Radiação térmica Física Moderna 1 Aula 2 1

Transcrição

1 Radiação térmica Maxwell, 1873 odas eletromagéticas (teoria) Correte alterada produção de odas com comportameto aálogo ao da luz (reflexão, refração, difração, iterferêcia,...) Hertz, 1887 comprovação experimetal Luz odas eletromagéticas produzidas por osciladores microscópicos a matéria. Modelo aplicado à trasmissão de luz em sólidos, reflexão por metais, etc... Iroia: Hertz usava oscilador de faísca. AT aplicada a 2 eletrodos separados por ~1 cm, termiados em esferas polidas. Polimeto dos eletrodos importate para a faísca luz UV emitida pela 1 a faísca facilita o processo efeito foto-elétrico! Física Modera 1 Aula 2 1

2 Radiação térmica 34,1 o C 32,2 29,4 26,7 23,1 23, Física Modera 1 Aula 2 2

3 Radiação térmica Sucesso da teoria de Maxwell e do modelo de osciladores: usado a tetativa de explicar a radiação térmica. Thomas Wedgwood (parete de Darwi, fabricate de louça), 1792: objetos ficam vermelhos à mesma T. Avaço da espectroscopia ~1850: sólidos espectro cotíuo. Kirchhoff, 1859: corpo em eq. térmico com a radiação E A v = v J ( v, T ) E v poder de emissão a frequêcia v A v poder de absorção a frequêcia v Corpo egro A v = 1, v E v = J(v,T) Diferetes corpos egros à mesma T mesmo espectro. Absorvedor ideal é também emissor ideal. Ex. 1.2, p. 24 do Eisberg Física Modera 1 Aula 2 3

4 Física Modera 1 Aula 2 4

5 Radiâcia espectral: R T (v) - fução de distribuição da potêcia irradiada, por uidade de área, em um itervalo de frequêcia, em fução de v e T Física Modera 1 Aula 2 5

6 Radiação térmica Defiições: Radiâcia espectral: fç de distribuição da potêcia irradiada, por uidade de área em um itervalo de frequêcia, em fç de v e T. R = R ( v) dv 0 Radiâcia: potêcia emitida por u. de área T Lei de Stefa (1879): R T = σt 4 T σ = 5,67x10-8 W/m 2 K 4 (cost. de Stefa-Boltzma) Lei do deslocameto de Wie (1893): v max α T ; ou: λ max T = b, com Wie também mostrou que: b = 0, (24) cm.k. 3 u v = v F ( v T ) Física Modera 1 Aula 2 6

7 Radiação térmica Física Modera 1 Aula 2 7

8 Radiação de corpo egro λ (µm) Física Modera 1 Aula 2 8

9 Simulação de corpo egro cavidade com pequea jaela. A jaela << A cavidade. Assim, radiação que etra ão sai. radiação em equilíbrio térmico com as paredes. paredes emitem radiação para a cavidade e peq. fração sai pela jaela. Mas a jaela = corpo egro radiação itera = = radiação de corpo egro. Radiação de corpo egro Física Modera 1 Aula 2 9

10 Desidade de eergia a cavidade: Mais especificamete: R T (v) = c 4 ρ T (v) ρ T (v) R T (v).? Queremos calcular ρ 1) Cotar o úmero de modos de oscilação 2) multiplicar pela eergia média de cada modo 3) dividir pelo volume: ρ T (v) = N v V ε Física Modera 1 Aula 2 10

11 Desidade de eergia a cavidade: R T (v) = c 4 ρ T (v) O fator c/4 pode ser etedido como o produto de duas cotribuições, coforme a figura: Um fator ½ vem de que só metade da eergia das odas jaela estacioárias a cavidade correspode a odas que se movem para a direita. As odas que se movem para a direita carregam eergia com: c z = c cosθ, da qual deve ser feita uma média sobre a semiesfera: c z = π /2 0 (ccosθ)2πr 2 seθ dθ π /2 0 2πr 2 seθ dθ = c x dx dx = c Física Modera 1 Aula 2 11

