MAE0229 Introdução à Probabilidade e à Estatística II

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1 Exercício : Sabe-se que o tempo de viagem de um local A a zoa orte de São Paulo até a USP segue uma distribuição ormal com desvio padrão 9 miutos. Em 200 dias aotou-se o tempo gasto para vir desse poto A até à USP. A média amostral dos tempos foi de 45 miutos. (a) Estime o tempo médio de viagem do poto A até a USP através de um itervalo com coeficiete de cofiaça igual a 97%. (b) Se formos estimar este tempo médio pelo itervalo 45 0, 6; , 6] miutos, qual será o valor do coeficiete de cofiaça desta estimativa? Seja X : Tempo de origem de um local A a zoa orte de São Paulo até a USP. X N( ; 9 2 ), do exercício = 200, x = 45 miutos. (a) como o desvio padrão é cohecido, o itervalo de cofiaça para a média é dado por IC(µ, γ%) = x z σ ; x + z σ ], com z é tal que, P ( z Z z) = γ. Assim, como γ = 0, 97 etão z é tal que P ( z Z z) = 0, 97, logo, z é tal que P (Z z) = 0, 985, portato z = 2, 7. Logo, (b) Queremos saber o valor de γ, logo ] 9 9 IC(µ, 97%) = 45 2, 7 ; , = 45, 38 ; 45 +, 38] = 43, 69 ; 46, 38] etão, IC(µ, γ%) = 45 0, 6 ; , 6], 0, 6 = z σ 9 = z z = 0, = 0, Lembrado que γ = P ( z Z z), tem se que

2 γ = P ( 0, 943 Z 0, 943) = P (Z 0, 943) + P (Z 0, 943) = 2P (Z 0, 943) = 2(0, 8264) = 0, O valor do coeficiete de cofiaça é de 65, 28%. Uma outra forma de resolver é logo γ = 0, z = 0, 943 é tal que P (Z 0, 943) = 0, 8264 = + γ, 2 2

3 Exercício 2: Em um estudo de subsídios de empréstimos para estudates, o Departameto de Educação relatou que aqueles que tomam empréstimos da Staford Loa com quatro aos de prazo, terão uma dívida média de US$2.68 (USA Today, 5 de abril de 995). Cosidere que essa quatia média de edividameto está baseada uma amostra de 480 empréstimos de estudates, e que a graduação o desvio padrão da população para a quatia emprestada seja de U S$ (a) Costrua itervalos de cofiaça a 90%, 95% e 99% para a quatia média devida pelos estudates. (b) Compare a amplitude dos itervalos e comete os resultados. Seja X : dividida gerada pelo empréstimo da Staford Loa com quatro aos de prazo. Note que ão sabemos qual a distribuição de X, mas como é grade e σ é cohecido, etão X N(µ, σ 2 /). Do exercício tem se que x = 268, σ = 2200 e = 480. (a) Como o desvio padrão é cohecido IC(µ; γ%) = X z σ ; X + z σ ], com γ = 0, 9 tem se que P ( z Z z) = 0, 9, logo, P (Z z) = 0, 95, etão z =, 645. Assim, IC(µ, 90%) = 268, ; 268 +, ] = , 84 ; , 84] = 2002, 82 ; 2333, 8] Cosiderado γ = 0, 95, tem se que P ( z Z z) = 0, 95, logo, P (Z z) = 0, 975, etão z =, 96. Assim, IC(µ, 95%) = 268, ; 268 +, ] = , 85 ; , 85] = 97, 9 ; 2364, 8] Cosiderado γ = 0, 99, tem se que P ( z Z z) = 0, 99, logo, P (Z z) = 0, 995, etão z = 2, 575. Assim, 3

