Sinais e Sistemas. Env. CS1 Ground. Sine Wave Joint Actuator. Double Pendulum Two coupled planar pendulums with. gravity and sine wave forcing in the

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1 Frequecy khz Hammig kaiser Chebyshev Siais e Sisemas Power Specral Desiy Ev B F CS CS B F CS Groud Revolue Body Revolue Body Power/frequecy db/hz Sie Wave Joi Acuaor Joi Sesor Revolue Double Pedulum wo coupled plaar pedulums wih Revolue Agle graviy ad sie wave forcig i he Joi Sesor upper Revolue joi. SS MIEIC 8/9 Programa de SS Siais e Sisemas aulas Sisemas Lieares e Ivariaes aulas Aálise de Fourier empo coíuo 3aulas Aálise de Fourier empo discreo 3aulas Amosragem de Siais Coíuos aulas SiSis

2 Siais e Sisemas Siais em empo coíuo e em empo discreo Operações elemeares com siais rasformação de variável idepedee Decomposição de siais Caracerísicas de siais Siais fudameais Sisemas e sua ierligação Propriedades de sisemas SiSis 3 Siais Uilizados para descrever feómeos Eemplos aliude de um avião ao logo de um voo h emperaura da água do mar em fução da profudidade precipiação oal diária regisada por uma esação meeorológica p z d variação espacial da iesidade de uma imagem moocromáica y SiSis 4

3 Siais Descrios por fuções de uma ou mais variáveis idepedees Apeas iremos raar siais com uma úica variável idepedee Por facilidade iremos cosiderar como variável idepedee o empo No caso geral podemos er siais que omam valores compleos SiSis 5 Siais em empo coíuo Variável idepedee é coíua, omado odos os valores um dado iervalo de úmeros reais desigação do sial Noação:, y, v, variável idepedee Noa: Os siais em empo coíuo podem ser fuções descoíuas da variável idepedee Habiualmee ão impora o valor do sial os isaes de descoiuidade, mas só oslimiesàesquerdae àdireia SiSis 6

4 Siais em empo discreo Variável idepedee oma apeas um cojuo discreo de valores, por coveção ieiros y desigação do sial Noação:, y, v, variável idepedee Variável idepedee discrea isae seguie e isae aerior Noa: Podem resular de amosragem de siais em empo coíuo SiSis 7 Operações elemeares com siais Muliplicação por um escalar y a Eemplos y.5 y.5 y 3 y SiSis 8

5 Operações elemeares com siais Operações algébricas soma, muliplicação, Eemplo z + y y Eemplo a b c a b SiSis 9 Operações elemeares com siais Ouras operações derivação, iegração, acumulação, Eemplo d y d Eemplo z m3 m SiSis

6 rasformação de variável idepedee raslação y y y y SiSis rasformação de variável idepedee raslação y y > > araso do sial y 3 < < avaço do sial y SiSis

7 rasformação de variável idepedee Mudaça de escala a > y a y a / a y / a a / a SiSis 3 rasformação de variável idepedee Mudaça de escala a > y a a > coracção da escala emporal y < a < epasão da escala emporal y / 4 SiSis 4

8 rasformação de variável idepedee Mudaça de escala a > y a No caso discreo apeas em seido se a for ieiro a > correspode sempre a uma amosragem Eemplo y SiSis 5 rasformação de variável idepedee Rebaimeo y y correspode a uma refleão do gráfico do sial a reca y y SiSis 6

9 rasformação de variável idepedee Mudaça de escala a < y a y a a correspode a um rebaimeo e a uma coracção/epasão defiida por a a < ão impora a ordem por que são realizados o rebaimeo e a coracção/epasão! a a a / a y a / a a a SiSis 7 rasformação de variável idepedee Caso geral y a b y a b Combia uma raslação com uma coracção/epasão e com eveual rebaimeo y a b b a +b a b y a b b a a y +b a +b b a b b + b b a y a b pode ser obido de duas formas: raslação seguida de mudaça de escala mudaça de escala seguida de raslação SiSis 8

10 rasformação de variável idepedee Caso geral y a b y a b Realizado primeiro a raslação b b araso de b b b e depois a mudaça de escala y b a a b b + b escalameo de a y a b b a +b a SiSis 9 rasformação de variável idepedee Caso geral y a b y a b Realizado primeiro a mudaça de escala a a escalameo de a a a e depois a raslação b y a a b a a a b a araso de b/a y a b b a +b a SiSis

11 rasformação de variável idepedee Eemplo: Dado, deermiar ober. ober SiSis rasformação de variável idepedee Eemplo: Dado, deermiar Noa:. ober. ober 4 5 SiSis

12 Eercício Dados os siais < < < > y deermie e esboce + y SiSis 3 Eercício Cosidere o sial y y + y e deermie SiSis 4

13 Siais pares Um sial em empo coíuo diz-se par se Um sial em empo discreo diz-se par se Noa: O gráfico de um sial par é simérico relaivamee à reca SiSis 5 Siais ímpares Um sial em empo coíuo diz-se ímpar se Um sial em empo discreo diz-se ímpar se Noas: O gráfico de um sial ímpar é simérico relaivamee à origem O valor de um sial ímpar em é ulo ou ão esá aí defiido SiSis 6

