Curso: Engenharia de Produção

Transcrição

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2 Vamos admitir que o tempo de atendimento (tempo de serviço) de clientes diferentes são variáveis aleatórias independentes e que o atendimento de cada consumidor é dado por uma variável S tendo função densidade s(t).

3 Vamos denominar 1/µ o tempo médio de atendimento de um cliente. Tem-se, então que: 1 0 ts(t) dt µ A variável 1/µ será medida em horas por cliente, de modo que µ será medida em clientes por hora.

4 Por esse motivo µ será denominada detaxa deserviço. Por exemplo µ5, significa que se sempre existirem clientes, o atendente poderá atender a 5 clientes por hora, em média, e o tempo médio de serviço (atendimento) para cada consumidor será de 1/5 hora.

5 Na notação de Kendall, uma fila é descrita por: A/B/C/Z/K/m Ou mais resumidamente por A/B/C, onde é assumido que Z FIFO, K, m.

6 David George Kendall ( ) estatístico britânico professor das universidades de Oxford e Cambridge. Foi um dos maiores especialistas em Probabilidade e Análise de Dados.

7 A/B/C/Z/K/m Valores de A mais comuns. Os tempos entre chegadas: M: são iid tendo uma distribuição exponencial; G: são iid tendo uma distribuição genérica; D: são iid e determinísticos; E r,k : são iid com distribuição de Erlang de parâmetros:rek.

8 A/B/C/Z/K/m Valores de B mais comuns. Os tempos de serviço: M: são iid tendo uma distribuição exponencial; G: são iid tendo uma distribuição genérica; D: são iid e determinísticos; E r,k : são iid com distribuição de Erlang de parâmetros:re k.

9 A/B/C/Z/K/m Número de servidores A terceira característica (C) representa o número de servidores que atuam em paralelo.

10 A/B/C/Z/K/m Disciplina do serviço. Z será omitido quando a disciplina for FIFO. FIFO FirstIn,FirstOut oufcfs FirstCome,FirstServed; LIFO Last In, First Out ou LCFS Last Come, First Served; SIRO ServiceInRandomOrder; GD DisciplinaGenérica.

11 A/B/C/Z/K/m Número máximo de clientes no sistema. K é omitido quando for infinito. O número de clientes incluem os que estão na fila e os em atendimento.

12 A/B/C/Z/K/m m é omitido Tamanho população. da quandoforinfinito. A menos que o número de clientes seja o mesmo que o de servidores a população é considerada infinita.

13 A notação utilizada na teoria das filas é variada mas, em geral, as seguintes são comuns: λ número médio de clientes que entram no sistema por unidade de tempo; µ número médio de clientes atendidos (que saem do sistema) por unidade de tempo; L número médio de clientes no sistema;

14 L q número médio de clientes na fila; L s número médio de clientes sendo atendidos; W tempo médio que o cliente fica no sistema; W q tempo médio que o cliente fica na fila; W s tempo médio que um cliente leva para ser atendido. N t Número de clientes no sistema em t.

15 W q (t) FDA do tempo de espera na fila; w q (t) fdp to tempo de espera na fila; W(t) FDA do tempo de permanência no sistema; T tempo gasto no sistema.

16 Um dos objetivos do estudo das filas é determinar o tempo que um cliente fica no sistema. Assim se um sistema de filas está em estado estacionário, tem-se (Leis delittle): LλW L q λw q L s λw s

17 David John Dutton Conant Little ( ) graduado em Física pelo MIT, em 1948, Foi o primeiro doutor em PO, obtendo o título em É professor do MIT desde 1962, tendo trabalhado anteriormente na GE.

18 Lembrar que L é espresso em termos de número de clientes, λ é expresso em termos de clientes por hora e W é expresso em horas. Assim λw tem a mesma unidade (clientes) del. As três equações anteriores são válidas para qualquer sistema de filas.

