A notação utilizada na teoria das filas é variada mas, em geral, as seguintes são comuns:

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2 Notação: A notação utilizada na teoria da fila é variada ma, em geral, a eguinte ão omun: λ número médio de liente que entram no itema or unidade de temo; µ número médio de liente atendido (que aem do itema) or unidade de temo; Lnúmeromédiodelientenoitema;

3 L q númeromédiodelientenafila; L númeromédiodelienteendoatendido; Wtemomédioqueolientefianoitema; W q temomédioqueolientefianafila; W temo médio que um liente leva ara er atendido.

4 W(t)arobabilidade de que umliente fique maidoqueumtemotnoitema; Wq(t) a robabilidade de que um liente fiquemaidoqueumtemotnafila.

5 Para um itema de fila em etado etaionário,tem-e:lλw, L q λw q el λw. L é exreo em número de liente, λ é exreo em termo de liente or hora e W é exreo em hora. Aim λw tem a mema unidade(liente) de L. A trê equaçõe aima ão válida ara qualquer itema de fila.

6 O itema M/M//GD//

7 É um itema do tio M/M/ om no máximo onumidore no itema. Quando a aaidade do itema for atingida o liente ão dienado e erdido ara o itema. O arâmetro ão: λ λ ara,2,...,. µ µ ara,2,...,.

8 A robabilidade do itema etar vazio é e ede /()e. A robabilidade de exitirem liente no itema é: /() e ara<. ( ) ara>. e ara<.

9 Combinando o fato de que L tem-e: om a robabilidade anteriore, e [ ( ( ) L )( ) ] quando. L /2 quando.

10 L q L L L ( )L, umavezque: E(J ) P(J ).E(J / J ) P(J> ).E(J /J > ).( )x. Nem todo o tráfego ara o itema entra no memo orque o onumidore ão reeitado quando exitem mai do que liente no itema, itoé,omrobabilidade.

11 A determinação de W e W q a artir do Teorema é mai omliada. Lembrar que em L λw e Lq λwq, λ rereenta o número médio de liente or unidade de temo que, de fato, entram no itema. Nee modelo de aaidade finita λ da hegada enontramoitema heioe abandonam o itema.

12 Dea forma λ λ( ) hegada or unidade de temo entrarão, de fato, no itema. Combinando ee reultado om o valore de L ewdoteorema,vem: W L λ L λ( ) e W q L λ q L q λ( )

13 Aim a taxa de utilização do ervidor,, que é a robabilidade de que o ervidor eteaouadoédadaor: λ W λ( )W.

14 Para um itema M/M//GD// o etadoetaionárioexitememoe λ µ.io oorre orque memo e λ µ, a aaidade finita do itema não ermite que o número de liente no itema reça em limite.

15 Exemlo: Uma barbearia de um únio barbeiro oui um total de aento. O temo ão exonenialmente ditribuído e um total de 2 liente oteniai hegam a ada hora. O liente que enontram o loal heio não entram. O barbeiro leva uma média de 2 minuto ara barbear ada liente.

16 O temo de erviço é exonenialmente ditribuído.. Na média quanta liente o barbeiro irá atender? 2. Na média, quanto temo ada liente gatará na barbearia?

17 Solução: Uma fração de liente irá enontrar a barbearia heia. Aim uma médiade λ( ) entrarão na barbearia a ada hora. Todo o liente que entrarem erão barbeado. Aim o barbeiro fará uma média de λ( ) barba or hora.

18 . Do roblema tem-e que, λ 2 liente or hora e µ 5 liente or hora. Então 2/54e ( 4)/( 4 ) , Aim uma média de 2( - 3/4)5liente or hora erão atendido.

19 Io ignifia que uma média de oívei liente or hora não irão entrar na Barbearia. 2. Para determinar W vamo determinar rimeiro L. L 4[ ( )( 4) ] 9,67 liente.

20 Então: 9,67 W 2( 3/4),93 hora A barbearia etá emre lotada e o barbeiro deveria enar em ontratar um audante.

21 O itema M/M//GD//

22 É um itema do tio M/M/ om no máximo onumidore no itema. Quando a aaidade do itema for atingida o liente ão dienado e erdido ara o itema. O arâmetro ão:

23 A taxa de entrada (hegada) no itema erá: λ λ ara,2,...,. e. Ataxadeaídadoitemaerá: µ µ ara,2,...,-. µara,,,.

24 Ete modelo orreonde ao itema M/M/ á etudado anteriormente, ó que agora exite erda, oi o (k)-éimo liente não oderá entrar no itemaoiomemoeenontralotado.

