SINAIS DISCRETOS NO TEMPO

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1 CAPÍTULO. SINAIS DISCRETOS NO TEMPO costate), cuja trasformada de Fourier é dada por X c (Ω) = δ(ω), ode δ(λ) é a fução impulso (delta de Dirac): δ(λ) =paraλ e δ(λ)dλ =. Capítulo SINAIS DISCRETOS NO TEMPO.3 Teorema da amostragem Seja x c (t) umsialcotíuo o tempo com faixa de freqüêcias limitada a Ω m =πf m rad/s. A Figura. mostra um exemplo para x c (t) e as suas amostras tomadas os istates t = T.. Itrodução xc(t) O objetivo deste capítulo é apresetar uma itrodução aos siais discretos o tempo a partir de cohecimetos já adquiridos da aálise de siais cotíuos o tempo. Iicialmete é apresetado o teorema da amostragem, que mostra como amostras de um sial cotíuo o tempo, tomadas regularmete a um itervalo de tempo T adequado, são auto-suficietes para carregar toda a iformação do sial origial. A partir deste resultado, chega-se de maeira atural à defiição de seqüêcias, trasformada de Fourier de seqüêcias, covolução discreta, etc. O úico pré-requisito para um bom acompahameto deste capítulo é um cohecimeto básico de aálise de siais cotíuos o tempo.. Trasformada de Fourier Seja x c (t) umsialcotíuo o tempo, cuja trasformada de Fourier e sua iversa são dadas, respectivamete, por: X c (Ω) = I{x c (t)} = x c (t) =I {X c (Ω)} = π x c (t)exp( jωt) dt (.) X c (Ω) exp(jωt)dω, (.) ode Ω éafreqüêcia em rad/s (radiaos por segudo), ou seja, Ω = πf e f éafreqüêcia em Hz (Hertz). Estamos adotado x c (t) dt < (.3) como a codição suficiete para a existêcia da trasformada de Fourier. Deve ser relembrado, etretato, que existem codições mais fracas as quais pode-se mostrar que a trasformada de Fourier existe, mesmo que como um caso limite. É o caso, por exemplo, da fução x c (t) =K (K xc(t = T ) -T -T -T -T Figura.: Um sial cotíuo o tempo e suas amostras os istates t = T. O desevolvimeto a seguir mostrará que as amostras de x c (t), tomadas a itervalos regulares de T segudos, cotêmtodaaiformação de x c (t), desde que T<π/Ω m,istoé, T</(f m ). Seja a fução trem de impulsos periódicos o tempo: δ T (t) = T T T T 3T 3T δ(t T ). (.4) coforme mostrado a Figura.. Uma amostragem ideal do sial através da fução trem de impulsos e com freqüêcia de amostragem f s =, pode ser escrita como: T x s (t) =x c (t)δ T (t) = Uma ilustração deste processo está mostrada a Figura.. Usado a trasformada de Fourier da fução trem de impulsos o tempo I{δ T (t)} =Ω s x c (T )δ(t T ). (.5) δ(ω Ω s ); Ω s = π T t t (.6)

2 .3. TEOREMA DA AMOSTRAGEM 3 4 CAPÍTULO. SINAIS DISCRETOS NO TEMPO Amplitude Amplitude Amplitude T T T T T T T T T T T δ(t T ) T T 3T t x c(t )δ(t T ) T 3T x c (t) 3T Figura.: Fuções evolvidas o processo de amostragem. e da propriedade da trasformada de Fourier do produto de duas fuções o tempo, I{x(t)y(t)} = X(Ω) Y (Ω) = π π X(λ)Y (Ω λ)dλ, (.7) obtemos: X s (Ω) = X c (Ω Ω s ). (.8) T Supoha o sial x c (t) cujo espectro de freqüêcias está mostrado a Figura.3. Supoha que tal sial será amostrado a uma taxa /T tal que Ω s =π/t > Ω m. Usado a expressão (.8) podemos iferir que o espectro do sial amostrado será semelhateàquele mostrado a Figura.4, ou seja, X s (Ω) será compostoderéplicas de X c (Ω) deslocadas de Ω s, apresetado etão um caráter periódico. Se Ω s > Ω m, o que correspode a f s =/T > f m,etão as réplicas ão se superpõem, o que assegura que o sial origial pode ser recuperado através de um filtro aalógico passa-baixas ideal com gaho T ecomfreqüêcia de corte etre Ω m eω s Ω m, coforme mostrado a Figura.5. Se, por outro lado, fosse empregado Ω s < Ω m, ocorreria uma superposição das réplicas do espectro X c (Ω), como mostra a Figura.6. Este feômeo é cohecido como superposição espectral ( aliasig em Iglês). Nesse caso a recuperação do sial origial, sem distorções, fica iviabilizada. t t m A X( Figura.3: Espectro de freqüêcias de um sial cotíuo x c (t) de faixa limitada Ω m =πf m. A/T c m X( s m /T Figura.4: Espectro de freqüêcias do sial amostrado x s (t) para o caso em que π/t > Ω m. T A/T X( s m /T H( r Figura.5: Filtragem passa-baixas ideal para recuperação do sial cotíuo x c (t). Vamos agora realizar o procedimeto iverso e mostrar como o sial origial x c (t), cotíuo o tempo, pode ser recostruído a partir de suas amostras x c (T ) através de um processo de iterpolação. Para isto, cosidere a filtragem de x s (t) por um filtro passa-baixas ideal H r (Ω) com gaho T e faixa Ω s /=π/t, cuja resposta impulsiva é dada por: h r (t) =Sa ( πt T ), (.9) ode Sa(λ) é a fução amostragem ( samplig em Iglês), defiida como Sa(λ) = se(λ)/λ. Lembrado que a resposta o tempo do filtro H(Ω) àexcitação x s (t) é dada pela covolução, x c (t) =x s (t) h r (t), (.)

3 .4. CONVOLUÇÃO DISCRETA 5 6 CAPÍTULO. SINAIS DISCRETOS NO TEMPO X( s A/T y c (t) = x c (t) h c (t) (.) = x c (τ)h c (t τ)dτ, m /T equato que seu espectro: Figura.6: Espectro de freqüêcias do sial amostrado x s (t) para o caso em que π/t < Ω m. fazedo-se uso das eqs. (.5) e (.9), resulta: x c (t) = [ ] π (t T ) x c (T )Sa, (.) T aqualé cohecida como a fórmula de iterpolação de um sial a partir de suas amostras. Note que, como a fução Sa(λ) seaulaparaλ = kπ, k iteiroediferetedezero,eseigualaapara k =,asomatória da equação (.) se iguala a x c (T ) os istates t = T. Nosdemaisistates itermediários, por outro lado, a superposição das fuções amostragem (Sa()), poderadas pelos valores x c (T ), é feita de modo a produzir uma recostrução exata do sial cotíuo x c (t). O teorema da amostragem é um resultado fudametal para a aálise de siais e sistemas discretos o tempo. Como ele garate que as amostras, desde que obtidas a uma taxa de amostragem coveiete, cotêmtodaaiformação de um sial, o processameto pode ser feito as amostras e ão o sial cotíuo como um todo. E depois, se houver iteresse ou ecessidade, o sial processado pode ser recovertido à forma cotíua o tempo a partir de suas amostras..4 Covolução discreta O objetivo desta seção é mostrar que o processameto de siais de faixa limitada por sistemas lieares ivariates o tempo, também de faixa limitada, pode ser feito a forma discreta em um computador. Supoha um sistema liear ivariate o tempo com resposta impulsiva h c (t). Seja y c (t) a resposta do sistema ao sial x c (t) a sua etrada, coforme mostrado a Figura.7. Asaída y c (t) é dada por: x (t) c Sistema Liear h c(t) h c( ) Figura.7: Sistema liear. y (t) c Y c (Ω) = X c (Ω)H c (Ω). (.3) Supoha que x c (t) eh c (t) teham faixa de freqüêcias limitada a Ω m rad/s e que Ω s > Ω m. Com isto podemos escrever, a partir de.: x c (t) = [ ] π (t T ) x c (T )Sa T (.4) [ ] π (t T ) h c (t) = h c (T )Sa. (.5) T Dada a expressão.3, cocluímos que y c (t) também tem faixa limitada em Ω m e, portato: [ ] π (t T ) y c (t) = y c (T )Sa. (.6) T Vamos mostrar que tais resultados implicam em que y c (t) pode ser calculado através das amostras de x c (t) eh c (t). Para tato cosidere: Mas: y c (t) = x c (t) h c (t) (.7) [ ] π (t kt) [ ] π (t lt) = x c (kt)sa h c (lt)sa T T l= [ ] [ ] π (t kt) π (t lt) = x c (kt)h c (lt)sa Sa. T T l= [ ( )] { πt T ; Ω <π/t I Sa = T ; Ω >π/t. Assim: [ ] [ ] π (t kt) π (t lt) Sa Sa = TSa T T Usado este resultado em.7 temos: y c (t) =T Fazedo k + l =, resulta: l= [ π (t (l + k) T ) [ π (t (k + l) T ) x c (kt)h c (lt)sa T T ]. ].

