Estimativa de Parâmetros

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1 Estimativa de Parâmetros ENG / Prof. Alexadre Pedott

2 Trabalho em Grupo Primeira Etrega: 7/0/04. Plao de Amostragem - Cotexto - Tipo de dado, frequêcia de coleta, quatidade de observações. Caracterização dos Dados - Medidas de Tedêcia Cetral e Dispersão - Tipo de Distribuição, Distribuição de Frequêcias - Itervalos de Cofiaça Etrega Fial: 0//04 3. Aálise - Teste de hipóteses - ANOVA - Aálise de Regressão 4. Coclusão

3 99,73% 95,44% 68,6%

4 Itrodução Uma variável aleatória é caracterizada ou descrita pela sua distribuição de probabilidade. A distribuição de probabilidade, por sua vez, é descrita pelos seus parâmetros populacioais. Por exemplo, a média e o desvio-padrão são os parâmetros populacioais da distribuição Normal, equato é o parâmetro da distribuição de Poisso.

5 Itrodução Em aplicações idustriais, as distribuições são usadas para modelar tempos de processo ou características de qualidade tais como dimesioais críticos ou percetuais de ão coformes. Assim, existe iteresse em cohecer os parâmetros populacioais da distribuição de probabilidade. Como geralmete os parâmetros populacioais da distribuição de probabilidade ão são cohecidos, é preciso desevolver procedimetos para estimar esses parâmetros.

6 Itrodução As estimativas dos parâmetros populacioais da distribuição são realizadas a partir dos resultados (dados) de uma variável aleatória de uma amostra represetativa extraída dessa população. Esse procedimeto é chamado de estatística iferecial, pois estima-se um parâmetro populacioal descohecido da distribuição de probabilidade através de uma amostra represetativa extraída dessa população.

7 Itrodução A estatística iferecial compreede a estimação de parâmetros populacioais e testes de hipótese a respeito da população. Na verdade, a estatística iferecial forma a base das atividades de cotrole da qualidade e também pode auxiliar a tomada de decisão e em muitas outras situações.

8 6.. Estimativa por Poto A estimação de parâmetros populacioais pode ser por poto (potual) ou por itervalo de cofiaça. A estimativa potual é um valor obtido a partir dos resultados (dados) de uma variável aleatória de uma amostra represetativa extraída da população. Seja a variável aleatória, com distribuição de probabilidade f(), e seja que o valor dos parâmetros populacioais da média e da variâcia são descohecidos.

9 6.. Estimativa por Poto Se uma amostra represetativa da variável aleatória é extraída da população, a média e a variâcia S dessa amostra podem ser usadas como estimadores potuais dos parâmetros populacioais e. Por exemplo, pode haver iteresse em estimar a média e a variâcia da produtividade. Se uma amostra de 5 uidades idica 5,06 peças/ mi e S 0,00peças/ mi etão esses valores são tomados como estimativas potuais dos parâmetros populacioais e.

10 6.. Estimativa por Poto Há várias propriedades que fazem um estimador ser um bom estimador. Detre elas citamos:. Um estimador deve ser ão tedecioso, isto é, ele ão deve subestimar ou superestimar sistematicamete o valor do parâmetro que está sedo estimado.. Ele deve apresetar variâcia míima, isto é, sua variabilidade deve ser meor que a variabilidade de qualquer outro estimador que possa ser cocebido.

11 6.. Estimativa por Itervalo de Cofiaça A estimação de parâmetros populacioais por itervalo de cofiaça cosiste em gerar um itervalo, cetrado a estimativa potual, o qual se admite que esteja o parâmetro populacioal. A estimativa potual é calculada a partir de uma amostra extraída da população. No etato, pode-se extrair várias amostras de uma população. Por exemplo, para estimar a média populacioal pode-se retirar várias amostras diferetes que podem gerar várias estimativas potuais diferetes.

12 População x x x k Se a amostra for represetativa da população, ela tede a gerar valor próximo do parâmetro populacioal, mas ão igual. Como a estimativa é baseada em uma úica amostra, o quão próximo o valor ecotrado essa amostra está do verdadeiro parâmetro populacioal?? Não há como saber se a amostra coletada foi extraída da cauda superior ou iferior da distribuição.

