Testes de Hipóteses. Júlio Osório. Os dois campos da Análise Estatística. Métodos Estatísticos. Inferência Estatística. Estatística Descritiva

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1 Testes de Hipóteses Júlio Osório Os dois campos da Aálise Estatística Métodos Estatísticos Estatística Descritiva Iferêcia Estatística Estimativa Testes de Hipóteses 1

2 Exemplo Ilustrativo Mediram-se os cosumos de oxigéio (em ml) durate a icubação de uma amostra aleatória de 15 suspesões celulares. A partir dos dados obtidos, calculou-se média13.43 ml e variâcia1.644 ml. O ivestigador pretede-se averiguar se os dados forecem evidêcia suficiete para se cocluir, ao ível de 5%, que a média dos cosumos de O da população de suspesões celulares excede 1 ml. Questão: Há evidêcia a iformação colhida a amostra para se cocluir, com uma margem de erro de 5%, que os cosumos de oxigéio a população de suspesões celulares excede 1 ml? Exemplo Ilustrativo: As Hipóteses Etapas 1. Euciar estatísticamete a questão de iteresse. Euciar o oposto 3. Formular a hipótese alterativa 4. Formular a hipótese ula Exemplo 1. O cosumo excede 1 ml a ível da população? µ > 1 ml. Deve ser mutuamete exclusivo e exaustivo. µ 1 ml µ 1 ml 3. Tem o sial, <, ou >. H 1 : µ > 1 ml 4. Tem habitualmete sial. H 0 : µ 1 ml Teste de Hipóteses H 0 : µ 1 ml H 1 : µ > 1 ml

3 Hipótese Nula e Hipótese Alterativa Uma hipótese é uma suposição acerca de um parâmetro de uma ou várias populações (média, µ; variâcia, σ ; proporção, Π;...). A hipótese ula (H 0 ) é sempre expressa por uma proposição de ão difereça. Represeta sempre o status quo, isto é, a sua ão rejeição o teste de hipóteses implica que ehuma decisão de mudaça seja tomada o processo em ivestigação. Tem sempre o sial de igual :,, ou. A hipótese alterativa (H 1 ou H a ) é a hipótese de trabalho do ivestigador, isto é, aquilo de que ele suspeita e está a tetar provar. É habitualmete expressa por uma proposição de difereça, e quado o teste coclui pela sua aceitação, mudaças de acção ou de opiião sobre o processo serão tomadas. Tem sempre o sial de:, <, ou >. A hipótese ula uca pode ser aceite com base os resultados de um úico teste: ão existe ehuma maeira de determiar se H 0 é verdadeira. É mais correcto cocluir ão se pode rejeitar H 0 do que cocluir aceitar H 0. H 0 : µ µ 0 H 1 : µ < µ 0 ou µ>µ 0 Testes Uilaterais A hipótese alterativa especifica um setido para a difereça (maior ou meor que). A probabilidade α cocetra-se toda uma extremidade da distribuição (esquerda ou direita) Região de Rejeição α 1 - α Região de Não Rejeição Nível de Cofiaça Valor Crítico µ 0 Estatístico Critério do Teste Este teste é UNILATERAL ESQUERDO! 3

4 H 0 : µ µ 0 H 1 : µ µ 0 Testes Bilaterais A hipótese alterativa ão especifica um setido para a difereça (maior ou meor que). A probabilidade α é dividida ao meio, cosiderado-se α/ em cada uma das extremidades da distribuição Região de Rejeição 1/ α 1 - α Região de Não Rejeição Nível de Cofiaça Região de Rejeição 1/ α Valor Crítico µ 0 Valor Crítico Estatístico Critério do Teste Erros o Teste de Hipóteses Num teste de hipóteses podem ser cometidos dois tipos de erro: Erro de Tipo I (1ª espécie) ocorre quado a iformação cotida a amostra coduz à rejeição de uma hipótese ula que é, a realidade, verdadeira. Á probabilidade de se cometer o Erro I dá-se o ome de ível de sigificâcia do teste, aotado por α. Erro de Tipo II (ª espécie) ocorre quado a iformação cotida a amostra coduz à ão rejeição de uma hipótese ula que é, a realidade, falsa. A probabilidade de se cometer o Erro II é habitualmete aotada por β. Chama-se Poder do Teste à probabilidade de se ão cometer o Erro II esse teste, isto é, à capacidade que ele tem para rejeitar uma H 0 que é realmete falsa. Aota-se habitualmete por (1-β). É desejável que (1 - β) seja tão elevado quato possível ( 0,80). 4