4 .5. SEQÜÊNCIAS 7 8 CAPÍTULO. SINAIS DISCRETOS NO TEMPO [ ] π (t T ) y c (t) =T x c (kt)h c [( k) T ] Sa. (.8) T Comparado esta expressão com.6 podemos idetificar: y c (T )=T x c (kt)h c [( k) T ], (.9) ou seja, as amostras da saída do sistema liear, em resposta à etrada x c (t), podem ser calculadas através de uma operação semelhate à covolução, a qual deomiamos de covolução discreta. Assim, a covolução discreta evolve duas seqüêcias de amostras de dois siais e resulta em uma terceira seqüêcia. Cocluímos que a covolução etre siais limitados em faixa pode ser realizada através das amostras destes siais, via covolução discreta, desde que o teorema da amostragem seja respeitado. A forma cotíua o tempo do sial resultate pode ser obtida a partir de suas amostras forecidas pela covolução discreta, utilizado-se da fórmula de iterpolação, represetada pela expressão (.), ou submetedo as amostras forecidas a um filtro passa-baixas adequado. Portato, o processameto de siais de faixa limitada por sistemas lieares ivariates o tempo, também de faixa limitada, pode ser feito a forma discreta em um computador..5 Seqüêcias As amostras x c (T )deumsialx c (t) podem ser represetadas por úmeros x[], os quais podem ser armazeados em memória. Neste caso, pode idicar uma posição de memória e x[] é uma seqüêcia de úmeros. O itervalo de amostragem T ão é explicitado o âmbito de uma seqüêcia, por coveiêcia. Aida o âmbito das seqüêcias, a operação de covolução etre duas seqüêcias x[] e h[] é defiida da seguite forma: eé represetada como: y[] = x[k]h[ k] (.) y[] =x[] h[]. (.) Devemos observar que além de ão explicitarmos o itervalo de tempo T o argumeto das seqüêcias, também ão utilizamos o parâmetro T como fator multiplicador como a expressão (.9). Assim, quado desejamos calcular o resultado de covolução discreta utilizado a covolução etre seqüêcias, devemos levar em cota a ausêcia do fator multiplicativo. Também, tal parâmetro multiplicativo será ecessário quado desejarmos retorar ao domíio aalógico..6 A trasformada de Fourier dos siais discretos A ausêcia do parâmetro T as expressões evolvedo seqüêcias motiva a defiição de um ova expressão para a trasformada de Fourier a ser utilizada o cotexto das seqüêcias. Lembrado que I{δ(t)} = e usado a expressão (.5) temos: X s (Ω) = x c (T )exp( jωt); para amostras, (.) a partir da qual defiimos a trasformada de Fourier para seqüêcias como: X(ω) x[]exp( jω); para seqüêcias, (.3) ode ω =ΩT ou ω =πft. (.4) Avariável cotíua ω é igual àfreqüêcia em radiaos por segudo ormalizada pelo itervalo de amostragem T associado ao processo de amostragem. Quado tratamos com seqüêcias que ão decorrem de um processo de amostragem, podemos cosiderar T =. Deomiamos ω de freqüêcia agular ormalizada da represetação discreta o tempo ou, coforme algus autores, radiaos por amostra. Algus autores empregam a otação, um pouco carregada, X(e jω )aoivés de X(ω), motivados pelo relacioameto da trasformada de Fourier com a trasformada Z, a qual será vistaocapítulo 5. A codição suficiete para a covergêcia uiforme da trasformada de Fourier X(ω) é dada por: X(ω) = x[]exp( jω) x[] <, o que implica em x[] <. (.5) Da mesma maeira que a trasformada de Fourier de um sial amostrado, X s (Ω), éperiódica com período Ω s =π/t, a trasformada de Fourier X(ω), éperiódica com período ω s =Ω s T =π, ou seja, X(ω) =X((ω + kπ)); k iteiro. (.6) A Figura.8 mostra a comparação etre os eixos de freqüêcia para f, Ωeω e a Figura.9 mostra arelação etre os espectros de freqüêcias de um sial aalógico, da trasformada de Fourier de suas amostras e da seqüêcia daí resultate. Em geral desehamos o espectro X(ω) apeasoitervalo π <ω π ou ω<π, devidoà sua periodicidade com período π. Adicioalmete, para o caso particular de seqüêcias reais, ode o espectro de amplitude possui simetria par e o espectro de fase possui simetria ímpar, é comum represetarmos o espectro apeas o itervalo ω<π..6. Trasformada iversa Vamos mostrar que a trasformada iversa de um espectro X(ω) é dada por: Para tato, temos: x[] = π π X(ω)e jω dω. (.7)

5 .6. A TRANSFORMADA DE FOURIER DOS SINAIS DISCRETOS 9 CAPÍTULO. SINAIS DISCRETOS NO TEMPO Mas: π { ; k e j( k)ω dω = π; k =. Portato, usado esta última igualdade a expressão (.8) teremos fialmete a expressão de (.7)..7 Exemplos de seqüêcias e trasformadas Figura.8: Comparação etre eixos de freqüêcias. Vamos apresetar algumas seqüêcias que são bastate importates em termos teóricos e práticos, discutir suas propriedades e calcular seu espectro de freqüêcias ormalizado. - seqüêcia impulso uitária { ; = δ[] (.9) ;. A Figura. ilustra esta seqüêcia. Veremos que ela represeta para o domíio discreto, o mesmo papel que a fução Delta de Dirac represeta para os siais cotíuos o tempo, embora sem as complicações matemáticas ieretes aestaúltima. Observe que δ[] apreseta amplitude uitária, em cotraste com a fução Delta de Dirac. - /T /T δ [] 3 Figura.: Seqüêcia impulso uitário. Figura.9: Comparação etre espectros de freqüêcia: (a) sial cotíuo, eixo Ω; (b) sial com amostragem ideal, eixo Ω; (c) seqüêcia correspodete, eixo ormalizado ω. π X(ω)e jω dω = = π x[k]e jkω e jω dω (.8) π x[k] e j( k)ω dω. A trasformada de Fourier desta seqüêcia é calculada como: X(ω) = x[]exp( jω) = δ[]exp( jω).