12 Número de modos de oscilação Eq. de oda (3D): 2 Ψ x Ψ y Ψ z 2 = 1 c 2 2 Ψ t 2 com Ψ = E x, E y, E z Cavidade cúbica com paredes metálicas. Codições de cotoro as iterfaces compoete de E // deve ser cotíua. Como o material é codutor E // = 0. Etão: E x = 0 em y = 0 e L e em z = 0 e L; E y = 0 em x = 0 e L e em z = 0 e L; E z = 0 em x = 0 e L e em y = 0 e L Física Modera 1 Aula 2 12

13 3 iteiros são ecessários para descrever as odas. As codições de cotoro impõem restrições às frequêcias permitidas. Substituido a eq. de oda para E x : ( ) x x E v c E L L L π 2 1 π π π = + + com 1, 2 e 3 iteiros. As frequêcias permitidas são dadas por: L c v + + = Física Modera 1 Aula se2π π cos π se π se ; se2π π se π cos π se ; se2π π se π se π cos vt L z L y L x E E vt L z L y L x E E vt L z L y L x E E z z y y x x = = =

14 Cotagem do úmero de modos de oscilação A cada cojuto de 3 iteiros (1,1,1), ou (1,2,3),..., é associada uma frequêcia e uma cofiguração espacial da oda estacioária. O jeito mais simples de cotabilizar os vários modos é utilizado um espaço 3D cujos eixos ortogoais correspodem às variáveis 1, 2 e 3. v = c 2L = 2L c v r = 2L c v dr = 2L c dv Defiido: r = r 2 = r = 2L c v dr = 2L c dv O volume da casca esférica é dado por: Física Modera 1 Aula 2 14

15 1 8 4πr2 dr = 1 8 4π! # 2L " c v $ & % 2 2L c dv = 4πv2 c 3 Vdv, com V = L 3. Assim, o úmero de modos pode ser obtido: N v = 8πv2 c 3 V O fator 2 se deve ao fato de que cada oda tem 2 estados de polarização idepedetes. Já temos um dos fatores para a determiação da desidade espectral de eergia. Falta agora determiar a eergia média por modo. Vamos começar pelo cálculo clássico da eergia média, que sabemos ão fucioar. Mas é importate, pois abre o camiho para o modelo de Plack Física Modera 1 Aula 2 15

16 Eergia média por modo de oscilação Queremos determiar a eergia média de uma população de odas eletromagéticas com muitos modos de oscilação, cada um com sua eergia. Os campos e.m. estão em equilíbrio com as paredes da cavidade, que está em T. Assim, a radiação troca eergia com as muitas partículas que compõem as paredes. A Mecâica Estatística desevolveu as ferrametas ecessárias para fazer médias sobre úmeros muito grades de partículas, de forma a determiar propriedades gerais do sistema e valores médios de algumas propriedades associadas às partículas Física Modera 1 Aula 2 16

17 Eergia média por modo de oscilação A teoria ciética dos gases é um exemplo desse processo. Num gás em temperatura T, a cada um dos 3 graus de liberdade de movimeto liear das partículas está associada uma eergia ciética média de ½ k B T. Cosideremos um elétro ligado a um átomo da parede da cavidade. Elétros oscilam ao absorver odas e.m. e emitem odas e.m. ao oscilar. Podemos usar o resultado acima para um elétro da parede se lembrarmos que um oscilador, além de eergia ciética, tem também eergia potecial. Num OHS, os valores médios dessas 2 eergias são iguais. Assim, obtemos um valor de k B T para a eergia média total, para cada grau de liberdade de oscilação liear de um elétro a parede à temperatura T Física Modera 1 Aula 2 17

18 Eergia média por modo de oscilação Voltado à ossa cavidade, podemos trasferir a eergia média obtida para os elétros das paredes para a radiação presete a cavidade, uma vez que o equilíbrio térmico etre eles se dá pela absorção e emissão de radiação pelos elétros das paredes. Assim, igualamos a eergia média, por grau de liberdade, de um elétro da parede com a eergia média por modo de oscilação da radiação: ε = k B T Podemos, etão, escrever a expressão para a desidade espectral de eergia: ρ T (v) = N v V ε = 1 V 8πv 2 c 3 Vk B T = 8πv2 c 3 k B T Física Modera 1 Aula 2 18

