4. MEDIDAS DINÂMICAS CONCEITOS BÁSICOS

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1 4. MEDIDAS DINÂMICAS CONCEITOS BÁSICOS Muitas vezes os experimetos requerem medidas de gradezas físicas que variam com o tempo. Para a correta medição destas gradezas, é ecessário cohecer as propriedades dos siais a serem medidos, assim como as propriedades dos istrumetos de medição utilizados. 4. Natureza dos Siais ão-permaetes: os siais ão-permaetes expressam a variação temporal da gradeza de iteresse e podem ser classificados em periódicos ou ão-periódicos. Figura : Sial periódico. Um caso particular de um sial periódico é a fução harmôica do tipo S( t) = Ase( π f t), ode T é o período e f = /T é a freqüêcia em ciclos por segudo. Figura : Sial periódico harmôico Os siais podem ser ão periódicos, como os dois exemplos mostrados as figuras abaixo. Na figura 3a o sial represeta, por exemplo, o deslocameto de uma estrutura após receber um impacto. Na figura 3b, o sial radômico apresetado pode represetar, por exemplo, um sial de velocidade em um escoameto turbuleto. Figura 3: a) sial ão periódico. b) sial radômico.

2 Uma das maiores dificuldades a medição de uma gradeza diâmica é a especificação de um sistema ou istrumeto de medição capaz de registrar o sial adequadamete. Para isso, é ecessário um cohecimeto do sial a ser medido. 4. Represetação em Séries de Fourier: uma ferrameta poderosa para a aálise dos siais de etrada é a sua represetação em soma de fuções harmôicas. Pode ser mostrado que um sial periódico S(t) com freqüêcia circular = π/t, pode ser represetado por uma série ifiita de seos com freqüêcias,, 3,..., como, S( t) = A0 + A se( t + ϕ) + A se(t + ϕ) + A3se(3t + ϕ3) A se( t + ϕ ) ode A é a amplitude e φ o âgulo de fase. O termo A se( t + ϕ) harmôico pois possui a mesma freqüêcia do sial origial S(t). é o primeiro A expasão de Fourier também pode ser escrita como, b S( t) = a set a se t... ase t b cost + b cost b cost ode os valores dos coeficietes são obtidos de π π 0 π ( π 0 a = S( t) se( t ), = S t)cos( t ) b Comparado-se as duas formas, vê-se que A 0 e b 0 / represetam o valor médio de S(t) durate o ciclo. Pode-se mostrar que A = ( a + b ) e = b ϕ ta a Como exemplo, temos a oda quadrada represetada a figura abaixo. Figura 4: Oda quadrada. π π 4π a = S( t) se( t ) + S( t) se( t ) = π 0 π E

3 a π = S( t) se π 0 π π ( t ) + S( t) se( t ) = 0 4E a 3 =, 4 0 π 3 a =, 4E a 5 =, etc. π 5 π π b 0 = S( t)cos( 0) + S( t)cos( 0) = 0, b = 0, b = 0, etc. π 0 π a expasão completa fica, 4E S( t) = set + se3t + se5t se t, para =,,3,... π 3 5 O espectro de amplitudes pode ser observado a figura abaixo Figura 5: Espectro de amplitudes. 4.3 Sistema de Primeira Ordem: Vamos agora tetar descrever quatitativamete o istrumeto que pretede seguir o sial diâmico. Vamos criar um modelo simplificado do istrumeto e tetar predizer a saída do istrumeto para um sial de etrada hipotético. Cosidere o termômetro de líquido em vidro represetado a figura. Figura 6: Modelo para istrumeto de primeira ordem: termômetro.

4 Em regime permaete a temperatura do fluido e a leitura são costates. Quado a temperatura do fluido é aumetada provoca a troca de calor para o fluido o iterior do bulbo que se expade alterado a leitura da colua de líquido. Desprezado-se as trocas de calor por codução e radiação, podemos escrever que o calor trocado por covecção etre o gás e o termômetro é, ( T ) q = hab T m ode, A b é a área do bulbo, T m a temperatura do fluido termométrico o bulbo e h é o coeficiete de troca de calor covectivo. A primeira lei da termodiâmica forece, dt mc m ( T T ) = hab m () dv defiido-se o coeficiete de expasão volumétrica do fluido como α = V. Este dt m coeficiete represeta a variação relativa de volume por uidade de variação de temperatura. Mas, dv = AsdR, ode A s é a área trasversal do tubo do termômetro. Etão, Vα dtm = dr As Itegrado-se a equação acima, assumido que R=0 para T=0, tem-se, mα m R = Tm, ode V = () ρ As ρ substituido-se () em (), mcρ As mα ou, dr h A A ha T bρ = s b R mα dr τ + R = kt, com mc τ = e h A b mα k = ρ A s Trata-se de uma equação diferecial liear de primeira ordem que forece R para qualquer variação de T com o tempo. Se aplicarmos um degrau uitário de temperatura em t=0, temos, para R=0 em t=0, a seguite solução, t R = k e τ