5 Erros o Teste de Hipóteses A ível da População, H 0 é realmete: Decisão Tomada sobre H 0 : Rejeitar H 0 Não Rejeitar H 0 Verdadeira Erro Tipo I P (Erro I) α ível de sigificâcia Decisão Correcta P 1- α Falsa Decisão Correcta P 1- β Poder do Teste Erro Tipo II P (Erro II) β Notas sobre α e β O ível de sigificâcia α ão é fixado por qualquer regra ou dedução matemática: é adoptado pelo ivestigador. Deve-se estar cosciete de que, quato maior for α, maior é o risco de se rejeitar uma H 0 que é, de facto, verdadeira. Algus ivestigadores rejeitam H 0 se P 0,10, ao passo que outros exigem P 0,05, P 0,01 ou até mesmo P 0,001 para declarar H 0 como falsa. A adopção de α é muitas vezes fução da área específica de trabalho do ivestigador. O ível de sigificâcia de 5% (α 0,05) é o mais popular, talvez apeas porque Karl Pearso o adoptou quado publicou as primeiras Tabelas Estatísticas. Ao cotrário de α, β ão pode ser fixado pelo ivestigador: ão é, habitualmete, em especificado, em cohecido. É importate saber que, para um dado tamaho da amostra (), α e β guardam etre si uma relação iversa. Isto é, quato mais baixa for a probabilidade de cometer o Erro I, tato maior será a probabilidade de cometer o Erro II, e a úica maeira de reduzir simultaeamete ambos é aumetar. Para um dado valor (fixado) de α, tamahos maiores da amostra coduzirão a testes com maior poder (1 β). A solução para este dilema é ecotrar uma situação de equilíbrio etre as duas probabilidades de erro. 5

6 O valor p ( p-value ) O valor-p represeta a probabilidade de se obter para o estatístico critério do teste um valor mais extremo ( ou ) que o valor calculado com os dados da amostra, sob a codição de H 0 ser verdadeira. Represeta o meor valor de probabilidade para o qual H 0 pode ser rejeitada. O valor-p pode ser usado para tomar a decisão Se valor-p α, ão se rejeita H 0 Se valor-p < α, rejeita-se H 0 Exemplo Ilustrativo: A Distribuição de Probabilidades A variável aleatória (X) que represeta o cosumo de O por parte das suspesões celulares pode ser assumida como tedo distribuição ormal, N (X; µ 13,43 ml, σ 1,644 ml ). Se a amostra fosse de tamaho elevado ( 30), a população das médias teria, por força do teorema do limite cetral, distribuição ormal, e poderíamos etão usar a Tabela da Lei Normal Padrão. Para efeito de tomada de decisão sobre as duas hipóteses em causa (H 0 e H 1 ), calcularíamos etão: X µ z 0 amostra _ Como, porém a amostra é de pequeo tamaho (15), vamos ter de utilizar a distribuição t de Studet com graus de liberdade Para efeito de tomada de decisão sobre as duas hipóteses em causa (H 0 e H 1 ), calculamos etão: s s X µ t 0 amostra _ 6

