INFERÊNCIA ESTATÍSTICA: ESTIMAÇÂO PONTUAL E INTERVALOS DE CONFIANÇA

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1 INFRÊNCIA STATÍSTICA: STIMAÇÂO PONTUAL INTRVALOS D CONFIANÇA 0

2 Problemas de iferêcia Iferir sigifica faer afirmações sobre algo descohecido. A iferêcia estatística tem como objetivo faer afirmações sobre uma característica de uma oulação a artir do cohecimeto de dados de uma arte desta oulação (isto é, uma amostra de observações. A oulação é reresetada or uma distribuição de robabilidade com arâmetro(s cujo(s valor(es é (são descohecido(s. Faemos iferêcias sobre o(s arâmetro(s.

3 Problemas de iferêcia Se θ é um arâmetro da distribuição de uma v. a. X e X,...,X é uma amostra desta distribuição, ecotramos três roblemas tíicos:. stimação otual Aresetar um valor ara θ, que é uma fução da amostra X,...,X ( cálculo de θ, chamada de estimador de θ. sera-se que o estimador teha boas roriedades: (i em média esteja róximo de θ, (ii o estimador se aroxima de θ quado aumeta,...b

4 Problemas de iferêcia. stimação itervalar Aresetar um itervalo de ossíveis valores ara θ, chamado de itervalo de cofiaça. Os limites do itervalo são fuções da amostra X,...,X (são aleatórios. A robabilidade de que o itervalo coteha θ deve ser alta.vv A amlitude do itervalo deve ser tão equea quato ossível (itervalo mais reciso.

5 Problemas de iferêcia 3. Teste de hióteses Uma hiótese estatística (H é uma afirmação sobre o valor de θ. Pode ser verdadeira ou falsa. Se θ é a robabilidade de sucesso o modelo biomial, H: θ ½, H: θ ½ e H: θ > ¾ são exemlos de hióteses. Com base a amostra X,...,X, formulamos uma regra de decisão que ermita cocluir ela rejeição ou ão rejeição (aceitação de H. A decisão ode ser correta ou errada.

6 stimação otual método de substituição (a. Distribuição biomial. X ~ B(,. Vimos que (X. Um estimador ara : X i (b. Distribuição de Poisso. X ~ Po(µ. Vimos que (X µ. X i roorção amostral de sucessos. Um estimador ara µ : X. (c. Distribuição exoecial. X ~ x(λ. Vimos que (X λ. Um estimador ara λ :. X (d. Distribuição ormal. X ~ N(µ,. Vimos que (X µ e Var(X. Um estimador ara µ : X. Um estimador ara : s i ( X i X. Obs. xistem outros métodos de estimação.

7 stimação or itervalos X,...,X é uma amostra aleatória de uma variável cuja distribuição deede do arâmetro θ. Se L(X,...,X e U(X,...,X são duas fuções tais que L < U e P(L θ U, o itervalo [L, U] é chamado de itervalo de cofiaça (IC de 00(-% ara θ. 00(-% é o coeficiete de cofiaça do itervalo. Deve ser alto. O coeficiete de cofiaça é escolhido (90%, 95% e 99% são comus. m seguida calculamos L e U.

8 IC ara uma média oulacioal X, LX é uma amostra aleatória de tamaho de uma oulação ormal com média µ (descohecida e variâcia (cohecida. Vimos que a média amostral X, tem distribuição ormal com média µ e variâcia. Isto é, ( X µ Z ~ N(0,. Se a distribuição de X ão é ormal, o resultado acima é válido aroximadamete. Logo, fixado um coeficiete de cofiaça (-, ode-se determiar (cosultado a tabela ormal: f( 0

9 µ P X [ ] máximo erro o é sedo que, ; ; ] ; [ X X X X U L + + Logo, um IC de 00 (-% ara a média µ é dado or IC ara uma média oulacioal e a amlitude do IC é U L., P( assim, Sedo Z que equivale a µ ( ( P X. P µ + X X

10 xemlo m uma fábrica de cerveja a quatidade de cerveja em latas seguia uma distribuição ormal com média 350 ml e desvio adrão 3 ml. Aós algus roblemas a liha de rodução, suseita-se que houve alteração a média. Uma amostra de 0 latas foreceu uma média de 346 ml. Obteha um itervalo de 95% ara a quatidade média de cerveja evasada suodo que ão teha ocorrido alteração a variabilidade. Como - 0,95, temos da tabela ormal adrão 0,05,96. Obtemos IC [L; U] X,96 ; X +, ,96 ;346+, [ 346,3;346 +,3 ] [ 344,69;347,3, ] em ml.