19 Representando por p k a probabilidade de que o sistema contenha k membros (ou esteja no estadoe k ) em um momentotfuturo, temse: p k 0 k 1 Para que o sistema esteja em equilíbrio é necessário que em algum momento:

20 Fluxo de Entrada: E k λ k-1 p k-1 + µ k+1 p k+1 Fluxo de Saída: E k (λ k + µ k )p k Em equilíbrio os dois fluxos devem ser iguais e então:

21 λ k-1 p k-1 + µ k+1 p k+1 (λ k + µ k )p k A solução dessa equação pode ser obtida considerando inicialmentek0, que leva a: λ p 0 1 p0 µ 0 Então: λ... p 0 λ1 λk 1 k p0 µ µ... µ 1 2 k

22 p k p 0 k 1 µ λ i i 0 i+ 1 e p µ λ k 1 1 k 1 i i 0 i+ 1 A relação p k para k 0, 1, 2,... é a principal equação da teoria das filas. Para estudar a existência das probabilidades de estados estacionários (steady-state)p k define-se:

23 S1 k 0 k 1 µ λ i i 0 i+ 1 e S 2 1/ λ k 0 k k 1 µ λ i i 0 i+ 1 Diz-se, então, que um processo será: Ergódico se: S 1 < e S 2 ; RecorrenteNulo se: S 1 e S 2 ; Transiente se: S 1 e S 2 < ;

24 É o caso Ergódico (S 1 < e S 2 ) que fornece probabilidades de equilíbriop k e esse é o que interessa estudar. Pode-se notar que a condição de Ergodicidade é satisfeita sempre que a seqüência λ k /µ k é menor do que a unidade para algumkem diante, isto é, se existe algum k 0 tal que parak k 0 tem-se: λ k /µ k <1.

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26 Lembrar que um sistema M/M/1/GD/ / tem um tempo de inter chegadas exponencial (a taxa de chegadas por unidade de tempo é λ κ λ para k 0, 1, 2 ) e um único servidor com tempo de atendimento também exponencial (a taxa de atendimento será assumida como sendo µ κ µ para k 0, 1, 2, ).

27 Assim: p k p 0 k 1 µ λ i i 0 i+ 1 p 0 k 1 µ λ i 0 p 0 λ µ k para k 0 A condição para que o sistema seja ergódico (e assim tenha uma solução de equilíbrio p k > 0) é que S 1 < e S 2. Nesse caso a primeira condição, torna-se:

28 S 1 p p k k 0 0 k 0 λ µ k < Essa série irá convergir se e somente se (λ/µ) < 1 ou λ < µ. A segunda condição de Ergodicidade torna-se: S 2 λ (p 1 p k 0 k 0 ) 1 λ k 0 µ λ k

29 Esta condição será satisfeita se (λ/µ) < 1, assim a condição necessária e suficiente de ergodicidade do sistemam/m/1 é que λ < µ. Para resolver as equações em relação a p 0 partimos de: p µ λ k 1 1 k 1 i i 0 i+ 1 k 1 λ µ k

30 Essa soma converge se λ < µ e então: p 0 1 λ µ λ µ λ µ Fazendo λ/µ ρ segue que: p k (1 ρ) ρ k para k 0, 1, 2,... Assim o número de usuários no sistema segue uma distribuição geométrica de parâmetro 1 ρ.

31 Uma medida básica de um sistema de filas é o número esperado de clientes no sistema que é dado por: E(N) L kp k 0 k (1 ρ) k 0 kρ k 1 ρ ρ

32 De forma similar pode-se determinar a variância e o desvio padrão do número de clientes no sistema que é dado por: σ 2 N σ 2 N p k 0 k (k N) (1 ρ) Assim o desvio padrão é dado por: 2 ρ 2 σ N σ N 1 ρ ρ

33 Define-se ρ λ/µ como a intensidade de trânsito de um sistema de filas ou fator de utilização ou ainda taxa de utilização do sistema. Para o sistema atingir um estado estacionário é necessário que 0 ρ<1. Se ρ 1éfácil de ver que o estado estacionário não será alcançado. Quando ρ 1, o sistema torna-se instável.

