O processo de escolha de uma amostra da população é denominado de amostragem.

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1 O proeo de eolha de uma amora da população é deomiado de amoragem Méodo de e iferir obre uma população a parir do oheimeo de pelo meo uma amora dea população Eudo da relaçõe eória exiee ere uma população e a amora dela exraída R O B A B IL I D A D E OULAÇÃO (Ceo) Erro AMOTRA (Amoragem) Iferêia T i p o d e A m o r a g e m robabilíia Não robabilíia 1

2 Todo o elemeo da população êm probabilidade oheida (e diferee de ero) de faer pare da amora Aleaória imple iemáia Eraifiada or Coglomerado Uma amora é dia aleaória imple ou ao aao e odo o elemeo da população iverem a mema probabilidade de pereer a amora A A Com Repoição em Repoição Toal de Amora k N Não Ordeada N k Ordeada k A N Uma araeríia da população é deomiada de parâmero Um eimador é uma araeríia da amora Uma eimaiva é um valor pariular de um eimador µ π A MÉDIA A VARIÂNCIA O DEVIO ADRÃO A ROORÇÃO

3 A MÉDIA A VARIÂNCIA O DEVIO ADRÃO A ROORÇÃO OULAÇÃO θ θˆ1 θˆ θˆ k Amora 1 Amora Amora k A diribuição de probabilidade de um eimador (variável aleaória) é deomiada de diribuição amoral dee eimador Média Erro padrão Caraeríia COM Repoição EM Repoição µ E() µ N N 1 e uma amora aleaória de amaho for reirada de uma população om uma diribuição N(µ; ), eão a diribuição de, média da amora, em uma diribuição N(µ, ) opulação µ µ Média 4 1 3

4 0,0 Uma amora de 16 elemeo é reirada de uma população N(80; 8) Deermie: (76 85 ) 0,16 0,1 0,08 0,04 0, Tem-e: µ 80, 8 abe-e que: 80 e µ 8 16 (76 85) DITNORM(85; 80; 8; 1) - DITNORM(76; 80; 8; 1) 73,40% - 30,85 4,55% e uma amora aleaória de amaho > 30 for reirada de uma população om qualquer diribuição de média µ e devio padrão, eão a diribuição de, média da amora, em uma diribuição aproximadamee N(µ, ) 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,0 0,10 0,00 µ Média 16 05, µ opulação 4

5 Uma amora de elemeo é reirada de uma população N(80; 4) Deermie de forma que: ( 79 ) 1, 50 % Tem-e: µ 80, 4 abe-e que: 80 e µ 4 ( Eão: ( (Z 79 ) - µ ) 4 ) Φ ( 4 ) 1, 50 % INVNORM(1,5%) -,17 Aim:, 17 4, , 68 ( 8, 68) 76 Média Erro padrão Caraeríia COM Repoição EM Repoição µ E() π π(1 π) π(1 π) N N 1 e uma amora aleaória de amaho > 100 for reirada de uma população om proporção π, eão a diribuição de, proporção a amora, em uma diribuição π ( 1 π aproximadamee N(π, ) 5

6 0,05 0,04 0,03 0,0 0,01 0,00 40,00 4,50 45,00 47,50 50,00 5,50 55,00 57,50 60,00 Uma amora de 400 eleiore é reirada da população que prefere o adidao Zigoo om π 50% Deermie: (47 % 54 %) Tem-e: π 50% abe-e que: µ π 50% π (1 0, 45 0,05 π ) ( , 45,50 % ) Eão: (47 54) DITNORM(54; 50;,5; 1) - DITNORM(47; 50;,5; 1) 94,5% - 11,51 83,01% Média Erro padrão Caraeríia Amoragem om repoição µ E( ) e uma amora aleaória de amaho (grade) for reirada de uma população om variâia, eão a diribuição de, variâia da amora, em uma diribuição aproximadamee om -1 gl, a meo de uma oae 6

7 Io é: 1-1 Ee reulado é oheido omo Teorema de Fiher Uma amora de 81 elemeo é reirada de uma população om variâia 10 Deermie a probabilidade de que ( > 15) Tem-e: abe-e que: 1-1 ( Eão: [ ( ( > 15 ) > [ ( 1) 15 ( 1) ] ) > ) 10 1 ( 80 > 15 ] ) > ) 10 > 10 ) DITQUI(10; 80) 0,5% Uma A eimação em por objeivo foreer iformaçõe obre parâmero populaioai, edo omo bae uma amora aleaória exraída da população de ieree 7

8 θ ETIMAÇÃO AMOTRA or oo OULAÇÃO θˆ or iervalo ETIMAÇÃO OR ONTO A eimaiva por poo é feia aravé de um úio valor ETIMAÇÃO OR INTERVALO A eimaiva por iervalo, foree um ojuo de valore A araeríia báia de um eimador ão: A média: µ θ ˆ A Variâia: θˆ E ( θˆ ) V ( θ ˆ ) E[ θˆ E ( θ ˆ )] Aravé da média, pode-e aber em oro de que valor o eimador eá variado O ideal é que ele varie em oro do parâmero θ E( θˆ ) E ( θ ˆ ) 8

9 Aravé da rai quadrada da variâia em-e uma idéia do erro omeido a eimação, io é, o valor θ ˆ V( θˆ ) é deomiado de erro padrão de θ A ereira iformação eeária é a diribuição do eimador, io é, qual o modelo eório (probabilíio) do eimador OUTRO CONCEITO IMORTANTE Erro Quadrado Médio Vié: B( θ ˆ ) E ( θˆ ) θ EQM: EQM ( θˆ ) θ θ) EQM ( θˆ ) E ( ˆ θ ) E( ˆ ˆ θ V ( θ ) + B ( θˆ ) E(ˆ) θ θ Vié(ˆ θ) eja ( 1,,, ) uma amora aleaória de uma variável (população), om um parâmero de ieree θ eja θˆ uma fução da amora (eimaiva de θ) 9

10 Um eimador é dio ãoedeioo, ão-viiado, em vié ou imparial e: µ θ E ( θˆ ) ˆ θ Tedeioo Não edeioo Momeo Míimo Quadrado Máxima Veroimilhaça MELNT (Melhor Eimaiva Liear Não Tedeioa) Baye É o mai aigo do méodo para deermiar eimadore (earo, 1894) Baeia-e o priípio de que e deve eimar o momeo de uma diribuição populaioal pelo momeo orrepodee da amora Dea forma a média populaioal deve er eimada pela média amoral, a variâia populaioal pela variâia amoral e aim por diae Ee méodo produ eimadore que ão oiee e aioiamee ormai 10

11 A média da amora é um eimador ão-viiado de µ, io é: µ E ( ) µ A proporção amoral é um eimador ão-viiado de π, io é: µ E( ) π A variâia da amora é um eimador viiado de, io é: µ E ( ) A variâia da amora, alulada om -1 o deomiador é um eimador ão viiado de, io é: µ E( ) Um eimador ão viiado é dio oiee e: lim V ( θˆ ) 0 A média da amora é um eimador oiee de µ, io é: lim V ( ) lim 0 11

12 A proporção amoral é um eimador oiee de π, io é: lim V ( ) lim π ( 1 π ) 0 A variâia da amora é um eimador oiee de, io é: lim V ( ) lim Dado doi eimadore ão-edeioo de um memo parâmero, o mai efiiee é o que apreea meor variâia 1 O eimador 1 é mai efiiee que o A média (imple) da amora é um eimador mai efiiee de µ, do que qualquer média poderada Com bae a diribuição da veloidade de uma amora de 10 arro adado a erada OA/Oório, deermie eimaiva da: (a) veloidade média (b) variabilidade da veloidade () da proporção de arro aima do 100 km/h 1

13 (d) Eimaiva do erro padrão da: (i) Média (ii) roporção (iii) Variâia Veloidade Toal Freqüêia A média Veloidade Toal Freqüêia x i 8,5 87,5 9,5 97,5 10,5 107,5 f i x i 660,0 1137,5 0,0 317,5 97,5 13,97, A melhor eimaiva da média é dada pela média da amora Aim: x f x i i , km / h Veloidade Toal Freqüêia x i 8,5 87,5 9,5 97,5 10,5 107,5 f i xi 54450, , , , , , O devio padrão f x i i 1 10 x ( 96, 7083 ) , , , 89 km/h 13

14 A proporção A melhor eimaiva de π é dada pela proporção amoral (p): p f 4 10 ( ) 10 0, % O erro padrão da média é dado por: Eão uma eimaiva do erro é dada por: ˆ ˆ 47, ,63 km/h O erro padrão da proporção é dado por: π(1 π) Eão uma eimaiva do erro é dada por: ˆ 0,35 0,65 10 πˆ (1 πˆ ) p(1 p) 0,0435 4,35 % O erro padrão da variâia é dado por: 1 Eão uma eimaiva do erro é dada por: ˆ ˆ 47, , (km/h) 14