11 Determiação do tamaho da amostra ara estimação de µ rro máximo ( a estimação de µ: é obtido da tabela ormal aós a escolha do coeficiete de cofiaça (. (a secificamos o erro máximo. Se o desvio adrão ( for cohecido, odemos calcular : (b secificamos o erro máximo. Se o desvio adrão ( ão for cohecido, odemos utiliar o desvio adrão obtido de uma amostra iloto com 0 observações: s 0, sedo que s 0 é a variâcia amostral da amostra iloto. (c secificamos o erro máximo em fução do desvio adrão como k : k...

12 xemlo m uma siderúrgica estuda-se a resistêcia média de barras de aço utiliadas a costrução civil. Qual o tamaho amostral ecessário ara garatir que um erro máximo de 8 kg seja suerado com robabilidade igual a 0,0? O desvio adrão da resistêcia ara este tio de barra é de 5 kg. Solução. Do euciado tem-se 5 kg, 8 kg e P( X µ X + 0,0 P( X µ X + 0,0, ou seja, 0,0 (o coeficiete de cofiaça do IC é 99%. Cosultado a tabela ormal ecotramos,575. Portato,,

13 IC ara uma média oulacioal ( descohecido Se a variável de iteresse (X tem distribuição ormal, etão T ( X µ ~ t -, : distribuição t de Studet com g.l., s sedo que s é o desvio adrão amostral. Se a distribuição de X ão é ormal, o resultado acima é válido aroximadamete. Um IC de 00(-% ara µ é dado or [ L; U ] [ X ; X + ], em que t, s.

14 IC ara uma roorção oulacioal Cada observação ode ser classificada como sucesso (X ou isucesso (X 0 e a robabilidade de sucesso é. Disomos de uma amostra aleatória X, X. Vimos que i X i N Z sedo que aroximadamete, (0,, ~ ( ( Para um ível cofiaça fixado em 00(-%, obtemos (veja lâmia 4. ( ( P + : roorção amostral de sucessos.

15 IC ara uma roorção oulacioal (a Abordagem otimista Substituir ( - or ( : ( IC ; + (b Abordagem coservativa Substituir ( or ¼, que corresode ao valor máximo de (. (. IC ;

16 xemlo Um estudo foi realiado ara determiar a roorção de comoetes de um certo tio que resistem durate um certo eríodo a codições de uso mais rigorosas do que as esecificadas. m uma amostra de 00 comoetes selecioados ao acaso, 60 resistiram. Aresete um itervalo de 95% de cofiaça ara a roorção de comoetes que resistem. 60 Solução. stimativa otual de : 0,8 (80%. 00 Como 0,95, obtemos da tabela ormal adrão 0,05,96. Abordagem otimista: 0,8( 0,8 IC 0,8,96 ;0,8 +,96 00 [ 0,745;0,855 ]. Abordagem coservativa: 0,8( 0,8 00 IC 0,8,96 ; 0,8 +, [ 0,73;0,869 ].

17 Determiação do tamaho da amostra ara estimação de rro máximo de estimação de é fixado: (. ( (b Não há iformação sobre :. 4 Coeficiete de cofiaça de 95%: 5%,,96 e. (a Há iformação sobre : * (estudos ateriores, esecialistas, amostra iloto, etc:. ( * * ( é substituído elo valor máximo, igual a ¼ (veja lâmia 5:

18 xemlo Uma equie retede estimar a roorção de avarias ocorridas o trasorte de um roduto. studos ateriores idicam que esta roorção ão ultraassa 0%. Que tamaho de amostra é ecessário ara assegurar com uma cofiaça de 99% que o erro de estimação desta roorção seja o máximo igual a 0,05? Solução. Do euciado obtemos 0,, 0,99 e 0,05. Da tabela ormal adrão, 0,005,575. Proteção em relação à situação mais desfavorável: * 0,0. Fialmete,,575 44,4 * * ( 0, ( 0, 0,05 45.