Instituto de Física USP. Física Moderna. Aula 25. Professora: Mazé Bechara

Transcrição

1 Istituto de Física USP Física Modera Aula 5 Professora: Mazé Bechara

2 Aula 5 A equação de Schroediger para estados estacioários ligados. Aplicação o movimeto uidimesioal. 1. Aplicação : os auto estados de eergia de uma partícula a caixa ou o poço de potecial uidimesioal (cotiuação): 1. As equações e as soluções (matemáticas) das auto-fuções de eergia dos estados ligados a mecâica de Schroediger. As codições impostas pelo sigificado físico das fuções de oda e as soluções físicas. A desidade de probabilidade e as posições possíveis para a partícula segudo a mecâica de Schroediger - o efeito de peetração a parede.. A aproximação para o potecial ifiito (potecial muito maior do que as eergias): as auto-fuções matado a peetração a parede. A validade do pricípio de icerteza. 3. Os auto-valores das eergias. Comparação com oda de de Broglie. A validade do pricípio de complemetaridade.. Discussão da ª prova e apresetação dos critérios de correção. Física Modera I- Professora: Mazé Bechara

3 A equação de Schroediger idepedete do tempo e os estados estacioários Física Modera I- Professora: Mazé Bechara ) ( ) ( )} ( { r r r U m ) ( ) ( )} ( { x x x U dx d m ) ( ) ( } { t T t T dt d ih dt i T dt t T T dt i T dt o 0 t i e t T ) (

4 Poço de potecial fiito uidimesioal Figura do Moder Physics for Scietists ad gieers S. Thorto, A. Rex Física Modera I- Professora: Mazé Bechara

5 Física Clássica Quâtica Para T=-V(x)>0 >V(x) para todo x 0<<V o Física Clássica: 0<x<L trajetórias fiitas o Quâtica: estados ligados posições possíveis: o >V o Física Clássica: -<x <+ trajetórias ifiitas o Quâtica: estados ão ligados (ou de espalhameto o caso geral que é de trasmissão e reflexão o caso uidimesioal) posições possíveis:

6 stados de =cte do poço de potecial fiito uidimesioal Fuções de oda Figura do Moder Physics for Scietists ad gieers S. Thorto, A. Rex Desidade liear de probabilidade quações, soluções e iterpretações em aula Física Modera I- Professora: Mazé Bechara

7 Características Fuções de oda e desidades de probabilidades: 1. oscilações a região do cetro do potecial e tededo a zero quado x. Normalizáveis 3. Probabilidades ão ulas em regiões classicamete proibidas, que o caso da caixa de potecial, sigifica que passou pela parede. 4. As codições de cotiuidade mais a ormalização vão restrigir os valores de eergia: AGUARDM!

8 Figura do Tipler & Llewelly Física Modera I- Professora: Mazé Bechara

9 Poço de potecial ifiito uidimesioal quações, soluções e iterpretações em aula Figura do Tipler & Llewelly Física Modera I- Professora: Mazé Bechara

10 ergias do poço de potecial ifiito ergia coicidete com a da oda de de Broglie soluções e iterpretações em aula Figura do Tipler & Llewelly Física Modera I- Professora: Mazé Bechara

11 Questão 1 da prova (0,5) (a) (0,5) pelo esquema do vetores dos mometos lieares (iguais em módulo e direção e setidos opostos) do elétro e pósítro ates da aiquilação (veja solução a aula) (0,5) pelo esquema do vetores dos mometos lieares em qualquer outra direção, desde que ambos os vetores estejam com mesmo módulo e setidos opostos (veja solução a aula). (1,0) (b) Da coservação de eergia : = mo c T 1,0 0,88 1,8MeV f1 f p Da coservação de eergia: e p e p f1 1,8 p f 0 pf1 -p f e como f p f c f1 f 0, 911MeV Física Modera I - Professora: Mazé Bechara

12 Questão da prova (1,0) (a) 0,1 por cada item pedido: trajetórias, parâmetros de impacto, âgulos de espalhameto, distâcia de máxima aproximação corretas qualitativamete (maior distâcia para meor âgulo) e 0,05 por cada vetor velocidade da alfa icidete (iguais!) e a etrada de cada detector, com a observação de que os módulos são iguais a de icidêcia. (veja solução a aula) (0,75) (b) Para espalhameto a mesma folha, detectado o mesmo sistema, com feixe de mesma itesidade, mas com eergia diferete, pode-se escrever: o o dn(60,8mev ) d (, Cu,60,8MeV ) IoN det dt 10 = d 1,56 o o dn(60,10mev ) d (, Cu,60,10MeV ) 8 IoN det dt d o dn(60,8mev ) dt 151,56 3,4 part / dt Física Modera I - Professora: Mazé Bechara