19 O modelo Rayleigh-Jeas λ (µm) Física Modera 1 Aula 2 19

20 O modelo de Plack Modelo clássico: cotar o o de odas com frequêcia etre v e v + dv, multiplicar por ε e dividir pelo volume. Equipartição de eergia ε = kt Plack otou que: Rayleigh-Jeas OK para v 0 ε = kt também OK (esse limite). Mas otou também que, para v ε 0 A solução de Plack baseiase um valor de ε radicalmete diferete de kt. Parêteses para distribuições Física Modera 1 Aula 2 20

21 Distribuição de Boltzma Descrição de um sistema clássico com um úmero grade de partículas idêticas, cada uma rotulada de forma que podemos saber sua eergia. As eergias, o etato, mudam a todo mometo, devido aos choques etre as partículas. A eergia média das partículas depede da temperatura T, sedo que o sistema apreseta uma determiada distribuição de eergia de partículas para uma dada T. Precisamos saber como uma dada eergia total E do sistema é distribuída etre N partículas idêticas quado o sistema está em equilíbrio termodiâmico. Sistema: úmero muito grade de células, cada uma com uma eergia defiida, para as quais as partículas são desigadas Física Modera 1 Aula 2 21

22 Distribuição de Boltzma As células são idetificadas por um ídice i (iteiro). A difereça de eergia etre as células pode ser feita tão pequea quato ecessário. Assim, se a i-ésima célula está associada às partículas com eergia ε i, o que queremos é determiar i, o úmero de partículas esta célula, quado o sistema está em equilíbrio térmico à temperatura T. A população das várias células os dá uma idicação da probabilidade de uma determiada eergia de partícula existir o sistema. A física clássica os permite idetificar e seguir a história de cada uma das N partículas idêticas do sistema. Essa especificação completa do sistema é chamada de microestado Física Modera 1 Aula 2 22

23 Distribuição de Boltzma Essa descrição detalhada é desecessariamete completa, uma vez que diferetes microestados são fisicamete equivaletes se as populações das células forem as mesmas, idepedetemete da idetificação das partículas. Assim, vamos adotar um método meos específico, o qual listamos apeas o úmero de partículas em cada célula: 1 partículas com eergia ε 1, 2 com eergia ε 2,... Com este método podemos gerar uma lista de úmeros de ocupação, para a distribuição de N partículas em r células. Esta lista ( 1, 2,..., r ) defie um macroestado do sistema Física Modera 1 Aula 2 23

24 Distribuição de Boltzma Percebe-se que um úico macroestado pode estar associado a muitos microestados diferetes. A multiplicidade de microestados que formam um macroestado é uma medida da probabilidade de se ecotrar uma determiada cofiguração. Se um úmero grade de microestados gera um mesmo macroestado (mesma distribuição de ocupação), etão este macroestado deve ter uma probabilidade alta de ser ecotrado. Exemplo cocreto: sistema com 6 partículas, eergia total 8E, distribuída em células com eergia E Física Modera 1 Aula 2 24

25 Exemplo: E total = 8E N = 6 partículas Número de microestados em cada macroestado: W N = N! 1! 2! 3!... Número médio de partículas com uma determiada eergia: = p j p j Física Modera 1 Aula 2 25 j... Número total de micro-estados: Podemos, etão, calcular o úmero médio de partículas com eergia ula:

26 Queremos uma expressão para o úmero de microestados correspodetes a um macroestado defiido por uma ocupação ( 1, 2,..., r ). Esse úmero é defiido por W N ( 1, 2,..., r ) e é chamado de probabilidade termodiâmica do macroestado. Começamos com o úmero de permutações de N objetos: N(N-1)(N-2)... = N! Parêteses combiatório Assim, o úmero de formas distitas de distribuir N partículas para que 1 estejam a célula 1 e as outras ão estejam a célula 1 é: N! 1!(N 1 )! Agora temos (N- 1 ) partículas sobrado. Queremos distribuílas de tal forma que 2 estejam a célula 2 e o resto em a célula 1 em a Física Modera 1 Aula 2 26

27 Parêteses combiatório (fial) Usado o mesmo argumeto aterior, isso dá: (N 1 )! 2!(N 1 2 )! E cotiuamos o processo até que todas as N partículas estejam distribuídas as r células. O úmero total vai ser dado pelo produto de r fatores: N! 1!(N 1 )! (N 1 )! 2!(N 1 2 )! (N )! 1 r 1 r!(n 1 r )! Este produto pode ser simplificado, usado o fato de que r = N, (a defiição de que 0! = 1 também é usada), resultado em: Voltar para o slide 25 W N = N! 1! 2! 3! Física Modera 1 Aula 2 27

