Unidade IX Estimação

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1 Uidade IX Estimação 6/09/07

2 Itervalos de cofiaça ii. Para a difereça etre médias de duas populações (μ μ ) caso : Variâcias cohecidas Pressupostos: 6/09/07 x - x x - x ; N é - x x ) ( x x x x E ) ( x x V x x

3 Itervalos de cofiaça ii. Para a difereça etre médias de duas populações (μ μ ) IC( ; ) : x x z cr 6/09/07 3

4 Itervalos de cofiaça Exemplo: Testes de resistêcia para tesão foram feitos em duas estruturas cotedo dois teores de alumíio. Essas estruturas foram usadas a costrução das asas de um avião comercial. Experiêcias passadas e testes foreceram as iformações apresetadas a seguir. Estime um itervalo, com 90% de cofiaça, para a difereça a tesão média. 6/09/07 4

5 Itervalos de cofiaça μ μ ;0,90:3 0, 8793 IC 6/09/07 5

6 Itervalos de cofiaça iii. Para a difereça etre médias de duas populações (μ μ) caso : variâcias descohecidas e diferetes s IC( ; ) : x x tcr. s 6/09/07 6

7 Itervalos de cofiaça iii. Para a difereça etre médias de duas populações (μ μ) caso : variâcias descohecidas e diferetes gl gl 6/09/07 s s s s 7

8 Itervalos de cofiaça Exemplo: Um experimeto aalisou o peso do cálcio em cimeto padrão e em cimeto cotedo chumbo. Níveis reduzidos de cálcio idicam que o mecaismo de hidratação o cimeto foi bloqueado, permitido que a água ataque a estrutura de cimeto. 6/09/07 8

9 Itervalos de cofiaça Dez amostras de cimeto padrão tiveram um teor médio percetual em peso de cálcio de 90% com desvio padrão de 5%, equato que quize amostras de cimeto com chumbo tiveram um teor médio percetual em peso de cálcio de 87% com desvio padrão de 4%. Costrua um itervalo com 95% de cofiaça para a difereça média de percetual em peso de cálcio etre os dois tipos de cimeto. Supoha populações com variâcias diferetes. IC :3 3,9074% ;0,95 6/09/07 9

10 Itervalos de cofiaça iv. Para a difereça etre médias de duas populações (μ μ) caso 3: variâcias descohecidas e iguais IC( ; ) : x x tcr. s 6/09/07 0

11 Itervalos de cofiaça iv. Para a difereça etre médias de duas populações (μ μ) caso 3: variâcias descohecidas e iguais s. s. s gl 6/09/07

12 Itervalos de cofiaça Exemplo - Um experimeto aalisou o peso do cálcio em cimeto padrão e em cimeto cotedo chumbo. Níveis reduzidos de cálcio idicam que o mecaismo de hidratação o cimeto foi bloqueado, permitido que a água ataque a estrutura de cimeto. 6/09/07

13 Itervalos de cofiaça Dez amostras de cimeto padrão tiveram um teor médio percetual em peso de cálcio de 90,0 com desvio padrão de 5,0, equato que quize amostras de cimeto com chumbo tiveram um teor médio percetual em peso de cálcio de 87,0 com desvio padrão de 4,0. Costrua um itervalo com 95% de cofiaça para a difereça média de percetual em peso de cálcio etre os dois tipos de cimeto. Supoha populações com variâcias iguais. IC :3 3,730% ;0,95 6/09/07 3

14 Itervalos de cofiaça v. Para a proporção Pressupostos p' é N p; p' p' p p 6/09/07 4

15 Itervalos de cofiaça v. Para a proporção IC( p; ) : p' z cr p' p' 6/09/07 5

16 Itervalos de cofiaça Exemplo: Em uma amostra aleatória de 85 macais de eixo de maivela de motores de automóveis, 0 tem um acabameto mais rugoso que a especificação permitida. Estime, com 99% de cofiaça, a proporção de macais que excede a especificação de rugosidade. 6/09/07 6

17 Itervalos de cofiaça Exemplo: Em uma amostra aleatória de 85 macais de eixo de maivela de motores de automóveis, 0 tem um acabameto mais rugoso que a especificação permitida. Estime, com 99% de cofiaça, a proporção de macais que excede a especificação de rugosidade. IC p; 0,99: 0,76 0, /09/07 7

18 Itervalos de cofiaça vi. Para a difereça etre proporções IC( p p ; ) : p' p' z cr p'. p' p'. p' 6/09/07 8

19 Itervalos de cofiaça Exemplo: Cosidere o processo descrito o exemplo aterior. Uma modificação foi feita o processo de acabameto de superfície. Uma seguda amostra aleatória de 85 macais de eixos foi selecioada, sedo ecotrados 8 defeituosos. Obter um itervalo com 95% de cofiaça para a difereça etre a proporção de macais defeituosos produzidos pelos dois processos 6/09/07 9

20 Itervalos de cofiaça Exemplo: Cosidere o processo descrito o exemplo aterior. Uma modificação foi feita o processo de acabameto de superfície. Uma seguda amostra aleatória de 85 macais de eixos foi selecioada, sedo ecotrados 8 defeituosos. Obter um itervalo com 95% de cofiaça para a difereça etre a proporção de macais defeituosos produzidos pelos dois processos 6/09/07 0, IC p p;0,95 : 0,0359 0