13 Questão da prova (0,75) (c) (0,55) Vale Rutherford para todos os âgulos com eergias até 16MeV. Como a 180graus se tem a meor distâcia etre a alfa e o úcleo de cobre, a máxima aproximação (míima distâcia) sem que as partículas se iterpeetrem é : (1,6 10 ) 9 10 Jm rmi (180,16MeV ) 5, ,6 10 J o 15 (0,0) Como supostamete as duas esferas: alfa (úcleo de He) e úcleo de cobre se tocam essa codição, e como os úcleos têm a mesma ordem de gradeza, esta distâcia é igual a duas vezes o raio uclear: m 15 r NCu ~,5 10 m, 5 fm Física Modera I - Professora: Mazé Bechara

14 Questão 3 da prova (0,75) (a) (0,5) O fóto só será absorvido se a sua eergia for igual à difereça etre o estado do Hidrogêio com =1 e outro estado com iteiro: 13,60 13,60 13,60 1, ,85 (0,0) O fóto é absorvido, e a eergia de excitação é igual a eergia do fóto: 1,75eV (0,0) O estado atômico é o de =4 e portato a eergia do estado atômico é de -0,85eV (=4). (0,10) O mometo agular deste estado atômico é 4 Na verdade a amostra cotiua com átomos o estado fudametal mais átomos o estado atômico com as características acima (=4) Física Modera I - Professora: Mazé Bechara

15 Questão 3 da prova (1,0) (b) Solução a aula. 0,4 pelas eergias, mometos agulares e corretos. (0,1) por cada diferete trasição. (1,0) (c) (0,5) A trasição que emite o fóto de meor eergia é a do estado =4 para =3, o que sigifica, é um fóto com a difereça etre as eergias atômicas de cada estado: f =-0,85-(-1,51)=0,66eV (0,5) Sim há coservação de eergia. Nela desprezamos a eergia de recuo do átomo, ou seja, do seu cetro de massa (discutido a seguir) (perdeu 0,10 se ão mecioou a eergia desprezada) (0,5) O mometo liear do fóto é: p f =f/c=0,66ev/c (0,5) Sim há coservação do mometo liear o decaimeto. O mometo liear é vetorialmete ulo ates da trasição, e portato o cetro de massa do átomo deve ter um mometo liear igual ao do fóto em módulo e direção e setido cotrário, uma vez que cada um dos estados =4 e =3 estão defiidos pelo movimeto relativo específico coforme o modelo. ste recuo tem eergia ciética desprezível dada a massa do átomo. Física Modera I - Professora: Mazé Bechara

16 Questão 4 da prova (0,75) (a) Poderia calcular a partir da igualdade de força cetrípeta com eletrostática + a quatização do mometo agular da hipótese de Bohr. Ou simplesmete lembrar que o movimeto relativo a massa é a massa reduzida que o caso do átomo positrôico é de: usado o raio de Bohr do formulário cocluir que é o dobro do raio de Bohr (substitui a massa do elétro por metade da massa do elétro): m 4 m m r o Bohr 0, e m 59 e e e m e O que resulta em 1,058agstros, ou seja, o dobro do raio do átomo do hidrogêio o estado fudametal. e m o A Física Modera I - Professora: Mazé Bechara

17 Questão 4 da prova (0,75) (b) Usado a expressão de eergia do formulário, substituir a massa do elé tro pela massa reduzida: Ze 1 1 Bohr 1 = - 13,60 6, 8eV Ou seja, a eergia do úico e istável estado do átomo positrôico é metade da eergia do estado fudametal do átomo de hidrogêio Física Modera I - Professora: Mazé Bechara

18 Questão 5 da prova (1,0) (a) Se eutro (0,5) e fóto (0,5) tem o mesmo mometo liear, a relação com o comprimeto de oda é a mesma para fótos e partículas materiais: h 14 p 10 hc evm, pc ev m (0,5) A frequecia do fóto é : f pf c Mev = f 60 1,45 h h h 10 Hz (0,5) Já para a partícula com velocidade ão relativística: p p c 60 MeV = 1,803 4,35 h m h m c h 998h h 10 o o 0 Hz Física Modera I - Professora: Mazé Bechara

19 Questão 5 da prova (0,75) (b) A proposta de de Broglie é de odas estacioárias ao redor da trajetória retilíea de comprimeto r N Codição de oda estacioário mais a relação de de Broglie: (0,5) ou: p h r N p h 4r N (1,0)(c) A eergia do êutro seria etão quatizada: p m h 3m r N O pricípio de correspodêcia para a eergia diz que para grade (tededo a ifiito) a eergia deve coicidir com o resultado clássico o qual a eergia ão é quatizada 1 Física Modera I - Professora: Mazé Bechara

20 Questão 5 da prova (c) cotiuação Portato (0,35) ( ) 1 1 lim 0 pois Física Modera I - Professora: Mazé Bechara