SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS E ONDAS ESTACIONÁRIAS

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1 Notas de aula- Física II Profs. Amauri e Ricardo SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS E ONDAS ESTACIONÁRIAS Superposição de Odas O pricípio de superposição é uma propriedade do movimeto odulatório. Este pricípio afirma que quado duas odas ou mais se superpõem, a oda resultate é a soma algébrica da sodas idividuais. Veja uma iteressate simulação o edereço a seguir: Superposição e Equação de Oda O pricípio de superposição é coseqüêcia de a equação de oda ser liear para pequeos deslocametos trasversais. Se y e y forem duas soluções diferetes da fução de oda, a combiação liear a seguir também será (álgebra liear): y 3 = C y + C y () ode Ce C são costates arbitrárias. Iterferêcia de Odas Harmôicas Seja y a fução de oda de uma oda harmôica que avaça para direita com amplitude y, a freqüêcia agular ω e o úmero de oda k : y = y se( kx ω () ode fizemos = y = em x =. Cosidere uma outra oda também avaçado para direita com a mesma freqüêcia, mesma amplitude, mesmo úmero de oda e apeas com uma difereça de fase δ (esta fase os diz que o istate t =, em x = a fução apresetava um deslocameto, ou seja, y tiha um valor diferete de zero)represetada pela fução de oda y : y = y se( kx ω t + δ ) (3) t os istate em que o deslocameto era ulo ( ) A Figura mostra as curvas, um certo istate, das duas fuções de oda. Fig. Deslocameto em fução da posição de duas odas harmôica com os mesmo parâmetros, porém, com uma difereça de fase. A oda resultate será: ( kx ω + y se( kx ω + δ ) y + y = y se t (4)

2 Notas de aula- Física II Profs. Amauri e Ricardo Podemos simplificar a equação (4) utilizado a idetidade trigoométrica: seθ + seθ = cos ( θ θ ) se ( θ + θ ). Neste caso temos θ = kx ωt e θ = kx ωt + δ ( θ θ ) = kx ωt δ +, substituido a Equação (4) teremos: e, assim, ( θ θ ) = δ y + y = y cos δ se kx ωt + δ (5) ode foi usado que cos δ = cos δ. Note que a oda resultate tem a mesma freqüêcia, mesmo e mesmo úmero de oda das odas origiais. No etato apreseta uma fase diferete das odas origiais. A amplitude desta oda é da por: A = y cos δ. (6) Aalisado a Equação (6) se δ = (odas em fase) teremos A = y, ou seja, a amplitude será o dobros das odas origiais, chamamos isto de iterferêcia costrutiva. Se o δ = 8, teremos A =, ou seja, iterferêcia destrutiva. Veja dois iteressates applets os edereços eletrôicos a seguir: o.html (ótimo) Batimetos Deomia-se de batimeto a iterferêcia de duas odas de freqüêcias ligeiramete diferetes. Cosideremos duas odas sooras de freqüêcias agulares ω e ω, com a mesma amplitude de pressão. A variação de pressão que percebemos pela audição é da por: e p = p seω t (7a) p = p seω t (7b) A oda resultate será: p = p seω t + p seω t = p cos ( ω ω ) t se ( ω + ω )t (8) ( + ) ω Tomado ω ω med = para a freqüêcia agular média e ω = ω ω para a difereça de freqüêcias agulares, a fução resultate é:

3 Notas de aula- Física II Profs. Amauri e Ricardo 3 ode fizemos p = p cos ωt seω medt = p cos π ft se πf medt (9) = ω ω f e f med π med =. π A Figura mostra o gráfico das variações de pressão, um poto fixo, em fução do tempo. Fig. Batimeto. a) duas odas de freqüêcias ligeiramete diferetes. b) resultate das duas odas em (a). Cosulte o edereço a seguir para ter acesso a uma simulação sobre este assuto.. ( ) f O som que ouvimos tem freqüêcia + f f med = e amplitude p cos π ft. A amplitude oscila com a freqüêcia f e como a itesidade do som é proporcioal ao quadrado da amplitude, ó ouvimos um som forte sempre a amplitude está um máximo ou um míimo. Esta freqüêcia de oscilação de máximo e míimo, que é o dobro de f, é a freqüêcia de batimetos: f bat = f () A freqüêcia de batimetos é a difereça etre freqüêcia de duas odas. Se dois geradores de siais emitirem um em 4 Hz e outro em 43 Hz, ouviremos um som pulsate com freqüêcia média de 4 Hz e um máximo de itesidade vezes por segudo (freqüêcia de batimetos). Difereça de Fase Devido à Difereça de Percurso A difereça de fase etre duas odas pode ser provocada pela difereça de percurso etre o poto de superposição e as fotes das odas. Se a difereça de percurso for de um comprimeto de oda, ou de um úmero iteiro de comprimetos de oda, a iterferêcia será costrutiva. Se a difereça for de meio comprimeto de oda ou de um úmero ímpar de meioscomprimetos de oda, o máximo de uma oda coicide com o míimo da outra, e a iterferêcia será destrutiva. Cosidere duas odas em fase geradas por duas fotes distitas em locai diferetes (por exemplo, dois alto-falates em lugares diferetes em uma sala):

4 Notas de aula- Física II Profs. Amauri e Ricardo 4 p = p se A difereça de fase das duas fuções é dada por: Fazedo δ k = π teremos: λ p = p se ( kx ω ( kx ω ( kx ω ( kx = k( x x ) = k x = ω o ( 36 ) λ x x δ = π =. () λ λ e A equação () mostra que a difereça de faseδ depede do comprimeto de oda ( ) da difereça de percurso ( x). A Figura 3 mostra a cofiguração das odas de duas fotes putiformes, que oscilam em fase e estão separadas por uma pequea distacia. Fig. 3 Odas provocadas por duas fotes oscilado em fase próxima uma da outra. As restas tracejadas mostram os potos em que a difereça de percurso é múltiplo iteiro de λ. A Figura 4 mostra a variação da itesidade da oda resultate das duas fotes em fução da difereça de percurso. Fig. 4 Variação da itesidade em fução da difereça de percurso. I é a itesidade de cada fote isolada. Nos poto ode a iterferêcia é costritiva a itesidade é 4 vezes maior do que a itesidade de cada oda, pois a amplitude é o dobro e a itesidade é proporcioal ao

5 Notas de aula- Física II Profs. Amauri e Ricardo 5 quadrado da amplitude. Nos poto de itesidade destrutiva a itesidade é ula. A itesidade média, represetada pela reta horizotal tracejada, é o dobro da itesidade das odas idividualmete. Fotes coeretes São fotes que estão em fase ou que apresetam uma difereça de fase costate. Fotes icoeretes São fotes que ão apresetam uma difereça de fase costate com o passar do tempo, ou seja, a difereça de fase varia aleatoriamete. Experiêcia de dupla feda A luz é resultado da irradiação idepedete de milhões de átomo, a difereça de fase etre as odas destas fotes flutua aleatoriamete. Em ótica se cosegue coerêcia pela divisão do feixe luz de uma fote em um ou mais de dois feixes que podem ser recombiados para se ter uma figura de iterferêcia. Esta experiêcia foi utilizada por Thomas Youg, em 8, para demostrar mostrar a atureza odulatória da luz. A itesidade da luz é máxima quado a difereça de percurso etre um poto do ateparo e as duas fedas é úmero iteiro de λ. Veja um applet o seguite edereço eletrôico: Odas Estacioárias Odas cofiadas o espaço, por exemplo, odas as cordas de um violão, podem origiar cofigurações estacioárias. Isto ocorre porque teremos odas se deslocado direções opostas. Estas odas se superpõem de acordo com pricípio de superposição. Existem certas freqüêcias para quais a superposição provoca uma oda estacioária. O edereço a seguir apreseta uma simulação sobre este tópico: Corda fixa as duas extremidades A Figura 5 mostra as cofigurações de odas estacioárias uma corda presa as duas extremidades. As freqüêcias resposáveis por estas cofigurações são as freqüêcias aturais de ressoâcia da corda. Cada freqüêcia está associada a um modo de vibração. O primeiro modo é deomiado de modo fudametal (ou primeiro harmôico), a freqüêcia (tem o dobro da primeira) de ressoâcia imediatamete seguite é o segudo harmôico e assim sucessivamete. Os potos de máximos são deomiados de vetre e os de míimo de ó. Aalisado a Figura 5 e fazedo uma associação com o comprimeto de oda de cada harmôico, o comprimeto da corda e o úmero de vetres, obtemos a seguite relação: λ L =, =,,3... () Este resultado é a codição de oda estacioária. Em termos de freqüêcia podemos escrever:

6 Notas de aula- Física II Profs. Amauri e Ricardo 6 f v v v = = = = f λ L L =,,3... (3) Fig. 5 Odas estacioárias uma corda com as extremidades fixas. Veja um applet o lik: Corda fixa em uma extremidade A Figura 6 mostra as cofigurações de oda estacioária para uma corda presa em apeas uma de suas extremidade. Fig 6 Odas estacioárias uma corda presa em apeas uma pota De modo aálogo ao aterior, a codição de oda estacioária é dada por: λ L =, =,3, (4) As freqüêcias de ressoâcia são: v f = = f 4L =,3,5... (5)

7 Notas de aula- Física II Profs. Amauri e Ricardo 7 Fuções de oda das odas estacioárias Prova das equações e 4 Uma oda estacioária é formada quado duas odas, viajado em setidos opostos, se superpõem satisfazedo as codições de ressoâcia. Sejam as seguites odas: y x, = yse( kx + w e y ( x, = y se( kx w. e ( d O somatório destas fuções é: y ( x, = y se( kx)cos( w. Esse resultado vem do fato que se(a) + se(b) = se((a + b)/). cos ((a - b)/), sedo a = kx + ωt e b = kx ωt. A equação acima descreve o comportameto de uma oda estacioária. Cosidere as seguites situações: ) Corda fixa em x = e x = L. y(, = y y( L, = y se( k.) cos( ω = ok se( k. L)cos( ω = kl = π L = λ, =,, 3,... ) Corda fixa apeas em x =. y(, = y y( L, = y se( k.) cos( ω = ok se( k. L)cos( ω = valor máximo se( kl) = ± L = 4 λ, =, 3, 5... Odas sooras estacioárias Uma oda soora pode ser descrita como uma oda de pressão ou oda de deslocameto. As codições de oda estacioária são as mesmas de uma corda. Na oda soora, as variações de pressão e de deslocameto estão 9 fora de fase. Assim, uma oda soora estacioária, os ós de pressão são os vetres de deslocameto e vice-versa. Por exemplo, a extremidade aberta de um tubo de órgão é um ó de pressão e um vetre de deslocameto; a extremidade fechada é um vetre pressão e um ó de deslocameto. Veja uma iteressate simulação o edereço abaixo:

8 Notas de aula- Física II Profs. Amauri e Ricardo 8 3 Superposição de odas estacioárias Em geral, um sistema ão vibra um úico modo harmôico. O seu movimeto é o resultado da mistura de vários modos harmôicos possíveis. A fução de oda é uma combiação liear das fuções de odas harmôicas: y x, t = A se k x cos ω t + δ (8) ( ) ( ) A maior parte da eergia da oda está associada ao modo fudametal, mas pequeas frações de eergia são pertietes aos outros modos. 4 Aálise harmôica (aálise de Fourier) e sítese harmôica A Figura 7 mostra o gráfico das variações de pressão em fução do tempo para 3 istrumetos tocado uma mesma ota. A formas de oda são bastate diferetes. As otas têm a mesma altura (provoca a mesma sesação de som), porém difere por uma qualidade que é deomiada de timbre. A pricipal razão desta difereça de timbre, são os harmôicos que acompaham a fudametal emitida pelos istrumetos (os harmôicos presetes a forma de oda de cada istrumeto têm itesidades diferetes). As formas de odas podem ser estedidas os harmôicos que as costituem. Este método é deomiado de Aálise de Fourier (resultado dos trabalhos do matemático fracês J. Fourier). O iverso da aálise harmôica é a sítese harmôica, que trata da costrução de uma oda periódica pela superposição de compoetes harmôicos. A Figura 8 mostra os três primeiros harmôicos ímpares que levam à sítese de uma oda quadrada. Veja uma excelete simulação o edereço eletrôico a seguir: Fig. 7 Formas de oda da vibração (a) de um diapasão, (b) de uma clarieta e (c) de um oboé (Istrumeto musical de sopro, feito de madeira, de timbre semelhate ao do clariete, mas levemete asal). Fig. 8 (a) os três primeiros harmôicos ímpares de uma oda seoidal simples, usados para sitetizar uma oda quadrada. (b) A aproximação de uma oda quadrada resultate da soma dos três primeiros harmôicos ímpares mecioados em (a).