14 SiSis 7 Decomposição em pare par e pare ímpar Um sial em empo coíuo pode sem decomposo a soma de um sial par com um sial ímpar i p + p i ée pare par de éa pare ímpar de i i p p p + i p + i i p + i p SiSis 8 Decomposição em pare par e pare ímpar Um sial em empo discreo pode sem decomposo a soma de um sial par com um sial ímpar i p + p i ée pare par de éa pare ímpar de i i p p p + i p + i i p + i p

15 Deermiação de pare par e pare ímpar p p i i SiSis 9 Poêcia isaâea A poêcia isaâea do sial é é um valor sempre ão egaivo apeas é ula os isaes em que é ulo se é real eão a poêcia isaâea é dada por Para siais em empo discreo, a poêcia isaâea do sial é dada por sedo ambém válidas as afirmações acima SiSis 3

16 Eergia Eergia do sial o iervalo, { }, E d se a eergia de um sial um iervalo é ula, eão o sial é ulo esse iervalo Quado esá defiido para odos os úmeros reais a sua eergia é E{ } + d Noas: Um sial apeas defiido um iervalo, diz-se de duração limiada Um sial de duração limiada pode eseder-se a odo o domíio real, fazedo para < > de modo a maer a sua eergia SiSis 3 Eergia Eergia do sial o iervalo, { }, E se a eergia de um sial um iervalo é ula, eão o sial é ulo esse iervalo Quado esá defiido para odos os úmeros ieiros a sua eergia é E { } + Noas: Um sial apeas defiido um iervalo, diz-se de duração limiada Um sial de duração limiada pode eseder-se a odo o domíio ieiro, fazedo para < > de modo a maer a sua eergia SiSis 3

17 Eergia eemplos - - { } E, d + d + d E{ } d d d d SiSis 33 Poêcia média Poêcia média do sial o iervalo, { }, P d Poêcia média do sial o iervalo, { }, + P Noa: O iervalo de ieiros, coém + poos! Caso os siais esejam defiidos em de a + a poêcia média é defiida por P C C { } lim C + d ou P{ } lim C D D + + D D SiSis 34

18 Poêcia média eemplos P, { } y 3 P{ y } lim D D + + D D y lim D + D + D D + lim D + D + SiSis 35 Siais de duração ilimiada siais de eergia e siais de poêcia Os siais com eergia fiia E{}< são desigados siais de eergia. Eses siais êm poêcia média ula! Eemplos:, < <, ouros 3, 5 < < 3, ouros Os siais com poêcia média ão ula e fiia <P{}< são desigados siais de poêcia. Eses siais êm eergia ifiia E{}! Eemplos:,, < Há aida siais que êm eergia ifiia E{} e poêcia média ifiia P{}! Eemplos:,, < SiSis 36

19 Valor médio Valor médio do sial o iervalo,, d Valor médio do sial o iervalo,, + Caso os siais esejam defiidos em de a + o valor médio é defiido por C lim d ou lim C + C D + D + C D D SiSis 37 Valor médio eemplos - -, d + + d d y y lim D D + + D D y lim D + D + D D + lim D + D + SiSis 38

20 Siais periódicos empo coíuo O sial diz-se periódico se eisir > al que + se m é ieiro eão + m o meor ão egaivo que saisfaz + é desigado período fudameal SiSis 39 Siais periódicos empo discreo O sial diz-se periódico se eisir N> al que + N N N N N se m é ieiro eão + mn o meor N ão egaivo que saisfaz + N é desigado período fudameal SiSis 4

21 Siais periódicos valor médio, poêcia média e valor eficaz de período valor médio + d Noa: Iegrações realizadas ao logo de qualquer iervalo de largura poêcia média P + { } d valor eficaz P{ } ef RMS + d roo mea square SiSis 4 Siais periódicos valor médio, poêcia média e valor eficaz de período N valor médio N + N Noa: Somaórios realizados ao logo de qualquer iervalo de N poos cosecuivos poêcia média P { } N N valor eficaz P{ } ef RMS N + N roo mea square SiSis 4

22 Valor médio, poêcia média e valor eficaz eemplo A / d / A d / A A 4 P{ } d / A d / 4A d 3 4A / 3 3 A 6 RMS P{ } A 6 SiSis 43 Siais pediódicos compoees coíua e alerada de período + AC compoee alerada de AC compoee coíua de de período N + AC compoee alerada de AC compoee coíua de SiSis 44

23 Compoees coíua e alerada eemplo A d A d A A AC A AC A/ A/ SiSis 45 Eercício 3 Relaivamee ao sial da figura deermie a o valor médio A b a poêcia média c o valor eficaz d a compoee alerada SiSis 46

24 Eercício 4 Cosidere o sial com eergia E{} fiia. Deermie: a E{ b } b E{ a } c E{ a b } SiSis 47