4 IC(µ, 99%) = 268 2, ; , ] = , 5707 ; , 5707] = 909, 43 ; 2426, 57] (b) A amplitude dos itervalos pode ser calculada como LS LI ou 2zσ/.. γ = 90%, LS LI = 2333, , 82 = 330, 36, 2. γ = 95%, LS LI = 2364, 8 97, 9 = 393, 62, 3. γ = 99%, LS LI = 2426, , 43 = 57, 4. A medida que o coeficiete de cofiaça aumeta também aumeta a amplitude do itervalo de cofiaça. 4

5 Exercício 3: O ível de poluição do ar de determiada cidade (medido em cocetração de moóxido de carboo o ar) distribui-se ormalmete. Recolheram-se os seguites valores da referida cocetração em 0 dias diferetes (em ppm): 0.09, 0.33, 0.0, 0.25, 0.20, 0.05, 0.03, 0.8, 0.3, Com base esta amostra determie um itervalo de cofiaça a 99% para a cocetração média de moóxido de carboo a atmosfera. Seja X : ível de poluição do ar de determiada cidade (medida em cocetração de moóxido de carboo o ar), X N(µ, σ 2 ). Dos dados da amostra se calcula x = 0 i= x i = 0, , 24 0 =, 5 0 = 0, 5, s 2 = 0 i= (x i x) 2 = (0, 09 0, 5)2 + + (0, 24 0, 5) 2 9 = 0, = 0, 0, s = s 2 = 0, 0 = 0, 06. Como o desvio padrão ão é cohecido e foi estimado dos dados e é pequeo IC(µ, γ%) = X t s ; X + t s ], em que γ = P ( t T t) com T tedo distribuição t Studet com graus de liberdade, como γ = 0, 99, etão t é tal que P (T t) = 0, 995, ver tabela da t studet do livro do Moretti: p = 0, 0 e portato, para 9 graus de liberdade obtemos t = 3, 250. Logo, IC(µ, 99%) = ] 0, 06 0, 06 0, 5 3, 250 ; 0, 5 + 3, = 0, 5 0, 09 ; 0, 5 + 0, 09] = 0, 042 ; 0, 260] 5

6 Exercício 4: Supoha que a voltagem que um cabo elétrico com um certo isolameto pode suportar varia de acordo com uma distribuição Normal. Para uma amostra de 2 cabos as falhas ocorreram os seguites íveis de voltagem: (a) Costrua um itervalo de cofiaça a 95% para o valor esperado da voltagem que um cabo elétrico pode suportar. (b) Costrua um itervalo de cofiaça a 95% para a variâcia da voltagem que um cabo elétrico pode suportar. Seja X : Voltagem que um cabo elétrico com um certo isolameto pode suportar, X N(µ, σ 2 ). Do exercício tem-se que = 2, e calcula se x = 2 i= x i = = = 55, 833 s 2 = 2 i= (x i x) 2 = (52 55, 833)2 + + (62 55, 833) 2 = 29, 667 = 0, 8788 s = s 2 = 0, 5299 (a) como o desvio padrão ão é cohecido e é estimado da amostra e é pequeo IC(µ, γ%) = x t s ; x + t s ], em que γ = P ( t T t) com T tedo distribuição t Studet com graus de liberdade, como γ = 0, 95, etão t é tal que P (T t) = 0, 975, ver tabela da t studet do livro do Moretti: p = 0, 05 e portato, para graus de liberdade obtemos t = 2, 20. Logo, IC(µ, 95%) = ] 0, , , 833 2, 20 ; 55, , = 55, 833 6, 690 ; 55, , 690] = 49, 43 ; 62, 523] 6

7 (b) ] ( )s IC(σ 2 2 ( )s 2, 95%) = ; χ 2 2 χ 2 ] (0, 8788) (0, 8788) = ; 2, 920 3, 86 = 55, 642 ; 39, 640] Os valores de χ 2 2 e χ 2 podem ser ecotrados o livro do Moretti. 7