6 .7. EXEMPLOS DE SEQÜÊNCIAS E TRANSFORMADAS CAPÍTULO. SINAIS DISCRETOS NO TEMPO Daí resulta: X(ω) =. (.3) A Figura. apreseta o espectro de freqüêcias discreto desta seqüêcia. Este é costate ao logo do eixo ormalizado de freqüêcias, da mesma forma como o espectro da fução Delta de Dirac. Dado que: x[] = u[], ão existe a trasformada de Fourier. = X( ) 3- Seqüêcia retagular { ; N r N [] ; c.c. (.33) coforme mostrado a Figura.3. Figura.: Espectro de freqüêcias da seqüêcia impulso uitário. Aseqüêcia δ[ k] apreseta a amostra uitária deslocada para a posição = k. Também, para qualquer seqüêcia x[] podemos escrever: x[] = x[k]δ[ k], (.3) r N [] ou seja, a covolução discreta de x[] comδ[] reproduz a própria seqüêcia x[]. propriedade importate que auxiliará aobteção de ovos coceitos. Esta é uma - seqüêcia degrau uitário N { ; u[] ; < A Figura. mostra esta seqüêcia. (.3) Podemos aida escrever: Figura.3: Seqüêcia retagular. u [] r N [] =u[] u[ N], (.34) ode u[ N] éaseqüêcia u[] comiício em = N. Outra expressão alterativa evolve a seqüêcia impulso uitária: N r N [] = δ[ k]. (.35) Aseqüêcia r N [ ]começa em = e termia em N +. A trasformada de Fourier de r N [] é calculada da seguite forma: k= Figura.: Seqüêcia degrau uitário. R N (ω) = r N []exp( jω) N = = exp( jω),

7 .7. EXEMPLOS DE SEQÜÊNCIAS E TRANSFORMADAS 3 4 CAPÍTULO. SINAIS DISCRETOS NO TEMPO ou seja, temos a soma de uma progressão geométrica com razão exp( jω). Lembrado que tal soma é dada por: podemos escrever: S = elemeto iicial elemeto fial razão, (.36) razão Observamos pelo gráfico de magitude que R N (ω =)=N, oquetambém pode ser comprovado aplicado a regra de l Hôpital para o cálculo do valor de R N (ω) emω =. Observamos aida que o itervalo ω<π existem seis cruzametos por zero os potos πk/n; k =,,..., 6. Tais cruzametos são marcados pelas descotiuidades da derivada de R N (ω) e pelos saltos da resposta de fase os potos correspodetes, saltos estes com amplitude de π, idicado, cada um deles, uma iversão da polaridade da fução R N (ω). R N (ω) = e jnω. (.37) e jω Esta expressão pode aida ser alterada da seguite forma: de ode resulta ( R N (ω) = e jnω/ e jnω/ e jnω/), e jω/ (e jω/ e jω/ ) j(n )ω/ si (Nω/) R N (ω) =e si (ω/). (.38) Osespectrosdeamplitudeedefaseassociadosà trasformada de Fourier desta seqüêcia para o caso de N =7estão mostrados a Figura seqüêcia expoecial real x[] =a u[]; a = costate real e a < Um esboço desta seqüêcia para a =, 7estáaFigura.5. a u[] a=,7 (.39) R( ) R( ) Figura.5: Seqüêcia expoecial real. Esta seqüêcia desempeha um papel bastate destacado o processameto de siais discretos, em particular a aálise de sistemas lieares. Com base a expressão (.39), podemos facilmete deduzir que a trasformada de Fourier desta seqüêcia é dada por: X(ω) = ae jω. (.4) As Figuras.7 e.8 apresetam dois exemplos de curvas associadas à fução espectral em (.4). 5- seqüêcias seoidais A expressão a seguir mostra um exemplo de seqüêcia seoidal. x[] =A cos(ω + φ); para todo, (.4) Figura.4: Espectro de freqüêcias da seqüêcia retagular com N = 7. ode A e φ são úmeros reais represetado, respectivamete, a amplitude e a fase. A Figura.6 ilustra esta seqüêcia para ω = π/8 eφ =.

8 .7. EXEMPLOS DE SEQÜÊNCIAS E TRANSFORMADAS 5 6 CAPÍTULO. SINAIS DISCRETOS NO TEMPO cos[π /8] Figura.6: Seqüêcia seoidal com w = π/8. Existem várias difereças importates etre o siais seoidais cotíuos o tempo e as seqüêcias seoidais. Tais difereças decorrem do caráter iteiro e adimesioal da variável. A primeira difereça équeoparâmetro ω, embora aida deomiado de freqüêcia, tem dimesão de radiao, dada a adimesioalidade de. Etretato, algus autores adotam a uidade de radiao/amostra. A seguda difereça fica aparete através do seguite resultado: x[] = A cos[(ω +kπ) + φ]; k = iteiro (.4) = A cos(ω + φ), ou seja, seqüêcias seoidais com freqüêcias ω e ω +kπ são idistigüiveis etre si. Existe etão uma periodicidade em termos do parâmetro ω, o que os permite afirmar que devemos cosiderar valores de freqüêcias apeas em um itervalo de largura π, como, por exemplo, ω < π. Esta propriedade ão se matém o caso de siais seoidais cotíuos o tempo. A Figura.7 ilustra esta propriedade mostrado o resultado da amostragem de duas cosseóides com freqüêcias Ω =, 5π eω =, 5π +π, respectivamete. Ao tomarmos amostras destas duas cosseóides os istates t = T,comT =, obtemos as seguites seqüêcias: x[] = cos[.5π] (.43) y[] = cos[.5π]. Observe que ω =, 5π para a seqüêcia x[] equeω =, 5π +π para a seqüêcia y[]. Também, as duas seqüêcias da Figura.7 apresetam as mesmas amostras. Apesar desta propriedade, podemos gerar seqüêcias compostas pelas amostras de qualquer sial seoidal cotíuo. Cosidere o seguite sial seoidal cotíuo: x c (t) =A cos(πf c t + φ) e suas amostras tomadas os istates T, iteiro, gerado : x s (t) =A cos(πf c T + φ). amplitude amplitude x(t) = cos(,5π t); x[] = cos(,5π T); T = t 8 x(t) = cos(.5π t); x[]= cos(.5π T); T = t 8 Figura.7: Ilustração de seqüêcias seoidais com ω e ω +kπ. Fazedo ω =πf c T, geramos uma seqüêcia seoidal correspodete. Observamos que se os restrigirmos a itervalos T /f c, de modo a respeitarmos o teorema da amostragem, teremos ω π. Assim, os valores de ω tais que ω π são suficietes para represetarmos todas as seqüêcias resultates da amostragem de seóides cotíuas, desde que o teorema da amostragem seja respeitado. A terceira difereça etre as seqüêcias seoidais e os siais seoidais cotíuos está a questão da periodicidade o eixo. Uma seqüêcia periódica é aquela ode: x[] =x[ + N]; para qualquer, (.44) ode o período N éumiteiro. Aplicado as seqüêcias seoidais, temos: o que só será possível se: x[] = A cos[ω + φ] = A cos[ω ( + N)+φ], Nω =lπ; l = iteiro. (.45) Uma primeira coseqüêcia desta codição éexistêcia de valores de ω para os quais ão existe N iteiro que satisfaça a codição (.45). Por exemplo, para ω =temosn =lπ iteiro. Costatamos que é ecessário que ω seja um múltiplo racioal de π para que exista a periodicidade. Como exemplo, vamos tomar ω = π/4, ode etão o período N vale N =8.