13 Logo, para se ter cofiaça de estimar o verdadeiro parâmetro populacioal, gera-se um itervalo de possíveis valores para o parâmetro populacioal, a partir do valor ecotrado a amostra. Quato maior a amplitude do itervalo, maior a cofiaça (probabilidade) de estimar corretamete o verdadeiro parâmetro populacioal. Itervalo de cofiaça x - z x x x + z x / /

14 Coforme a amplitude do itervalo, existe uma probabilidade (-) de que o parâmetro populacioal esteja cotido o itervalo. Essa probabilidade (-) é chamada ível de cofiaça, sedo a probabilidade do erro, ou seja, a probabilidade do itervalo ão coter o verdadeiro parâmetro populacioal. Um itervalo de cofiaça de 00(-)% é estabelecido a partir de dois limites, tais que a probabilidade do verdadeiro valor do parâmetro estar icluído detro do itervalo é 00(-)%.

15 Por exemplo, para costruir um itervalo de cofiaça de 95% para a média, ós precisamos achar os limites L e U tais que: P L U 95% A iterpretação do itervalo de cofiaça é a seguite: se um grade úmero desses itervalos fosse costruído, a partir de diversas amostras aleatórias, etão 95% desses itervalos iria icluir o verdadeiro valor da média populacioal, ou seja, 5% dos itervalos de cofiaça estimados baseados as médias amostrais ão coteria o verdadeiro parâmetro populacioal.

16 O itervalo de cofiaça apresetado acima é um itervalo bilateral. Também pode haver iteresse em costruir itervalos uilaterais. O limite iferior para um itervalo uilateral de 00(-)% é defiido calculado-se o valor de L tal que: P{L } O limite superior para um itervalo uilateral de 00(-)% é defiido calculado-se o valor tal que: P{ U}

17 6.4 IC para a média variâcia cohecida Seja uma variável aleatória qualquer que siga a distribuição Normal N(, ) e seja x,..., x uma amostra aleatória desse processo. A partir do teorema do limite cetral, sabe-se que a distribuição da média segue a distribuição Normal. Mais aida, para suficietemete grade este resultado é válido mesmo que a distribuição de origem ão seja Normal Seja que uma variável aleatória teha média descohecida e variâcia cohecida. E seja que amostras dessa população apresetem média igual a. N(, / )

18 Distribuição amostral de x Amostra x -,96 x x x +,96 x Amostra x Amostra 3 x 3

19 Para obter-se um itervalo de cofiaça de 95% (- = 0,95, = 0,05), ou seja, 95% dos itervalos, costruídos a partir das amostras coletadas, coteham o verdadeiro parâmetro populacioal, é preciso gerar um itervalo cuja amplitude coteha 95% das possíveis amostras coletadas. Ou seja, um itervalo proporcioal a Z /, ode Z / este caso é =,96. Z 0,05 -,96 +,96

20 6.4 IC para a média variâcia cohecida Etão o itervalo bilateral de cofiaça de 00(-)% para : Z / Z / Observa-se que, para suficiete grade, as médias seguem a distribuição Normal idepedetemete da distribuição origial de. Cosequetemete a equação aterior é o itervalo de cofiaça para a média de observações que apresetam uma distribuição de origem qualquer.

21 Exemplo 6.: A variabilidade do tempo de atedimeto em um cosultório cohecida = 0,0 mi. Uma amostragem com 0 pessoas idicou tempo médio de atedimeto,5mi Costrua um itervalo de cofiaça de 95% para o tempo médio de atedimeto. Z / Z / 0,0,5,96,5,96 0 0,0 0 0,0,5,96,5,96 0 0,0 0,46,54 Exercício 6. e 6.3

22 Um itervalo uilateral de 00(-)% com limite superior é estabelecido a partir de: Z Um itervalo uilateral de 00(-)% com limite iferior é: Z

23 O itervalo de cofiaça bilateral tem a forma Aumetado a amplitude do itervalo, aumeta-se o ível de cofiaça do itervalo, o etato, aumeta-se o erro máximo de estimação que é o valor absoluto da difereça etre o parâmetro amostral ( ) e o parâmetro populacioal, represetado como. 6.3 Erro de Estimação Z / Como o itervalo de cofiaça tem cetro a média amostral, o erro máximo provável é igual a metade da amplitude do itervalo.

24 Como Z, pode-se escrever / erro ( e) Logo Z / Para determiar o tamaho da amostra míimo para estimar um parâmetro populacioal, basta isolar o valor de a equação acima. Z / Logo, o tamaho da amostra depederá: - do grau de cofiaça desejado ; - da dispersão a população ; - de certo valor especificado para o erro tolerável.

