Vamos denominar 1/µ o tempo médio de atendimento de um cliente. Tem-se, então que:

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1 Vamos admitir que o tempo de atendimento (tempo de serviço) de clientes diferentes são variáveis aleatórias independentes e que o atendimento de cada consumidor é dado por uma variável S tendo função densidade s(t). Vamos denominar /µ o tempo médio de atendimento de um cliente. Tem-se, então que: 0 ts(t) dt µ A variável /µ será medida em horas por cliente, de modo que µ será medida em clientes por hora. Por esse motivo µ será denominada detaxa deserviço. Por exemplo µ5, significa que se sempre existirem clientes, o atendente poderá atender a 5 clientes por hora, em média, e o tempo médio de serviço (atendimento) para cada consumidor será de /5 hora. Na notação de Kendall, uma fila é descrita por: Ou mais resumidamente por A/B/C, onde é assumido que Z FIFO, K, m. David George Kendall ( ) estatístico britânico professor das universidades de Oxford e Cambridge. Foi um dos maiores especialistas em Probabilidade e Análise de Dados.

2 Valores de A mais comuns. Os tempos entre chegadas: M: são iid tendo uma distribuição exponencial; G: são iid tendo uma distribuição genérica; D: são iid e determinísticos; E r, : são iid com distribuição de Erlang de parâmetros:r e. Valores de B mais comuns. Os tempos de serviço: M: são iid tendo uma distribuição exponencial; G: são iid tendo uma distribuição genérica; D: são iid e determinísticos; E r, : são iid com distribuição de Erlang de parâmetros:r e. Número de servidores Disciplina do serviço. Z será omitido quando a disciplina for FIFO. A terceira característica (C) representa o número de servidores que atuam em paralelo. FIFO FirstIn,FirstOut oufcfs FirstCome,FirstServed; LIFO LastIn,FirstOut oulcfs LastCome,FirstServed; SIRO Service In Random Order; GD Disciplina Genérica. Número máximo de clientes no sistema. K é omitido quando for infinito. Tamanho da população. m é omitido quando for infinito. O número de clientes incluem os que estão na fila e os em atendimento. A menos que o número de clientes seja o mesmo que o de servidores a população é considerada infinita. 2

3 A notação utilizada na teoria das filas é variada mas, em geral, as seguintes são comuns: λ número médio de clientes que entram no sistema por unidade de tempo; µ número médio de clientes atendidos (que saem do sistema) por unidade de tempo; L número médio de clientes no sistema; L q número médio de clientes na fila; L s número médio de clientes sendo atendidos; W tempo médio que o cliente fica no sistema; W q tempo médio que o cliente fica na fila; W s tempo médio que um cliente leva para ser atendido. N t Número de clientes no sistema em t. W q (t) FDA do tempo de espera na fila; w q (t) fdp to tempo de espera na fila; W(t) FDA do tempo de permanência no sistema; T tempo gasto no sistema. Um dos objetivos do estudo das filas é determinar o tempo que um cliente fica no sistema. Assim se um sistema de filas está em estado estacionário, tem-se (Leis de Little): L λw L q λw q L s λw s David John Dutton Conant Little (928 - ) graduado em Física pelo MIT, em 948, Foi o primeiro doutor em PO, obtendo o título em 955. É professor do MIT desde 962, tendo trabalhado anteriormente na GE. Lembrar que L é espresso em termos de número de clientes, λ é expresso em termos de clientes por hora e W é expresso em horas. Assim λw tem a mesma unidade (clientes) de L. As três equações anteriores são válidas para qualquer sistema de filas. 3

4 Representando por p a probabilidade de que o sistema contenha membros (ou esteja no estadoe ) em um momentotfuturo, temse: p 0 Para que o sistema esteja em equilíbrio é necessário que em algum momento: Fluxo de Entrada: E λ - p - + µ + p + Fluxo de Saída: E (λ + µ )p Em equilíbrio os dois fluxos devem ser iguais e então: λ - p - + µ + p + (λ + µ )p A solução dessa equação pode ser obtida considerando inicialmente 0, que leva a: λ 0 p p0 µ 0 Então: λ0 λ... λ p p0 µ µ 2... µ λi p p 0 i 0 µ i+ e p0 λi + i 0 µ i+ A relação p para 0,, 2,... é a principal equação da teoria das filas. Para estudar a existência das probabilidades de estados estacionários (steady-state)p define-se: λ i S 0 i 0 µ i+ e Diz-se, então, que um processo será: Ergódico se: S < e S 2 ; λ i S2 / λ 0 i 0 µ i+ RecorrenteNulo se: S e S 2 ; Transiente se: S e S 2 < ; É o caso Ergódico (S < e S 2 ) que fornece probabilidades de equilíbriop e esse é o que interessa estudar. Pode-se notar que a condição de Ergodicidade é satisfeita sempre que a seqüência λ /µ é menor do que a unidade para algumem diante, isto é, se existe algum 0 tal que para 0 tem-se: λ /µ <. 4