15 upodo oheido ( Z ) 1 α α 1 α α Z De Tem-e: ( ( ( ( Z ) 1 α µ µ µ ) 1 α + ) 1 α ) 1 α Aim: ( ( µ µ + + ) 1 α ) 1 α Eão, o IC de 1 α para µ é alulado por: ± x x Com bae a diribuição da veloidade de uma amora de 10 arro adado a erada OA/Oório, e upodo que o devio padrão populaioal é igual a ei km/h deermie uma eimaiva para a veloidade média, om uma ofiabilidade de 95% Tem-e: ± Ma: 1, x x 0,5477 1,960,5477 1,07 x O IC de 1 α para µ é alulado por: [ ; + ] [ 96,71 1,07; 96,71+ 1,07 ] [ 95,64; 97,78] 15

16 0,40 0,0 0,00 deoheido µ 1 1,, 3 α α 1 α N(0; 1) De Tem-e: ( ( ( ˆ µ ˆ ( ) 1 α µ ˆ µ ) 1 α ˆ + ) 1 α ˆ ) 1 α ( ( Aim: ˆ ˆ µ µ + + ˆ ˆ ) 1 α ) 1 α Eão, o IC de 1 α para µ, e for deoheido é alulado por: ± ˆ ˆ ˆ ˆ x x Com bae a diribuição da veloidade de uma amora de 10 arro adado a erada OA/Oório, deermie uma eimaiva para a veloidade média, om uma ofiabilidade de 95% Tem-e: ˆ ˆ Ma: ± x 1,98 ˆ ˆ x 47,477 ˆ x 0, ˆ 1,980,690 1,5 O IC de 1 α para µ é alulado por: [ ˆ ; + ˆ ] [ 96,71 1,5 ; 96,71 + 1,5 ] [ 95,46 ; 97,96 ] 16

17 ( Z ) 1 α π(1 π) ˆ (1 ) α α 1 α De Tem-e: ( ( ( ( Z ) 1 α µ µ µ ) 1 α + ) 1 α ) 1 α ( ( Aim: µ µ + + ) 1 α ) 1 α Eão, o IC de 1 α para π é alulado por: ± ˆ ˆ ˆ ˆ (1 ) Com bae a diribuição da veloidade de uma amora de 10 arro adado a erada OA/Oório, deermie uma eimaiva para a proporção de arro om veloidade aima de 100 km/h, om uma ofiabilidade de 95% Tem-e: ± ˆ Ma: ˆ 1,96 ˆ ˆ p(1 p) 0,35(1 0,35) ˆ 4,3541% 10 ˆ 1,964,3541 8,53% (1 ) 17

18 O IC de 1 α para π é alulado por: [ ˆ ; + ˆ ] [ 35% 8,53%; 35% + 8,53% ] [ 6,47%; 43,53% ] α i ( i 1 α 1 α ( 1) 1 ) 1 α De Tem-e: ( ( 1 i ( ( 1) ( i ( 1) ( 1) 1 ( 1) ) 1 α 1 ) 1 α 1 1 ) 1 α ) 1 α Eão o IC de 1 α para é alulado por: Eão o IC de 1 α para é alulado por: ( 1 ) ( 1 ) ; 1 ( 1 ) ( 1 ) ; 1 18

19 Com bae a diribuição da veloidade de uma amora de 10 arro adado a erada OA/Oório, deermie uma eimaiva para a variabilidade da veloidade, om uma ofiabilidade de 95% Tem-e: ( Ma: 1 ) ( 1 ) ; i 94,81 145,46 1 O IC de 1 α para é alulado por: 11947, ,46 [ 6,3; 7,7] ; 11947,477 94,81 É deejável um IC om ala ofiabilidade (1 - α) e pequea ampliude () Io requer uma amora ufiieemee grade, poi, para fixo, ofiaça e preião varia iveramee A eguir o amaho míimo eeário de amora para eimar o priipai parâmero dero de uma ofiabilidade (1 α) e uma preião () epeifiado 19

20 ara eimar a média de uma população, upodo oheido x ara eimar a média de uma população, om oheido x erá obido aravé de uma amora piloo ara eimar a proporção populaioal x (1 (1 (1 ) ) ) p erá eimado aravé de uma amora piloo Qual o amaho míimo de uma amora para eimarmo a proporção de defeiuoo de uma máquia om uma preião de 3% e uma ofiabilidade de 95% e (a) ada e abe obre ea proporção (b) ela ão é uperior a 10% (a) 1,96 0, (1 0,50 ) 0,5 (b) 385 1,96 0, 03 (1 ) 0,1 0,9 0