Nosso objetivo agora é estudar a média de uma variável quantitativa X. Denotamos a média desconhecida como E(X)=µ

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1 TESTE DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA POPULACIONAL µ

2 Nosso objetivo agora é estudar a média de uma variável quatitativa X. Deotamos a média descohecida como E(X)µ Mais precisamete, estimamos a média µ, costruímos itervalos de cofiaça para µ e fazer testes de hipóteses sobre µ, usado os valores observados da variável de iteresse em uma amostra de tamaho.

3 Probabilidade Supoha que a variável quatitativa que vamos estudar correspoda à variável aleatória X, com E(X)µ e Var(X) σ 2 Para uma amostra aleatória X 1,..., X, correspodetes à variável X, temos que vamos calcular a média X X X

4 Probabilidade Se X já tem distribuição ormal, etão X ~ N σ 2 µ, Se X ão tem dist. ormal, para grade temos que pelo Teorema Cetral do Limite vale a aproximação 2 X ~ N σ µ,, para grade..

5 Temos duas opções ao padroizar a variável. Se o desvio padrão populacioal σ for cohecido, usamos Z X σ µ X µ σ Se σ for descohecido, usamos seu estimador, o desvio padrão amostral S, e cosideramos a seguite variável padroizada T X S µ X S µ X

6 Se a variável X a população tem distribuição ormal, etão Z tem distribuição N(0,1) e T tem distribuição t-studet com -1 graus de liberdade, t -1. Se o tamaho da amostra é grade, etão Z e T têm distribuição aproximadamete N(0,1).

7 T 1 T 5 T 30 Z

8 T 1 T 5 T 30 Z

9 Estatísticas A partir dos valores x 1,...x, calculamos a média, variâcia e desvio padrão amostrais. x s 2 obs i 1 xi x ( x x ) i 1 obs 2 s 2 s

10 Itervalos de cofiaça para µ O itervalo de cofiaça para µcom margem de erro εtem a forma: [ ] ε +ε IC X ; X γ P( X µ ε ) Etão P ( T t) P X S µ com t S 2 S s s ε t e IC x t ; x + t 2 ε ε S 2

11 t-studet Ecotramos o valor t tal que temos probabilidade γetre t e t. Para γ0,95, temos

12 Vamos cosiderar o caso de variâcia descohecida, já que se a média é descohecida, o desvio padrão em geral tem que ser estimado. Não vamos estudar como calcular o tamaho da amostra, mas basta usar a expressão de ε aterior.

13 Exemplo 1: Uma empresa vede uma mistura de castahas, em lata, cuja embalagem afirma que, em média, 25 g do coteúdo total (em g) é de castaha de caju. Sabe-se que o coteúdo de castaha de caju tem distribuição ormal. O departameto de Garatia da Qualidade (GQ) resolve examiar o coteúdo de 12 latas e medir a quatidade (em g) de castaha de caju em cada lata. A média amostral foi igual a 26,3 g e o desvio padrão amostral 3,1 g. Faça um itervalo de cofiaça para o coteúdo médio de castahas com coeficiete de cofiaça de 95%.

14 Exemplo 1 -solução Temos que ecotrar o valor de t a dist. t- Studet com -111 graus de liberdade. Olhado a tabela da t, temos t2,201. s IC x t ; x + t IC IC 26,3 2,201 s 3,1 ;26,3 + 2, ,1 12 [ 26,3 1,97;26,3 + 1,97] [ 24,33;28,27]

15 Testes de hipóteses Região crítica Supoha que queremos testar as hipóteses H: µ30 versus A: µ>30 Rejeitamos H se a média amostral for grade, ou seja, a região crítica tem a forma RC { x k} Para ecotrar k temos que usar T X S µ S ~ t 1 X µ

16 Exemplo 2: Um fabricate de cigarros afirma que seus cigarros cotêm ão mais que 30 mg de icotia. Uma ONG ati-tabagismo ão cocorda com essa afirmação, e colhe uma amostra aleatória de 52 cigarros dessa marca para cotestar a afirmação. Na amostra coletada, o coteúdo médio de icotia foi 31,1 mg e desvio padrão de 3,4 mg. Esses resultados são suficietes para cotestar a afirmação do fabricate? Use o ível de sigificâcia de 5%.

17 (1) As hipóteses ula e alterativa são H: µ 30 mg A: µ > 30 mg (2) Nível de sigificâcia, por exemplo, α 5%. (3) Evidêcia amostral Tamaho da amostra 52 Média amostral x obs 31,1 mg Desvio padrão amostral s 3,4 mg

18 (4) Ecotre o valor de k para RC { x k} ( X k 30) α 0,05 P µ X µ k µ P µ S S 30 ( t) P T Na tabela da t 51, temos t1,676 (usado Normal 1,645). k 30 s 3,4 t k 30 + t ,676 30,79 s 52 RC { x 30,79} (5) Decisão e coclusão Como observou-se média igual a 31,1 mg, etão rejeita-se H.

19 Cometário sobre o ível descritivo (4) Cálculo do ível descritivo P X P P( 31,1 µ 30 ) P T 52 ( 31,1 30) 3,4 P( T 52 (31,1 30) / 3,4 ) P( T 2,33) 0,0119 (excel) (5) Decisão e coclusão Como P α, decidimos por rejeitar H. Logo, ao ível de 5%, há evidêcias suficiete para cocluir que a afirmação do fabricate está icorreta. A cotestação da ONG procede.