25 Exemplo 6.: Qual o tamaho da amostra ecessário para estimar a média populacioal de uma característica dimesioal de um processo cujo desvio-padrão = 3 cm, com 95% de cofiaça e precisão de 0,5 cm? = 0,05 ==> z / =,96; = 3,0 cm; e = 0,5cm;,96 3,0 0,5 38,3 Logo são ecessários = 39 peças Exercício 6.

26 Outra distribuição muito útil é a distribuição de Studet t. Sejam e variáveis aleatórias idepedetes ormalpadroizada e qui-quadrada. Etão, a variável: Segue a distribuição t com k graus de liberdade. Sua fução desidade de probabilidade é: k t k k / t k t k k t f k (k/) / ) ( / 6.5 IC para a média variâcia descohecida

27 6.5 IC para a média variâcia descohecida

28 Exemplo de uso da distribuição t: Seja ;,..., uma amostra aleatória. Etão: Ou seja: S / S / N / 0, / t S / De forma que a distribuição t é a base para iferêcias a respeito de quado ão é cohecido.

29 6.5 IC para a média variâcia descohecida Seja uma variável aleatória Normal com média e variâcia descohecidas. Se uma amostra de valores idica média e variâcia S, o itervalo de cofiaça de 00(-)% é calculado usado-se a distribuição de Studet. t S t /, /, S Os itervalos uilaterais de cofiaça de 00(-)% com limites superior e iferior são respectivamete: t, S t, S

30 Exemplo 6. 3: A quatidade mesal de produtos etregues por uma empresa segue uma distribuição Normal com média e variâcia descohecidas. Aalise os dados a seguir, que represetam uma amostra de 0 meses e costrua um itervalo de 95% para a média. 7,4 8, 8,3 8,8 9,0 9, 9,3 9,6 9,6 9,9 0, 0, 0,5 0,7 0,9,0,3,5,9,6 0,0 S,34 t 0,05;9,093,34 0,0,093 0 ou 9,38 0,64 0,0,34,093 0

31 Exemplo 6.4 A empresa pode estar preocupada exclusivamete com a quatidade mesal de produtos etregues muito baixa. Costrua um itervalo de cofiaça uilateral com 95% de cofiaça o limite iferior. 0,0 S,34 t 0,05;9,79,34 0,0,79 0 ou 9,49 Exercício 6., 6.4, 6.5

32 Exemplo 6.5: Qual o tamaho da amostra ecessário para estimar a média populacioal de uma característica dimesioal de um processo com 95% de cofiaça e precisão de 0,5cm? Sem cohecimeto da variabilidade populacioal, estima-se o desvio-padrão populacioal através de uma amostra piloto. A partir de uma amostra de 0 peças, calculou-se o desvio-padrão S

33 Como a variabilidade ão é previamete cohecida, mas calculada a partir da amostra, usa-se a distribuição t. = 0,05 ==> t 0.05,9 =,093 e = 0,5 cm, S=,45 t /, S e,093x,46 0,5 06 Logo é ecessário coletar mais 86 (06-0) peças. Exercício 6.3

34 6.6. IC para a difereça etre duas médias variâcia cohecida Sejam e duas variáveis aleatórias com médias e descohecidas e variâcias cohecidas. e Um itervalo de cofiaça 00(-)% para a difereça etre as médias pode ser costruído a partir dos resultados de amostras aleatórias de cada uma dessas populações. Pode ser demostrado que a variâcia das difereças etre as médias vem dada por:

35 Assim o itervalo de cofiaça bilateral de 00(-)% será: E os correspodetes itervalos uilaterais serão: Z Z / / ) ( ) ( ) ( Z Z

36 6.7. IC para a difereça etre duas médias variâcia descohecida Sejam e duas variáveis aleatórias Normais com médias e e variâcias e descohecidas. Se for possível assumir que as variâcias sejam iguais, ou seja, como: uma estimativa da variâcia pode ser obtida S S S p

37 6.7. IC para a difereça etre duas médias variâcia descohecida Uma vez ecotrada a estimativa da variâcia dos valores idividuais, pode ser demostrado que a estimativa da variâcia da difereça etre as médias será: S S p S p S p com graus de liberdade v

38 De modo que o itervalo de cofiaça bilateral 00(-)% será: Os correspodetes itervalos de cofiaça uilaterais serão: S t S t, /, / ) ( ) ( ) ( S S,, t t