8 Exercício 5: Um profissioal de boliche jogou 8 partidas um toreio, tedo obtido as seguites potuações: Admitido a ormalidade das potuações, costrua um itervalo de cofiaça a 95% para a variâcia e para o desvio padrão (este último forece uma medida da cosistêcia da prestação do jogador). Seja X : Potuação obtida um jogo de boliche, X N(µ, σ 2 ). Do exercício se calcula primeiro x = 7, , 5 8 = 70, 9 8 = 23, 8625, s 2 = (7, 0 23, 8625)2 + + (248, 5 23, 8625) 2 7 = 5858, 96 7 = 2265, 566, assim ] ( )s IC(σ 2 2 ( )s 2, 95%) = ; χ 2 2 χ 2 ] 7(2265, 566) 7(2265, 566) = ; 6, 03, 690 = 990, 3953 ; 9384, 7290] e IC(σ, 95%) = ( )s 2 χ 2 2 ; ] ( )s 2 χ 2 ] = 990, 3953 ; 9384, 7290 = 3, 47 ; 96, 875] Os valores de χ 2 2 e χ 2 podem ser ecotrados o livro do Moretti. 8

9 Exercício 6: Um determiado baco deseja ter iformação sobre o tempo de utilização de seus caixas eletrôicos pelos clietes, em determiada região, os fis de semaa. Mais especificamete, deseja estimar a proporção p de usuários dessa região, que demoram 2 miutos ou mais para realizarem suas operações. Uma amostra aleatória de clietes que utilizam caixas eletrôicos em fis de semaa essa região será coletada, e o tempo de utilização de cada um será registrado. (a) Qual deve ser o tamaho da amostra, para que o erro de sua estimativa seja o máximo 0,08 com um grau de cofiaça de 0,85? (b) A direção do baco sabe que, as codições descritas, essa proporção p ão ultrapassa 5%. Com essa iformação seria possível cosiderar em (a) uma amostra de tamaho meor? Se sim, de quato? Se ão, por quê? (c) Uma amostra de 80 clietes foreceu as seguites medidas desse tempo (em miutos):,2,2,,3,5 0,9 2,0,3,4,6,6,3 2,2,6,0 0,8,5 2,3,7,6 2,4,2,2,0 0,9 2,2,7,5,3,2,9 0,9,3,3,8,3 2,7,4 0,9,2,3 2,4 2,,0,0,,6,3,,9, 2,2 2,,7,5 0,9 2,0,,4,6,4,7 2,3,6,0 0,8,5,3 2,7,2 0,9,2,3,4 2,8,0,0,,6,3. (d) Dê uma estimativa potual para p e, com base ela, costrua itervalos de 90% de cofiaça, otimista e coservador, para p. Qual é o erro amostral de sua estimativa? Seja p : proporção de usuários de uma determiada regiaõ que demoram 2 miutos ou mais para relaizarem suas operações. (a) Lembre que ( z ) 2 = p( p), ɛ do exercício tem se que, ɛ 0, 08, γ = 0, 85, logo, 0, 85 = P ( z Z z) P (Z z) = 0, 925 z =, 44. Como ão se tem iformação sobre a variâcia se cosidera a maior possível, isto é quado p = /2, logo, p( p) = /4. Assim = ( ) 2, 44 0, 08 4 = 8, se deve tomar uma amostra de tamaho 8 para que o erro de sua estimativa seja o máximo 0,08 com um grau de cofiaça de 0,85. 9

