Pesquisa Operacional II

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1 Pesquisa Operacional II Modelo de Filas Professor: Roberto César

2 A Notação de Kendall Um modelo de fila pode ser descrito pela notação: A/B/c/K/m/Z em que: A = distribuição dos intervalos entre chegadas; B = distribuição do tempo de serviço; c = quantidade de atendentes; K = capacidade máxima do sistema (número máximo de clientes no sistema) m = tamanho da população que fornece clientes; Z = disciplina da fila 2

3 A Notação de Kendall: A/B/c/K/m/Z Os valores de A e B dependem do tipo de distribuição a que elas se referem: M = Exponencial Negativa (ou Marcoviana ou Poisson) Em = Erlang de estágio m Hm = Hiper-exponencial Determinística Geral

4 A Notação de Kendall: A/B/c/K/m/Z Exemplo: M/E2/5/20//Randômico Significa chegadas Marcoviana (ou Poisson), atendimento erlang de segundo grau, 5 atendentes, capacidade máxima de 20 clientes, população infinita e atendimento randômico. A notação condensada A/B/c é muito utilizada e pressupõe tamanho de fila e população infinita e disciplina da fila é FIFO.

5 Modelos de Filas O Processo de Vida e Morte: A maioria dos modelos de fila elementares supõe que as chegadas (clientes chegando) e saídas (clientes saindo) do sistema de fila ocorrem de acordo com o processo de vida e morte. Onde: vida - é o termo que se refere a chegada de um novo cliente morte - é o termo que se refere a partida de um cliente já servido estado - é o número de clientes no sistema no tempo (instante) t(t>0). Este processo diz que vidas e mortes individuais ocorrem aleatoriamente, onde suas taxas médias de ocorrência dependem somente do estado atual do sistema. 5

6 Modelos de Filas O Processo de Vida e Morte: Mais precisamente, as suposições do processo de vida e morte são as seguintes: 1. Dado N(t)=n, a distribuição de probabilidade atual do tempo restante até à vida (chegada) seguinte é exponencial com parâmetro n (n=0,1,2,...) 2. Dado N(t)=n, a distribuição de probabilidade atual do tempo restante até à morte (conclusão do serviço) seguinte é exponencial com parâmetro n (n=0,1,2,...) Somente uma vida ou morte pode ocorrer de cada vez 6

7 Modelos de Filas O Modelo M/M/1: Este modelo representa chegadas e atendimentos marcovianos com um único atendente. Este estudo considera os casos de população infinita e finita. Representação do modelo de fila M/M/1

8 .. Modelo M/M/1 Nome Descrição Fórmula NF NS Número médio de clientes na Fila Número médio de clientes no sistema NF = NS = 2 (-) - TF TS Tempo médio de clientes na Fila Tempo médio de clientes no sistema TF = TS =. (-) 1. - P n Probabilidade de existirem n Clientes no sistema P n = 1 n

9 Modelo M/M/1 Taxa de Utilização: É a relação entre o ritmo médio de chegada e o ritmo de atendimento: = Sistemas estáveis exigem menor que ou < 1. NF = 2 = (-) 2 1-

10 Modelo M/M/1 NF12 10 NF versus ,5 0,6 0,8 NF cresce exponencialmente quando 1

11 População finita: M/M/1/K Um caso particular e bastante encontrado na vida prática. Exemplo: Uma mineração com 1 escavadeira e a alguns caminhões. Considerando =8 e =10, temos a seguinte variação de NF Se a população fosse infinita teríamos NF = 3,2

12 Modelo M/M/1/K Nome Descrição Fórmula NF Número médio de clientes na Fila NF K ( 1 P0 ) NS Número médio de clientes no sistema NS K ( 1 P0 ) TF Tempo médio de clientes na Fila TF K ( ) x 2 (1 P 0 ) TS Tempo médio de clientes no sistema TS K ( ) x(1 P 2 0 ) P n Probabilidade de existirem n Clientes no sistema P n ( K ( ) n) x K n ( ) K j 0 j! j

13 O Modelo M/M/c Apresenta uma única fila e diversos servidores com chegadas e atendimentos marcovianos. Supõe-se aqui que a capacidade de atendimento de cada um dos servidores é a mesma (ou seja ). Casos de população infinita e finita

14 População Infinita: Geralmente são utilizados gráficos para se obter o número médio de clientes na fila (NF) em função do fator de utilização e tendo como parâmetro a quantidade de servidores M a taxa de utilização é: / M Após o uso dos gráficos, as outras variáveis podem ser obtidas pelas fórmulas de Little: TF=NF/ TS=NS/

15 População finita: M/M/c/K Um caso particular e bastante encontrado na vida prática. Exemplo: Uma mineração com 4 escavadeiras e a alguns caminhões. Considerando =26 e =8, temos a seguinte variação de NF Se a população fosse infinita teríamos NF = 3

16 O Modelo Erlang O modelo M/Em/c, representa: chegadas seguem Poisson atendimento segue a Distribuição Erlang de grau m O dimensionamento de equipamentos leva em conta os seguintes indicadores: Fornecer ao cliente o menor tempo em fila Um sistema de menor custo e máxima capacidade de produção Para um dado TF desejado, o modelo M/Em/n necessita de uma menor quantidade de servidores que o modelo M/M/c. 16

17 O Modelo Erlang O Modelo M/Em/1 Distribuição Densidade Erlang Para m=1, possui o mesmo formato que a Função Exponencial Negativa À medida que m cresce, a distribuição tende para a normal Se m tende para infinito. A distribuição tende para uma constante (TA), ou seja, quanto maior m mais constante se torna o tempo de atendimento.

18 Distribuição Erlang TA 2TA 3TA

19 Referência Bibliográfica Prado, Darci; Teoria das filas e simulação; INDG, 2009