Aplicação. Controlo Óptimas. 23º Seminário de Engenharia Mecânica - 4 Junho de Nuno Manuel R. S. Órfão

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1 Aplicação de Cadeias de Markov em Redes de Filas de Espera Políticas de Controlo Óptimas 23º Seminário de Engenharia Mecânica - 4 Junho de Nuno Manuel R. S. Órfão nmorfao@estg.ipleiria.pt 1

2 Sumário 1. Filas de Espera (Queueing Systems)? 2. Exemplos Práticos 3. A Componente Psicológica 4. Sistem Simples Estrutura 5. Regras de Sequenciamento (exemplos) 6. Dinâmica de uma Fila de Espera 7. Estado da Arte 8. Definição do Modelo 9. Acções de Controlo 10. Rede de Petri Estocástica 11. Cadeias de Markov (CM) 12. Da CM Tempo Contínuo à CM Tempo Discreto 13. Política de Controlo Óptima Programação Dinâmica 14. Estudo Experimental 15. Conclusões 16. Linhas de Investivação 2

3 1. Filas de Espera (Queueing Systems)? Definição: Fenómeno que pode ocorrer em presença de procura por um recurso escasso. Porquê estudar este fenómeno? Minimizar o tempo de espera (i.e. melhorar o nível de serviço); Minimizar o custo associado ao processo; Esta optimização passa por: Analisar regras sequenciamento alternativas; Dimensionar o sistema (nº servidores, capacidade das filas,...); Manipular a percepção humana da espera; 3

4 2. Exemplos Práticos Sistemas de Produção, Telecomunicações, Computadores Dimensionamento de buffers, redes, servidores; Políticas de sequenciamento; Definição de escalas de prioridades; Abordagem quantitativa Sistemas Sociais, Serviços Comerciais, Tráfego Dimensionamento de atendimento; Componente psicológica é crítica Abordagem quantitativa e qualitativa 4

5 3. A Componente Psicológica Leis de Serviço: 1. Satisfação = Percepção Expectativa. A Manipulação das expectativas e da percepção do cliente torna-se uma eficaz ferramenta de gestão. 2. É difícil alterar a percepção inicial. Por Efeito de Halo, existe uma forte tendência para o cliente generalizar a sua percepção com base somente na experiência tida no contacto inicial com o serviço. Fonte: The Pychology of Waiting Lines David H. Maister Harvard Business Riview 5

6 3. A Componente Psicológica (cont.) Esperar inactivo é pior que esperar ocupado sol.: Tentar distrair/ocupar clientes enquanto esperam. Espera incerta é mais difícil de suportar sol.: Informar clientes do tempo médio espera. Motivar vinda em periodos de menor procura (descontos) Espera inexplicável é pior que espera justificada sol.: Informar, Informar, Informar. Espera injusta é pior que espera justa sol.: Aplicar regras justas de sequenciamento (FIFO) Quanto maior valor do serviço, maior tempo aceitável espera ; sol.: Segmentar os clientes. Fonte: The Pychology of Waiting Lines David H. Maister Harvard Business Riview 6

7 4. Sistema Simples - Estrutura O sistema fica definido com: Distribuição estatística do processo de chegada; Tamanho da fila (finito ou infinito -> rede aberta ou fechada); Distribuição dos tempos de processamento; Regra(s) de sequenciamento; Classes de clientes; 7

8 5. Regras de Sequenciamento (exemplos) FCFS First Class First Served LCFS Last Class First Served Class Prioritária 8

9 6. Dinâmica de uma Fila de Espera Regra Sequenciamento: FIFO A(t), λ X(t) µ D(t) Chegadas: Partidas: X(t) 1 µ tempo 9

10 7. Estado da Arte Lu & Kumar (1991) apresentam uma rede aberta instável, funcionando sob uma política de sequenciamento LBFS FBFS; Moreira (2001) mostrou que alguma inactividade pode provocar a estabilização do sistema; Em redes fechadas existe sempre estabilidade, uma vez que os clientes podem ser processados num valor finito de tempo; OBJECTIVO: Determinar a política de controlo óptima; Testar inactividade numa rede fechada de filas espera ; Integrar os conceitos de Cadeias Markov, Programação Dinâmica e Simulação de Eventos Discretos para analisar sistemas complexos. 10

11 8. Definição do Modelo Processo chegada tipo Poisson (λ) Tempos processamento Exponenciais (µ i, i = class 1, 2, 3 and 4) Número máximo de clientes no sistema (P) Servidor j (j =1, 2) produz a classe correspondente i (uma de cada vez e de acordo com determinada regra de sequenciamento) ou pode não produzir nada! 11

12 9. Acções de Controlo O esquema de decisão considera todos os cenários possíveis, incluindo o de não produzir (forçando o servidor à inactividade) mesmo com clientes na fila. 2 servidores, 3 decisões = 9 acções de controlo 12

