j x X z z dz c é o itegral de cotoro tomado o setido ati-horário da região de covergêcia de X( z ) cotedo a origem. Itegrais de cotoro desta forma são ormalmete avaliados recorredo ao teorema dos resíduos de Cauchy: x = X z z dz= X z z πj [ ] ( ) Residuos de ( ) tomados os polos em C c o etato outros procedimetos meos formais são aida possíveis tais como: Expasão em Fracções Parciais Expasão em Série de Potêcias COELHO, J.P. 47

50 Exercícios 3. Determie a trasformada em Z e respectiva região de covergêcia para os seguites siais discretos o tempo: a) x[ ] = u[ ] 3 b) x[ ] = a u[ ] c) x[ ] = u[ ] u[ ] d) x[ ] = 4 δ [ ] + 4 u[ ] 4 π e) x[ ] = cos u[ ] 4 a x [ ] = u [ ] + f) ( ) a) Atededo à defiição de trasformada de Z vêm: + + X( z) = x[ ] z = u[ ] z = = 3 Como u [ ] é zero para valores iferiores a zero temos que: X( z) + = z = 3 Observa-se que a expressão aterior reporta a uma série geométrica de razão. Este tipo 3z de séries apeas coverge se 3z <. Desta forma a região de covergêcia da trasformada de Z é dada por todos os valores de Z que obedeçam à seguite codição: z > 3 48 COELHO, J.P.

51 Como a trasformada iclui o circulo uitário, a trasformada de Fourier de x[ ] existe. Adicioalmete x[ ] é causal e estável. Tedo em cota a soma dos termos de uma progressão geométrica (ver Parte I), X( z) + = = = z 3 z 3 3 logo X( z) = 3 z, z > b) + + ( ) X( z) = x[ ] z = az RdC: z = = > a A trasformada de Z coverge para qualquer valor fiito de a. logo X ( z) =, z > a az A trasformada de Fourier só existe se a < c) + + ( ) X( z) = x[ ] z = u[ ] u[ ] z = = ote-se que o domíio discreto, u [ ] u [ ] é um pedestal de amplitude uitária com iício em e com comprimeto de amostras. Desta forma a expressão aterior fica reduzida a: COELHO, J.P. 49

52 9 X( z) = = z Como existem apeas um umero fiito de termos diferetes de zero, a região de covergêcia iclui todo o plao excepto Z=. 9 z X( z) = z =, z excepto z = z = d) + + X( z) = x[ ] z = 4 δ [ ] + 4 u[ ] z = = 4 Separado os somatórios vêm que: + + X( z) = 4 δ [ ] z + 4 u[ ] z = = 4 Pela defiição de impulso e degrau discreto temos que: + = + z = 4 X( z) 4 4 A região de covergêcia é tal que: z < z > 4 4 X( z) = 4 + 4, z > 4 e) z π X( z) = x[ ] z = cos u[ ] z = = 4 Tedo em cota que: 5 π π j j 4 4 π e + e cos = 4 + j π π j 4 4 X( z) = e + e z = COELHO, J.P.

53 Separado os somatórios vêm que: + π j + π j 4 4 X( z) = e z + e z = = RdC: π π j j 4 4 e z < e z < π π j j 4 4 z > e z > e Em termos de plao Z, os pólos são cojugados com magitude uitária, logo RdC : z > π 4 cos( ) z X( z) = + = 4 π e z e z cos( ) z + z 4 π π j j 4 4 f) ota: Propriedade da Difereciação de X(z) dx ( z) x[ ] z dz ( ) x[ ] = a a u[ ] + dx ( z) a z = ( az ) =, z > a dz z + a = COELHO, J.P. 5

54 dx ( z) a a = X( z) = dz z z a z z a ( + ) ( + ) Expadido em fracções parciais vêm que X( z) dz ( log( z) log( z a) ) log z + a = = + = z z+ a z dz 3. Calcule a trasformada iversa de Z dos seguites sistemas: a) H z z z z z ( ) = + +, excepto = H( z) = z z + z z, zexcepto z= b) ( )( ) z + 3 c) H ( z) =, z > z d) e) z H( z) =, z > z.5 3 z H( z) =, z > 3 z a) º Método: Expasão em Série de Potêcias Sabe-se que a trasformada em Z é dada pela seguite expressão: + = = = X( z) x[ ] z x[ ] z x[] x[] z Deste modo,, = h [ ] =, =, = h [ ] =δ[ ] δ[ ] +δ[ ] º Método Sabedo que: 5 COELHO, J.P.