5 Figura 7: Resposta do termômetro a degrau uitário de temperatura. Note a figura que represeta a solução da equação diferecial para resposta do termômetro que: dr t para tempos logos, R se aproxima de k. Portato, k, é a sesibilidade do istrumeto (leitura por etrada uitária) a velocidade com que o termômetro respode à etrada depede da tagete iicial da curva de resposta. Etão, = =0 k τ Vemos que τ é iversamete proporcioal à velocidade de resposta, τ é a costate de tempo do istrumeto e represeta o tempo ecessário para que a leitura do e de sua leitura fial. termômetro atija a fração ( ) A sesibilidade k e a costate de tempo τ caracterizam o istrumeto de primeira ordem. O projeto do termômetro pode ser melhorado alterado-se algus parâmetros físicos, como por exemplo: k, o que mostra que uma dimiuição a área do tubo do termômetro aumeta A s sua sesibilidade. Também, τ, idicado que uma maior área do bulbo A b melhorará a resposta do termômetro. Outras formas de fuções de etrada podem ser usadas para caracterizar a resposta do istrumeto (ver Measurmets Systems, Doebeli). Por exemplo, a resposta à rampa é caracterizada como mostrada a figura,

6 Figura 8: Resposta do termômetro à rampa de temperatura. 4.4 Sistema de Seguda Ordem: Vamos cosiderar o exemplo de um galvaômetro elemetar. Figura 9: Modelo para istrumeto de seguda ordem: galvaômetro Desejamos usar o galvaômetro para medir V(t). O equacioameto do problema baseia-se o fato que a correte i a bobia, a preseça da desidade de fluxo magético B, produz uma força em cada braço igual a: F = BLi ode L é o comprimeto do fio da bobia. Para pequeos deslocametos agulares o torque a bobia é dado por: Torque = Fb. Etão, d θ J = Fb kθ, ode k é a costate de mola e J é o mometo polar de iércia. Como a bobia se move detro do campo, uma voltagem V b iduzida vai surgir. Da lei de Faraday,

7 dθ V b = BLb Aida, V-V b =Ri sedo R a resistêcia elétrica da bobia (idutâcia e capacitâcias desprezadas). Fialmete, da geometria do istrumeto: S=aθ. Combiado todas as equações, tem-se, d S b L B ds k ablb + + S = V RJ J RJ defiido os seguites parâmetros, K = ablb, kr k = J e b L B ξ = R kj A equação fica etão, d S + ds ( ξ ) + ( ) S = ( K )V Podemos eteder o sigificado físico destes parâmetros aplicado etradas cohecidas V, e observado a saída S. Por exemplo, para um degrau uitário, V= volt, aplicado em t=0, a leitura S é a solução da equação acima (utilizado S=0 em t=0 e ds/=0 em t=0), S = K e ξ t cos ξ t se ξ, para 0<ξ< A figura a seguir apreseta esta solução de forma esquemática. Figura 0: Resposta do galvaômetro a degrau uitário de tesão