5 Lembrar que um sistema M/M//GD// tem um tempo de inter chegadas exponencial (a taxa de chegadas por unidade de tempo é λ κ λ para 0,, 2 ) e um único servidor com tempo de atendimento também exponencial (a taxa de atendimento será assumida como sendo µ κ µ para 0,, 2, ). Assim: λ i λ λ p p0 p0 p0 para 0 i 0 µ i+ i 0 µ µ A condição para que o sistema seja ergódico (e assim tenha uma solução de equilíbrio p > 0) é que S < e S 2. Nesse caso a primeira condição, torna-se: p λ S < 0 p 0 0 µ Essa série irá convergir se e somente se (λ/µ) < ou λ < µ. A segunda condição de Ergodicidade torna-se: µ S2 0 λ (p p0) 0 λ λ Esta condição será satisfeita se (λ/µ) <, assim a condição necessária e suficiente de ergodicidade do sistemam/m/ é que λ < µ. Para resolver as equações em relação a p 0 partimos de: p0 λ + i λ µ + i 0 i+ µ Essa soma converge se λ < µ e então: p λ µ 0 + λ µ Fazendo λ/µ ρ segue que: p ( ρ) ρ para 0,, 2,... Assim o número de usuários no sistema segue uma distribuição geométrica de parâmetro ρ. λ µ 5

6 Uma medida básica de um sistema de filas é o número esperado de clientes no sistema que é dado por: E(N) L ρ p ( ρ) ρ 0 0 ρ De forma similar pode-se determinar a variância e o desvio padrão do número σ 2 N σ N de clientes no sistema que é dado por: 2 2 ρ σn p ( N) 2 0 ( ρ) Assim o desvio padrão é dado por: ρ σn ρ Define-se ρ λ/µ como a intensidade de trânsito de um sistema de filas ou fator de utilização ou ainda taxa de utilização do sistema. Para o sistema atingir um estado estacionário é necessário que 0 ρ<. Se ρ éfácil de ver que o estado estacionário não será alcançado. Quando ρ, o sistema torna-se instável. Assim, por exemplo, se λ 6clientes por hora e µ 4 clientes por hora. Se o servidor trabalhar todo o tempo ele só poderá atender em média a 4 pessoas por hora. Assim o número médio de clientes por hora irá aumentar de clientes por hora. Dessa forma a fila aumentaria sem limites e não existe uma distribuição do estado estacionário. Se ρ, então a não existência de um estado estacionário não é óbvia, mas a uma análise mais aprofundada indica que ele não existe. Derivação de L De agora em diante será assumido que ρ <, assegurando que a distribuição de probabilidade do estado estacionário p ρ ( - ρ) existe. Assumindo que o estado estacionário tenha sido alcançado, o número médio de consumidores no sistema é dado por: 6

7 L p ρ ( ρ) ( ρ) ρ 0 0 j 0 Definindo: 2 3 S ρ ρ + 2 ρ + 3ρ Tem-se: ρsρ 2 +2ρ 3 +3ρ Subtraindo ρs de S vem: S - ρs ρ+ρ 2 + ρ ρ/( ρ) Assim: S ρ/( ρ) 2 V(N) EntãoL( ρ)s( ρ)[ρ/( ρ) 2 ] L ρ/( ρ)(λ/µ)/[ (λ/µ)]λ/(µ λ) Portanto: L λ/(µ λ) número médio de clientes no sistema. DerivaçãodeL q Em algumas situações existe interesse em saber o número médio de pessoas esperando na fila. Esse valor será representado por L q. Note que nenhum ou apenas um cliente estiver no sistema então ninguém estará esperando na fila. Se pessoas estiverem no sistema ( ), então estarão esperando na fila. Assim se o sistema estiver em estado estacionário: Lq ( )p p p Assim L q L ( p 0 ) L ρ L q ρ 2 /( ρ) λ 2 /µ(µ λ) Então:L q λ 2 /µ(µ λ) Utilizando esses resultados mais o Teorema um podemos determinar outras relações: Tem-se: Lρ/( ρ/( ρ) e L λw. Assim WL/λ, entãow/(µ λ) O valor de L s é também de interesse, isto é, o número médio de clientes sendo atendidos: L s p 0 (- ρ) ρ Assim L q L L s ρ/(- ρ) ρ ρ 2 /( ρ) 7

