Contabilometria. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
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- Luiz Henrique Cruz Fontes
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1 Cotabilometria Prof.: Patricia Maria Bortolo, D. Sc.
2 Teste para Duas Amostras Fote: LEVINE, D. M.; STEPHAN, D. F.; KREHBIEL, T. C.; BERENSON, M. L.; Estatística Teoria e Aplicações, 5a. Edição, Editora LTC, São Paulo, 008
3 Objetivos Neste capítulo você aprederá a usar o teste de hipóteses para comparar as difereças etre: As médias de duas populações idepedetes As médias de duas populações relacioadas Duas proporções
4 Testes para duas amostras Visão Geral Testes de duas amostras Populações Idepedetes Médias Exemplos Grupo x Grupo Populações Relacioadas Médias Mesmo grupo ates e depois do tratameto Populações Idepedetes Proporções Proporção x Proporção
5 Testes para duas amostras Populações Idepedetes Médias σ e σ cohecidas σ e σ descohecidas Meta: Teste de hipótese ou costrua um itervalo de cofiaça para a difereça etre as médias das duas populações, μ μ A estimativa potual para a difereça etre as amostras: X X
6 Populações Idepedetes Populações Idepedetes Médias σ e σ cohecidas σ e σ descohecidas Diferetes fotes de dados Idepedetes: a amostra selecioada de uma população ão tem ehum efeito a amostra selecioada da outra população Use a difereça etre as médias das duas amostras Use o teste Z test, teste t com variâcia agrupada, ou teste t com variâcias separadas
7 Populações Idepedetes Populações Idepedetes Médias σ e σ cohecidas σ e σ descohecidas Use a estatística de teste Z Use S como estimativa de σ descohecido, use o teste estatístico t
8 Populações Idepedetes Populações Idepedetes Médias σ e σ cohecidas Premissas: Amostras extraídas de forma idepedete e aleatória populações com distribuição ormal σ e σ descohecidas
9 Populações Idepedetes Populações Idepedetes Médias Quado σ e σ são cohecidas e ambas as populações são ormais, o teste estatístico é um valor Z e o erro padrão de X X é: σ e σ cohecidas σ e σ descohecidas σ X X σ σ
10 Populações Idepedetes Populações Idepedetes Médias σ e σ cohecidas σ e σ descohecidas Z A estatística de teste é: X X μ μ σ σ
11 Populações Idepedetes Duas Populações Idepedetes, Comparações de Médias Teste cauda à esquerda: Teste de cauda à direita: Teste bi-caudal: H 0 : μ μ H : μ < μ i.e., H 0 : μ μ 0 H : μ μ < 0 H 0 : μ μ H : μ > μ i.e., H 0 : μ μ 0 H : μ μ > 0 H 0 : μ = μ H : μ μ i.e., H 0 : μ μ = 0 H : μ μ 0
12 Populações Idepedetes Teste cauda iferior: H 0 : μ μ 0 H : μ μ < 0 Duas Populações Idepedetes, Comparações de Médias Teste cauda superior: H 0 : μ μ 0 H : μ μ > 0 Teste bi-caudal: H 0 : μ μ = 0 H : μ μ 0 a a a/ a/ -z a z a -z a/ z a/ Rejeits H 0 if Z < -Z a Rejeita H 0 if Z > Z a Rejeita H 0 if Z < -Z a/ or Z > Z a/
13 Populações Idepedetes Populações Idepedetes Médias σ e σ cohecidas σ e σ descohecidas Premissas: Amostras são idepedetes e extraídas de forma aleatória Populações com distribuição ormal As variâcias populacioais são descohecidas mas assume-se que são iguais
14 Populações Idepedetes Populações Idepedetes Médias σ e σ cohecidas σ e σ descohecidas Estimativas: Como as variâcias das populações são cosideradas iguais, use o desvio padrão para amostras agrupadas para estimar σ A estatística de teste é o valor t com ( + ) graus de liberdade
15 Populações Idepedetes Populações Idepedetes Médias σ e σ cohecidas σ e σ descohecidas O desvio padrão para amostras agrupadas é: S p S ( ) ( S )
16 Populações Idepedetes Populações Idepedetes Médias σ e σ cohecidas t A estatística de teste é: X X μ μ S p σ e σ descohecidas Ode t tem ( + ) g.l., e S p S ( ) ( S )
17 Populações Idepedetes Você é um aalista fiaceiro de uma corretora. Há difereça etre as taxas de dividedos das ações listadas a NYSE & NASDAQ? Você coleta os seguites dados: NYSE NASDAQ Quatidade 5 Média da amostra Desvio padrão da amostra.30.6 Assumido que ambas as populações tem distribuição aproximadamete ormal com variâcias iguais, há difereça etre as taxas de dividedos (a = 0.05)?