8 Pode-se observar que: para todas as curvas, a leitura S se aproxima de K. Etão K é a sesibilidade do istrumeto (resposta por uidade de etrada). à medida que ξ dimiui a resposta tede a oscilar ates de covergir para o resultado. No limite quado ξ tede a zero, S = K( cost). O período de oscilação depede de, a freqüêcia atural do istrumeto. altos valores de ξ toram o istrumeto leto. ξ é o fator de amortecimeto. ξ= é o amortecimeto crítico (froteira etre oscilação e comportameto expoecial) Quado ξ temos super-amortecimeto. Quado ξ < temos sub-amortecimeto. Aalisado os parâmetros vemos, por exemplo, que aumetado-se a costate de mola k, reduz-se a sesitividade, aumeta-se a freqüêcia atural e dimiui-se o amortecimeto. 4.5 Resposta de Freqüêcia A resposta de freqüêcia de um istrumeto é um dado importate sobre seu desempeho. Para aalisá-la vamos aplicar um sial seoidal ao istrumeto e aalisar sua resposta. Depois do sial agir sobre o istrumeto por um período logo de tempo, a resposta ficará periódica também, apresetado a mesma freqüêcia de etrada, porém com diferete amplitude e diferete fase. Caso o istrumeto possa ser descrito por equação diferecial liear (istrumeto liear) a forma da oda será a mesma do sial de etrada. Figura : Siais de etrada e saída seoidais. O sial de etrada pode ser descrito como, ase t () equato a saída é descrita como ( t φ) Ma se () ode é a freqüêcia circular de etrada, a a amplitude etrada e φ é o âgulo de fase. Precisamos determiar M e φ para termos uma descrição da saída para um sial

9 de etrada com a e cohecidos.pode-se mostrar que M e φ depedem somete de para istrumetos lieares ( e ão depedem de a). Podemos determiar o quão bem um istrumeto segue a etrada seoidal cohecedo como M e φ variam com a freqüêcia de etrada. Isto pode ser feito experimetalmete ou aaliticamete, caso coheçamos a equação diferecial que rege o comportameto do istrumeto. Estes dados de razão de amplitudes e âgulos de fase são a resposta de freqüêcia do istrumeto. 4.6 Resposta de Freqüêcia Sistema de Primeira Ordem Voltado-se ao modelo do termômetro de líquido em vidro cuja equação diferecial é dr τ + R = kt fazedo-se T = a set e resolvedo-se a equação temos, k R = ase( t ta t) + τ Comparado-se a equação acima com a equação (), verificamos que k M = e φ = ta τ + τ A figura abaixo mostra a depedêcia de M e φ com a freqüêcia. Figura : Variação de M e φ com a freqüêcia para istrumeto de primeira ordem.

10 Podemos observar a figura que: M quado é pequeo, é próximo de e φ 0. Isto sigifica que para k baixas freqüêcias de variação da temperatura do fluido, a leitura do termômetro é k vezes a temperatura do fluido e ão há atraso ( φ 0 ) etre os dois siais (k é a calibração estática ou sesitividade). quado a freqüêcia de variação de T é muito alta, M/k tede a zero, sigificado que a leitura R ão respode à flutuação de temperatura. Por exemplo, um termômetro de bulbo colocado a saída de um motor de combustão. para o termômetro perfeito, M/k = e φ = 0. Vemos que para τ pequeo os aproximamos destas codições. 4.7 Resposta de Freqüêcia Sistema de Seguda Ordem A resposta de freqüêcia de um sistema de seguda ordem pode ser obtida impodo-se uma tesão a forma V = a set a equação diferecial que govera o comportameto do sistema de seguda ordem. A solução obtida fica, S = K ( ) + ( ξ ) ξ a se t ta Comparado-se com a equação (). podemos idetificar, = K M e ( ) ( ) + ξ ξ φ = ta

11 As curvas para M/K e φ em fução de são represetadas abaixo, Figura 3: Variação de M e φ com a freqüêcia para istrumeto de seguda ordem. Observado as figuras vemos que: para freqüêcias de etrada bem baixas ( << ), M K e φ 0 (istrumeto ideal). para freqüêcias muito altas ( >> ) M tede a zero. os extremos de baixo e alto, ξ ão ifluecia muito. quado, M depede muito de ξ ξ e são parâmetros importates o projeto de istrumetos de seguda ordem. Algumas regras para a escolha de istrumetos: o fator de amortecimeto deve ficar a faixa 0,5< ξ<0,7. Na figura vê-se que isto forece uma resposta de amplitude razoavelmete costate a faixa 0 > >. Ao mesmo tempo, a resposta trasiete ão tem muito overshoot, em é muito leta. a freqüêcia atural do istrumeto deve ser pelo meos de 5 a 0 vezes maior que a maior compoete de freqüêcia do sial de etrada. No istrumeto de primeira ordem, /τ, deve ser pelo meos 5 vezes maior que a mais alta compoete de freqüêcia do sial de etrada.