39 Exemplo 6.6: Um eixo deve ser motado o iterior de um rolameto. Uma amostra de doze uidades idicou para o diâmetro itero do rolameto, 538cm e S =0,008 ; e para o diâmetro do eixo, 50cm e S =0,006. Calcule o itervalo de cofiaça de 99% para a folga de motagem. Solução: Supodo variâcias iguais têm-se: S S t p S 0,005; 0,008 p,8 0,006 0,0089 0,000050,538,5,80,0089 folga,538-,5,80,0089 0,00986 folga 0,06 Exercício 6.8

40 6.8. Itervalo de cofiaça para a difereça etre observações No caso em que se deseja comparar dois sistemas é possível, e as vezes ecessário, trabalhar com a difereça etre as observações. Por exemplo, para comparar dois métodos de tratameto cotra corrosão, pode-se escolher diversos blocos de terreo, colocar dois tubos (de marcas diferetes ) em cada bloco e observar as difereças.

41 6.8. IC para a difereça etre observações Seja os resultados do sistema ; os resultados do sistema ; d as difereças medidas bloco a bloco; A partir dos resultados de blocos, calcula-se e usa-se a distribuição t para costruir o itervalo de cofiaça para a média da difereça d : S d t d d d t / / Se o valor zero estiver cotido este itervalo, etão ão pode ser descartada a hipótese que o desempeho dos dois sistemas seja o mesmo. S d

42 Exemplo 6.7: Uma empresa quer verificar se o cohecimeto de seus fucioários, a respeito de um determiado assuto, melhorou após 30 horas de treiameto. Para isso foi realizado com os quize aluos do treiameto um teste ates e após o treiameto. Os dados a seguir represetam as otas obtidas pelos aluos. Coclua a respeito da eficiêcia do treiameto com 95% de cofiaça. Aluos Ates 6,5 6,7 7,0 7,0 6,5 7,3 7,8 6,9 6,7 7, 7,5 7,5 7, 7,0 6,8 Depois 7,5 7,7 7,9 8,0 7,4 8,3 8,8 8,9 7,7 8, 8,5 8,5 8, 8,0 8,8 Difer.,0,0 0,9,0 0,9,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0

43 Exemplo 6.7: Aluos Ates 6,5 6,7 7,0 7,0 6,5 7,3 7,8 6,9 6,7 7, 7,5 7,5 7, 7,0 6,8 Depois 7,5 7,7 7,9 8,0 7,4 8,3 8,8 8,9 7,7 8, 8,5 8,5 8, 8,0 8,8 Difer.,0,0 0,9,0 0,9,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 d t S d t d / ;( ) d / ;( ) S d d S t d, 0,36 0,05;4,45 0,36,,45 5 ou 0,9,3 Como o valor zero ão está icluído o itervalo, rejeita-se a hipótese de que as otas ates e depois sejam as mesmas, logo cocluí-se que o treiameto foi eficiete. Exercício 6.9 0,36,,45 5

44 6.9. IC para a variâcia Outra distribuição importate, defiida a partir da distribuição Normal é a distribuição do Qui-quadrado. Seja N(0, ) E seja x,..., x uma amostra aleatória deste processo. Etão, a variável aleatória Distribui-se de acordo com a distribuição do Qui-quadrado, cuja fução desidade de probabilidade é:... x x x 0 ) ( ) ( / ) / ( / e f

45 6.9. IC para a variâcia É uma distribuição assimétrica à direita, com Média e Variâcia dadas por:

46 Exemplo do uso da distribuição do : Seja N(, ) e x,..., x uma amostra aleatória. Etão: i i ou ( ) S Ou seja, a distribuição da variâcia. é a base para iferêcias a respeito

47 6.9. IC para a variâcia Supoha que é uma variável aleatória Normal com média e variâcia descohecidas. Seja que a variâcia amostral S é calculada para uma amostra de observações. Etão, um itervalo bilateral de cofiaça 00(-)% é obtido usado-se a distribuição do chi-quadrado: S /, No caso do iteresse residir em itervalos uilaterais de 00(-)% teremos: Limite iferior: Limite superior: S /, S, S,

48 Exemplo 6.8. Ache o itervalo de 95% para a variâcia o exemplo da quatidade mesal de produtos etregues: S,34,80 0,05;9 3,85; 0,975;9 8,9,80 9,80 9 3,85,04 3,84 ou,0,96 8,9 Exercício 6.6 e 6.7

49 6.0. IC para o quociete etre duas variâcias Se são duas variáveis aleatórias idepedetes com distribuição do Qui-quadrado, a razão: irá seguir a distribuição F com u, v graus de liberdade. A fução desidade de probabilidade para F é: e v u v u F v u v u / /, / / / ) ( v u u u F v u F v u v u v u F f

50 Exemplo de uso da distribuição F: N, ) N, ) ( ( Seja e ; Se S e S são variâcias amostrais, medidas em amostras de tamaho e, teremos: S S / / F, Assim, a distribuição F pode ser usada para fazer iferêcias sobre a variâcia de duas distribuições Normais.