18 Populações Idepedetes A estatística de teste é: t X X μ μ S p S p S S.30 5 ( ) ( ).6 (-) (5 ).50
19 Populações Idepedetes H 0 : μ - μ = 0 i.e. (μ = μ ) H : μ - μ 0 i.e. (μ μ ) a = 0.05 gl = = 44 Valores críticos: t = ±.054 Estatística de teste:.040 Rejeita H 0 Rejeita H Decisão: Rejeita H 0 a α = 0.05 t Coclusão: Há evidêcias de que as médias são diferetes.
20 Populações Idepedetes Variâcias Diferetes Se você ão pode assumir que as variâcias populacioais são iguais, o teste t para variâcia agrupada ão é apropriado Ao ivés dele, use o teste t para variâcias separadas, que cosidera as variâcias das duas amostras o cálculo da estatística de teste Os cálculos são complicados e melhor executados o excel
21 Populações Idepedetes Populações Idepedetes Médias O itervalo de cofiaça para μ μ é: σ e σ cohecidas X X Z σ σ σ e σ descohecidas
22 Populações Idepedetes Populações Idepedetes Médias σ e σ cohecidas O itervalo de cofiaça para μ μ é: X t - Sp X Ode σ e σ descohecidas S p S ( ) ( S )
23 Populações relacioadas Comparado médias de duas populações relacioadas ites ou idivíduos são combiados, emparelhados medições repetidas (ates/depois) a variável de iteresse é a difereça etre os valores: D = X - X Reduz a variabilidade decorrete dos próprios ites ou idivíduos Premissa: Ambas as populações são ormalmete distribuídas
24 Populações relacioadas A i-ésima difereça é D i, ode D i = X i - X i A estimativa potual para a média da difereça é D : D i Supodo que o desvio padrão populacioal das difereças, σ D, seja cohecido D i
25 Populações relacioadas A estatística de teste para a difereça de médias é o valor Z : Z D μ σ D D Ode: μ D = difereça de média hipotética σ D = desvio padrão populacioal das difereças = tamaho da amostra (umero de pares de observações)
26 Populações relacioadas Se σ D é descohecida, você pode estimar o desvio padrão populacioal a partir do desvio padrão amostral: S D i (D i D)
27 Populações relacioadas A estatística de teste para D é agora uma estatística t: t D μ S D D Ode t tem - g.l. e S D é: S D i (D i D)
28 Populações relacioadas Teste cauda iferior: H 0 : μ D 0 H : μ D < 0 Teste cauda superior: H 0 : μ D 0 H : μ D > 0 Teste bi-caudal: H 0 : μ D = 0 H : μ D 0 a a a/ a/ -t a t a -t a/ t a/ Rejeita H 0 if t < -t a Rejeita H 0 if t > t a Rejeita H 0 if t < -t a/ or t > t a/
29 Populações relacioadas - Exemplo Você mada seus vededores para um treiameto de serviço ao cliete. Será que o treiameto teve algum efeito o úmero de reclamações dos clietes? Você coleta os seguites dados: Vededor No. de reclamações Difereça, D i (-) Ates () Depois () C.B T.F M.H. 3 - R.K M.O 4 0-4
30 Populações relacioadas - Exemplo Vededor No. de reclamações Difereça, D i (-) Ates () Depois () C.B T.F M.H. 3 - R.K M.O D i D i 4. S D 5.67 (D i D)
31 Populações relacioadas - Exemplo O treiameto fez difereça o úmero de reclamações (a um ível de sigificâcia α = 0.0)? H 0 : μ D = 0 H : μ D 0 Valor crítico = ± g.l. = - = 4 Estatística de Teste: t μ D D S / D / 5.66
32 Populações relacioadas - Exemplo Rejeita Rejeita a/ a/ Decisão: Não rejeitar H 0 (a estatística t ão está a região de rejeição) Coclusão: Não há evidêcias de uma mudaça sigificativa o úmero de reclamações.