21 Tamaho da Amostra Amostragem aleatória simples Parâmetro a ser estimado Cohecer pelo meos uma estimativa da variabilidade Precisão desejada - erro amostral máximo tolerado (e 0 ) - ível de cofiaça a ser adotado o processo de estimação. 6/09/07

22 Tamaho da Amostra i. Média x erro IC(, ) x e 0 6/09/07 x amostral z cr z cr. e 0 z cr 0 e z 0 cr e0

23 Tamaho da Amostra Desvio Padrão da População descohecido t s cr 0 e0 6/09/07 3

24 Tamaho da Amostra População ifiita 0 População fiita de tamaho N = N. N /09/07 4

25 Tamaho da Amostra Exemplo: Um pesquisador precisa determiar o tempo médio gasto para perfurar três orifícios em uma peça de metal. Qual deve ser o tamaho da amostra para que a média amostral esteja a meos de 5s da média populacioal? Por experiêcia prévia, pode-se supor o desvio-padrão em toro de 40s. Cosidere também que a estimação será realizada com ível de cofiaça de 95%. 6/09/07 5

26 Tamaho da Amostra Exemplo: Um pesquisador precisa determiar o tempo médio gasto para perfurar três orifícios em uma peça de metal. Qual deve ser o tamaho da amostra para que a média amostral esteja a meos de 5s da média populacioal? Por experiêcia prévia, pode-se supor o desvio-padrão em toro de 40s. Cosidere também que a estimação será realizada com ível de cofiaça de 95%. R.:8 6/09/07 6

27 Tamaho da Amostra Exemplo: Deseja-se avaliar a dureza média esperada do aço produzido sob um ovo processo. Uma amostra de 0 corpos de prova de aço, produziu os seguites resultados de dureza, em HRc: 36,4 35,7 37, 36,5 34,9 35, 36,3 35,8 36,6 36,9 6/09/07 7

28 Tamaho da Amostra a) Costruir um itervalo com 95% de cofiaça para a dureza média esperada. b)cosidere que o pesquisador achou o resultado pouco preciso. Ele tolera um erro amostral máximo de 0,3HRc e deseja fazer estimações com ível de cofiaça de 99%. Qual deve ser o tamaho da amostra? 6/09/07 8

29 Tamaho da Amostra a) Costruir um itervalo com 95% de cofiaça para a dureza média esperada. b)cosidere que o pesquisador achou o resultado pouco preciso. Ele tolera um erro amostral máximo de 0,3HRc e deseja fazer estimações com ível de cofiaça de 99%. Qual deve ser o tamaho da amostra? (64) 6/09/07 ; 0,95: 36,5 0, HRc IC 559 9

30 Tamaho da Amostra ii. Proporção 0 z cr. p.( e 0 p) População ifiita 0 População fiita de tamaho N = N. N /09/07 30

31 Tamaho da Amostra Exemplo: Devido a sua fragilidade, 3% das lâmpadas led usadas em microcomputadores já vem queimadas de fábrica. a) Em uma avaliação da qualidade, qual deve ser o tamaho da amostra para que a proporção amostral ecotrada esteja a meos de,5% da proporção populacioal? Cosidere um ível de cofiaça de 99%. 6/09/07 3

32 Distribuição amostral da variâcia 6/09/07 3 N X N j j X N X X X,...,,, 3 N N X X N j j N j j x x x x,...,,, 3 x x s j j x x s j j j j Variâcia populacioal Variâcia amostral

33 Distribuição amostral da variâcia Distribuição qui-quadrado (χ²) 6/09/07 36

34 Distribuição amostral da variâcia Distribuição qui-quadrado (χ²) f ; gl gl. 0, gl. y gl. e gl, 0 0 gl gl E V 6/09/07 37

35 Represetação gráfica da distribuição qui-quadrado 6/09/07 P 38

36 6/09/07 39

37 Distribuição amostral da variâcia X é N ; x e s² média e variâcia amostrais A variável aleatória. s 6/09/07 tem distribuição quiquadrado com - graus de liberdade. 40

38 Distribuição amostral da variâcia IC para a variâcia Populacioal. s P. s. s IC(. s., ) : ; cr cr s 4 6/09/07

39 Distribuição amostral da variâcia IC para a variâcia Populacioal. s elevar ao P quadrado.. s A potêcia é só represetação da São utilizados diretamete os valores retirados da tabela, ão é ecessário letra grega qui ao quadrado, que dá ome à distribuição.. s IC(. s., ) : ; cr cr s 4 6/09/07

40 Distribuição amostral da variâcia Exemplo - Os dados abaixo se referem às vedas diárias de carros, em u.m., de uma revededora durate uma semaa. Costruir um itervalo com 90% de cofiaça para a variâcia populacioal. Vedas: 53, 87, 96, 450, 30, 05 6/09/07 43

41 Distribuição amostral da variâcia Exemplo - Os dados abaixo se referem às vedas diárias de carros, em u.m., de uma revededora durate uma semaa. Costruir um itervalo com 90% de cofiaça para a variâcia populacioal. Vedas: 53, 87, 96, 450, 30, 05 IC ;0,90 : 8336,;8060,335 6/09/07 44

42 - Slides a partir do dia 09/08; Prova 7/09/07 - Listas de Exercícios (etregar resolvidas o dia prova com valor de 0,5 poto extra): i. estudo dirigido 7_eg ii. estudo dirigido 8_eg iii. estudo dirigido 9_eg - As tabelas ecessárias para a resolução das listas estão dispoíveis o site; - O aluo deve fazer seu próprio formulário maualmete, sem texto, em um lado de uma A4. 6/09/07 45