9 .7. EXEMPLOS DE SEQÜÊNCIAS E TRANSFORMADAS 7 8 CAPÍTULO. SINAIS DISCRETOS NO TEMPO Como cotraste, os siais seoidais cotíuos o tempo são sempre periódicos, qualquer que seja o valor da freqüêcia associada. Por fim, é importate observar que a iterpretação de seóides com alta e baixa freqüêcia é distita os casos cotíuo e discreto. No caso cotíuo, quato maior a freqüêcia f c,maisrápida será a oscilação do sial. Já o caso discreto, quado ω cresce desde até π, as oscilações se toram mais rápidas. Porém, quado ω cresce desde π até π, as oscilações se toram mais letas. A periodicidade do comportameto das seqüêcias seoidais com ω assegura que as seóides com ω próximodezerosão idistigüiveis das seóides correspodetes com ω próximo de π. Ao cotrário do que ocorre o campo aalógico,aqui ão defiimos a trasformada de Fourier das seqüêcias seoidais, uma vez que a codição (.5) ão é satisfeita. Este problema é cotorado o caso de siais seoidais com a itrodução do coceito de impulso aalógico. Embora a trasformada das seqüêcias resulte em fuções aalógicas, optamos aqui por ão fazer uso deste coceito..8 Propriedades da trasformada de Fourier - Liearidade F{ax[]+by[]} ax(ω)+by (ω), (.5) ou seja, a trasformada de uma combiação liear de seqüêcias é igual à combiação liear das respctivas trasformadas. - Deslocameto o eixo se x[] X(ω) etão x[ ] X(ω)e jω. (.5) 6- Seqüêcias expoeciais complexas A forma mais geral da seqüêcia expoecial é: Demostração: x[ ]e jω = x[k]e jω(k+) = X(ω)e jω ; c.q.d. x[] =βe (α+jω) ; para todo, (.46) ode β é a amplitude complexa da seqüêcia, α éofatordeamortecimetoeω éasuafreqüêcia. Em geral temos: β = Ae jφ, ode A é amplitude real e φ é a fase da expoecial. Para α temosaação de um fator expoecial de alteração das amplitudes. Já ocaso α = resulta a seqüêcia expoecial complexa periódica. É importate observar que todas as propriedades das seqüêcias seoidais discutidas ateriormete, evolvedo a periodicidade em ω e em e as difereças etreocasoaalógico e o discreto valem para a seqüêcia expoecial complexa periódica. Paraocasoω =temos x[] =βe α. (.47) Fazedo βe α = a, obtemos a forma geral para a seqüêcia expoecial real tratada ateriormete. De forma alterativa, a seqüêcia expoecial pode ser escrita como: x[] =Ae α [cos(ω + φ)+jse(ω + φ)]. (.48) Podemos agora gerar as seqüêcias seoidais como combiação de duas seqüêcias complexas periódicas: cos(ω + φ) = e(jω+φ) + e (jω+φ), (.49) Portato, um deslocameto o eixo produz uma compoete liear de fase o domíio da freqüêcia. 3- Deslocameto o eixo ω Demostração: x[]e jωo e jω = Portato, dado que se x[] X(ω) etão e jωo x[] X(ω + ω ). (.53) x[]e j(ω+ω) = X(ω + ω ); cos[ω o ]= ejωo c.q.d. + e jωo, (.54) etão x[]cos[ω o ] X(ω ω ) + X(ω + ω ), (.55) ou seja, a multiplicação de uma seqüêcia por uma seqüêcia seoidal produz deslocameto espectral. 4- Difereciação em freqüêcia x[] j dx(ω) dω. (.56) e podemos aida gerar as seqüêcias seoidais amortecidas: e α cos(ω + φ) = eα [ e (jω +φ) + e (jω+φ)]. (.5) Demostração: [ ] d x[] e jω = dω jx[]e jω = jf {x[]} ; c.q.d.

10 .8. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER 9 CAPÍTULO. SINAIS DISCRETOS NO TEMPO 5- Seqüêcias reais se x[] é real, etão X(ω) =X ( ω). (.57) (a) (b) Demostração: [ X(ω) = x[]e jω = ] x[]e j( ω) = X ( ω); c.q.d..5.5 Como coseqüêcia deste resultado temos: X(ω) = X( ω) fução par; (.58) arg [X(ω)] = arg [X( ω)] fução ímpar. (.59) Se calcularmos X (ω), ão édifícil verificar que se x[] é real e par, etão X(ω) érealepar. 6- Iversão o eixo se x[] X(ω) etão x[ ] X( ω). (.6) Demostração: F{x[ ]} = x[ ] e jω = 7- Compoetes par e ímpar x[k]e j( ω)k = X( ω) ; c.q.d..5 (c) Figura.8: Exemplo de seqüêcia e suas compoetes par e ímpar. Demostração: para qualquer x[] temos: x[] =x e []+x o [], ode: (.6) x e [] = x[]+x [ ] e x o [] = x[] x []. (.6) Éfácil verificar que x e [] tem simetria par e que x o [] tem simetria ímpar. A Figura.8 ilustra esta decomposição para uma seqüêcia composta por um trecho de uma seqüêcia expoecial real. Calculado a trasformada de Fourier de x[] podemos verificar de imediato que X(ω) =X e (ω)+x o (ω). (.63) Com base a propriedade 6 podemos verificar que X e (ω) é uma fução real e par e que X o (jω)é imagiária e ímpar. 8- Teorema de Parseval x[]y [] = π π X(ω)Y (ω) dω. (.64) x[]y [] = = π = π Defiimos a eergia de uma seqüêcia como: π π eergia de x[] Fazedo y [] =x[] em.64 podemos escrever: y [] π X(ω) π [ X (ω) e jω dω (.65) y []e jω ] dω (.66) X(ω)Y (ω) dω c.q.d. (.67) x[]. (.68)

11 .8. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER CAPÍTULO. SINAIS DISCRETOS NO TEMPO eergia de x[] = x[] = π π X (ω) dω. (.69) 9- Covolução o tempo x[] y[] X(ω)Y (ω). (.7) Demostração: x[k]y[ k]e jω = Y (ω) x[k]e jkω = X(ω)Y (ω) c.q.d. Vamos exemplificar o cálculo da covolução o tempo usado c[] = r N [] r N [] = N r N [k]r N [ k] = r N [ k]. k= Uma boa maeira de realizar este cálculo é cotar com o auxílio de represetações das seqüêcias evolvidas. Assim, o primeiro passo cosiste em observar que precisamos de r N [k]eder N [ k], isto é, da seqüêcia ivertida o eixo k e deslocada de uidades. A Figura.9 mostra várias possibilidades para a posição relativa destas seqüêcias, as quais estão represetadas de forma pictórica, ode se mostra apeas o perfil das suas amostras. O cálculo da covolução cosiste em defiir a seqüêcia c[] para todos os valores de. Para isto precisamos calcular o produto de r N [k] er N [ k] acadavalorde e somar as amostras resultates deste produto. Tal cálculo deve ser realizado para faixas de valores de. Por exemplo, a Figura.9a mostra que o produto de r N [k] er N [ k] seráulopara<. Portato, c[] =para<. Por outro lado, a Figura.9b mostra que equato N, ocorre uma sobreposição de r N [k] er N [ k] oitervalo k. Com isto o produto de r N [k] er N [ k] produzirá + amostras uitárias, permitido iferir que: c[] = + para N. Da mesma forma, para N <<N também ocorre sobreposição etre as seqüêcias deslocadas de forma que o produto produz N amostras uitárias, ou seja; c[] =N para N <<N. Por fim, para N ão haverá sobreposição etre as seqüêcias deslocadas e teremos Resumido temos: c[] = para N. Figura.9: Seqüêcias deslocadas: a) <; b) N ; c) N <<N ; d) N. c[] = para <, (.7) c[] = + para N, c[] = N para N <<N e c[] = para N. A Figura. mostra a seqüêcia c[] paran =. Fazedo uso de.7 e de.38 podemos escrever: [ ] se (Nω/) F{c[]} = C(ω) =e j(n )ω. se(ω/) (.7) A Figura. mostra o espectro de freqüêcias associado a C(ω). - Covolução a freqüêcia

