VIGAS HIPERESTÁTICAS - EQUAÇÃO DOS 3 MOMENTOS

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Giuliana Madeira Fialho
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1 TECNOLOGIA EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS CONSTRUÇÕES EM CONCRETO ARMADO VIGAS HIPERESTÁTICAS - EQUAÇÃO DOS MOMENTOS Apostia orgaizada peo professor: Ediberto Vitorio de Borja 6.

2 ÍNDICE CÁLCULO DE MOMENTOS FLETORES PARA VIGAS CONTÍNUAS. Método da equação dos mometos. Apicações 4. Coveção de siais 4.4 Cácuo e deseho do diagrama de mometos fetores de viga cotíua 5.5 Cácuo das reações de apoio 6.6 Exercícios REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 4

3 . CALCULO DE MOMENTOS FLETORES PARA VIGAS CONTINUAS Vigas Cotíuas: são vigas hiperestáticas com dois ou mais vãos. Na determiação dos esforços seccioais de vigas isostáticas utiizam-se as três equações de equiíbrio da estática, ecessárias e suficietes para garatir sua estabiidade. Para as vigas hiperestáticas, as icógitas (reações) são em úmero superior as três equações de equiíbrio da estática, sedo ecessários etão ovos métodos para determiação dos seus esforços. Foram criados etão vários métodos para o cácuo das reações de apoio e dos mometos fetores os vãos. Uma vez coseguidos estes vaores, pode-se cacuar os mometos fetores e forças cortates os demais potos da viga e coseqüetemete desehar os diagramas. Método dos Desocametos Métodos de Cácuo: Método dos Esforços Método de Cross Método da Equação dos Três Mometos. MÉTODO DA EQUAÇÃO DOS MOMENTOS O método apresetado a seguir é váido apeas para vigas que teham iércia costate ao ogo do comprimeto de toda a viga (iércia costate para todos os vãos). O método cacua os mometos fetores em apoios (X -, X e X +) seqüeciais de uma viga, a partir dos quais pode-se cacuar os mometos fetores em quaquer seção. Vamos escoher um trecho de dois vãos ( e ) e de três apoios (-, e +) de uma viga cotiua sujeita a um carregameto quaquer coforme a figura abaixo: A Equação dos Mometos apresetada abaixo é vaida para uma viga com mometo de iércia costate o vão e de vão para vão. Fórmua - ( ) - 6( )

4 Ode: e :comprimeto dos vãos; X-, X e X+: mometos os apoios; e : Fatores de carga (fução do tipo de carga atuate o vão). Quado houver mais de uma carga atuado em um mesmo vão, os fatores de carga fiais são dados pea soma dos fatores de carga de cada uma das cargas. FATORES DE CARGA:. - Para carga uiformemete distribuída ao ogo do vão: q q Para carga cocetrada o vão: P P.a.b.(b ) 6 a b P.a.b.(a 6 ) Observação O ídice "", as fórmuas de fatores de carga, idica apoio da esquerda e o ídice "" idica apoio da direita.. APLICAÇÕES Para se cacuar os mometos fetores em todos os apoios de uma viga cotíua, deve-se apicar a equação dos três mometos em vãos subseqüetes dois a dois. O resutado é que o úmero tota de apicações é igua ao úmero de vãos meos um.

5 Para quatro vãos, apica-se três vezes a equação dos três mometos: q X X X X X4 4 ª apicação X X X cohecido ª apicação X X X ª apicação X X X4 cohecido Com as três apicações, fica-se com três equações dos três mometos, uma para cada apicação e três icógitas (X, X e X), já que os mometos X e X4 são previamete cohecidos.. CONVENÇÃO DE SINAIS - MOMENTOS Ohado as cargas à esquerda da seção cosiderada: cosidera como positivo o mometo com tedêcia de giro o setido horário Ohado as cargas à direita da seção cosiderada: cosidera como positivo o mometo com tedêcia de giro o setido ati-horário.4 CÁLCULO E DESENHO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES DE UMA VIGA CONTÍNUA,5 kn/m kn 4, m,, EQUAÇÃO: - ( ) -6( ) 4