9 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo 5 Pacotes de odas e dispersão É bom salietar que o modelo de oda harmôica cosidera a oda periódica o tempo, ou seja, se repete idefiidamete. Na realidade, ós ão temos este comportameto a atureza e sim a existêcia de pulsos odulatórios. Os pulsos odulatórios ão são periódicos, ou seja, eles têm pricípio e fim. Estes pulsos também podem ser represetados por um grupo de odas (deomiado de pacote de odas). No etato, a sítese de um pulso exige uma distribuição cotíua de freqüêcias, ao cotrário das odas harmôicas que podem ser represetadas por uma distribuição discreta de freqüêcias. Se a duração de um pulso for muito curta, t, o itervalo de freqüêcias, para descrevê-lo é muito grade. A relação etre estas duas gradezas é dada por: ω, ecessário ω t (9) A largura do pulso e o itervalo de úmero de oda estão relacioados por: k x () Meio ão-dispersivo O pacote de oda matêm sua forma à medida que avaça o meio, todos os compoetes do pacote se deslocam com a mesma velocidade. Neste caso, a velocidade das odas ão depede do comprimeto de oda em da freqüêcia. O ar é um exemplo deste meio para odas sooras. Meio dispersivo Existe depedêcia etre a velocidade de oda e a freqüêcia ou o comprimeto de oda. O pacote de oda muda de forma ao avaçar. Velocidade de grupo A velocidade com que avaça uma oda um meio dispersivo. Esta velocidade ão coicide com a velocidade de fase das compoetes harmôicas do pacote. Por exemplo, a velocidade de grupo das odas superficiais em águas profudas é a metade da velocidade de fase das odas harmôicas compoetes. Os sólidos e líquidos em geral são dispersivos para odas sooras. Um efeito mais comum de dispersão é o arco-íris, que se forma em virtude de a velocidade das odas lumiosas a água depederem da freqüêcia e do comprimeto de oda. Exercícios. Duas odas com freqüêcias, comprimetos de oda e amplitudes respectivamete iguais avaçam uma mesma direção. a) Se a difereça de fase etre elas for de π e se a amplitude de ambas for de 4, cm, qual a amplitude da oda resultate? b) Para que difereça de fase δ a amplitude resultate será igual a 4, cm?. Quado se faz soar um diapasão de 44 Hz (o lá da afiação de uma orquestra) e a corda lá de violão desafiado, percebem-se 3 batimetos por segudo. Depois de apertar um pouco a cravelha da corda, a freqüêcia dos batimetos aumeta para 6 por segudo. Qual a freqüêcia da ota da corda depois de apertada? 3. Duas fotes sooras oscilam em fase. Num poto a 5, m de uma e a 5,7 m da outra, a amplitude da pressão da oda de cada fote, separadamete, é p. Determiar a amplitude da oda resultate se a freqüêcia das odas sooras for de a). Hz, b). Hz e c) 5 Hz. (cosidere a velocidade do som como 34 m/s)

10 Notas de aula- Física II Profs. Amauri e Ricardo 4. Uma corda está tesioada etre dois suportes fixos, separados pela distacia de,7 m, e a tesão é ajustada até que a freqüêcia fudametal da corda seja a da ota lá de afiação, 44 Hz. Qual a velocidade das odas trasversais da corda? 5. Uma corda com comprimeto de 3 m e,5 kg/m de desidade liear de massa está fixada em duas extremidades. Uma de suas freqüêcias de ressoâcia é de 5 Hz. A freqüêcia de ressoâcia imediatamete seguite a esta é 336 Hz. (a) A que harmôico correspode à freqüêcia de 5 Hz? c) Qual a freqüêcia fudametal? d) Qual a tesão a corda? Exercícios para casa Vide o livro 4 a edição (capítulo 6) De a 4, 6 e 7, 3 a 35, 37 a 43. 7/8/6 8:5:54