7 Exemplo Ilustrativo: Cálculo do valor amostral do estatístico Substituido Média13,43 ml, µ 0 1 ml, s 1,644 ml e 15 pessoas, o valor do estatístico t calculado a partir da amostra vem dado por: _ X µ 0 t amostra s 13,43 1 1, ,43 0, ,319 Exemplo Ilustrativo: Nível de Sigificâcia e Região de Rejeição Se a margem de erro pretedida para a iferêcia é de 5%, etão o ível de sigificâcia do teste é α 0,05. O teste da hipótese ula é, este caso, uilateral, porque a hipótese ula especifica um setido para a difereça ( maior que ): H 1 : µ > 1 ml. Assim sedo, a probabilidade represetada pelo ível de sigificâcia (0,05) é cosiderada totalmete a extremidade direita da Distribuição t de Studet com 14 graus de liberdade, para efeitos de defiição da região de rejeição do teste. Para ecotrar o valor crítico do teste - que separa a zoa de rejeição da zoa de ão rejeição - procura-se o corpo da tabela da Distribuição t de Studet com 14 graus de liberdade o valor de t que correspode à probabilidade de 0,05 (lida a liha iferior da tabela). Nestes termos, o valor crítico do teste é t 0,05 (14) 1,761. 7

8 Exemplo Ilustrativo: Nível de Sigificâcia e Região de Rejeição Tabela do t de Studet 1. O valor de t(14) a que correspode a probabilidade α 0,05 é t1,761. A área sob a curva da distribuição t de Studet com gl14, situada para a direita de 1,761 é igual a 0,05. Exemplo Ilustrativo: Nível de Sigificâcia e Região de Rejeição α 0,05 t(14) Região de Não ,761 Região de Rejeição de H 0 Rejeição de H 0 t amostra < 1,761 t amostra 1,761 8

9 Exemplo Ilustrativo: Tomar a Decisão sobre H 0 (1º processo) α 0,05 1, t amostra 4,319 t(14) Como t amostra se localiza a região de rejeição, rejeitamos H 0. Exemplo Ilustrativo: Tomar a Decisão sobre H 0 (º processo) α 0,05 p < 0,05 4,319 1,761 z Como t amostra 4,319 se situa à esquerda do valor crítico t 0,05 1,761, a probabilidade associada a t amostra é iferior a 0,05.. Rejeitamos H 0 porque a probabilidade associada ao valor amostral de t é iferor ao ível de sigificâcia do teste (0,05). 9

10 Exemplo Ilustrativo: Tirar uma Coclusão do Âmbito da Pesquisa A coclusão que se tira do teste de hipóteses deve ser sempre formulada o cotexto do problema de pesquisa que está a ser estudado. No exemplo ilustrativo, coclui-se que há evidêcia os dados recolhidos para se acreditar (com uma margem de erro de 5%) que o cosumo médio de oxigéio da população de suspesões celulares excede 1 ml. Coformidade de uma média com um valor H 0 : µ 1 H 1 : µ > 1 α 0,05 15 Região de Rejeição: Rejeitar Reject H , Z 1,761 t(14) Valor amostral do estatístico: tamostra µ X µ 13, ,319 s 1, Decisão: Rejeitar H 0 a α 0,05 Coclusão: Há evidêcia para cocluir que o cosumo de O excede 1 ml. 10

11 Marcha Geral de um Teste de Hipóteses Formular as hipóteses ula (H 0 ) e alterativa (H 1 ) Escolher o teste e a distribuição de probabilidades adequados (ormal, t, F, χ ) Adoptar o ível de sigificâcia (α) Calcular o valor amostral do estatístico do teste Determiar a probabilidade associada ao valor amostral (p) Determiar o valor crítico do teste e estabelecer a região de rejeição de H 0 Comparar com o ível de sigificâcia, α Determiar se o valor amostral do estatístico se situa a região de rejeiçao de H 0 Marcha Geral de um Teste de Hipóteses Comparar com o ível de sigificâcia, α Determiar se o valor amostral do estatístico pertece à região de rejeição de H 0 Sim p < α? Não Sim Pertece? Não Rejeitar H 0 Não rejeitar H 0 Rejeitar H 0 Não rejeitar H 0 Tirar Coclusões o Âmbito da Área de Pesquisa 11

