Instituto de Física USP. Física V - Aula 25. Professora: Mazé Bechara

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1 Istituto de Física USP Física V - Aula 5 Professora: Mazé Bechara

2 Aula 5 Aida o átomo de H. A proposta de de Broglie de caráter dual das partículas materiais 1. Aida o átomo de hidrogêio, a procura do etedimeto da estrutura fia das lihas de absorção e emissão. As órbitas elípticas a iteração coulombiaa atrativa elétro-úcleo e a quatização dea eergia segudo Wilso-Sommerfeld. Os estados degeerados de eergia do átomo de H. A correção relativística de Sommerfeld e a quebra da degeerescêcia em eergia - descrição da estrutura fia. O estado da arte para o H cometários.. A proposta de de Broglie de caráter dual da matéria: euciado e as relações de coexão etre as gradezas odulatórias (frequecia, e comprimeto de oda) e as mais características de partículas (eergia e mometo liear). 3. A velocidade da oda da partícula material com velocidades ão relativísticas e ão relativísticas. 4. As regras de quatização que decorrem das odas estacioárias das partículas a proposta de de Broglie: o átomo de H, a partícula presa em uma caixa com movimeto de velocidade costate. Comparação com a quatização de Wilso-Sommerfeld.

3 As quatizações de Wilso- Sommerfeld para o átomo de H O átomo de hidrogêio, o modelo de Bohr, é um elétro iteragido com um úcleo por uma força coulombiaa atrativa. Assim está sujeito a uma força cetral. Na variável agular : 1T p d 0 Ld De ode decorre a hipótese sde Bohr: L= h/ h

4 Órbita eliptica a quatização de Wilso- Sommerfeld outros úmeros quâticos A regra de quatização a variável r: r =0(MCU),1,,3... p Dela decorre: dr E r 1T 0 4 a e b são os raios da elípse (trajetórias possíveis em Newto), dados por: 4o a Ze =1,,3... L Ze dr h r r o a L[ 1] r b a [ 1] r b b a r a

5 As eergias do átomo de H a quatização de Wilso-Sommerfeld As eergias do átomo de H: E Wil, Som WilSom Ze me 1 Z E = - 13, 60eV r 4 ( r) 0 r 0( MCU), 1,,3... 1,,3... r 1,,3...

6 Átomo de H a quatização de Wilso-Sommerfeld: trajetórias e eergias Estados atômicos degeerados em eergia do H, um ome técico para estados diferetes (com trajetórias e mometos agulares diferetes), mas com mesma eergia WilSom Ze me 1 Z E = - 13, 60eV 4 ( r) 0 Figura do R. Eisberg, R. Resick Fisica Quâtica

7 A 1ª ordem da correção relativística de Sommerfeld E Somrelat, = - Ze [ 3 ] 4 = 1,,3... r e 4 c c = 1 o é a costate de estrutura fia. (A í a origem do ome de costate ).

8 O átomo de H a quatização de Bohr-Wilso-Sommerfeld com correção relativística o movimeto relativo ocorre a quebra da degeerescêcia em eergia e aparece a estrutura fia do H. As trasições das lihas tracejadas ão são observadas, idicado a a existêcia da regra de seleção : =1, em acordo com o pricípio de correspodêcia de Bohr. R. Eisberg, R. Resick Fisica Quâtica

9 Resultado da Mecâica Quâtica ão relativística (e sem spi) AGUARDE Tópico IV Há degeerescêcia dos auto-estados de eergia: diferetes estados (diferetes fuções de oda) com a mesma eergia (aqui agrupados só os diferetes ) L ( 1) Compare com o modelo de Bohr e Wilso Sommerfeld! Mas...e a estsrutura fia?! Figura do livro: Moder Physics - T. Thorto e Rex

10 Estado da arte do H O resultado da mecâica quâtica ão relativísitca de Schroediger com a força coulombiaa como força atômica dará o mesmo resultado que o modelo de Bohr/Wilso Sommerfeld para a eergia (Tópico IV da disciplia). Mas a quatização do mometo agular é diferete, com ovo úmero quâtico: L =(+1) com =0,1,... Ou seja, o mometo agular do estado fudametal é zero!. Em medidas experimetais havia idicação de outra gradeza física associada ao mometo agular, em experimetos de campos magétaicos variáveis sobre átomos de H. Em 197 Dirac faz a mecâica quâtica relativística e lá aparece algo ovo com estrutura matemática de mometo agular: o spi. Usado S =s(s+1) com s=1/ solução da equação dá cota da estrutura fia do H. 3. Usado a equação ão relativística com a força coulombiaa atrativa mais a iteração do spi com o mometo aguar orbital, a iteração spi-órbita, que dá uma eergia potecial muito meor que a coulombiaa, se tem o resultado do espectro de eergia com a estrutura fia. Na solução aparece o mometo agular total, também quatizado, que é a soma do mometo agular do movimeto relativo com o spi. É o que se usa o estudo do H e os demais átomos.