8 Também L q λ 2 /[µ(µ λ)] ew q L q /λ, então:w q λ/[µ(µ λ)] ρ/(µ λ) Observe que a medida que ρ se aproxima de, tanto W quanto W q tornam-se muito grandes. Se ρ se aproxima de zero, W se aproxima de zero e W q se aproxima de /µ que é a taxa média de serviço. Outro resultado de interesse é a probabilidade de que exista pelo menos clientes no sistema: i P(N ) pi ( ρ) ρ ρ i i Pode-se ver assim que a probabilidade de existirem mais do que clientes no sistema é uma função geometricamente decrescente do número que decresce rapidamente. Aplicando a lei de Little podemos obter outra expressão para o tempo médio gasto no sistema, isto é: N W T λ ρ ρ / µ λ ρ Função de distribuição acumulada do tempodeesperanafila Seja W q (t) a função de distribuição acumulada de T q tempo que um usuário espera na fila. Então: W q (t) P(T q t). Tem-se W q (0) P(T q 0) P(N 0) ρ e para t > 0, tem-se: Wq(t) P( usuários no sistema atendidos até o tempo t) 0 Daí segue que: W q (t) ρe-(µ λ)t 8

9 Função densidade do tempo de espera na fila dw q(t) d[ ρe wq(t) dt dt ( µ λ)t Assim w q (t) ρ(µ λ)e -(µ λ)t ] ρ( µ λ)e ( µ λ)t Função de distribuição acumulada do tempo de permanência no sistema De forma análoga ao caso anterior a função acumulada do tempo T de permanência no sistema W(t) é dada por: W(t) P(T t) e -µ( µ( ρ)t Assim, pode-se perceber que a VAC T tempo gasto no sistema, segue uma distribuição exponencial de parâmetro µ( ρ). O valor esperado dessa variável é : E(T) µ ( ρ) µ λ O valor esperado (média) da variável T q tempo que um usuário espera na fila é : ) t (t)dt tρ( µ λ ( µ λ)t Wq E(Tq 0 wq 0 )e dt λ µ ( µ λ) ρ µ λ Probabilidade do tempo de espera na fila ser maiordoquet>0 P(T q > t) W q (t) ρe-µ( ρ)t Probabilidade de que o tempo no sistema seja maiordoquet>0 P(T > t) W(t) e -µ( µ( ρ)t O percentil 0 < p < de clientes que irão esperar no sistema menos do que t p é: P(T t p ) W(t) -e -µ( µ( ρ) t p Assim o tempo t p tal que a probabilidade do tempo de espera no sistema seja menor do t p é dado por: t p W(t) - e -µ( µ( ρ) t p ou tp ln( ) µ( ρ) p 9

10 Opercentil 0<p < declientesqueirão esperarnafilamenosdoquet p é: P(T t p ) W q (t) - ρe -µ( ρ)t p Assimotempot p talqueaprobabilidadedo tempo de espera na fila seja menor do t p é dadopor: t p W q (t) - ρe -µ( µ( ρ) t p ou Esta fórmula só é válida se p que for maior do que ρ. Todos os postos percentis abaixo deste valor serão iguais a zero. tq ρ ln( ) µ( ρ) p Um média de 0 carros por hora chegam a a um drive-thru de um único funcionário. O atendente leva em média 4 minutos para atender cada cliente. Tanto as chegadas quanto o atendimento seguem uma distribuição exponencial.. Qual é a probabilidade de que o atendente esteja livre? 2. Qual é o número médio de carros esperando para ser atendidos (um carro que está sendo atendido não é contado na fila)? 3. Qual o tempo médio total que um cliente gasta para ser servido? 4. Na média, quantos consumidores serão atendidos no período de uma hora? Por hipótese estamos lidando com um sistema M/M/ para o qual λ 0 carros por hora e µ 5 carros por hora. Assim ρ 0/5 2/3. 0

11 . Tem-se p 0 ρ 2/3 /3. Assim o atendente estará livre /3 do tempo. 2. L q ρ 2 /( ρ) (2/3) 2 /[ (2/3)] 4/3,33 carros. 3. W L/λ. Tem-se L ρ/( ρ) (2/3)/[ (2/3)] 2 consumidores. Assim W 2/0 0,2 horas 2 minutos. 4. Se o atendente estivesse sempre ocupado ele atenderia uma média de µ 5 consumidores por hora. Como ele está ocupado apenas 2/3 do tempo então ele atenderá (2/3)5 0 consumidores. GRIMMETT, G. R., SITRZAKER, D. R. Probability and Random Processes. Oxford (London): Oxford University Press, 99. KLEINROCK, Leonard. Queueing Systems: v. : Theory. New Yor: John Wiley, 975. WISTON, Wayne L. Operations Research: Applications and Algorithms. 3 ed. Belmont (CA): Duxbury Press, 994.