12 .8. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER 3 4 CAPÍTULO. SINAIS DISCRETOS NO TEMPO amplitude x[]y[]e jω = π π = π X(λ) π = π π X(λ)e jλ dλ y[]e jω (.74) [ y[]e j(ω λ) ] dλ (.75) X(λ)Y (ω λ)dλ c.q.d. (.76) Figura.: Seqüêcia triagular com N =. magitude A itegral em (.73) é deomiada de covolução periódica etre X(ω) e Y (ω). Não utilizamos a covolução usual etre fuções periódicas pois a mesma pode divergir. A covolução periódica de (.73) é defiida apeas o itervalo de um período e resulta em uma fução periódica com idêtico período. H(ω) 3 π/7 π/7 3π/7 4π/7 5π/7 6π/7 π ω π fase π/ H(ω) π/ π π/7 π/7 3π/7 4π/7 5π/7 6π/7 π ω Figura.: Espectro de freqüêcias da seqüêcia triagular com N =7. x[] y[] π π X(λ)Y (ω λ)dλ. (.73) Demostração:

13 .9. EXERCÍCIOS 5 6 CAPÍTULO. SINAIS DISCRETOS NO TEMPO.9 Exercícios. Um sial x c (t) complexo e cotíuo o tempo tem o espectro mostrado a Figura.. Este sial é amostrado produzido x[] =x c (T ). X( c Figura.: Espectro de um sial geérico complexo. 4. Demostre que u[] = δ[ k] Baseado este resultado, escreva u[ ] em fução de δ[] k= 5. A seqüêcia x[] =cos[π/4], <<, foi obtida amostrado o sial cotíuo x c (t) = cos(ω t), <t<, com uma taxa de amostragem de amostras/s. Quais são os possíveis valores de Ω? 6. O sial x c (t) = cos(4πt), <t<, foi amostrado com itervalo T etre amostras gerado a seqüêcia x[] = cos[π/3], < <. Determie todos os valores de T cosistetes com estas iformações. a) Esboce X(ω) parat = π/ω. b) Supodo que Ω =Ω,qualéameorfreqüêcia de amostragem sob a restrição que x c (t) possa ser recuperado de x[]? c) Desehe um diagrama de blocos de um sistema que recupera x c (t) as codições do item b).. O sial x c (t), com o espectro mostrado a Figura.3, é amostrado com T =π/ω, gerado x[]. - - X( c Figura.3: Espectro de um sial geérico. 7. O sial x c (t) =se(πt) +cos(4πt), <t<, foi amostrado com itervalo T etre amostras gerado a seqüêcia x[] = se[π/5]+ cos[π/5], <<. Determie todos os valores de T cosistetes com estas iformações. 8. Cosidere a seqüêcia x[] =r N []+r N [ N], ilustrada a Figura.4, e y[] =r N []. x[] N- N 3N- Figura.4: Seqüêcia x[]. a) Calcule c[] = x[] y[]. b) Calcule X(ω) e C(ω). 9. Cosidere x[] =a ( N) r N [ N] com<a<ey[] =r N [ + N ]. a) Calcule c[] = x[] y[]. b) Calcule C(ω).. Cosidere as seqüêcias x [] =a ( ) r [ ] e y [] =r [ ]. a) Esboce x []. b) Esboce y []. c) Calcule c [] =x [] y []. d) Calcule C(ω). a) Esboce X(ω). b) Desehe um diagrama de blocos de um sistema que recupera x c (t) a partir de x[]. 3. Cosidere a seqüêcia x[] =δ[ +]+δ[]+δ[ ] + δ[ ] + δ[ 3] +, 5δ[ 4]. Esboce as seguites seqüêcias: a) x[ ]; b) x[4 ]; c) x[]; d) x[]u[ ]; e) x[ ]δ[ 3].

14 8 CAPÍTULO. SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO e o sistema média móvel (movig average) defiido por Capítulo SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO. Itrodução Neste capítulo, iremos apresetar a defiição e as propriedades dos sistemas discretos o tempo. Os sistema que, simultaeamete, são lieares e ivariates o tempo, serão tratados de forma especial em fução de suas propriedades. A mais importate é que a saída pode ser calculada para qualquer etrada usado a sua resposta ao impulso uitário. Além das propriedade da liearidade e ivariâcia o tempo, estudaremos a causalidade e a estabilidade, tato a sua forma geral como a forma particular para os sistemas lieares e ivariates o tempo. Merece destaque especial a descrição dos sistema lieares e ivariates o tempo o domíio da freqüêcia, evolvedo os coceitos e propriedades da trasformada de Fourier para siais discretos. Como se pode perceber esta itrodução, a deomiação sistemas lieares e ivariates o tempo aparece com muita freqüêcia, o que motiva a adoção das siglas SLID e LID. Estes coceitos serão aalisados em mais detalhes os próximos capítulos. Porém, o material deste capítulo é básico e fudametal para o etedimeto dos demais.. Sistemas Discretos o Tempo Vamos cosiderar a represetação de um sistema discreto geérico mostrada a Figura.. O sistema tem uma ação sobre a etrada x[] de modo a gerar uma saída y[] que é uma trasformação de x[] represetada por T {x[]}. M y[] = x[ + k], M + M + k= M ode a saída y[ ]é proporcioal à soma das amostras de x[] aoredorde = desde M até + M.Aação deste sistema sobre a etrada se assemelha a uma filtragem passa-baixas. Os sistemas podem ser classificados em várias categorias em fução de suas propriedades. As categorias a seguir são as mais importates para o processameto de siais. - Sistemas sem memória São aqueles ode a saídaemumistate ão depede da etrada e/ou da saída em istates diferetes de. Como exemplo podemos citar y[] ={x[]} e como cotra-exemplo, os sistema média móvel. - Sistemas lieares Obedecem a: se T {x []} = y [] e T {x []} = y [], etão T {ax []+bx []} = ay []+by []. Osistemamédia móvel é um exemplo de sistema liear, equato que y[] = {x[]} éum exemplo de sistema ão-liear. 3- Sistemas ivariates com o deslocameto São aqueles que obedecem a: (.) se T {x[]} = y[], etão T {x[ ]} = y[ ]. (.) Vamos verificar se o sistema média móvel é ivariate ao deslocameto. Para tato temos: x[] y[]=t{x[]} T{ } Figura.: Sistema discreto. Como exemplos de sistemas temos o sistema atrasador defiido por y[] =x[ ] 7 M x[] y[] = x[ + k] M + M + k= M x [] = x[ ] y [] = x [ + k]. M + M + k= M y [] = M e M x[ + k] =y[ ]. M + M + k= M Mas