12 Testes de Hipóteses com Médias 1.Coformidade de uma média com um valor..comparação de duas médias (amostras idepedetes; variâcias iguais). 3.Comparação de duas médias (amostras idepedetes; variâcias diferetes). 4.Comparação de duas médias (amostras associadas). Coformidade de uma média com um valor Mediram-se os cosumos de oxigéio (em ml) durate a icubação de uma amostra aleatória de 15 suspesões celulares. A partir dos dados obtidos, calculou-se média13.43 ml e variâcia1.644 ml. O ivestigador pretede-se averiguar se os dados forecem evidêcia suficiete para se cocluir, ao ível de 5%, que a média dos cosumos de O da população de suspesões celulares excede 1 ml. Questão: Há evidêcia a iformação colhida a amostra para se cocluir, com uma margem de erro de 5%, que os cosumos de oxigéio a população de suspesões celulares excede 1 ml? 1

13 Coformidade de uma média com um valor H 0 : µ 1 H 1 : µ > 1 α 0,05 15 Região de Rejeição: Rejeitar Reject H , Z 1,761 t(14) Valor amostral do estatístico: tamostra µ X µ 13, ,319 s 1, Decisão: Rejeitar H 0 a α 0,05 Coclusão: Há evidêcia para cocluir que o cosumo de O excede 1 ml. Comparação de duas médias: amostras idepedetes, variâcias iguais Quatificou-se a citocromo-oxidase (mm 3 /10 mi./mg) em baratas do sexo masculio do géero Periplaeta de dois grupos experimetais, um grupo cotrolo (1), e um grupo a que se ijectou metoxicloro 4 horas ates da quatificação (10). Cotrolo Tratado O objectivo deste estudo era averiguar se a droga acetua a actividade da ezima. Questão: Há suficiete evidêcia estes resultados para se cocluir, ao ível de 5%, que o metoxicloro acetua a actividade da ezima citocromo-oxidase as baratas? 13

14 Comparação de duas médias: amostras idepedetes, variâcias iguais H 0 : µ 1 µ (µ 1 cotrolo; µ tratado) H 1 : µ 1 < µ α 0,05 gl Região de Rejeição: Rejeitar Reject H 0.05 t amostra Valor amostral do estatístico: s p _ X _ X ,75 0 t s maior /s meor 19,7 4,8 9, , ,873/1,60 1,5 sedo esta razão < 3, assume-se que as variâcias são homogéeas, e usa-se a variâcia poderada (s p ): s p ( Decisão: Rejeitar H 0 a α 0,05 Coclusão: Há evidêcia para se cocluir que o metoxicloro acetua a actividade da ezima. 1 s 1 1) ( 1). s (1 1).1,873 + (10 1).1,60 1, Comparação de duas médias: amostras idepedetes, variâcias diferetes O estrôcio 90 ( 90 S) é um elemeto radioactivo produzido as explosões ucleares, e que aparece associado ao cálcio o orgaismo humao. Em zoas de produção leiteira, 90 S pode cotamiar o leite por via das pastages igeridas pelas vacas, e vir mais tarde a cocetrar-se os ossos das pessoas que o bebem. Fez-se um estudo para comparar o teor médio de 90 S os ossos de criaças e de pessoas adultas, a presução de que deveria ser superior as primeiras do que as segudas, visto que o elemeto começa elas a acumular-se logo os primeiros aos de desevolvimeto do esqueleto. A partir das amostras, calculou-se: Média Variâcia Criaças 11,6 pc g-1 1,44 Adultos 61 0,4 pc g-1 0,011 Questão: É legítimo cocluir, com uma margem de erro de 5%, que o teor médio de 90 S é superior o esqueleto das criaças do que o dos adultos? 14

15 Comparação de duas médias: amostras idepedetes, variâcias diferetes H 0 : µ 1 µ (µ 1 criaças; µ adultos) H 1 : µ 1 > µ α 0,05 gl 13 Região de Rejeição: Reject Rejeitar H , t Valor amostral do estatístico: t'amostra Decisão: _ X s _ X s Rejeitar H 0 a α 0,05 Coclusão:,6 0,4 0 1,44 0, Há evidêcia para se cocluir que a acumulação de 90 S é mais elevada o esqueleto das criaças. s maior /s meor 1,44/0, sedo esta razão >> 3, assume-se que as variâcias ão são homogéeas, ão fazedo setido usar a variâcia poderada (s p ) trabalha-se com úmero de graus de liberdade ajustado (gl ): s gl s s s 1 ( 1,44 0, ) ( 1,44 ) ( 0,011 ) ' Comparação de duas médias: amostras associadas (emparelhadas) Nos testes atrás estudados, as amostras eram amostras idepedetes (os dados de uma das amostras ão estavam por qualquer forma associados aos dados da outra amostra). Há todavia certos estudos em que cada observação da 1ª amostra está de um certo modo correlacioada com uma observação da ª amostra, de tal forma que podemos dizer que os dados ocorrem aos pares (amostras emparelhadas) 15