20 Exemplo 3: Em períodos de pico, os clietes de um baco são obrigados a efretar logas filas para sacar diheiro os caixas eletrôicos. Dados históricos de vários aos de operação idicam que o tempo de trasação esses caixas tem distribuição ormal com média igual a 270 segudos. Para aliviar essa situação o baco resolve istalar, em caráter experimetal, algus caixas eletrôicos de cocepção mais avaçada. Após o período de experiêcia, o baco pretede examiar o tempo médio obtido em uma amostra casual simples das trasações realizadas esses caixas.

21 No caso do Exemplo 1, temos (1) Hipóteses ula e alterativa H: µ 270 seg e A: µ < 270 seg (2) Nível de sigificâcia α 5% (3) Amostra Tempos (em seg) de 64 trasações escolhidas ao acaso Valor observado da média amostral: x obs x + x x Desvio padrão amostral s21,4 262,3

22 (4) Ecotre o valor de k para t ( X k 270) RC α 0,05 P µ X µ k µ P µ 270 P T S S Na tabela da t 63, temos t k 270 k s RC x t { 265,53} (5) Decisão e coclusão s ( t) 21, , { x k} 265,53 Como a média amostral 262,3 pertece à RC, etão rejeitamos H. Cocluímos que o tempo médio é meor que 270 s cosiderado o ível de sig. de 5%.

23 Cometário sobre ível descritivo P P P ( X x obs µ 270) P P 64 (262,3 270) T 21,4 P( T 8 (262,3 270)/ 21,4) P( T 2,88) 0,0027 usado a t 63 o excel. Decisão e coclusão Rejeitamos H ao ível de sigificâcia adotado. Coclusão: há evidêcia suficiete para que o baco substitua as máquias atuais pelas mais moderas.

24 Teste bicaudal Foi medida a frequêcia cardíaca em uma amostra de 30 cães: 89, 100, 108, 82, 141, 82, 122, 120, 123, 121, 77, 114, 138, 87, 77, 114, 84, 135, 100, 103, 95, 110, 80, 90, 68, 105, 99, 97, 104, 123 Verifique se a frequêcia cardíaca média é igual a 100 ou ão. Adote o ível de sigificâcia de 5%.

25 A média amostral é igual a 102,93 e o desvio padrão amostral é H: µ100 versus A: µ 100 RC { x k ou x k } 1 2 ( X k ou X k 100) α µ P 1 2 α P µ 2 α 2 ( X k 100) 1 P ( X k µ 100) 2

26 0.025 P ( X k1 µ 100) X µ k P P T S S t ( t) Na dist t 29, temos t 2,042 k k1 100 s s k1 100 t, 19, ,042 92,

27 ( X k 100) P 2 µ X µ k P S S ( t) P T t k Na dist t 29, temos t 2,042 k2 100 s s k t, 19, , ,

28 RC { 92,77 ou 107,23} x x s s k1 100 t 92,77 k t 107, 23 Só agora usamos a média amostral, que foi 102,93. Como ela ão pertece ao RC, ão rejeitamos H. Cosiderado o ível de sigificâcia de 5%, cocluímos que a frequêcia cardíaca média ão é estatisticamete diferete de 100.

29 RESUMO Teste de hipóteses para a média populacioal (0) Descrever o parâmetro de iteresse µ. (1) Estabelecer as hipóteses: H: µ µ 0 cotra uma das alterativas 0 A: µ µ 0, A: µ > µ 0 ou A: µ < µ 0. (2) Escolher um ível de sigificâcia α. (3) Selecioar uma amostra casual simples de tamaho determiar a média amostral x obs e o desvio padrão amostral s.

30 Probabilidade Variável padroizada µ T X S H ~ t 1 Quado >100 pode usar a tabela da ormal para ecotrar os valores de t.

31 (4) Determiar a Região Crítica RC Se A: µ > µ 0, RC { x k} α ( X k µ µ ) P( t ) P 0 1 t s k µ 0 + t, t > 0 Se A: µ < µ 0, RC { x k} α ( X k µ µ ) P( t ) P 0 1 t k µ 0 t s

32 (4) Determiar a Região Crítica RC Se A: µ µ 0, RC { x } k ou x k 1 2 s s k1 µ t, k 2 µ + t, t > 0

33 (4) Determiar o ível descritivo P Se A: µ > µ 0, Se A: µ < µ 0, Se A: µ µ 0, ( ) P P X xobs µ µ ( 0 ) P X x µ obs P µ 0 P 2P ( X x ) obs µ µ 0 ou 2 P ( X x µ µ ) obs 2 µ 0 Com a tabela da t-studet,vamos fazer esses testes somete com a região crítica.

34 Ceró, JJ; Martíez-Subiela, S; Heema, C.; Tecles, F. (2004). The effects of differet aticoagulats o routie caie plasma biochemistry. The Veteriary Joural, 167, ero_aticoagulats%20effect_1.pdf Avaliação da desidade mieral óssea em potros da raça Puro Sague Iglês em iício de treiameto Brazilia Joural of Veteriary Research ad Aimal Sciece (2004) 41: