Introdução. Cinemática inversa Dificuldades. Introdução Cinemática inversa. Cinemática inversa Existência de soluções

Transcrição

1 4/6/6 Introdução {Ferramenta} Introdução à Robótia Prof. Dougla G. Maharet {Bae} Introdução à Robótia - Introdução Como alular o valore da variávei de junta que produzirão a poição e orientação deejada do órgão terminal? Dado o valor numério de N T enontrar o valore de θ, θ,, θ N (ou d, d,, d N ) Sitema de equaçõe não-lineare Difiuldade Sitema de equaçõe não-lineare A oluçõe podem não exitir ão poívei Método de olução a er utilizado Introdução à Robótia - 3 Introdução à Robótia - 4 Epaço de trabalho Volume definido pelo ponto alançávei Alançável (reahable) Ponto alançávei om pelo meno uma orientação Hábil (dexterou) Ponto alançávei em toda orientaçõe poívei L L Introdução à Robótia - 5 Introdução à Robótia - 6

2 4/6/6 Coniderando L = L Epaço alançável Círulo de raio R = L + L = L Epaço hábil Um únio ponto (a origem) (L = L ) Epaço alançável Epaço hábil Introdução à Robótia - 7 Introdução à Robótia - 8 (L L ) Coniderando L L Epaço alançável Coroa irular om r = L L e R = L + L Dentro dee epaço apena dua orientaçõe ão poívei. No limite, há apena uma Epaço hábil Não exite! Epaço alançável Não exite epaço hábil! r = L L R = L + L Introdução à Robótia - 9 Introdução à Robótia - Na prátia, o epaço de trabalho alançável é menor, poi a junta pouem limite Coniderando limite Se θ pudee aumir todo o valore em [, 36 ], ma θ 8, o epaço alançável é o memo, porém apena uma orientação erá poível em ada ponto O epaço de trabalho do robô é limitado Um manipulador om meno de 6 DoF não onegue alançar poiçõe e orientaçõe arbitrária no epaço 3D Tranformação do referenial da ferramenta Independente da inemátia do manipulador Qual é o referenial atingível mai próximo? Introdução à Robótia - Introdução à Robótia -

3 4/6/6 Subepaço de manipulador para n < 6 O uuário pena em termo de {T}, ma omputaionalmente onideramo {W} Dado um referenial alvo {G}, alula-e {W}. Verifia-e e a poição e orientação de {W} enontram-e no epaço de trabalho. Cao verdadeiro, exite pelo meno uma olução O epaço alançável por um manipulador de n DoF (n < 6), é parte de um ubepaço om n grau de liberdade Ex: o ubepaço de um manipulador planar om elo é um plano, ma o epaço de trabalho é um ubonjunto dee plano (L + L ), para o ao em que L = L Introdução à Robótia - 3 Introdução à Robótia - 4 Subepaço de manipulador para n < 6 Uma maneira de e epeifiar o ubepaço de um manipulador de n DoF, é forneer uma expreão para o referenial do pulo {W} ou da ferramenta {T}, em função da n variávei que o loalizam O ubepaço é gerado ao ainalar a ea variávei todo o valore poívei Subepaço de manipulador para n < 6 Geralmente, ao e definir um alvo para um manipulador om n DoF, utiliza-e n parâmetro para epeifiar ee alvo Entretanto, ao epeifiar um alvo om 6 grau de liberdade, em geral, não é poível alançá-lo om um manipulador om n < 6 Introdução à Robótia - 5 Introdução à Robótia - 6 Subepaço de manipulador para n < 6 Epeifiando alvo quando n < 6. Dado um referenial alvo G S T, alular um alvo modifiado G S T que pertene ao ubepaço do manipulador e é o mai próximo do original. Calular a inemátia invera baeado em G S T. Ma uidado, ea olução ainda pode não pertener ao epaço de trabalho do robô Um braço planar om 3 grau de liberdade Apena junta de revolução Elo de omprimento adequado e junta om uma boa faixa de trabalho Toda a poiçõe no epaço de trabalho ão alançávei om qualquer orientação Grande epaço de trabalho hábil Introdução à Robótia - 7 Introdução à Robótia - 8 3

4 4/6/6 também é um problema Como eolher uma? Diferente ritério podem er utilizado Eolher a olução mai próxima Priorizar o movimento do elo menore A poição do manipulador deve er utilizada! Introdução à Robótia - 9 Introdução à Robótia - A quantidade de oluçõe depende Do número de junta Do parâmetro do elo Por exemplo, α i, a i e d i, para junta de revolução Do limite de movimento da junta Introdução à Robótia - Introdução à Robótia - PUMA 56 Poui 8 diferente oluçõe para erto alvo Devido a limitaçõe da junta, alguma devem er deoniderada (inaeívei) Variação na última trê junta θ 4 = θ θ 5 = θ 5 θ 6 = θ Introdução à Robótia - 3 Introdução à Robótia - 4 4