33 Populações relacioadas O itervalo de cofiaça para μ D (σ cohecido) é: D Z σ D Ode = tamaho da amostra (úmero de pares a amostra)
34 Populações relacioadas O itervalo de cofiaça para μ D (σ descohecido) é: D t S D ode S D i (D i D)
35 Proporções de duas populações Objetivo: Testar hipóteses ou costruir um itervalo de cofiaça para a difereça etre porporções em duas populações idepedetes, π π Premissas: π 5, (-π ) 5 π 5, (-π ) 5 A estimativa potual para a difereça é p - p
36 Proporções de duas populações Com base a hipótese ula, você pressupõe que as proporções das duas populações são iguais, π = π e agrupa as proporções das duas amostras. A estimativa geral para a proporção comum da população é: p X X ode X e X são os úmeros de sucessos as amostras e
37 ) ( p p p p Z A estatística de teste para p p é uma estatística Z: X, X, X X p P P ode Proporções de duas populações
38 Proporções de duas populações Hipóteses para as Proporções Populacioais Teste cauda iferior: Teste cauda superior: Teste bi-caudal: H 0 : π π H : π < π i.e., H 0 : π π 0 H : π π < 0 H 0 : π π H : π > π i.e., H 0 : π π 0 H : π π > 0 H 0 : π = π H : π π i.e., H 0 : π π = 0 H : π π 0
39 Proporções de duas populações Hipóteses para as Proporções Populacioais Teste cauda iferior: H 0 : π π 0 H : π π < 0 Teste cauda superior: H 0 : π π 0 H : π π > 0 Teste bi-caudal: H 0 : π π = 0 H : π π 0 a a a/ a/ -z a z a -z a/ z a/ Rejeita H 0 if Z < -Z a Rejeita H 0 if Z > Z a Rejeita H 0 if Z < -Z a/ or Z > Z a/
40 Duas Populações Idepedetes Proporções: Exemplo Há difereça sigificativa etre as proporções de homes e mulheres que votarão Sim em relação a Proposta A? Em uma amostra aleatória de 7 homes, 36 idicaram que votariam Sim e, em uma amostra de 50 mulheres, 3 idicaram que votariam Sim Teste a um ível de sigificâcia de.05
41 Duas Populações Idepedetes Proporções: Exemplo H 0 : π π = 0 (as duas proporções são iguais) H : π π 0 (há uma difereça sigificativa etre as proporções) As proporções as amostras são: Homes: p = 36/7 =.50 Mulheres: p = 3/50 =.6 A estimativa para a proporção geral das duas amostras é: p X X
42 Duas Populações Idepedetes Proporções: Exemplo A estatística de teste para π π é: z p p p( p) (.549) Decisão: Não rejeitar H 0 Rejeita H 0 Rejeita H Valores críticos = ±.96 para a =.05 Coclusão: Não há evidêcias de difereças sigificativas etre as proporções que votam sim etre homes e mulheres.