6 Uma apicação: vãos. Vãos = + = Apoios - = = + =. X ( ). X -6( ) Observação: Nos apoios de extremidade o vaor do mometo será igua a (zero) - se ão houver baaço. A) CÁLCULO DOS FATORES DE CARGA Vão Vão,5 kn/m kn = 4, m a =, = 5, m b =, q. 4 Cácuo, , Cácuo P.a.b...(b ).( 5) Agora podemos resover a ª apicação ( (4, 5,) X -6(9, 6,) X ) -6( ) - 8,44kN.m B) CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO As reações de apoio devem ser cacuadas separadamete para cada vão. Aém das cargas os vãos (distribuídas e/ou cocetradas), devem-se apicar também os mometos os apoios do respectivo vão. O setido destes mometos (horário ou ati-horário) deve deformar o vão da mesma maeira que a carga apicada sobre ee. 5

7 Para vão :,5 kn/m R =4,89 kn A 4, m X = -8,44 kn.m R = 9, kn M =,5. 4,., - R. 4, - (- 8,44) = R = 9. kn V = R + 9, -,5. 4, = R = 4,89 kn Para vão : X = -8,44 kn.m kn M =., + (-8,44) - R. 5, = R = 7,69 kn, m A R =, kn, m R =, kn V = R +, - = R = 7,69 kn OBSERVAÇÕES PERTINENTES: A reação o apoio é igua a soma das reações do apoio para os vãos e ; As reações de apoio são cargas cocetradas; Desehar, ao fia, a viga com os respectivos mometos fetores os apoios e as reações de apoio, a partir dos quais serão cacuados os mometos fetores que servirão de base para o deseho do diagrama:,5 kn/m X = - 8,44 kn.m kn A R = 4,89 kn R = (9,+7,69)=6,8 kn R =, kn 4, m, m, m Os Mometos fetores são determiados as seções de iício e de fim de carga distribuída e as seções de carga cocetrada; 6

É idiferete ohar as cargas à esquerda ou à direita de uma determiada seção, o resutado é sempre o mesmo!!!!!! Os mometos fetores deverão ser cacuados as seguites seções:,, A,.

m Quaquer que seja a maeira de se reaizar o cácuo (com os vaores à esquerda ou à direita da seção), o resutado deve ser sempre o mesmo.

8 É idiferete ohar as cargas à esquerda ou à direita de uma determiada seção, o resutado é sempre o mesmo!!!!!! Os mometos fetores deverão ser cacuados as seguites seções:,, A,. Seção M = X = Seção M = X = - 8,44 kn.m Ou, ohado as cargas à esquerda: Coveção: M = +(4,89 x 4,) (,5 x 4, x,) = - 8,44 kn.m Quaquer que seja a maeira de se reaizar o cácuo (com os vaores à esquerda ou à direita da seção), o resutado deve ser sempre o mesmo. Seção A Coveção: Ohado as cargas à direita: Seção M = X = MA = +(, x,) = 6,9 kn.m C) DESENHO DOS DIAGRAMAS: Com os vaores dos mometos fetores os vários potos da viga, pode-se fazer o deseho do diagrama. Para este deseho, agumas coveções devem ser seguidas: Vaores de mometo fetor positivos, abaixo da iha de referêcia e egativos, acima desta iha. 7

Liha do diagrama de mometos fetores etre dois potos cosecutivos: - se ão houver carga etre estes dois potos, a iha é reta e iciada; - se houver carga distribuída etre estes dois potos, a iha é uma

9 Liha do diagrama de mometos fetores etre dois potos cosecutivos: - se ão houver carga etre estes dois potos, a iha é reta e iciada; - se houver carga distribuída etre estes dois potos, a iha é uma paráboa do o grau. A paráboa do o grau ecessita de três potos para ser desehada. No diagrama de mometos fetores, dois dos potos da paráboa são os mometos fetores os potos extremos. Há a ecessidade etão de um terceiro poto. Este poto é coseguido pedurado-se (pedurar sigifica o mesmo setido da carga) o vaor de [(qx²)/8] (q: vaor da carga, x: distâcia etre os dois potos) a partir da metade da reta que ue os potos extremos. (obs.: o setido da carga sempre empurra a barriga da paráboa). A q B x (q.²)/8 M B M A Deseho Fia: Deseho fia do diagrama de mometos fetores do exempo proposto: Observação O poto sob o qua se "pedura" o vaor qx /8 ão é ecessariamete o poto de máximo mometo fetor. 8