13 10. Rede de Petri Estocástica Seja, Q i fila da classe i (i =1...4) S ji servidor j processa classe i I j servidor j está ianctivo (gestão conflito) a chegada cliente s i início processamento classe i f i fim processamento classe i Estado: X={Q 1, Q 2, Q 3, Q 4, S 11, S 22, S 23, S 14 } e {S 11 +S 14 1 S 22 +S 23 1} Conjunto de transições: T={a, s 1,s 2, s 3, s 4, f 1, f 2, f 3, f 4 } Exemplo X={3, 1, 2, 1, 1, 0, 0, 0} with P 8 13

14 11. Cadeias de Markov (CM) 1) Definição informal: É um processo estocástico (contínuo) em que a seguinte propriedade é válida: - Histórico dos estados é irrelevante; - Tempo de permanência no estado actual é irrelevante; Uma Cadeia de Markov fica definida com: - Espaço de estados, X; - Condições iniciais, X 0 ; - Probabilidades de transição P(x i,x j ); 1) Andrei Andreevich Markov ( ) - Matemático Russo 14

15 12. Da CM Tempo Contínuo à CM Tempo Discreto Dada a versão contínua da equação de Chapman-Kolmogorov (para s t t+ t) (1) podemos obter a função de transição, Os tempos de permanência são V(i) exp (Λ(i)), logo (2) com. 15

16 12. Da CMTC à CMTD (cont.) A manipulação das equações diferenciais escalares de (1) e a derivação de (2) conduz-nos a, -q ii = Λ(i) q ij = λ ij A CMTD estocasticamente equivalente e uniformizada é definida por: Uniformização 16

17 12. Da CMTC à CMTD (Exemplo) u 1 = classe 1, classe 2 X 1 ={3, 1, 2, 1, 1, 0, 0, 0} com P=9 Transições Imediatas λ X 2 ={3, 0, 2, 1, 1, 1, 0, 0} µ 1 µ 2 Transições Timed X 3 ={4, 0, 2, 1, 1, 1, 0, 0} X 4 ={3, 1, 2, 1, 0, 1, 0, 0} X 5 ={3, 0, 3, 1, 1, 0, 0, 0} Transições Imediatas X 6 ={4, 0, 2, 1, 1, 1, 0, 0} X 7 ={2, 1, 2, 1, 1, 1, 0, 0} X 8 ={3, 0, 3, 1, 1, 0, 0, 0} q 16 = λ P 16 = λ/γ Uniformização q 17 = µ 1 P 17 = µ 1 /γ com γ = (λ+µ 1 +µ 2 +µ 3 +µ 4 ) q 18 = µ 2 P 18 = µ 2 /γ q 12 = - (λ+µ 1 +µ 2 ) P 12 =1-(λ+µ 1 +µ 2 )/γ (O sistema deixa o estado X 1 com probabilidade 1, logo q 11 =0) 17

18 13. Política Controlo Óptima Programação Dinâmica Dado o espaço de estados X, o conjunto das acções de controlo U e a matrix de probabilidades de transição P ij, a política de controlo óptima (em termos de custo) obtém-se pela equação recursiva: (assumindo 0 C(i,u) K para todo i e u U) e com α= γ /(γ +β) e β= factor de desconto O custo do estado é dado por: h custo posse p custo penalidade 18

19 13. Política de Controlo Óptima - Resultados Convergência do Custo Convergência da Política Política de Controlo Óptima, π * ={u 1, u 2, u 4, u 5 } Nenhuma das acções de controlo que forçam inactividade {u 3, u 6, u 7, u 8, u 9 } pertencem à solução óptima. 19

20 14. Estudo Experimental Adicionalmente foram consideradas as seguintes políticas de sequenciamento: LBFS LBFS-FBFS Classe prioritária A comparação com a política óptima é possível uma vez que as políticas LBFS e LBFS-FBFS podem ser geradas a partir do conjunto U. 20

21 14. Estudo Experimental Simulação de Eventos Discretos Configuração do sistema: λ=1 P=5, 10 and 15 clientes b=6 (custo de penalidade) N= unidades de tempo Parâmetros Tempo M. Proc Custo Posse Estrutura custo: Push 21

22 15. Conclusões A abordagem utilizada (criar a CMTD, optimizá-la com um algoritmo de PD e implementar um simulador) demonstrou ser uma ferramenta eficaz para analisar e aumentar o desempenho de sistemas complexos; Inactividade nunca é uma política de controlo óptimo (para a rede estudada); A rede estudada (apesar do reduzido p) pode representar um vasto número de sistemas reais. 22

23 16. Linhas de Investigação Simular para um elevado número de clientes (i.e., melhorar o desempenho do código) Modificar o modelo para considerar topologias abertas. Usar a Análise de Perturbações Infinitesimais para obter estimativas das derivadas da função objectivo (problema: a função apresenta descontinuidades!!). 23