15 .. SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO 9 3 CAPÍTULO. SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO Portato, x[ ] y[ ], o que demostra que o sistema média móvel é ivariate com o deslocameto. x[] h [] h [] y[] 4- Sistema liear ivariate com o deslocameto (SLID) É a categoria mais importate pelas propriedades que apreseta. A pricipal é que a saída em resposta a qualquer etrada éacovolução discreta etre a etrada e a resposta impulsiva do sistema. Para atigirmos este resultado vamos tomar uma seqüêcia geérica x[] e escrevê-la como: Figura.: Sistemas lieares ivariates com o deslocameto em cascata. Os sistemas em cascata com h [] eh [] mostrados a Figura. são equivaletes a um úico sistema com h[] =h [] h []. x[] =... + x[ ]δ[ +]+x[]δ[]+x[]δ[ ] + x[]δ[ ] +... = x[k]δ[ k]. Seja um SLID com resposta ao impulso h[] (resposta para x[] = δ[]). Para uma etrada geérica x[] teremos: 3- sistemas em paralelo Os sistemas em paralelo mostrados a Figura.3 são equivaletes a um úico sistema com h[] =h []+h []. Pela liearidade podemos escrever y[] =T {x[]} = T { x[k]δ[ k]}. x[] h [] y[] e pela ivariâcia com o deslocameto, y[] = x[k]t {δ[ k]} h [] de ode obtemos y[] = x[k]h[ k], y[] =x[] h[]. (.3) Assim, um sistema liear ivariate com o deslocameto com resposta ao impulso h[] e etrada x[], produz uma resposta y[] dada pela covolução etre h[] ex[]. Propriedades de sistemas SLID - comutativa - sistemas em cascata x[] h[] =h[] x[]. (.4) Figura.3: Sistemas lieares ivariates com o deslocameto em paralelo. Fializado a apresetação das propriedades dos sistemas SLID, é importate ressaltar que a operação de covolução discreta possui importâcia prática, o que ão ocorre com acovolução o campo aalógico. Equato que a covolução etre siais cotíuos é uma ferrameta com importâcia teórica para a caracterização de sistema lieares ivariates o tempo, a covolução discreta possui a mesma importâcia e aida éusada como istrumeto de implemetacão prática de algus sistemas discretos com resposta de duração fiita. 5- Causalidade Um sistema écausalseasaída em = ão depede da etrada existete em >. Como exemplo, o sistema defiido por écausal y[] =x[] x[ ]

16 .. SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO 3 A causalidade em sistemas SLID implica em que h[] =para <. 3 Vamos agora calcular a saída correspodete em =: CAPÍTULO. SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO Para verificar esta propriedade, vamos cosiderar a covolução etre uma etrada geérica x[] e a resposta ao impulso h[] y[] = x[k]h[ k]. Para que a saída y[] depeda apeas das amostras de x[k] localizadas em k é ecessário que h( k) =parak>,ou seja, que h[] =para<. 6- Estabilidade Um sistema éestável se e somete se a resposta a qualquer etrada limitada em amplitude é também limitada em amplitude. Esta é a defiição geral de causalidade. Para sistemas lieares e ivariates com o deslocameto, esta propriedade assume uma forma particular: Demostração: - supoha que fiito. Um sistema SLID éestável se e somete se h[] <. h[] <. Seja x[] talque x[] <Mcom M um úmero positivo y[] = x[k]h[ k] M x[k] h[ k] h[ k] = M h[k] <. - Supoha que h[]. Vamos mostrar que existe pelo meos uma seqüêcia de etrada com amplitude limitada que vai causar uma saída com amplitude ilimitada. Seja h [ ] para h[] h[ ] x[] = para h[] =. Podemos verificar que x[] é limitada em amplitude, pois x[] = h [ ] h[ ] =. y[] = = x[k]h[ k] = = h[ k] h [ k] h[ k] h[ k] = Assim, é ecessário que h[] < para que se possa garatir que etradas limitadas produzam saídas limitadas. Como exemplo, vamos aalisar o SLID defiido por: isto é, Vamos verificar a codição h[] = = h[] =a u[]. h[] < a u[] = cqd. se a < a a = = diverge se a. Portato, o sistema só seráestável se a <. Paraocasoemquea =, ou seja, h[] =u[], teremos: y[] = = x[k]u[ k] = x[k], o que justifica a deomiação de acumulador para este sistema. O acumulador é um sistema istável. Por fim é iteressate observar que um sistema istável em cascata com um sistema estável pode resultar em um sistema estável, coforme o exemplo a seguir, ode temos a cascata de h [] eh [] com e Como h [] =u[] h [] =δ[] δ[ ].

17 .3. EQUAÇÃO A DIFERENÇAS LINEAR E COM COEFICIENTES CONSTANTES (EDLCC)33 34 CAPÍTULO. SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO h [] h [] = u[] [δ[] δ[ ]] = = u[] u[ ] = = δ[], o sistema resultate tem h[] = δ[] e é estável. Etretato, devemos observar que existem pelo meos duas formas de implemetação do sistema: - fazemos y[] = x[], em cocordâcia com h[] = δ[; esta versão é estável; - costruímos explicitamete, e de forma separada, os sistemas represetados por h [] eh []; esta versão éistável..3 Equação a difereças liear e com coeficietes costates (EDLCC) Uma sub-classe importate dos sistemas lieares ivariates com o deslocameto éaquelacostituída pelos sistemas em que a etrada x[] easaída y[] obedecem a uma equação a difereças liear e com coeficietes costates (EDLCC) do tipo: N M a k y[ k] = b k x[ k], (.5) k= ode N e M são iteiros positivos. Neste caso a saída y[] pode ser calculada a partir da amostra atual a etrada e das M amostras ateriores, ou seja, de x[ k] parak =,...,M etambém das N amostras ateriores a saída, ou seja, de y[ k] parak =,...,N. Logo, esta forma de escrever a EDLCC restrige a sua capacidade de represetação dos sistemas lieares ivariates com o deslocameto, atedo-se apeas com os causais. Como exemplo, vamos cosiderar a EDLCC a qual, ao ser reescrita como k= y[] ay[ ] = x[], y[] =x[]+ay[ ], pode ser associada a um sistema com a seqüêcia de cálculos ilustrada a Figura.4. Uma EDLCC ecessita de restrições adicioais para especificar de forma uívoca um sistema. Para demostrar este fato, vamos cosiderar a EDLCC de (.5) e uma etrada particular x p [] produzido uma resposta y p [], ou seja, N M a k y p [ k] = b k x p [ k]. (.6) k= Vamos cosiderar também a solução y h [] daequação homogêea, isto é, da EDLCC para o caso particular quado x[] =, o que correspode a observar a resposta do sistema associado quado a etrada é ula. Assim, N a k y h [ k] =. (.7) Neste cotexto, a solução geral da equação pode ser escrita como k= k= y[] =y p []+y h []. (.8) Vamos mostrar que y h [] éummembrodeumafamília de soluções da forma Substituido (.9) em (.6) obtemos y h [] = N a k y h [ k] = k= = N A m zm. (.9) m= N k= a k N m= N A m zm m= A m z k m = ou seja, é ecessário que os úmeros z m sejam raízes da equação N a k z k =. k= N k= a k z k m =, Satisfeita esta codição, de fato verificamos que todas as soluções especificadas em (.9) são válidas. Etretato, (.9) ão defie os M coeficietes A m, o que sigifica que existem ifiitas soluções para y h []. Logo, para especificar um sistema de forma uívoca é ecessário escolher um cojuto de coeficietes A m através de algum critério. x[] + y[] Exemplo. atraso Vamos tomar a EDLCC tratada o exemplo aterior: ay[-] a y[-] A equação homogêea associada é y[] ay[ ] = x[]. Figura.4: Represetação de um sistema defiido por y[] =x[]+ay[ ]. y h [] =ay h [ ].