51 6.0. IC para o quociete etre duas variâcias Para comparar duas variâcias, e, oriudas de populações com distribuição Normal, é vatajoso trabalhar com o quociete / uma vez que este se distribui coforme a distribuição F. O itervalo de cofiaça para este quociete virá dado por: S S F S / ; ; F / ; ; S Ode F são os potos percetuais da distribuição F com, u, v u e v graus de liberdade, tais que P F F., u, v

52 Se o valor (um) estiver cotido este itervalo, etão ão pode ser descartada a hipótese de que a variâcia das duas populações seja a mesma. Os respectivos itervalos uilaterais serão dados por: Limite iferior: Limite superior: S S S S F ; ; ; ; As tabelas da distribuição F costumam forecer apeas os valores de F, mas F pode ser obtido a partir da seguite relação: F, u, v F F, v, u

53 Exemplo 6.9. Os valores a seguir represetam os tempos de produção de duas máquias. Aalise os dados e coclua a respeito da variabilidade das máquias A e B: A 9,0 90,3 90, 9, 9,8 9,3 89,3, 9,0 9, 89,6 B 9,8 9, 89,4 89, 90,7 9,6 9,3 9, F 0,05;9 7, 4,8 Máquia A: Máquia B: S S 0,8307,36 F 0,975;9 7, 0,8307,36 F 0,05;7,9 0,38 4,8 0,50 3,045 4,0 0,8307,36 0,38

54 6.0. IC para o quociete etre duas variâcias O itervalo iclui o valor, assim ão pode ser descartada a hipótese de que a variabilidade das duas máquias seja a mesma. Além de servir para a comparação direta de duas variâcias, a distribuição F é a chave para a comparação de vários grupos, o que é feito usado o procedimeto cohecido como Aálise de Variâcia. Esse assuto será abordado em um capítulo posterior. Exercício 6.0

55 6. Itervalo de cofiaça para o parâmetro da Biomial A variável aleatória com fução de probabilidade: p P( x) ( p) q x x 0 é chamada uma variável do tipo Beroulli. Cada observação dessa variável é chamada uma observação de Beroulli. Uma sequêcia de observações é chamada um processo de Beroulli.

56 6. Itervalo de cofiaça para o parâmetro da Biomial Seja que uma amostra de observações, x,...x, é extraída de um processo de Beroulli, com probabilidade de sucesso costate igual a p. Etão, a soma das observações seguirá o modelo Biomial com parâmetros e p. Além disso, como cada x i pode ser 0 ou, a média: será uma variável discreta cotida o espaço {0, /, /,...,}. A distribuição de pode ser obtida a partir da Biomial, uma vez que: P i a k k p k0 a P a x i p k

57 6. Itervalo de cofiaça para o parâmetro da Biomial ode [a] é o maior iteiro meor que a. A média e a variâcia de são: p p p Itervalos de cofiaça para proporções, por exemplo, fração de ão coformes em um processo, podem ser estabelecidos utilizado-se a distribuição Biomial.

58 6. Itervalo de cofiaça para o parâmetro da Biomial Se é grade ( 30) e p 0,, etão a aproximação Normal para a Biomial pode ser usada, resultado o seguite itervalo de cofiaça de 00(-)%: p z p p p p p / / Se é pequeo, o problema deve ser resolvido usado tabelas da distribuição Biomial. Se p é pequeo, é possível usar a distribuição de Poisso. z

59 Exemplo 6.0. Um empresário deseja cohecer a satisfação de seus clietes em relação aos serviços prestados por sua empresa. Em uma amostra aleatória de =00 clietes etrevistados, 4 pessoas demostraram isatisfação com os serviços prestados. Costrua um itervalo de 95% de cofiaça para a proporção de clietes isatisfeitos. p z p p p p / / p z 0,04,96 0,04 0,04 0,04 0, ,04, ,03 0,05 Exercício 6.