43 Duas Populações Idepedetes Proporções: Exemplo O itervalo de cofiaça para π π é: p p Z p ( p) p( p )
44 APÊNDICE
45 Testado Variâcias Populacioais Objetivo: Determiar se duas populações idepedetes tem a mesma variabilidade. H 0 : σ = σ H : σ σ Teste bi-caudal H 0 : σ σ H : σ < σ Teste de cauda iferior H 0 : σ σ H : σ > σ Teste de cauda superior
46 Testado Variâcias Populacioais A estatística de teste F é: F S S S S = Variâcia da amostra - = graus de liberdade do umerador = Variâcia da amostra - = graus de liberdade do deomiador
47 Testado Variâcias Populacioais O valor crítico de F pode ser ecotrado as tabelas F Há dois graus de liberdade: umerador e deomiador. Na tabela F, Graus de liberdade do umerador determiam a colua Graus de liberdade do deomiador determiam a liha
48 Testado Variâcias Populacioais Teste de cauda iferior: H 0 : σ σ H : σ < σ Teste de cauda superior H 0 : σ σ H : σ > σ a a 0 0 Rejeita H 0 F L Não rejeita H 0 Não rejeita H 0 F U Rejeita H 0 Rejeita H 0 if F < F L Rejeita H 0 if F > F U
49 Testado Variâcias Populacioais Teste bi-caudal: H 0 : σ = σ H : σ σ a/ 0 F L Não rejeita H 0 F U a/ Rejeita H 0 F região de rejeição para um teste bicaudal é: F F S S S S F U F L
50 Testado Variâcias Populacioais Para ecotrar os valores críticos de F:. Ecotre F U a tabela F para umerador e deomiador graus de liberdade.. Ecotre F L usado a fórmula: F Ode F U* vem da tabela F com umerador e deomiador graus de liberdade (i.e., iverta os g.l. de F U ) L F U*
51 Testado Variâcias Populacioais Você é um aalista fiaceiro em uma corretora. Você quer comparar as taxas de dividedos das ações listadas a NYSE & NASDAQ. Você coleta os seguites dados: NYSE NASDAQ Numéro 5 Média Desv. Padrão.30.6 Há difereça etre as variâcias de NYSE NASDAQ a um ível de sigificâcia a = 0.05? &
52 Testado Variâcias Populacioais Estabeleça o teste de hipótese: H 0 : σ σ = 0 (ão há difereça etre as variâcias) H : σ σ 0 (há difereça etre as variâcias) F U : F L : Numerador: = = 0 g.l. Deomiador: = 5 = 4 g.l. F U = F.05, 0, 4 =.33 Numerador: = 5 = 4 g.l. Deomiador: = = 0 g.l. F L = /F.05, 4, 0 = 0.4
53 Testado Variâcias Populacioais A estatística de teste é: F S S F =.56 ão está a região de rejeição, etão ão rejeitamos H 0 a/ =.05 0 Rejeita H 0 Não rejeita H 0 F L =0.4 Rejeita H 0 F U =.33 a/ =.05 Coclusão: Não há evidêcias suficietes de uma difereça etre as variâcias a um ível de sigificâcia a =.05 F
54 Resumo do Capítulo Neste capítulo, vimos: Comparações etre duas amostras idepedetes Teste Z para difereças etre duas médias Teste t com variâcias agrupadas para testes de difereças de médias Itervalos de cofiaça para difereças etre médias Comparações etre amostras relacioadas (amostras emparelhadas) Testes Z e t em amostras emparelhadas para testar difereças de médias Itervalos de cofiaça para difereças de médias de amostras emparelhadas Teste t para variâcias separadas
55 Resumo do Capítulo Neste capítulo, vimos: Comparações de duas proporções populacioais Itervalos de cofiaça para a difereça etre duas proporções populacioais Teste Z para duas proporções populacioais Teste F para a difereça etre duas variâcias populacioais Uso da tabela F para ecotrar os valores críticos de F Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel, 5e Chap 0-55
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