16 Comparação de duas médias: amostras associadas (emparelhadas) 1. Sobre um mesmo idivíduo são recolhidos dois dados, um cocerete a cada tratameto a comparar: comparar dois métodos de aálise para uma mesma substâcia; estudar os efeitos de uma droga sobre uma fução fisiológica aimal, em que cada idivíduo é observado ates e depois da respectiva admiistração; estudar a evolução de uma característica biométrica etre duas idades um grupo de orgaismos, em que cada idivíduo é medido ao iiciar-se o estudo, e ao atigir a seguda idade cosiderada; comparar a potêcia de dois atigéeos, em que cada um deles é ijectado um dos braços de cada idivíduo, e se medem depois os diâmetros das zoas eritematosas que se formam etc. Comparação de duas médias: amostras associadas (emparelhadas). Sobre dois idivíduos distitos mas cosiderados como idêticos o essecial, são obtidos os dados ecessários à comparação dos dois tratametos: comparar os efeitos de duas rações sobre a egorda de aimais, em que se dispõe de pares de aimais da mesma ihada e iguais sexo e peso, e se admiistra a cada membro de um par um dos tipos de ração; esaios em dois cultivares de uma espécie são istalados em parcelas de terreo vizihas (co solo idêtico e sob idêticas codições gerais), a fim de cotrolar os efeitos do ambiete sobre o seu redimeto. 16

17 Comparação de duas médias: amostras associadas (emparelhadas) Uma comparação emparelhada asseta em duas amostras que ão são idepedetes uma da outra, visto que há uma correspodêcia estreita (uma associação) termo a termo, etre as observações de cada uma delas. Por esse motivo, a aálise estatística dos resultados deve ser feita sobre a amostra das difereças de observações do mesmo par, e ão mediate a cosideração de duas amostras idepedetes, como se tem feito até aqui. Comparação de duas médias: amostras associadas (emparelhadas) Fez-se um estudo para testar a eficácia de uma certa droga sobre a pressão itra-ocular, o decurso do qual esta variável foi medida (mm de Hg) em 1 idivíduos idosos, ates e depois da admiistração do medicameto: Idivíduo Ates Depois Difereça Pretede-se testar a hipótese segudo a qual a admiistração da droga é resposável por um decréscimo da pressão itraocular superior a 5 mm de Hg, ao ível de sigificâcia de 5%. Questão: Pode-se cocluir, com uma seguraça de 95%, que a droga reduz em mais de 5 mm de Hg a pressão itra-ocular? 17

18 Comparação de duas médias: amostras associadas (emparelhadas) H 0 : µ D 5 (µ D média das difereças) H 1 : µ D > 5 α 0,05 gl Região de Rejeição: Reject Rejeitar H , t Valor amostral do estatístico: t amostra µ µ D s D D Decisão: Rejeitar H 0 a α 0,05 Coclusão: 6,9 5 1, ,370 Há evidêcia para se cocluir que a droga é resposável, em média, por reduções da pressão itraocular superiores a 5 mm de Hg. Premissas da aplicabilidade dos testes relativos a médias As populações amostradas devem ter distribuição ormal. As amostras seleccioadas devem ser aleatórias. Os métodos permaecem válidos se a distribuição das populações se ão afastar muito da ormal, isto é, se elas forem pelo meos simétricas, uimodais e de variâcia ão exageradamete elevada. Nestes casos, os evetuais afastametos da ormalidade podem ser compesados mediate a utilização de amostras de maior tamaho. 18