Lista de Exercícios 3 - Cinemática Inversa

Transcrição

1 PONTIFÍCIA UNIVESIDADE CATÓLICA DO IO GANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHAIA ENGENHAIA DE CONTOLE E AUTOMAÇÃO - SISTEMAS OBOTIZADOS Prof. Felie Kühne Lita e Exeríio - Cinemátia Invera. Determine o entro o nho e m manilaor e ei gra e liberae, aa a matriz e inemátia ireta H e o arâmetro abaixo: 77,87, H,,,87, mm. Conierano qe o manilaor a qetão anterior oi m nho efério na a trê última jnta e abeno qe a trê rimeira jnta oem ânglo orreonente à eginte matriz e rotação:, alle a inemátia invera e orientação.. Motre qe a matriz e rotação e m nho efério reme-e a qano.. Daa a matriz e tranformação homogênea e m manilaor e ei gra e liberae e a matriz e rotação ara a inemátia invera e oição abaixo, etermine a olção ara a inemátia invera e orientação: H,7,7,7,7 77,

2 . O eenho abaixo rereenta m manilaor efério om a a trê rimeira jnta. Areente a eqaçõe qe efinem a inemátia invera e oição ara ete robô.. Conierano qe o manilaor o exeríio anterior oi o eginte arâmetro e Denavit- Hartenberg e a eginte oorenaa ara o entro o nho, etermine a variávei a jnta ara a inemátia invera e oição. i a i α i i i / * / * * -/ * / * * 7 7. Para o memo manilaor o exeríio, oniere agora m nho efério anexao ao e oro, formano m manilaor e GDL. Para a variávei a jnta enontraa no exeríio anterior, alle a inemátia invera e orientação, aa a eginte matriz e tranformação homogênea total: H,97,,,97 8

3 8. O eenho abaixo rereenta m manilaor artilao jo último itema e oorenaa loalizae no entro e m nho efério ( O. Determine a exreõe ara a inemátia invera e oição ete robô. 9. Para o manilaor o exeríio anterior, etermine o entro o nho, aa a eginte matriz e tranformação homogênea e o arâmetro :,,,,,,87, 7,9 H,,7,7 998,7 mm. Para o manilaor o exeríio 8, alle a inemátia invera e oição, ao o eginte arâmetro ontrtivo o robô (graneza em milímetro: a a 77 a 7. Areente a eqaçõe ara a inemátia invera e oição ara o manilaor SCAA a figra abaixo, abeno qe a variávei a jnta ão, e, e o entro o nho é [ x y z ] T.

4 . Para o eginte manilaor efério, areente elo meno ma olção oível ara a inemátia invera e oição e orientação. i a i α i i i / * / * * -/ * / * H,, 9,79,78 878, *

5 UMA BEVE EXPLICAÇÃO SOBE AS FUNÇÕES ATAN E ATAN: A fnção trigonométria artan ( y x é a fnção invera e tan ( y x, o tan ( y x ooto e x é o ateto ajaente e m triânglo retânglo formao or. Uma otra forma e erever eta fnção é atravé o eno e oeno: ( α ( α in in α tan ( α o α artan o α, one y é o ateto Se o nmeraor e o enominaor ão oitivo, o ânglo α enontra-e no rimeiro qarante; e o nmeraor é negativo e o enominaor é oitivo, α enontra-e no egno qarante; e ambo nmeraor e enominaor ão oitivo, α enontra-e no tereiro qarante; or fim, e o nmeraor é oitivo e o enominaor é negativo, α enontra-e no qarto qarante. No ao e ambo nmeraor e enominaor erem negativo, teremo qe: in α artan o ( α ( α in artan o ( α α O eja, o ânglo na realiae enontra-e no qarto qarante, ma eta informação é eria qano o állo o aro-tangente. O ânglo allao eta forma etá inorreto. A fnção atan leva em onieração então o inai o oi argmento, oloano o reltao no qarante orreto. Por exemlo, o oi állo abaixo tilizam argmento - ara o nmeraor e - ara o enominaor. Fia óbvio qe o reltao orreto aena é obtio ao ar a fnção atan. α artan artan o α artan o (, Poemo organizar o valore a fnção atan a eginte forma, onforme o qarante o ânglo: artan ( y, x x > x <, y x <, y < x, y > x, y < x, y artan artan artan ( y x ( y x ( y x inefinio

6 ESPOSTAS. 77,87,, 77,87,,,87, 77 k. Como, oe-e iolar a matriz e rotação o nho efério:. Definiremo também a matriz U, qe orreone generiamente a. Aim: U :,87,,,87,87,,,87 T om U A matriz e rotação ara m nho efério é efinia ela inemátia ireta ete omonente:. Uma matriz e rotação é ita ortonormal, já qe a linha e olna eta matriz oem mólo nitário. Aim, e ±, o elemento,, e erão iferente e zero.