25 Nete ao, erá oniderado que > (o ao á foi etudado) e que <, oi e, o temo de eera ara o liente que entram no itema é zero. A taxa de aída do itema deenderá do etado do itema. A oulação é uota infinita e a diilina da fila é FIFO.

26 Ataxamédiadeentradanoitemaé: λ m λ λ λ ( ) onde é a robabilidade de o itema etar heio. A robabilidade de exitirem lientenoitemaãoobtidaor:

27 ! λ μ λ μ e Como λ/µ então: e e >,,..., -,...,

28 ()! e e e >,,..., -,..., Detaforma: λ m λ( ) λ( )

29 !!!! ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Quando,tem-e:

30 Quando,temo: ) (!!! ) (

31 Reumindo, tem-e: e e ) (! ) (! ) (

32 Do tamanho médio da fila do itema M/M/ tem-e: q L ) ( Então,araeteao: d d d d ) ( ) ( q L

33 Então,araeteao,itoé, : } { k ) ( )] )( ( [ ) ( ) ( )] )( ( [ ) ( ) ( ) ( L q

34 Quando,tem-e: L q ( ) ( ) ( )( ) 2 Então,untandoodoireultado,temo: L q ( ) 2 { [()()] ( )( ) 2 } e e

35 O número médio de liente no itema quando é,aexemlodoitemam/m/: )] )( ( [ ) ( )] )( ( [ ) ( )] )( ( [ ) ( L } { } { } { m q L μ λ μ λ

36 L () () () 2 () 2 { 2 2 { { { [()()] [()()] [()( ())] [()()] () } () 2 2 } } }

37 Quando,tem-e: L L q λ μ m ( ( )( 2 )( 2 ( )( 2 ) ) )

38 Então,untandoodoireultado,tem-e: L () ( 2 { )( 2 [()()] ) } e e

39 Temomédiodeeeranafila,quando. )]} )( ( [ { ) ( - )]} )( ( [ { - )]} )( ( [ { 2 2 m q q ) ( ) ( L W μ μ λ λ

40 Temomédiodeeeranafila,quando. W q L λ q m ( μ - ( ( λ )( 2 2μ( - )( )( 2 ) ) ) )

41 Reunindoodoireultado,tem-e: e ) ( 2 ) )( ( e )]} )( ( [ { ) ( ) ( W 2 q μ μ

42 Otemodeeeranoitemaédadoor: W W q L μ λm Aimquando,tem-e: W W q { [ ()( )]} 2 μ μ ( ) μ ()

43 Aimquando,tem-e: μ μ μ ) ( 2 ) )( ( W W q Reunindo,tem-e: e ) ( 2 ) )( ( e )]} )( ( [ { ) ( W ) ( 2 μ μ μ μ

44 Arobabilidadedeotemodeeerana fila er zero P(T ) é a robabilidade de o itemater-liente.aim: P(T ) ()!

45 Exemlo: Conidere um alão de beleza om trê abeleireiro trabalhando. Uma média de 5 liente or hora hegam ao etabeleimento. Cada abeleireiro leva em média 5 minuto ara atender um liente. A aaidade do alão éde2lienteorhora.

46 O liente que não enontram lugar abandonam o alão e vão rourar atendimento em outro loal. Determine: (i) O número médio de liente que entram no alão. (ii) Otamanhomédiodafila. (iii)otemomédiodeeeranafila.

47 Solução: Temo um itema M/M/3/2 om taxa de hegada de λ 5 liente or hora, aaidade de atendimento de µ 4 liente orhoraelimitadoa2lienteorhora om3.aim 5/3.4,25.

48 (i) λmλ( ) 5(,254),7 liente. (ii) Lq5,96liente. (iii)wq3,4minuto.

49 O itema M/M/R/GD/K/K (A ofiina de manutenção)

50 Com exeção do Modelo M/M//GD// todo o modelo que foram vito areentaram taxa que ão indeendente do etado do itema. No entanto exitem ituaçõe em que ea hiótee ode não e válida.

51 Se o liente não querem enfrentar longa fila a taxa de hegada ode er uma função dereente do número de eoa reente na fila. Se a hegada ao itema ão roveniente de uma oulação equena, então a taxa ode deender do etado do itema.

52 Por exemlo, eumbanoouiomente deoitante então no intante em que todo etiveremnobanoataxadehegadaerázero. Modelo em que a hegada ão retirada de oulaçõe equena ão denominado de modelo de fonte finita.