5 4/6/6 Método de olução O número de oluçõe poívei etá relaionado à quantidade de parâmetro de elo que ão diferente de zero Comprimento de elo (a i ) a i Número de oluçõe a = a 3 = a 5 = 4 a 3 = a 5 = 8 a 3 = 6 Todo a i 6 Não exitem algoritmo gerai que reolvem itema de equaçõe não-lineare Manipulador oluionável Variávei de junta ão determinada por um algoritmo que alula todo o onjunto de variávei aoiada a uma poição e orientação Introdução à Robótia - 5 Introdução à Robótia - 6 Método de olução Soluçõe numéria Método de otimização Soluçõe analítia (fehada) Algébria Geométria Soluçõe numéria v. Soluçõe analítia Soluçõe numéria Método mai genério Computaionalmente utoo (iterativo) Reultado aproximado (preião) Soluçõe analítia Apliável em problema mai imple Inverão da equaçõe de inemátia direta Reultado exato Introdução à Robótia - 7 Introdução à Robótia - 8 Soluçõe analítia (fehada) Soluçõe ujo método ão baeado em expreõe analítia ou na olução de um polinômio de grau menor ou igual a 4 Doi método báio Algébrio Geométrio Soluçõe bem pareida (diferença no foo) Soluçõe analítia (fehada) Todo itema om junta de revolução ou primátia, om um total de 6 DoF em uma únia adeia inemátia ão oluionávei Ea olução geral, entretanto, é numéria Em geral, manipuladore om vário eixo de junta que e intereptam e/ou algun α i = ou α i = ±9, pouem olução fehada Introdução à Robótia - 9 Introdução à Robótia - 3 5

6 4/6/6 Soluçõe analítia (fehada) Solução algébria Para que um manipulador om 6 DoF tenha olução fehada é ufiiente que trê eixo adjaente e intereptem em um ponto Quae todo manipuladore atendem Manipuladore indutriai ão projetado dea forma para terem uma olução fehada A olução algébria bua determinar a inemátia invera a partir da equaçõe de tranformação e da derição da poição e orientação que e deeja alançar Introdução à Robótia - 3 Introdução à Robótia - 3 Solução algébria (Exemplo PP) Solução algébria (Exemplo PP) d x d y d A inemátia direta e a invera ão triviai para manipuladore om junta primátia Somente uma olução Equaçõe lineare Não envolve funçõe trigonométria Por ete motivo, a geometria é popular CNC, Gantry, Plotter,... d Introdução à Robótia - 33 Introdução à Robótia - 34 Coniderando um manipulador planar Alvo repreentado por trê valore: x, y e ϕ A orientação no plano do Elo 3 é dada por ϕ Simplifiação epeífia B WT 3 3 3T 3 3 L L L L * 3 = o(θ + θ + θ 3 ) B WT x y Introdução à Robótia - 35 Introdução à Robótia

7 4/6/6 B WT 3 3T L L L L Devem er reolvida para θ, θ e θ 3 : 3 3 x L L y L L B WT x y Elevando ao quadrado e omando, temo: oniderando que x + y = L + L + L L Introdução à Robótia - 37 Introdução à Robótia - 38 Reolvendo para, temo: x y L L L L Para que exita uma olução, o lado direito da equação deve pouir valor em [,] A exitênia de olução eria verifiada agora O ponto etá além do alane do manipulador Aumindo o alvo no workpae, temo: Logo, θ pode er obtido por atan(,) Introdução à Robótia - 39 Introdução à Robótia - 4 Em eguida, deve-e reolver para θ Verifiar Livro-Texto (Craig, Cap. 4, Pag. ) θ = atan y, x atan(k, k ) k = L + L k = L Finalmente, θ 3 erá obtido a partir de θ + θ + θ 3 = atan( φ, φ ) = φ Solução geométria A abordagem geométria envolve deompor o problema de geometria epaial do manipulador em problema de geometria plana mai imple Para muito manipuladore (em partiular quando α i = ou α i = ±9 ), io pode er feito om erta failidade Introdução à Robótia - 4 Introdução à Robótia - 4 7

8 4/6/6 A figura a eguir motra o triângulo formado por L, L e a linha que une a origem do itema de referênia {} om a origem do itema de referênia {3} A linha pontilhada repreentam a outra onfiguração poível do triângulo que levaria à mema poição do itema de referênia {3} Introdução à Robótia - 43 Introdução à Robótia - 44 Apliando a lei do oeno, temo: x + y = L + L L L o(8 + θ ) Como o 8 + θ = o(θ ), tem-e x y L L L L Para o triângulo exitir, é neeário que a ditânia para o alvo ( x + y ) eja menor ou igual a L + L A exitênia de olução eria verifiada agora A ondição não é atifeita e o alvo etiver fora do alane do manipulador Introdução à Robótia - 45 Introdução à Robótia - 46 Reolvendo para θ, alula-e β, dado por E ψ, pela lei do oeno x o atan( y, x) y L L L x y Para que a geometria da equação anterior eja preervada, deve-e ter ψ 8 Conideração omum nee tipo de olução Aim, θ é dado por θ = β ± ψ onde o inal + é utilizado quando θ <, e o inal - quando θ > Introdução à Robótia - 47 Introdução à Robótia

9 4/6/6 Finalmente, θ 3 é obtido a partir de θ + θ + θ 3 = φ Bata oniderá-la iniialmente y E a poição da garra? Ee é o ponto onde oorrerá a manipulação x x`l o y y`l in 3 3 x Introdução à Robótia - 49 Introdução à Robótia - 5 9