55 Y( z) H( z) = X( z) vêm que: Y( z) X( z) z = X( z) + z X( z) Aplicado a trasformada iversa termo a termo temos que: y [ ] = x [ ] x [ ] + x [ ] A resposta impulsioal é a resposta quado x[ ] = δ [ ] logo, h [ ] =δ[ ] δ[ ] +δ[ ] b) H z = z z+ z ( ) Expasão em Série de Potêcias h [ ] =δ [ + ] δ [ + ] δ [ ] + δ[ ] c) Expasão em Fracções Parciais ota: Para a obteção da decomposição de Pz ( ) Qz ( ) em fracções parciais é essecial que Pz ( ) teha grau iferior a Qz ( ) de cotrário deve-se recorrer à divisão poliomial. Pólos do Sistema: z = z =± z+ 3 A B H( z) = = + z z+ z z+ ode: ( )( ) z + 3 A = = z + = z z + 3 B = = z = z Desta forma vêm que: H( z) = z z+ COELHO, J.P. 53

56 Recorredo às tabelas das trasformadas em Z temos que: h u u u u [ ] = [ ] ( ) [ ] = [ ] + ( ) [ ] d) Recorredo à divisão poliomial temos: H z 4 = + z ( ) z 4 Aplicado a trasformada iversa a partir das tabelas têm-se: h [ ] = u [ ] e) Y( z) H( z) = = X( z) 3 ( ) 3 z Y( z) z = X( z) Y z X z z Y z 3 ( ) = ( ) + ( ) Aplicado a trasformada iversa de Z vêm: y [ ] = x [ ] + y [ 3] Quado x[ ] =δ [ ], h [ ] =δ [ ] + h [ 3] Vamos tetar arrajar um termo geral para a resposta impulsioal (atededo à causalidade imposta pela RdC!) δ [ ]... h [ ] COELHO, J.P.

57 u, se multiplo de 3 h [ ] = 3, restates casos 3.3 Cosidere a seguite trasformada em Z: z z z X( z) = + + z z 3 z 4 Calcule a sua trasformada iversa para os seguites quatro casos: i) ão causal x [ ] = u[ ] 3 4 ii) causal x[ ] = + + u[ ] 3 4 iii) causal para Z=¼ e ão causal para os restates x[ ] = u[ ] + u[ ] 3 4 iv) ão causal apeas para Z=½ COELHO, J.P. 55

58 x [ ] = + u [ ] u[ ] Usado o meor úmero possível de pólos e zeros, desehe um filtro digital com os seguites critérios de desempeho: - Rejeição completa à frequêcia ω= - Rejeição completa à frequêcia ω=π 3 - Passa-bada à frequêcia ω= π 3 como resultado dos pólos colocados um raio r =.9 - Sem atrasos desecessários o sial de saída Especifique a sua fução de trasferêcia assim como a sua equação às difereças. Para se obter rejeição completa á frequêcia ω = coloca-se um zero em z j = e = 3 Para se obter rejeição á frequêcia ω=π 3 coloca-se um par de zeros cojugados em 3 e j π z = e z= e Passa-Bada à frequêcia ω= π 3 tal que os pólos possuam magitude.9 implica a localização de um par de pólos complexos cojugados em z = e z= e De forma a garatir causalidade, o umero de pólos deve ser o míimo em igual quatidade ao umero de zeros, logo é ecessário colocar um pólo adicioal o mapa de Z de tal modo que ão altere a resposta em frequêcia do sistema. Obviamete a sua localização deve ser.9e j π 3.9 j em z =. Os pólos a origem ão alteram a magitude da resposta em frequêcia. Desta forma, o mapa de Z ficará com o seguite aspecto: π 3 j π Imagiary Part Real Part 56 COELHO, J.P.

59 A sua fução de trasferêcia é simplesmete: π π j j 3 3 ( z ) z e z e H( z) = = π π j j 3 3 z z.9e z.9e O sistema é estável e causal. 3 z z + z 3 z +.9z +.8z, RdC: z >.9 Atededo a que H ( z) = Y( z) X( z), a equação às difereças do filtro é dada simplesmete por: y [ ] =.9 y [ ].8 y [ ] + x [ ] x [ ] + x [ ] x [ 3] ota : Verifique que o sistema sem polo a origem ão é realizável fisicamete. ota : Corra o seguite programa em MATLAB (dê ateção à forma como o sial origial é filtrado...) % Costroi o Sial a ser filtrado com compoetes, pi/3 e pi/3 =:5; x=+cos((pi/3)*+pi/6)+si((*pi/3)*); % Filtra o Sial com o filtro dimesioado pelo Mapa Z % y - Sial Filtrado % x - Sial Origial y(:3)=; for k=4:5, y(k)=-.9*y(k-)-.8*y(k-)+x(k)-*x(k-)+*x(k-)-x(k-3); ed 3.5 Projecte um filtro digital do tipo otch pelo mapa de pólos e zeros atededo a que: - A frequêcia de amostragem é de KHz - A frequêcia de otch deverá ser.5 KHz j - O gaho em bada passate deverá ser He ( ω ) = ± % Especifique a sua fução de trasferêcia. COELHO, J.P. 57

60 Estudou-se a Parte II que a frequêcia discreta estava relacioada com a frequêcia aalógica pela seguite expressão: ω =Ω T ode ω se refere a frequêcia do sial discreto, Ω à frequêcia do sial aalógico e T ao período de amostragem. Para este problema cocreto, a frequêcia de amostragem é de KHz e a frequêcia de otch de.5 KHz. Desta forma, e o domíio discreto, a frequêcia de rejeição deve ser π.5 π ω= = rad/amostra 4 Como se pretede rejeição á frequêcia de π 4, o filtro deve possuir um par de zeros j π j π 4 4 cojugados em z = e e z = e (zeros colocados sobre a circuferêcia de raio uitário). Cálculo da Localização dos Pólos. Apesar de ser possível uma abordagem meos formal (tedo em cota que os zeros e os pólos para um filtro deste tipo estão muito próximos), seguido a defiição dada o iício desta folha de trabalhos, a magitude da resposta em frequêcia para uma dada frequêcia é obtida através da cotribuição da magitude de todos os pólos e zeros para a referida frequêcia. Tal como os zeros, os pólos devem fazer um âgulo de ± π 4 relativamete ao eixo real positivo (visto ão existir iteresse em alterar a magitude do sial de etrada para outras 4 4 frequêcias). Desta forma os pólos devem estar localizados z = ρ e e z =ρ e. j π j π Para o cálculo da distâcia etre a origem do circulo uitário e a localização efectiva dos pólos ρ socorremo-os da restrição da magitude da resposta em frequêcia. Observado o mapa de pólos e zeros verifica-se que a magitude mais elevada da resposta em frequêcia se dá à frequêcia π logo é ecessário garatir que esse poto a magitude ão caia fora do j itervalo He ( ω ) = ± %. 58 COELHO, J.P.

61 v.99 He ( ) =. ω=π v (A magitude é idêtica para cada um dos pólos e zeros e os seus cojugados) Ode, v = + + j Desta forma vê que: v e = +ρ + jρ j He ( ω ) ω=π + = + ρ+ρ ρ+ρ + ρ + ρ+. + ρ + ρ+.99 Resolvedo a iequação vêm que: ( )( ) ( )( ) ] ] [ [ [ ] ρ.99 ρ+.4 ρ,.4.99, + ρ ρ. ρ+.4 ρ.4,. [.4,.4] [.99,.] COELHO, J.P. 59

62 Como os pólos devem estar o iterior do circulo uitário, ρ [.99,[. Desta forma, supodo 4 ρ=.99 os pólos estarão localizados em z=.99e j 4 e z =.99e j, garatido que o filtro possui as características apotadas iicialmete. Executado o seguite código em Matlab é possível verificar que o filtro possui o comportameto desejado. Matlab... π π um=cov([ -exp(-j*pi/4)],[ -exp(j*pi/4)]); de=cov([.99*exp(-j*pi/4)],[.99*exp(j*pi/4)]); [H,W]=freqz(um,de); plot(w,abs(h)); A fução de trasferêcia do filtro é simplesmete: H( z) = z z z+ ( ).99 z+.99 ota: Devido ao facto da localização dos pólos estar muito próxima da localização dos zeros, é ecessário algum cuidado a implemetação deste tipo de filtros em máquias com precisão fiita (por exemplo computadores ou microcotroladores) pois erros de arredodameto as operações podem levar a um mau desempeho do filtro. 6 COELHO, J.P.

63 COELHO, J.P. 6

64 6 COELHO, J.P.

65 Processameto Digital de Sial 4º Ao de Eg. Electrotécica. & Eg. Iformática Parte IV Trasformada Discreta de Fourier Itrodução as partes I e III discutiram-se formas de represetar siais e sistemas lieares e ivariates o tempo em termos de trasformada de Fourier e trasformada de Z. Cotudo para sequêcias de duração fiita é possível desevolver uma represetação alterativa de Fourier desigada de trasformada discreta de Fourier (DFT Discrete Fourier Trasform). Ao cotrário das trasformadas estudadas ateriormete, a DFT é também ela uma sequêcia e correspode a amostras igualmete espaçadas em frequêcia da trasformada de Fourier. A DFT desempeha um papel cetral a implemetação de uma variedade de algoritmos de processameto de sial. A Série Discreta de Fourier (DFS) Cosidere-se um sial discreto x [ ] periódico com período (i.e. x [ ] = x [ + ], ). A represetação em série de Fourier desta sequêcia é dada por: k= πk j x [ ] = X [ ke ], Os coeficietes da série de Fourier são obtidos a partir de x [ ] segudo a relação: = πk j Xk [ ] = xe [ ], k A sequêcia Xk [ ] também é periódica com período. Estudou-se a Parte I que a trasformada de Fourier de um sial discreto o tempo era dada pela seguite expressão: + X( e ) = x[ ] e = Desta forma pode-se dizer que Xk [ ] = Xe ( ) π o que correspode a amostrar a j trasformada de Fourier ( ) com espaçameto π. ω= k X e ω em frequêcias igualmete espaçadas etre ω = [,π ] COELHO, J.P. 63

66 A Trasformada Discreta de Fourier (DFT) j Cosidere-se uma sequêcia aperiódica x[ ] com trasformada de Fourier X( e ω ), e assumido que uma sequêcia Xk [ ] é obtida por amostragem de ( j X e ω ) ω = π k : k à frequêcia πk j X π k X e X e X z k [ ] = ( ) ( ) ( ) j πk = = ω= Como a trasformada de Fourier é periódica em ω com período π, a sequêcia resultate é periódica em k com período. Adicioalmete, como a trasformada de Fourier cosiste a trasformada de Z avaliada o circulo uitário, Xk [ ] também pode ser obtida por amostragem de X( z ) em potos equidistates o circulo uitário. z= e Uma sequêcia fiita e aperiódica x[ ] pode ser vista como sedo apeas um período de uma série ifiita e periódica x [ ]. Aaliticamete pode-se escrever: x [ ], x [ ] =, restates casos Se X [ ] é a trasformada de Fourier de x[ ] e Xk [ ] é a trasformada de Fourier de x[ ] desigado por T {} o operador trasformada de Fourier pode-se escrever que: { } {} T x[ ], X [ ], T{ x[ ] } = X[ ] = T, restates casos, restates casos Desta forma, a DFT de um sial aperiódico fiito é dada pela seguite expressão: E a sua iversa por: πk j xe [ ], k Xk [ ] = =, restates casos πk j Xk [ ] e, x [ ] = k=, restates casos, 64 COELHO, J.P.

67 Exercícios 4. Determie a DFT do seguite sial discreto aperiódico de duração fiita: Para determiarmos a DFT, podemos cosiderar que x[] é uma sequêcia de duração fiita com tamaho igual ou superior a i.e..cosiderado =, a sequêcia periódica cuja série discreta de Fourier correspode à trasformada discreta de Fourier é a seguite: Desta forma, a DFS é obtida através da seguite equação: = πk j Xk [ ] = xe [ ], k = πk j Xk [ ] = xe [ ], k πk πk j j Xk [ ] = x [] e + x [] e, k j k Xk π [ ] = + e, k K Xk [ ] 3/ / 3/ / 3/ / 3/ / COELHO, J.P. 65

68 A DFT do sial origial é simplesmete a DFS tomada para k jπk + e, k Xk [ ] =, restates casos 4. Supoha que xc () t é um sial periódico cotíuo o tempo com período de ms, e para o qual, a série de Fourier associado possui a seguite expressão: 9 xc() t = ake k= 9 3 ( πkt ) Os coeficietes da série de Fourier ak são ulos para k > 9. xc () t é amostrado com um período de amostragem T = 6ms dado origem ao sial discreto x[ ]. É o sial s discreto x[ ] periódico? Em caso afirmativo qual o seu período. A frequêcia de amostragem usada verifica o teorema de yquist? Quais os coeficietes da série discreta de Fourier de x[ ] em termos de a k? j a) a Parte II viu-se que um sial discreto era obtido através de amostragem de um sial cotíuo segudo a lei x[ ] = x ( T ). Desta forma, 9 3 j( πkt s ) x ( T ) = a e = x[ ] c s k k= 9. c s Como o período de amostragem é forma: 9 x [ ] = ae k k= 9 π j k 3 Ts 3 = 6 s, a expressão aterior toma a seguite Um sial discreto é periódico sse: x[ ] = x[ + ], logo, 66 COELHO, J.P.