11 Pricípio de de Broglie Como a radiação eletromagética e a matéria tem caráter dual (oda-partícula) e são os costituites do uiverso físico, etão a simetria da atureza exige que a matéria também teha caráter dual, como proposto por Eistei para a radiação eletromagética.

12 Louis Victor de Broglie ( ) físico fracês prêmio Nobel de Física em 199

13 As relações de coexão partícula-oda, para fótos e partículas materiais As relações de coexão etre as gradezas do caráter corpuscular (E, p) com as do caráter odulatório: (, ) são as mesmas para os costituites do uiverso físico - radiação eletromagética e partículas de matéria. Valem para fótos e partículas materiais as relações: E h w CUIDADO! p o =c para m o =0 k o v para m o 0 (demostrado em aula!) h

14 Velocidades das odas clássicas Odas moocromáticas as velocidades de oda e de fase: oda w/ Odas ão moocromáticas: oda grupo Seria assim também a velocidade as odas das partículas? Resposta: a velocidade da oda tem que ser igual a velocidade da partícula. Assim, como provaremos a seguir, ão faz setido velocidade de fase, as odas de partículas materiais. k dw dk fase

15 Velocidade de fase da partícula-oda? Se fizer setido a velocidade de fase, v=, sedo válidas as relações de de Broglie, se teria: debroglie fase h Porém a eergia e o mometo liear da partícula ão relativística de velocidade costate obedecem as relações: p E m o E o Mometo liear e eergia da partícula relativística: p m part Etão valeriam as seguites igualdades: debroglie E p part debroglie E [ ] class!!!!!! [ ] fase fase p m p p o E h Coclusão: a partícula, com velocidade clássica ou relativística, e a oda associada ão estariam de acordo. Jogue-se fora a velocidade de fase como possibiliade de represetar a velocidade da oda da partícula. E p p m o part 4 E p c mo c relat mc m part mc c part c!!!!!

16 E a velocidade de grupo? A velocidade de grupo e as odas de de Broglie: oda grupo dw dk de dp Partícula com velocidade ão relativística : dw de p grupo [ ] class dk dp m Partícula com velocidade relativística: dw E 1 pc pc grupo [ ] relat dk p 4 p c m mc oc Coclusão: O lado partícula e o lado oda estão de acordo sobre as suas velocidades!!! Adote-se a velocidade de grupo para a velocidade das odas das partículas materiais, mesmo para as moocromáticas! de dp o part part

17 As odas dos estados estacioários Estados dos Átomos de Hidrogêio e a oda de de Broglie: São odas circulares estacioárias de raios r: ispiradas os movimetos do elétro o modelo de Bohr. Codição de oda estacioária: r Codição de oda estacioária + relação de de Broglie: h r p h pr L A dualidade partícula-oda as partículas materiais leva à mesma quatização do mometo agular proposta por Bohr como hipótese, e à quatização de Wilso-Sommerfeld. Mas muda a visão da atureza da partícula material Física V- Professora: Mazé Bechara

18 As odas de de Broglie para o átomo de H Observações: 1. Odas restritas às órbitas circulares do modelo de Bohr!. Estão aí desehadas as odas de três átomos diferetes: o EF, e os 1º e º estados excitados. 3. O tamaho dos raios de Bohr ão estão a escala qualitativa correta. Figura do R. Eisberg e R. Resick

19 Odas estacioárias em cordas As lihas grossas são as odas em um istate. Em outros istates são as outras lihas. Os ós, potos (x) os quais o valor da fução da oda (y(x,t) é ulo, são sempre (qualquer istate t) os mesmos. Assim como os máximos da fução de oda são as mesmas posições x, embora com diferetes valores da fução de oda y em istates t diversos.

20 De Broglie possíveis odas estacioárias de partículas com v=cte: movimeto retilíio e circular