Uma coleção de todos os possíveis elementos, objetos ou medidas de interesse.

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1 rof. Lorí Viali, Dr. Uma coleção de todos os possíveis elemetos, objetos ou medidas de iteresse. Um levatameto efetuado sobre toda uma população é deomiado de levatameto cesitário ou simplesmete ceso. Um subcojuto fiito de uma população de iteresse. O processo de escolha de uma amostra da população é deomiado de amostragem. Método de se iferir sobre uma população a partir do cohecimeto de pelo meos uma amostra dessa população. 1

2 Estudo das relações teóricas existetes etre uma população e as amostras dela extraídas. R O B A B IL I D A D E OULAÇÃO (Ceso) Erro AMOTRA (Amostragem) Iferêcia T i p o s d e A m o s t r a g e m robabilística Não robabilística Todos os elemetos da população têm probabilidade cohecida (e diferete de zero) de fazer parte da amostra. Aleatória imples istemática Estratificada or Coglomerados Uma amostra é dita aleatória simples ou ao acaso se todos os elemetos da população tiverem a mesma probabilidade de pertecer a amostra

3 A A Com Reposição em Reposição Total de Amostras k N Não Ordeadas N k Ordeadas k A N A uidade amostral é escolhida em itervalos pré-fixados. Assim se N tamaho da população e tamaho da amostra. Etão o passo ou itervalo é k N/. e N 1000 e 100 Etão: k N/ 1000/ orteia-se um úmero etre 1 e 10. Digamos 7. Etão a amostra será: 7, 17, 7,..., 997. A população é estratificada (em grupos mutuamete exclusivos) e etão uma amostra aleatória simples de cada estrato é retirada. Nos métodos ateriores cada observação é escolhida de forma idividual. Na amostragem por agrupameto, grupos de observações são escolhidas ao acaso. Cosidere uma população de 0 ites dividida em 5 grupos de ites cada. ara escolher uma amostra de 8, escolhe-se grupos, ao ivés de 8 ites idividuais. 3

4 Grupo Elemetos 1 1,, 3, 5, 6, 7, 8 3 9, 10, 11, 1 13, 1, 15, , 18, 19, 0 Uma característica da população é deomiada de parâmetro. Um estimador é uma característica da amostra. Uma estimativa é um valor particular de um estimador. A MÉDIA A MÉDIA π A VARIÂNCIA O DEVIO ADRÃO A ROORÇÃO A VARIÂNCIA O DEVIO ADRÃO A ROORÇÃO OULAÇÃO θ θˆ1 θˆ θˆ k Amostra 1 Amostra Amostra k A distribuição de probabilidade de um estimador (variável aleatória) é deomiada de distribuição amostral desse estimador.

5 opulação {1,, 3, } , 50 1, π 10, 50 50% 0,0 0,15 0,10 0, lao Amostral aa ao acaso Método s/r sem reposição Tamaho das Amostras Tem-se: N ;. Etão: N! k 6!( )! Amostras Médias 1 (1, ) 1,5 (1, 3),0 3 (1, ),5 (, 3),5 5 (, ) 3,0 6 (3, ) 3,5 Variâcias,0,5,0 roporções 0,0 5

6 x f (x) ( x) 1,5,0,5 /6 3,0 3,5 Total 0,35 0,30 0,0 0,15 0,10 0,05 1,5,0,5 3,0 3,5 x (x) 1,5,0,5 /6 3,0 3,5 Total f ) x.f (x x.f (x) 1,5/6,5/6,0/6,00/6 5,0/6 1,50/6 3,0/6 9,00/6 3,5/6 1,5/6 15/6 0/6 E() 15 / 6, 50 V() E( 0 6, 50 x.f (x) ) 1, 5 3 E() Média Erro padrão Características COM Reposição EM Reposição E() N N 1 ara este exemplo, tem-se: 1,5 N N 1 3 1,5 1,

7 e uma amostra aleatória de tamaho for retirada de uma população com uma distribuição N(; ), etão a distribuição de, média da amostra, tem uma distribuição N(, ) opulação Médias 1 Uma amostra de 16 elemetos é retirada de uma população N(80; 8). Determie: ( a ) ( < 77 ) ( b) (76 < < 85 ) 0,0 0,16 0,1 0,08 0, Etão: Tem-se: 80, 8 abe-se que: 80 e 8 16 (a ) ( < 77 ) ( < ) (Z < -1,50) Φ ( 1,50 ) 0,0668 6,68 % 7

8 (b) (76 < < 85) 76 ( 80 < ( < Z <,5) Φ(,50) Φ(,00) 99,38%,8% 97,10% < ) e uma amostra aleatória de tamaho > 30 for retirada de uma população com qualquer distribuição de média e desvio padrão, etão a distribuição de, média da amostra, tem uma distribuição aproximadamete N(, ) 0,80 0,70 0,60 0 0,0 0,30 0,0 0,10 Médias 16 05, opulação Uma amostra de elemetos é retirada de uma população N(80; ). Determie de forma que: ( < 79 ) 1, 50 % Etão: Tem-se: 80, abe-se que: 80 e ( ( (Z < 79 ) < < ) ) Φ ( ) 1, 50 % 8

9 , 17, 17. 8, 68 ( 8, 68) 76 p 0,0 Total f(p) 3/6 0,70 0,60 0 0,0 0,30 0,0 0,10 p 0,0 Total f(p) /6 p.f(p) 0/6 /6 3/6 p.f(p) 0/6 /6 0 1 E() pf. (p) 3/ 6 V() E( % 3 6 ) 1 1 E() Média Erro padrão Características COM Reposição EM Reposição E() π π(1 π) π(1 π) N N 1 9

10 ara este exemplo, tem-se: π(1 π) N N π(1 π) (1 0) 15,81% 10 Médias opulação π(1 π). 50% 0 0,0 5,0 50,0 75,0 100,0 π 50 % e uma amostra aleatória de tamaho > 100 for retirada de uma população com proporção π, etão a distribuição de, proporção a amostra, tem uma distribuição aproximadamete N(π, ) π ( 1 π 0,05 0,0 0,03 0,0 0,01,50 5,00 7,50 5 5,50 55,00 57,50 6 Uma amostra de 00 eleitores é retirada da população que prefere o cadidato Zigoto com π 50% Determie: ( a ) (7 % < < 5 %) ( b) ( > 56 %) Tem-se: π 50% abe-se que: π 50% π (1 0,5 (1 00 0,05 π ) 0, 5,50 % ) 10

11 Etão: (a) (7 < < 5) 7% 50% ( <,5% 5% 50% < ),5% (- < Z < 1,60) Φ(1,60) -Φ( ) 9,5% 11,51% 83,01% (b) ( > 56%) ( 56% 50% > ),50% (Z >,0) 1 Φ(,0) Φ(,0) 0,8% s,0,5 Total f(s ) 3/6 /6 0 0,0 0,35 0,30 0,0 0,15 0,10 0,05,0,5 s,0,5 Total f(s ) 3/6 /6 s.f(s ) 1,5/6,0/6,5/6 10/6 (s ).f(s ) 0,75/6 8,00/6 /6 9/6 V( 9 6 E( ) 5 3 1,67 ) E[ 5 3 ( f ( ) ) s ] s E( ) 37 18,06 11

12 Média Erro padrão Características Amostragem com reposição E( ) 1 1 e uma amostra aleatória de tamaho (grade) for retirada de uma população com variâcia, etão a distribuição de, variâcia da amostra, tem uma distribuição aproximadamete χ com -1 g.l., a meos de uma costate. Isto é: 1 χ -1 Este resultado é cohecido como Teorema de Fisher Uma amostra de 81 elemetos é retirada de uma população com variâcia 10. Determie a probabilidade de que ( > 15). Tem-se: abe-se que: 1 χ -1 ( [ χ ( χ ( χ Etão: > 15 ) > 15 > 10 ).( 1) ] ) > ) 10 [ ( 1) 0, 5 % χ 1 ( χ 80 > 15 ] ) > ) 10 1

13 0,08 0,06 0,0 0,0 N(50; 5) % 0% 30% 0% 10% E( ) ,35 0% 15% 10% 5% ,68 5 0% % Míimo Máximo Média Desvio (Erro) adrão ,0809 5,76778 Míimo Máximo Média Desvio (Erro) adrão 3,5 113, 6,80 0,37 0% 15% 10% ,07 5% 0% Míimo Máximo Média Desvio (Erro) adrão 1,9 39,90 5,66 6,8 13