69 9 j π 9 π k j k( + ) 3 3 k k k= 9 k= 9 ae = ae, j π π k j k( + ) 3 3 e = e, j π k j π k π k 3 3 3, e = e e π k 3 e =, π j k 3 jkπ = = 6 e e Desta forma verifica-se que o sial discreto é periódico com um período de 6 amostras. b) Em termos de espectro, o sial cotíuo apresetado possui as seguites compoetes em frequêcia: O sial cotíuo é origialmete represetado pela sua série de Fourier logo é imediato verificar que em termos de espectro o sial possui compoetes em Ω=πk/ -3 rad/s com k etre 9 e 9 cujas amplitudes são depedetes das magitudes dos coeficietes. A máxima compoete em frequêcia é de 9KHz. Desta forma, a frequêcia de amostragem deve ser superior a 8KHz. Como o sial a alíea aterior foi amostrado a 6KHz, esta ão verifica o teorema de yquist. c) Como o sial é periódico com período 6 amostras, =6 logo 5 9 j π m πk j 3 6 Xk [ ] = ae m e, k 5 = m= 9 Xk ae k 5 9 π j ( k m) 3 [ ] = m, 5 = m= 9 COELHO, J.P. 67

70 Alterado a ordem dos somatórios obtém-se: Xk a e k 9 5 π j ( k m) 3 [ ] = m, 5 m= 9 = OTA: = e πk j, se k = r r =, restates casos 5 = e π j 3 ( k m) 6, se k m = 6r r =, restates casos 9 Xk [ ] = 6 a, k 5 ek m= 6r r m= 9 m 4.3 Determie a DFT de comprimeto de kπ x[ ] = si. = π k j Xk [ ] = xe [ ] k π k kπ j Xk [ ] = si e k = kπ kπ πk j j j Xk [ ] = e e e k j = kπ πk kπ πk j j j j Xk [ ] = e e e e k j = = 4kπ j Xk [ ] = e e k j = = 4kπ j e Xk [ ] = ( + ) k 4kπ j j e 68 COELHO, J.P.

71 4 j kπ e Xk [ ] = k 4kπ j j e OTA: e e j4kπ 4kπ j = e 4kπ = j =, k =, restates casos k Xk [ ] = j k = j 4.4 A trasformada de Fourier X( e ω ) do sial x[ ] = δ [ ] +δ[ ] +δ[ 5] é amostrado em potos igualmete espaçados o itervalo [, π ]. Determie a trasformada de Fourier discreta iversa para: a) =4 b) =8 a) Para =4 πk j Xk [ ] e, x [ ] = k=, restates casos 3 πk j Xk [ ] e, 3 x [ ] = 4 k=, restates casos Cálculo de Xk [ ]: 3 πk j 4 xe [ ], k 3 Xk [ ] = =, restates casos COELHO, J.P. 69

72 k Xk [ ] x[] + x[] + x[] + x[3] = + + = 3 π 3π j j jπ x[] e + x[] e + x[] e + x[3] e = j x e x e x e x e jπ jπ j3π [] + [] + [] + [3] = = 3π 9π j j j3π x[] e + x[] e + x[] e + x[3] e = + j, k = j, k = Xk [ ] =, k = + j, k = 3 Cálculo de x[ ]: 3 πk j Xk [ ] e, 3 x [ ] = 4 k=, restates casos x[ ] [] [] [] [3] 4 X + X + X + X = ( ) 3 O sial recuperado a partir da sua DFT é dado pela seguite expressão: x[ ] = δ[ ] + δ[ ] b) Para =8 Cálculo de Xk [ ]: 7 COELHO, J.P.

73 3 πk j 4 xe [ ], k 3 Xk [ ] = =, restates casos K Xk [ ] 3 -j - +j Cálculo de x[ ]: 3 πk j Xk [ ] e, 3 x [ ] = 4 k=, restates casos x[ ] x[ ] = δ[ ] + δ[ ] + δ[ 5] Coclusão: Observa-se que se for meor do que o umero de amostras ão ulas de x[ ], existe ocorrêcia de aliasig o tempo o que se reflecte pela ão recuperação do sial origial a partir da DFT da sequêcia. 4.5 Mostre a propriedade de simetria da DFT calculado a DFT de comprimeto 8 da sequêcia real:, x [ ] =, RestatesCasos OTA : Uma sequêcia x[] é par sse x[-]= x[] COELHO, J.P. 7