10 (b) Sabe se que p 0, 5, portato ( z ) 2 = σ 2 = ɛ ( ) 2, 44 0, 5( 0, 5) = 0, 08 ( ) 2, 44 0, 275 = 4, 3 42, 0, 08 é possível cosiderar uma amostra de tamaho meor, este caso de tamaho 42, pois com a iformação adicioal sobre p também se tem iformação sobre a variâcia, sedo ela meor do que a cosiderada o item (a). (c) Primeiro se devem coverter os dados para saber se a pessoa demora 2 miutos ou mais realizado as operações. Assim p = 4 = 0, 75, 80 cosiderado um graude cofiaça γ o itervalo de cofiaça otimista é IC(p, γ%) = p z p( p) ] p( p) ; p + z, como γ = 0, 9 = P ( z Z z), etão z é tal que P (Z z) = 0, 95, logo, z =, 645. IC(p, 90%) = 0, 75, 645 0, 75( 0, 75) 80 = 0, 75 0, 070 ; 0, , 070] = 0, 05 ; 0, 245] ; 0, 75 +, 645 ] 0, 75( 0, 75) 80 Cosiderado p = /2 o itervalo de cofiaça coservador logo IC(p, γ%) = p z ] 4 ; p + z, 4 0

11 ] IC(p, 90%) = 0, 75, 645 ; 0, 75 +, = 0, 75 0, 092 ; 0, , 092] = 0, 083 ; 0, 267] O erro amostral ɛ é p( p) ɛ = z o caso do itervalo de cofiaça otimista é 0, 75( 0, 75) ɛ =, o caso do itervalo de cofiaça coservador é = 0, 070 ɛ =, = 0, 092.

12 Exercício 7: Realizou-se uma pesquisa de opiião via telefoe para estimar a proporção da população de um país favorável a uma reforma fiscal. (a) Determie o tamaho da amostra que garata, com um grau de cofiaça de 95%, que o erro máximo cometido seja iferior a 0,0. (b) Supodo que, em uma amostra de 50 pessoas, 8 pessoas se maifestaram desfavoráveis à reforma fiscal, determie um itervalo de cofiaça a 95% para a proporção da população favorável à reforma fiscal. (c) Matedo as codições da alíea aterior, diga quatas pessoas teriam de ser ouvidas para reduzir para metade a amplitude do itervalo obtido ateriormete. Seja p : proporção da população de um país favorável a uma reforma fiscal. (a) Tem se que ɛ 0, 0 e γ = 0, 95 = P ( z Z z), etão z é tal que P (Z z) = 0, 975, z =, 96. Como ão se tem iformação sobre a variâcia se cosidera a maior possível, isto é quado p = /2. ( z ) ( ) 2 2, 96 = p( p) = ɛ 0, 0 4 = 9604 (b) cosiderado = 50 e sedo que 8 pessoas se maifestaram desfavoráveis, tem se que p = 42 = 0, 84, 50 como γ = 0, 95, z =, 96 pelo item (a). O itervalo de cofiaça otimista é ] p( p) p( p) IC(p, 95%) = p z ; p + z ] 0, 84( 0, 84) 0, 84( 0, 84) = 0, 84, 96 ; 0, 84 +, = 0, 84 0, 02 ; 0, , 02] = 0, 738 ; 0, 942] O itervalo de cofiaça coservador é 2

13 ] IC(p, 95%) = p z 4 ; p + z 4 ] = 0, 84, 96 ; 0, 84 +, = 0, 84 0, 39 ; 0, , 39] = 0, 70 ; 0, 979] (c) A amplitude do itervalo o item (b) o caso do itervalo de cofiaça otimista é p( p) 2z como se quer reduzir para metade, se quer = 0, 204, logo 2z p( p) = 0, 02, 2, 96 0, 84( 0, 84) = 0, 02 = 4(, 96)2 (0, 84( 0, 84)) (0, 02) 2 = 98, se devem ouvir 99 pessoas para reduzir para metade a amplitude do itervalo de cofiaça otimista obtido ateriormete. A amplitude do itervalo o item (b) o caso do itervalo de cofiaça coservador é p( p) 2z como se quer reduzir para metade, se quer = 0, 278, logo 2z p( p) = 0, 39, 2, (, 96)2 = 0, 39 = = 98, (0, 39) 2 se devem ouvir 99 pessoas para reduzir para metade a amplitude do itervalo de cofiaça coservador obtido ateriormete. Neste caso coicide com o obtido para o itervalo de cofiaça otimista. 3