34 Assim, por exemplo, se λ 6clientes por hora e µ 4 clientes por hora. Se o servidor trabalhar todo o tempo ele só poderá atender em média a 4 pessoas por hora. Assim o número médio de clientes por hora irá aumentar de clientes por hora.

35 Dessa forma a fila aumentaria sem limites e não existe uma distribuição do estado estacionário. Se ρ 1, então a não existência de um estado estacionário não é óbvia, mas a uma análise mais aprofundada indica que ele não existe.

36 Derivação de L De agora em diante será assumido que ρ < 1, assegurando que a distribuição de probabilidade do estado estacionário p k ρ k (1 - ρ) existe. Assumindo que o estado estacionário tenha sido alcançado, o número médio de consumidores no sistema é dado por:

37 L k k pk k ρ (1 ρ) (1 ρ) k 0 k 0 j 0 k ρ k Definindo: S k 0 k ρ k ρ + 2 ρ 2 + 3ρ Tem-se: ρsρ 2 +2ρ 3 +3ρ Subtraindo ρs de S vem:

38 S - ρs ρ+ρ 2 + ρ ρ/(1 ρ) Assim: S ρ/(1 ρ) 2 V(N) EntãoL(1 ρ)s(1 ρ)[ρ/(1 ρ) 2 ] Lρ/(1 ρ)(λ/µ)/[1 (λ/µ)]λ/(µ λ) Portanto: L λ/(µ λ) número médio de clientes no sistema.

39 DerivaçãodeL q Em algumas situações existe interesse em saber o número médio de pessoas esperando na fila. Esse valor será representado por L q. Note que nenhum ou apenas um cliente estiver no sistema então ninguém estará esperando na fila.

40 Se k pessoas estiverem no sistema (k 1), então k 1 estarão esperando na fila. Assim se o sistema estiver em estado estacionário: L q (k 1)p k p p Assim L q L (1 p 0 ) L ρ L q ρ 2 /(1 ρ) λ 2 /µ(µ λ) k k k 1 k 1 k 1 k

41 Então:L q λ 2 /µ(µ λ) Utilizando esses resultados mais o Teorema um podemos determinar outras relações: Tem-se: Lρ/( ρ/(1 ρ) e LλW. Assim WL/λ, entãow1/(µ λ)

42 O valor de L s é também de interesse, isto é, o número médio de clientes sendo atendidos: L s 1 p 0 1 (1- ρ)ρ Assim L q L L s ρ/(1- ρ) ρ ρ 2 /(1 ρ)

43 Também L q λ 2 /[µ(µ λ)] e W q L q /λ, então:w q λ/[µ(µ λ)]ρ/(µ λ) Observe que a medida que ρ se aproxima de 1, tanto W quanto W q tornam-se muito grandes. Se ρ se aproxima de zero, W se aproxima de zero e W q se aproxima de 1/µ que é a taxa média de serviço.

44 Outro resultado de interesse é a probabilidade de que exista pelo menos k clientes no sistema: P(N k) pi (1 ρ) ρ i k i k i ρ k

45 Pode-se ver assim que a probabilidade de existirem mais do que k clientes no sistema é uma função geometricamente decrescente do número k que decresce rapidamente.

46 Aplicando a lei de Little podemos obter outra expressão para o tempo médio gasto no sistema, isto é: W T N λ ρ 1 ρ 1 λ 1/ µ 1 ρ

47 Função de distribuição acumulada do tempodeesperanafila Seja W q (t) a função de distribuição acumulada de T q tempo que um usuário espera na fila. Então: W q (t) P(T q t).

48 Tem-se W q (0) P(T q 0) P(N 0) 1 ρ e para t > 0, tem-se: W q (t) k0 P(k usuários no sistema atendidos até o tempo t) Daí segue que: W q (t) 1 ρe-(µ λ)t

49 Função densidade do tempo de espera na fila w q (t) dw (t) q dt d[1 ρe dt ( µ λ)t ] ρ( µ λ)e ( µ λ)t Assim w q (t) ρ(µ λ)e-(µ λ)t

50 Função de distribuição acumulada do tempo de permanência no sistema De forma análoga ao caso anterior a função acumulada do tempo T de permanência no sistema W(t) é dada por: W(t) P(T t) 1 e -µ( µ(1 ρ)t

51 Assim, pode-se perceber que a VAC T tempo gasto no sistema, segue uma distribuição exponencial de parâmetro µ(1 ρ). O valor esperado dessa variável é : E(T) 1 µ ( 1 ρ) 1 µ λ

52 O valor esperado (média) da variável T q tempo que um usuário espera na fila é : W q q 0 q 0 ) t (t)dt tρ( µ λ ( µ λ E(T w )e )t dt λ µ ( µ λ) ρ µ λ

53 Probabilidade do tempo de espera na fila ser maiordoquet>0 P(T q > t) 1 W q (t) ρe-µ(1 ρ)t Probabilidade de que o tempo no sistema seja maiordoquet>0 P(T > t) 1 W(t) e -µ( µ(1 ρ)t

54 O percentil 0 < p < 1 de clientes que irão esperar no sistema menos do que t s é: P(T t s ) W(t) 1 -e -µ(1 ρ) t p Assim o tempo t s tal que a probabilidade do tempo de espera no sistema seja menor do t s é dado por: t s W(t) 1 - e -µ(1 ρ) t p ou t 1 1 s ln( ) µ (1 ρ) 1 p

55 Opercentil 0<p <1 declientesqueirão esperarnafilamenosdoquet q é: P(T t q ) W q (t) 1 - ρe -µ(1 ρ)t p Assimotempot p talqueaprobabilidadedo tempo de espera na fila seja menor do t p é dadopor: t q W q (t) 1 - ρe -µ(1 ρ) t p ou

56 t q 1 µ(1 ρ) ρ ln( ) 1 p Esta fórmula só é válida se p que for maior do que 1 ρ. Todos os valores de percentis abaixo deste valor serão iguais a zero.

57 Um média de 10 carros por hora chegam a a um drive-thru de um único funcionário. O atendente leva em média 4 minutos para atender cada cliente. Tanto as chegadas quanto o atendimento seguem uma distribuição exponencial.

58 1. Qual é a probabilidade de que o atendente esteja livre? 2. Qual é o número médio de carros esperando para ser atendidos (um carro que está sendo atendido não é contado na fila)?

59 3. Qual o tempo médio total que um cliente gasta para ser servido? 4. Na média, quantos consumidores serão atendidos no período de uma hora?

60 Por hipótese estamos lidando com um sistema M/M/1 para o qual λ 10 carros por hora e µ 15 carros por hora. Assim ρ 10/15 2/3.

61 1. Tem-se p 0 1 ρ 1 2/3 1/3. Assim o atendente estará livre 1/3 do tempo. 2. L q ρ 2 /(1 ρ) (2/3) 2 /[1 (2/3)] 4/3 1,33 carros. 3. W L/λ. Tem-se L ρ/(1 ρ) (2/3)/[1 (2/3)] 2 consumidores. Assim W 2/10 0,2 horas 12 minutos.

62 4. Se o atendente estivesse sempre ocupado ele atenderia uma média de µ 15 consumidores por hora. Como ele está ocupado apenas 2/3 do tempo então ele atenderá (2/3)15 10 consumidores.

63 GRIMMETT, G. R., SITRZAKER, D. R. Probability and Random Processes. Oxford (London): Oxford University Press, KLEINROCK, Leonard. Queueing Systems: v. 1: Theory. New York: John Wiley, WISTON, Wayne L. Operations Research: Applications and Algorithms. 3 ed. Belmont (CA): Duxbury Press, 1994.