18 .3. EQUAÇÃO A DIFERENÇAS LINEAR E COM COEFICIENTES CONSTANTES (EDLCC)35 36 CAPÍTULO. SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO Como este caso temos N =, resulta y h [] =A z. Substituido esta solução a equação homogêea obtemos z = a e, portato, e y h [] =A a y[] =y p []+A a, a qual exije uma codição extra para que se possa determiar uma solução úica. A expressão (.9) éválidaapeasparaocasoemqueosz m,m=,...,n represetam N raízes distitas. Embora a forma dos termos associados a raízes múltiplas em (.9) seja ligeiramete diferete, aida assim existem N coeficietes idetermiados. Como a solução da EDLCC apreseta N coeficietes idetermiados, é ecessário especificar um cojuto de N codições auxiliares a serem obedecidas pelo sistema para que se teha uma úica solução para a EDLC. Estas codições podem cosistir de especificações de valores de y[] emn posições particulares, como, por exemplo, valores para y[ ], y[ ],..., y[ N], idicado que o sistema se apreseta com codições iiciais diferetes de zero para etradas iiciado em =. De posse destes valores podemos costruir um sistema de N equações com os coeficietes como icógita, bastado para isto usar tais valores em (.6) jutamete com (.9). De forma alterativa, podemos calcular a resposta do sistema para uma dada etrada através de uma recursão baseada a equação a difereças e fazedo uso dos valores especificados como codições auxiliares. Éfácil verificar que o sistema as codições acima, com as codições auxiliares determiado valores particulares ão ulos a saída, ão obedece à codição de liearidade. Isto porque se multiplicarmos as amostras da etrada por uma costate, a saída ão apresetará todas suas amostras multiplicadas pela costate, uma vez que os valores y[ ], y[ ],..., y[ N] permaecerão ialterados. Da mesma forma, o sistema ão será ivariate ao deslocameto. Nos iteressa aqui apeas os sistemas lieares ivariates com o deslocameto. Sedo assim, ão trabalharemos a codição em que o sistema apreseta codições iiciais ão ulas. Etretato, mesmo com a imposição da liearidade e ivariâcia com o deslocameto, aida assim a equação a difereças ão especifica uivocamete a saída para uma dada etrada, pois existirá umsistema liear ivariate ao deslocameto causal e sistemas ão causais que são descritos pela mesma equação a difereças. Vamosilustrar este fatoatravés de um exemplo. Seja um sistema liear ivariate ao deslocameto descrito pela equação y[] ay[ ] = x[]. Comoosistemaé liear e ivariate ao deslocameto, podemos descrevê-lo pela sua resposta ao impulso h[]. Vamos obter esta resposta através de um processo de recursão baseado a equação a difereças. Numa primeira tetativa vamos supor que o sistema é causal, ou seja, h[] =para <. Devemos observar que tal codição implica em codições iiciais ulas. Tomado y[] =x[]+ay[ ] e calculado a saída para x[] = δ[], obtemos h[] =δ[]+ah[ ]. Levado em cota que h[] =para<, podemos calcular passo a passo os valores de h[] para começado com =: h[] = δ[] + ah[ ] = δ[] h[] = h[] = δ[] + ah[] = ah[] h[] = a h[] = δ[] + ah[] = ah[] h[] = a. h[] =a u[]. Vamos agora repetir este processo sob a hipótese que h[] =para>. Para isto vamos tomar, por facilidade, h[ ] = h[] a δ[] a e vamos recorrer o setido dos valores egativos de, uma vez que h[] =para>: h[] = h[] a h[ ] = h[] a h[ ] = h[ ] a.. δ[] a δ[] a δ[ ] a = h[] = = δ[] a = h[ ] a h[ ] = a h[ ] = a h[] = a u[ ]. Portato, uma mesma equação a difereças, de primeira ordem, admite duas respostas ao impulso: uma causal e outra ati-causal. Resumido temos: -umaequação a difereças liear com coeficietes costates ão especifica de forma uívoca um sistema. É ecessário estabelecer codições auxiliares a serem obedecidas. - quado impomos as codições auxiliares através de valores específicos para a saída idepedete da etrada, o sistema correspodete ão será liear em ivariate ao deslocameto. -aimposição de que a equação represete um sistema liear ivariate ao deslocameto ão basta para especificar completamete o sistema. É ecessário impor aida outra codição como, por exemplo, a causalidade..4 Sistemas IIR e sistemas FIR Ao trabalharmos com a EDLCC obtivemos um sistema causal com y[] ay[ ] = x[], h[] =a u[].

19 .5. REPRESENTAÇÃO DE SLID NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA CAPÍTULO. SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO Esta resposta ao impulso tem duração ilimitada, o que caracteriza os sistemas SLID do tipo IIR (Ifiite Impulse Respose). Veremos os próximos capítulos que a duração ilimitada da resposta ao impulso é geralmete provocada pela preseça de realimetações o sistema, as quais, por sua vez, estão associadas a valores de N em (.5) maiores que zero. Quado N =,ouseja,asaída do sistema depede apeas das amostras de etrada, e M em (.5) é fiito, teremos Exemplo. Filtro passa-baixas ideal - Figura.5 Fazedo x[] = δ[] obtemos y[] = M k= b k a x[ k]. h[] = b δ[]+ b δ[ ] + b δ[ ] b M δ[ M], a a a a o que caracteriza um sistema causal com resposta ao impulso com duração fiita M +. Estaéa característica dos sistemas FIR (Fiite Impulse Respose). O fato da resposta ao impulso dos sistemas FIR ser de comprimeto fiito, implica em que tais sistemas serão sempre estáveis (supodo que os coeficietes b k sejam úmeros fiitos), uma vez que a codição h[] < será sempre satisfeita..5 Represetação de SLID o domíio da freqüêcia Um sistema liear ivariate com o deslocameto é caracterizado pela sua resposta ao impulso h[]. A trasformada de Fourier de h[], H(ω) = h[]e jω, (.) é deomiada de Fução de Trasferêcia do sistema e permite a caracterização do mesmo o domíio da freqüêcia. Lembrado que a relação etre uma etrada x[] e a saída correspodete y[] é dada por y[] =x[] h[] equeaoperação de covolução o domíio do tempo dá lugar à multiplicação dos espectros correspodetes, temos Y (ω) =X(ω)H(ω). (.) A capacidade de trasformar covolução em produto é uma das características da trasformada de Fourier que melhor justificam sua importâcia para o processameto de siais. Como émaisdifícil para realizarmos a operação de covolução em cotraste com a operação de produto, optamos por aalisar as ações dos sistemas através das represetações espectrais em freqüêcia. Devemos observar que H(ω) é uma fução complexa. Seu módulo é deomiado de Resposta de Amplitude, equato que seu argumeto é deomiado de Resposta de Fase. Como toda fução espectral associada a seqüêcias éperiódica com período π, H(ω)também o é. Como esta periodicidade produz feômeos sem cotrapartida o domíio aalógico, é iteressate observar a forma de algumas fuções de trasferêcia clássicas. Figura.5: Filtro passa-baixas ideal. O filtro selecioa as freqüêcias ao redor de ω =,até ω = ω c. É importate observar que as altas freqüêcias estão ao redor de ω = π, uma vez que a periodicidade o eixo ω faz com que ao redor de ω =π tehamos o mesmo coteúdo espectral da região ao redor de ω =. Exemplo.3 Filtro passa- altas ideal - Figura.6 Figura.6: Filtro passa-altas ideal. Neste caso o filtro selecioa as altas freqüêcias ao redor de ω = π. Sua freqüêcia de corte ocorre em ω = ω c. Exemplo.4 h[] =a u[]; a <. H(ω) = ae jω, H(ω) = [ +a a cos(ω) ], H(ω) = arcta [ase(ω)/ ( a cos(ω))]. AFigura.7mostraarespostadeamplitudeedefasedestafução de trasferêcia para ocasoa =, 8. Podemos observar que se cofigurou um filtro passa-baixas simples. A Figura.8 mostra a resposta de amplitude e de fase desta fução de trasferêcia para o caso a =, 8. Neste caso cofigurou-se um filtro passa-altas.