28 = (5)(6 /1287) + (4)(30 /1287) + (4)(30 /1287) + (3)(60 /1287) + (4)(30 /1287) + (3)(120 /1287) + (2)(60 /1287) + (4)(15 /1287) + (3)(120 /1287) + (3)(60 /1287) + (2)(180 /1287) + (1)(30 /1287) + (3)(60 /1287) + (2)(90 /1287) + (2)(180 /1287) + (1)(120 /1287) + (0)(6 /1287) + (2)(15 /1287) + (1)(60 /1287) + (0)(15 /1287) = 2,307 Aalogamete: = 1,54 = 1,00 = 0,587 = 0,326 = 0,163 = 0,0699 = 0,0233 = 0,00466 Boltzma: P(ε i ) = Ae Física Modera 1 Aula 2 28 ε i / kt = Ae βε i

29 O modelo de Plack Modelo clássico: cotar o o de odas com frequêcia etre v e v + dv, multiplicar por ε e dividir pelo volume. Equipartição de eergia ε = kt Plack otou que: Rayleigh-Jeas OK para v 0 ε = kt também OK (esse limite). Mas otou também que, para v ε 0 A solução de Plack baseiase um valor de ε radicalmete diferete de kt. Parêteses para distribuições Física Modera 1 Aula 2 29

30 O modelo de Plack Segudo Debye (1910). Veja o Caruso & Oguri, Cap. 10.2, pg ε = 1 Z εg(ε)e βε dε = 0 g(ε) = 1 = 0 0 εg(ε)e βε dε g(ε)e βε dε = kt ε Plack otou que: Rayleigh-Jeas OK para v 0 ε = kt também OK (esse limite). Mas otou também que, para v ε Física Modera 1 Aula 2 30

31 E = kt Física Modera 1 Aula 2 31

32 ΔE << kt E kt Física Modera 1 Aula 2 32

33 ΔE ~ kt E < kt Física Modera 1 Aula 2 33

34 ΔE >> kt E << kt Física Modera 1 Aula 2 34

36 O modelo de Plack ε ~ kt para ΔE pequeo (v 0) ε ~ 0 para ΔE grade (v ) ΔE v ΔE = hv com h = 6,63x10-34 J.s (costate de Plack). De quebra determiou também a costate de Boltzma: k = 1,38 x J/K ε = e ε /kt ε e ε /kt = ε e ε /kt Z Mas ε = hv. Assim, ε = = kt, com x = hv kt hve hv/kt e hv/kt xe x/kt e x/kt Física Modera 1 Aula 2 36

37 xe x/kt O modelo de Plack Etão, a fução de partição é dada por uma soma: =0 Z(x) = e x =1+ e x + e 2 x + Que é uma série geométrica com razão e x, cuja soma é: Z(x) = e x 1 = 1 e x =0 Devemos otar que o umerador da expressão que precisamos calcular pode ser escrito como: = x d dx Z(x) = x d dx e x = x e x Voltado à expressão para o valor médio da eergia: Física Modera 1 Aula 2 37

38 ε = kt xe x/kt e x/kt O modelo de Plack = kt Z(x) x d dx Z(x) = ktx d dx ε = ktx d dx l(1 e x ) = ktx e x ktx = x 1 e e x 1 Substituido x = hv, obtemos: kt hv ε =, que apreseta os comportametos e hv kt 1 esperados: l Z(x) hv kt e hv kt e hv kt 0 " """ 1+ hv kt ε kt hv kt " """ ε Física Modera 1 Aula 2 38

39 O modelo de Plack E a desidade de eergia a cavidade, em fução da frequêcia ou do comprimeto de oda fica assim: ρ T (v) = 8πv2 c 3 hv e hv kt 1 v = c λ dv = c λ 2 dλ e ρ T (λ) = ρ T (v) dv dλ = ρ T (v) c λ 2 ρ T (λ) = 8π λ 5 hc e hc λkt Física Modera 1 Aula 2 39

40 Radiâcia espectral do Sol M.P. Thekaekara, et al., Appl. Opt. 8(1969)1713 Comparação etre as teorias de Plack e de Wie e as medidas de Cobletz (~1915) Física Modera 1 Aula 2 40