53 No modelo da ofiina de manutenção o itema onite de K máquina e R eoa enarregada do erviço. A qualquer intante de temo uma máquina etá em boa ou má ondiçõe. O temo em que uma máquina etá em boa ondiçõe é exonenial om taxa λ.

54 Semre que uma máquina quebrar ela erá enviada ara o entro de rearo om R eoa em erviço. No entro de erviço é omo e a máquina etiveem hegando a um itema M/M/R/GD/K/K.

55 Aim e R máquina etiverem quebrada a máquina que quebrar erá imediatamente enviada ara onerto. Se > R então R máquina etarão na fila ara erem onertada. O temo neeário ara onertar uma máquina é exonenial om taxa µ (ou temo médio de onerto de /µ).

56 Semre que uma máquina for onertada ela volta ao erviço e ode quebrar novamente. Utilizando a notação de Kendall o modelo ode er exreo omo M/M/R/GD/K/K. O rimeiro K india que a qualquer temo não mai do K onumidore (ou máquina) etão reente e o egundoqueahegadaãodeumafontefinitade tamanho K.

57 Para determinar o etado do itema em deve-e obervar que exitem k máquina em boa ondiçõe. Uma vez que a máquina quebram a uma taxa λ, a taxa total de quebra quandooetadodoitemaéé: λ λλλ...λ(k )λ

58 Para determinar a taxa de aída do modelo lembrar que no etado, min(, r) atendente etarão ouado. Como ada um trabalha a uma taxadem,ataxadeaídaédadaor: µ µ e(,,2,...,r) µ Rµ e(r,r2,...,k)

59 Define-e λ/µ e uma aliação do Teorema um fornee a eguinte robabilidade ara o etado etaionário: K K R!R! R e e,, 2,..., R R, R 2,..., K

60 Nee ao, tem-e: K R R R K R R K R!R! K K Como: K Vem: K R R R R!R! K K

61 Com ea robabilidade é oível então determinar L número médio de máquina no itema, L q número médio de máquina eerando ara erem onertada, W temo médio que uma máquina fia quebrada e W q temo médio que uma máquina eera ara er onertada.

62 Aqui não exitem exreõe imle ara ee valore: K R R R K R! K R! K L K R q R) ( L

63 Como a taxa de hegada deende do itema o número de hegada or unidade de temo é dadoor λ,onde: λ K λ K λ(k-) λ(k L) Aim: W L λ L λ(k L) e W q L q λ L q λ(k L)

64 Exemlo: A olíia de Pokofurto tem 5 arro atrulha. Cada arro quebra em média a ada 3 dia. A ofiina tem doi meânio om ada um levando uma média de 3 dia ara onertar um arro. O temo envolvido odem er oniderado exoneniai.

65 . Determine o número médio de arro em erviço. 2. Qual o temo médio que um arro fia for a de erviço? 3. Enontre a fração de temo que um meânio fia oioo?

66 Solução: EeéummodeloderearoomK5,R2, λ /3 arro or dia e µ /3 arro or dia. Então: (/3)/(/3)/ 5,5 2 5, 2 2

67 4 5 4! 4, ! ! 3, ! ! 5, !2

68 Então: (,5,,5,5,),666 Aim,686.

69 Portanto:,393, 2,69, 3,93, 4,9e 5,.. O número eerado de arro em boa ondiçõeék Lqueédadoor: K [.,686.,393 2.,69 3.,93 4.,9 5.,] 4,964 4,96 arro em bo ondiçõe.

70 2. Prouramo W L/ onde: λ λ 5 λ( 5 ) ( ) 3,52 arroordia. Ou λ(k L)4,5584/3,52 arroor dia. Como L,4648 arro, enontramo que W,4648/,523,7dia.

71 3. A fração de temo que um meânio, em artiular, fia oioo é dado or,5,686,5.,393,77. Se exitiem trê eoa a fração de temo que ada um fia oioo eria dado or: (2/3) (/3) 2.Demodogeral,tem-e: R R R R R R

72 Referênia GRIMMETT, G. R., SITRZAKER, D. R. Probability and Random Proee. Oxford (London): Oxford Univerity Pre, 99. KLEINROCK, Leonard. Queueing Sytem: v. : Theory. New York: John Wiley, 975. WISTON, Wayne L. Oeration Reearh: Aliation and Algorithm. 3 ed. Belmont (CA): Duxbury Pre, 994.

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