7 No ao ete exeríio, temo qe (, 87 o. Aim, omo o in, oe-e izer qe in( ±. Aina, tan( in( (, o eja, artan( in( ( Então: ± artan ± artan o,87,87 ± ±, artan,87 Aim, temo a oívei olçõe ara. Analiano o otro elemento e e vai infleniar também no valore e e ara, teremo valore iferente ara e.. o, vemo qe o valor. O eja, eeneno e qal olção eolhermo eolveno e tan ara in o artan in oitivo, tem-e qe: ( in( ( in( in o ( (, artan tan ( in in artan in( in( ( in( o( ( in( in( ( o( o( artan, Agora, e onierarmo a olção ara in( negativo, temo qe: tan ( in o ( in( ( in( ( o( ( in( ( in( in( ( in( o( tan ( in in ( in( in( ( in( o( ( in( in( ( o( o( artan artan, artan artan, 7

8 8 Logo, temo oi onjnto e ânglo qe atifazem a olção a inemátia invera e orientação: in oitivo: in negativo:. Como, o e in e a matriz e rotação é ortonormal (o mólo a linha e olna é nitário, temo qe:. Utilizano a eginte ientiae trigonométria: in o in in o o in in o o vemo qe a matriz e torna:, one o e in.. U :,7,7,7,7,7,7,7,7 T A matriz e rotação ara m nho efério é efinia ela inemátia ireta ete omonente:.

9 Nota-e qe, nete ao, o(. Como a matriz é ortogonal e oi linha e olna om mólo nitário, o elemento,, e erão nlo (e o(, in(. Sbtitinoe ete valore na matriz aima, tem-e qe:. Utilizano a eginte ientiae trigonométria: o o ( o( in( in( o( ( in( in( o( in( vemo qe a matriz e torna:, o in. Por ete motivo, não é oível o állo o ânglo e inivialmente, ma aena a oma ele. one ( e ( O ignifiao fíio ito é e imle entenimento, vito qe m ânglo na jnta e gra imlia em o eixo z e z etarem alinhao, omo na figra ao lao. Aim, o efeito em termo e rotação em torno e z e z é o memo. Analiano e e, temo qe: tan ( in o ( ( No ao ete exeríio, artan artan,7,7 Aim, qalqer ombinação e valore e forma qe é ma olção vália. 9

10 A olção omleta ara a inemátia invera e orientação é, então:. Oberve a efiniçõe o itema e oorenaa e o arâmetro e Denavit-Hartenberg. Ito é eenial na eterminação a eqaçõe. Seno [ ] T a oorenaa o entro o nho, tem-e: y artan, artan e x r one: e z r x y x. y z, r. o 9 o 9 7mm. 7. A matriz e rotação o nho efério é allaa om, qe ara ete exeríio é,,97,97, Note qe nete ao a matriz e rotação oi o termo om o exeríio, o formato e rez-e a:, então, o, o o. De aoro Aim, aena a oma oe er eterminaa. artan o 7 8. eota omitia.

11 9. k,, 7,9, 998,7,7, 77,9 9,7 o o o.,,, o, o, o.. r x y r a a o a a : D in ± D ± artan D D y φ α φ artg x a in α artg a a o z

12 ,, artan artan r,9 7,78 artan artan y x 878, 7,78,9, 878,,78 9,79,, 878,,78 9,79 k,, r. Com, e, temo qe a matriz e rotação orreonente à trê rimeira variávei a jnta é:,,,,,,,,,,

13 Teno, oemo reolver a inemátia invera e orientação. U artan artan artan artan ± ± ± ± ± eolveno e ara in oitivo: artan artan artan artan Agora, e onierarmo a olção ara in negativo: artan artan artan artan Temo então a olçõe oívei, eeneno o valor e :