CORDAS E TUBOS SONOROS TEORIA

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1 CORDAS E TUBOS SONOROS TEORIA Já vimos a formação de odas estacioárias de maeira geral. Agora, vamos estudar este assuto de forma mais específica. Primeiramete, vamos os cocetrar em uma corda, que pode estar fixa as duas extremidades ou fixa em apeas uma delas. Em seguida, vamos estudar os tubos sooros, que podem ser abertos as duas extremidades (abertos) ou apeas em uma delas (fechados). 1. Odas estacioárias em cordas As odas estacioárias se formam devido à superposição etre as odas icidetes e as odas que já se refletiram em uma das extremidades. A corda apreseta certo úmero de padrões de oscilação, chamados de modos ormais de vibração. Estes padrões também são chamados de harmôicos. 1.1 Cordas fixas em ambas as extremidades Cosidere uma corda, de comprimeto L, fixa as duas extremidades, como a figura abaixo. Como foi visto o artigo Odas Estacioárias Teoria, os potos de amplitude ula são x = 0,,,,.... Como as extremidades da corda estão fixas, elas ecessariamete são ós ou odos. Lembrado que os atiodos estão as 5 posições x =,,,..., etre dois odos existe um atiodo Harmôico fudametal ou primeiro harmôico A primeira cofiguração possível acotece para extremidades da corda em x = 0 e x = /.

2 Como o tamaho da corda é L, temos: 1 L = 1 1 = L 1.1. Segudo harmôico A seguda cofiguração possível acotece para as extremidades da corda em x = 0 e x =. Repare que, este caso, haverá um ó etre as extremidades (x = /). Calculado o valor de, temos: 1.1. Terceiro harmôico A terceira cofiguração possível acotece para as extremidades da corda em x = 0 e x = /. Repare que, este caso, haverá dois ós etre as extremidades (x = / e x = ). Calculado o valor de, temos: L = Os outros harmôicos podem ser ecotrados apeas acrescetado-se odos ao logo do comprimeto da corda.

3 Geeralização Nas cordas fixas em ambas as extremidades, o comprimeto de oda do -ésimo harmôico pode ser calculado por: L = 1. Cordas fixas em apeas uma das extremidades Cosidere agora uma corda, de comprimeto L, que tem uma de suas extremidades fixa em uma parede e a outra extremidade presa a um ael, que pode se mover livremete ao logo de uma barra. A extremidade que está fixa, ecessariamete, será um odo. Por outro lado, a extremidade presa ao ael é cosiderada extremidade livre, uma vez que o ael pode se mover livremete sem atrito. Logo, esta extremidade será atiodo Harmôico fudametal ou primeiro harmôico A primeira cofiguração possível acotece quado a extremidade fixa (odo) correspode a x = 0 e a extremidade livre (atiodo) correspode a x = /. Como o tamaho da corda é L, temos: 1 L = 1 1 L =

4 1.. Terceiro harmôico A seguda cofiguração possível acotece quado a extremidade fixa (odo) correspode a x = 0 e a extremidade livre (atiodo) correspode a x = /. Observe que, este caso, existe um odo (x = /) etre as extremidades. Calculado o valor de, temos: 1 1 L = + Observação Chamamos esta cofiguração de terceiro harmôico para mater a relação matemática etre a freqüêcia ecessária para executar as oscilações e o ídice do harmôico. Logo, para cordas fixas em apeas uma das extremidades, dizemos que só existem os harmôicos ímpares. Os outros harmôicos podem ser ecotrados apeas acrescetado-se odos ao logo do comprimeto da corda. Geeralização Nas cordas fixas em apeas uma das extremidades, o comprimeto de oda do -ésimo harmôico pode ser calculado por: L = Lembrado que, estes casos, só são admitidos os harmôicos de ídice ímpar.. Odas estacioárias em coluas de ar (tubos sooros) As odas estacioárias se formam em coluas de ar, como flautas ou tubos de órgão, devido à superposição etre as odas logitudiais que se movem em diferetes setidos. A formação destas odas é aáloga à formação as cordas. Os tubos sooros podem ser abertos as duas extremidades (chamados de tubos abertos) ou abertos em apeas uma das extremidades (chamados de tubos fechados). Em todos os casos, a extremidade fechada é um odo de deslocameto, uma vez que ão permite deslocameto logitudial das partículas. Por outro lado, a extremidade aberta é um atiodo de deslocameto, pois permite movimeto livre das partículas. Uma observação importate é que, embora os deslocametos sejam logitudiais, represetamos os padrões de oscilação como se as odas fossem em cordas, para explicitar a aalogia etre os casos.

5 .1 Tubos sooros abertos as duas extremidades (Tubos abertos) Cosidere um tubo, de comprimeto L, aberto as duas extremidades, como a figura a seguir. Como já citamos, as extremidades abertas são atiodos de deslocameto. Logo, as duas extremidades, haverá máximos deslocametos das partículas..1.1 Harmôico fudametal ou primeiro harmôico A primeira cofiguração possível é: Repare que existe um odo de deslocameto etre as duas extremidades. Logo, calculado o comprimeto de oda, temos: 1 1 L 1 =.1. Segudo harmôico A seguda cofiguração possível é: A difereça etre o segudo harmôico e o primeiro é a preseça de mais um odo de deslocameto etre as extremidades do tubo. Neste caso, temos:

6 .1. Terceiro harmôico A terceira cofiguração possível é: Observe que já temos, este caso, três odos de deslocameto ao logo do comprimeto do tubo. Calculado o comprimeto de oda, temos: 1 L = 1 + Os outros harmôicos podem ser ecotrados apeas acrescetado-se odos ao logo do comprimeto do tubo. Geeralização Nos tubos abertos em ambas as extremidades, o comprimeto de oda do -ésimo harmôico pode ser calculado por: L =. Tubos sooros abertos em apeas uma extremidade (Tubos fechados) Cosidere um tubo, de comprimeto L, aberto em uma das extremidades, como a figura a seguir. Como já citamos, a extremidade aberta é um atiodo de deslocameto. Etretato, a extremidade fechada é um odo de deslocameto.

7 ..1 Harmôico fudametal ou primeiro harmôico A primeira cofiguração possível é: Calculado o comprimeto de oda, temos: 1 1 L 1 =.. Terceiro harmôico A seguda cofiguração possível é: Observe a preseça de um odo de deslocameto etre as extremidades do tubo. Neste caso, temos: 1 1 L = + Observação Chamamos esta cofiguração de terceiro harmôico para mater a relação matemática etre a freqüêcia ecessária para executar as oscilações e o ídice do harmôico. Logo, para tubos abertos em apeas uma das extremidades, dizemos que só existem os harmôicos ímpares... Quito harmôico A terceira cofiguração possível é:

8 Calculado o comprimeto de oda, temos: 1 L = Os outros harmôicos podem ser ecotrados apeas acrescetado-se odos ao logo do comprimeto do tubo. Geeralização Nos tubos abertos em apeas uma das extremidades, o comprimeto de oda do -ésimo harmôico pode ser calculado por: L = Lembrado que, estes casos, só são admitidos os harmôicos de ídice ímpar.