.5 EXERCÍCIO RESOLVIDO Cacuar os mometos e reações de apoios das vigas hiperestáticas abaixo apicado a equação dos Mometos Etapa : Cácuo dos mometos os apoios das extremidades: Apoio X = Apoio X = -

10 .5 EXERCÍCIO RESOLVIDO Cacuar os mometos e reações de apoios das vigas hiperestáticas abaixo apicado a equação dos Mometos Etapa : Cácuo dos mometos os apoios das extremidades: Apoio X = Apoio X = - 6 x,5 = -9 kn.m Etapa : Apicação da equação dos mometos: como a viga tem vão, faz-se ecessário apicações do método. º apicação (vãos e ): Para primeira apicação = - ( ) -6( ) ( vãos ) apoios - = = + = -6( ) º apicação (vãos e ): Para a seguda apicação = - ( ) ( ) -9-6( - 6( ) ) vãos apoios - = = + = 9

( Fórmuas ) -6( ) Cácuo dos fatores de carga vão

4,5 4 7,59 Pab 8,5 (b ) (,5) 6,9 6 6,5 Pab 8,5 (a

Cácuo dos fatores de carga em um determiado vão:

carga fia é igua a soma dos fatores de carga das

11 ( Fórmuas ) -6( ) Cácuo dos fatores de carga vão vão vão Cácuo Cácuo Cácuo q 4.4,5 4 7,59 Pab 8,5 (b ) (,5) 6,9 6 6,5 Pab 8,5 (a ) (,5,5) 5,7 6 6,5 Se ão há carga o vão Observação Cácuo dos fatores de carga em um determiado vão: se ão houver carga este vão o fator de carga é igua a zero. se houver mais de uma carga este vão o fator de carga fia é igua a soma dos fatores de carga das cargas atuates. Agora podemos resover a ª apicação Cácuo (4,5 +,5).X +,5 x X = -6(7,59 + 6,9) 6.X +,5.X = -8,8 ( equação)

12 E a seqüêcia podemos resover a ª apicação Cácuo,5 + (,5 + 4,) + 4, x (-9) = - 6(5,7 + ),5 + 5, - 6 = - 4,6,5 + 5, = -,74 ( equação) Resovedo-se o sistema de duas equações a duas icógitas, decorrete da e apicações da Equação dos Mometos, chega-se aos vaores dos mometos X e X. X = Etão: X = -5,5 kn.m X =,4 kn.m X = -9, kn.m Cocusão A partir daí pode ser feito o cácuo das reações de apoio e dos vaores dos mometos fetores os potos ecessários para possibiitar o deseho dos diagramas.

abaixo esquematizada: A viga tem dois vãos,

13 EXERCÍCIO RESOLVIDO Cacuar os mometos e reações de apoios das vigas hiperestáticas abaixo. Cácuo dos mometos os apoios da viga cotíua abaixo esquematizada: A viga tem dois vãos, portato será ecessária uma apicação da Equação dos Mometos. Fórmua º apicação (vãos e ): º apicação: Vãos: Apoios: - = = + = Cácuo dos fatores de carga Cácuo dos fatores de carga vão vão Cácuo Cácuo

14 Agora podemos resover a ª apicação Cácuo (5, + 4,5) = -6(, + 8,56) 9, = -89,48 X = -9,97 knm X = Etão: X = -9,97 kn.m X = Cocusão A partir daí pode ser feito o cácuo das reações de apoio e dos vaores dos mometos fetores os potos ecessários para possibiitar o deseho dos diagramas. Exercícios: 4 kn,5 kn,5 kn, kn/m A B C, m,5 m, m,5 m, m 5 kn/m F (kn) F (kn) F (kn) 4,5 m,5,,,, REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Aotações de Aua do Prof. Borja

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