20 .5. REPRESENTAÇÃO DE SLID NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 39 4 CAPÍTULO. SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO H(ω) magitude π/ π 3π/ π ω.5 fase y[] = h[] x[] = h[k]e j( k)ω = = e jω h[k]e jkω = e jω H(ω )=H(ω ) x[] c.q.d. Isto sigifica que a resposta de um sistema liear e ivariate ao deslocameto a uma etrada expoecial complexa uma determiada freqüêcia, é a mesma expoecial multiplicada pela fução de trasferêcia calculada a freqüêcia da expoecial. Portato, a amplitude da expoecial será multiplicada pelo valor da resposta de amplitude do sistema e sua fase será alterada pela resposta de fase do sistema a mesma freqüêcia. Como coseqüêcia desta propriedade, é fácil mostrar que se a etrada for H(ω).5 etão a resposta será x[] =cos(ω + φ), π/ π 3π/ ω π y[] = H(ω ) cos (ω + φ + θ), θ =arg[h(ω )]. Figura.7: Resposta em freqüêcia de um filtro passa-baixas de primeira ordem; a =, 8. H(ω) H(ω) magitude π/ π 3π/ ω π fase.5.5 π/ π 3π/ ω π Figura.8: Resposta em freqüêcia de um filtro passa-altas de primeira ordem; a =, 8. A fução de trasferêcia apreseta algumas propriedades importates. - se x[] =e jω, <<, etão y[] =H(ω ) x[], pois - Existêcia de H(ω) Sabemos que H(ω) existese h[] <, quado etão asérie h[]e jω coverge uiformemete para a fução H(ω). Portato, todo sistema LID estável tem H(ω) pois a estabilidade exige que h[] <. Também, comotodosistemafiréestável, todo sistema deste tipo tem fução de trasferêcia..6 Covergêcia da série Vimos que se etão a série h[] < h[]e jω coverge de forma uiforme para a fução H(ω). Quado h[] mas h[] <, a série coverge apeas o setido de que o erro quadrático médio é miimizado.

21 .6. CONVERGÊNCIA DA SÉRIE 4 4 CAPÍTULO. SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO Exemplo.5.7 Exercícios Seja Podemos mostrar com facilidade que { ; ω <ωc H pb (ω) = ; ω c < ω <π. h[] = ω c π se(ω c ), ω c de ode costatamos que h[] / para e que, portato, h[]. Porém, h [] / para e, portato, h[] <. Vamos agora aalisar como se comporta a trasformada de Fourier de h[] calculado H N (ω) = N h[]e jω. = N A Figura.9 mostra a fução de trasferêcia de H pb (ω) jutamete com H N (ω). Notamos que H N (ω) apreseta oscilações em toro de H pb (ω). Pode-se demostrar que a amplitude máxima de tais oscilações ão tede a zero àmedidaque. Porém, as oscilações tedem a ser cocetrar progressivamete os locais de descotiuidades (ω = ω c e ω = ω c ). Assim, a série ão coverge uiformemete para H pb (ω) mas coverge o setido de que o erro quadrático médio lim π N π H pb (ω) H N (ω) dω será igual a zero, idicado que as duas fuções diferem apeas a posições das descotiuidades. amplitude,8,6,4, Figura.9: Resposta em freqüêcia do filtro FIR passa-baixas.. Para cada um dos sistemas a seguir, determie se o sistema é liear, estável, ivariate com o deslocameto e sem memória. a) T {x[]} = x[ ]; b) T {x[]} = x[]+3u[ ]; c) T {x[]} = x[k]; d) T {x[]} = = + x[k].. Calculado de forma explícita a covolução, determie a resposta ao degrau do sistema cuja resposta ao impulso é h[] =a u[ ]; <a<. 3. A resposta ao impulso de um sistema é ula exceto para N N. Cosidere uma etrada ula exceto para N N 3. A reposta correspodete será ulaexcetoparan 4 N 5. Calcule N 4 e N 5 em fução de N, N, N e N Cosidere o sistema discreto descrito pela equação a difereças y() = x() + ax( ) + +bx()x( ), ode x() éaseqüêcia de etrada, y() éasaída correspodete e a éuma costate real ão ula. a) Classifique o sistema quato às propriedades a seguir e em fução do valor da costate real b, justificado cada resposta: memória, liearidade, ivariâcia com o deslocameto, estabilidade, causalidade. b) Se o sistema for liear e ivariate com o deslocameto para algum valor de b, calculea resposta ao impulso correspodete. 5. Cosidere o sistema discreto liear e ivariate com o deslocameto descrito pela equação y []+, 5 y [ ] = x []+x[ ]. a)calcule a resposta ao impulso causal. b) Calcule a resposta ao impulso ão causal, supodo h [] =para 3. c) Calcule H(ω). d) Calcule a resposta do sistema para a etrada x [] =e jπ/. e) Calcule a resposta do sistema causal para a etrada x [] =δ []+δ[ ]. 6. Cosidere um sistema discreto descrito por y() = k= b kx( k)+c, ode x()éaseqüêcia de etrada e y() éasaída correspodete. Cosidere que b k (k =,, ) são costates reais fiitas e ão ulas e que c é uma costate real fiita. a) Classifique o sistema quato às propriedades abaixo e em fução do valor da costate c, justificado cada resposta: a) memória. a) liearidade. a3) ivariâcia com o deslocameto. a4) estabilidade. a5) causalidade.

22 .7. EXERCÍCIOS CAPÍTULO. SISTEMAS DISCRETOS NO TEMPO b) Se o sistema for liear e ivariate com o deslocameto para algum valor da costate c, calcule a resposta ao impulso causal correspodete. 7. Cosidere um sistema liear ivariate com o deslocameto descrito pela equação a difereças y()+ ay( ) = x()+ bx( ) com codições iiciais ulas. Supoha que as cotates a e b são reais e diferetes de zero. a) Calcule a resposta ao impulso causal. b) Calcule a resposta ao impulso ão causal. c) Calcule a fução de sistema H(ω). d) Qual a codição para que o sistema causal seja estável? Justifique. 8. Cosidere o sistema da Figura. com h [] =βδ[ ] e h [] =α u[]. x[] + h [] y[] h [] Figura.: Sistema LTI. a) O sistema é causal? Sob que codições o sistema será estável? Justifique. b) Calcule a resposta ao impulso h[] do sistema todo. c) Calcule a fução de sistema H(ω) para o sistema todo. d) Especifique uma equação a difereças que descreva o sistema todo. 9. Cosidere o sistema da Figura.. H(ω) é um filtro passa-baixas ideal com freqüêcia de corte em π/. Determie a resposta ao impulso. x x[] H( ) (-) + y[] Figura.: Sistema LTI.. Cosidere um sistema LTI com resposta em freqüêcia dada por H(ω) =e j(ω π/4) +e jω +4e j4ω. +, 5e jω Determie a saídaemrespostaax[] = cos[π/].