60 Exemplo 6.. O forecedor alega que etrega 0% de produtos defeituosos. Qual o tamaho de amostra suficiete para estimar a proporção de produtos defeituosos etregues por este forecedor com precisão de 0,03 e 95% de cofiaça? Solução: = 0,05 ==> z 0,05 =,96; p = 0,0; e = 0,03 Como deseja-se estimar uma variável do tipo percetual, utilizase a distribuição Biomial. Z p( p),96 0,0 ( 0,0) 384, 6 e 0,03 Logo, é ecessário uma amostra de 385 produtos. Exercício 6.4

61 Afiação de Navalhas Agulo do fio Aplicação Facas pesadas. Deve ser usado para istrumetos de corte como avalhas, lâmias de barbear ou istrumetos cirúrgicos. Facas para corte de cares, legumes e outros tipos de trabalhos leves Facas de caça e caivetes que são utilizados em tarefas mais pesadas Ferrametas para corte para materiais duros, como machados, facões e etc.

62 Exercícios 6. O tempo de atedimeto em um restaurate apreseta variâcia 0,005. Uma amostra aleatória de mesas idicou tempo médio de atedimeto de,58mi. Costrua um itervalo de 95% de cofiaça para o tempo médio de atedimeto o restaurate. 6. Recalcule o itervalo de cofiaça para o exercício 6., supodo que a variâcia ão fosse cohecida e o valor tivesse sido medido diretamete a amostra. 6.3 O peso de fragos apreseta variâcia cohecida igual a 900g. Uma amostra aleatória de 0 uidades idica 508g. Costrua um itervalo com 90% de cofiaça para o peso médio desses fragos. S 0,005

63 6.4 Em um processo químico, as características dimesioais do produto resultate segue o modelo ormal. A partir da amostra apresetada a seguir, defia o limite iferior de um itervalo uilateral de 95% de cofiaça para a característica dimesioal média Uma máquia é usada para echer pacotes de leite. O volume segue aproximadamete o modelo ormal. Uma amostra de 6 potes idicou: a) costrua um itervalo uilateral de 99% com limite iferior para a média; b) costrua um itervalo de 95% para a média;

64 6.6 Cosidere os dados do exercício 6.4. Costrua um itervalo de 90% para a variâcia da característica dimesioal. Depois coverta esse itervalo apresetado-o em termos de desvio padrão. 6.7 Cosidere os dados do exercício 6.5. Costrua um itervalo de 95% para o desvio padrão do volume dos pacotes de leite. 6.8 Aida em relação ao problema 6.5, imagie que há uma seguda máquia de echimeto para a qual uma amostra de 6 pacotes idicou: Costrua um itervalo de 95% para a difereça etre as duas médias das máquias. Baseado os resultados desses cálculos você cocluiria que as duas máquias forecem o mesmo volume médio?

65 6.9 Em uma idústria química, os egeheiros desejam saber se o alogameto de um composto de borracha permaece ialterado ao passar por uma máquia extrusora. Como o alogameto do composto depede do lote de matéria prima usado a sua cofecção, os dados foram coletados aos pares. Costrua um itervalo de cofiaça para a difereça etre os pares de observações: Lote Ates Depois

66 6.0 Em relação ao problema aterior, calcule o quociete etre as variâcias dos alogametos medidos ates e depois do composto passar pela extrusora. Depois costrua um itervalo de cofiaça para esse quociete. 6. Uma amostra aleatória de 50 dispositivos eletrôicos apresetou 7 uidades defeituosas. Estime a fração de ãocoformes e costrua um itervalo de 95% de cofiaça para o verdadeiro valor da fração de ão-coformes. 6.. Qual o tamaho da amostra ecessário para estimar o tempo médio de atedimeto de um serviço com desvio-padrão cohecido de =3 mi com 95% de cofiaça e precisão de 0, mi?

67 6.3. Qual o tamaho da amostra ecessário para estimar o tempo médio de atedimeto de um serviço com 95% de cofiaça e precisão de mi? Uma amostra de 0 tempos foi coletada para estimar o desvio-padrão S Em uma pesquisa eleitoral, 60 das 80 pessoas etrevistadas respoderam que votariam o cadidato da oposição. Essa amostra é suficiete para estimar a verdadeira proporção de eleitores desse cadidato, com uma precisão de 0,04 e cofiaça 95%?

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