A notação utilizada na teoria das filas é variada mas, em geral, as seguintes são comuns:

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1 A notação utilizada na teoria da fila é variada ma, em geral, a eguinte ão comun: λ número médio de cliente que entram no itema or unidade de temo; µ número médio de cliente atendido (que aem do itema) or unidade de temo; L número médio de cliente no itema; L q número médio de cliente na fila; L número médio de cliente endo atendido; W temo médio que o cliente fica no itema; W q temo médio que o cliente fica na fila; W temo médio que um cliente leva ara er atendido. W(t) a robabilidade de que um cliente fique mai do que um temo t no itema; W q (t) a robabilidade de que um cliente fique mai do que um temo t na fila. Para um itema de fila etá em etado etacionário, tem-e: L λw L q λw q L λw L é exreo em número de cliente, λ é exreo em termo de cliente or hora e W é exreo em hora. Aim λw tem a mema unidade (cliente) de L. A trê equaçõe acima ão válida ara qualquer itema de fila.

2 É um itema com temo interchegada exonencialmente ditribuído de arâmetro λ e temo de erviço exonencialmente ditribuído com arâmetro µ e com ervidore atuando em aralelo e uma única fila de cliente. Se cliente etiverem no itema então todo etarão endo atendido. Se > cliente etiverem no itema então cliente etarão eerando na fila. Qualquer cliente que chegar e encontrar um ervidor ocioo erá atendido imediatamente e aquele que não encontrarem ervidore livre entrarão na fila eerando ara erem atendido. Banco e correio na qual todo o cliente eeram numa fila única ão muita veze rereentado or ee tio de modelo. Para decrever ee tio de modelo da mema forma como o demai erá uoto que: λ λ ara,,, 3, Se ervidore etiverem ocuado então a finalização do erviço ocorre a uma taxa de µ + µ + + µ µ Semre que cliente etiverem reente o min(, ) ervidore etarão ocuado. Aim: µ min(, )µ. Reumindo então ee modelo ode er rereentado como um roceo de nacimento e morte com o eguinte arâmetro: λ λ ara,,, 3, µ µ ara,,,, µ µ ara, +, +, Define-e ρ λ/(µ) ara ρ <, então: i (ρ) (ρ) + i i!!( ρ) e (ρ) ara,,...,! ( ρ) P ρ P ara, +, +,...!!

3 Se ρ, então não exite um etado etacionário. Em outra alavra e a taxa de chegada é igual ou maior a taxa de erviço λ µ então o itema não dará mai conta. Pode er motrado que, a robabilidade do etado etacionário, quando todo o ervidore etão ocuado é dado or: (ρ) P( )!( ρ) que é a robabilidade de que um conumidor tenha que entrar na fila. Ea robabilidade é batante utilizada em telefonia e é conhecida como fórmula C de Erlang. O temo de eera médio na fila é dado or: (ρ) ( )! Uma vez que: (ρ )! P ρ P! (ρ)! ara Vamo coniderar o doi termo earadamente. Tomando o rimeiro termo, tem-e: Note-e que: (ρ) (ρ).!! (ρ) ρ ρ + + ρ + (ρ) ρ Então: (ρ) (ρ)!! (ρ)! (ρ)! (ρ)! [( )ρ ρ ] + ( )ρ ( ρ) ( ρ) + ρ( ρ) /ρ + ) + ρ Para o egundo termo, tem-e que: (ρ)! (ρ) ρ!! (ρ) ρ! (ρ)! + / ρ ρ (ρ)!( ρ) 3

4 Juntando o doi reultado, temo: (ρ)! (ρ)! + + /ρ (ρ) + + ( ρ) )! + /ρ ρ / ρ /ρ + (ρ) + ( ρ) ρ ρ!( ρ) Coniderando ete reultado em termo da fórmula de Erlang, tem-e: + (ρ) P(J )ρ!( ρ) ρ Com a exreão do número de cliente na fila, ode-e determinar o temo gato na fila, ela relação de Little. Tem-e que: L q λw q Aim: P( ) Wq λ µ λ Para determinar L (e então W) utiliza-e o fato de que L L q + L. Uma vez que W /µ, utilizando o Teorema um, egue que: L λ/µ e então: L L q + λ/µ. Também: P( ) W L/λ + Wq + + λ µ µ µ λ µ W(t) a robabilidade de que um cliente fique mai do que um temo t no itema; W q (t) a robabilidade de que um cliente fique mai do que um temo t na fila. W(t) P(W > t) e e µ t µ t t( ) µ ρ (ρ) [ e ] +!( ρ)( ρ) µ t( ρ) [ e ] + P( ) * ( ρ) (*) Quando ρ, então W(t) P(W > t) e µ t [ + P( ) µ t] 4

5 W q (t) a robabilidade de que um cliente fique mai do que um temo t na fila. Wq (t) P(Wq > t) (ρ) e!( ρ) µ t( ρ ) P( )e µ t( ρ) Conidere um banco com doi caixa. Uma média de 8 cliente or hora chegam ao banco e eeram na fila ara erem atendido. Cada caixa leva na média, minuto ara atender um cliente. Determine:. O número eerado de cliente no banco?. O temo médio gato or cliente no banco? 3. A fração de temo que um caixa etá livre? Temo um itema M/M/ com λ 8 cliente or hora e µ 5 cliente or hora. Aim ρ 8/.5,8 < e ortanto exite um etado etacionário. Para λ nenhum etado etacionário irá exitir. A robabilidade de o itema etar vazio é dado or: i ( ) ( ) (.,8),6 ρ ρ ,8 + +,6 + i i!!( ρ)!(,8),4 Então: (ρ) (.,8) (/9) 6,4 P( ),7!( ρ)!(,8) 9 P( ) ρ.,7.,8 L q,84 cliente ρ,8. Tem-e L L q + λ/µ,84 + 8/5 4,44 cliente. Então: W 4,44/8,556 hora 3,33 minuto. 3. Para determinar o temo que um atendente etá livre é recio coniderar que io irá ocorrer emre que e na metade do 5

6 temo (or imetria) em que. Então a robabilidade de eque o ervidor etea livre é dada or +,5. Como /9, bata determinar. Tem-e (ρ) /! e, então (.,8)(/9)/ 8/45,777. Aim a robabilidade de que um atendente etea livre é: (/9) +,8/9,8/9, % O gerente de um banco quer determinar quanto caixa devem trabalhar na exta feira. Para cada minuto que um cliente gata na fila o gerente etima um cuto de $,5. Uma média de doi cliente or minuto chegam ao banco. Na média um caixa atende um cliente a cada minuto. O banco tem um cuto de $ 9, a hora ara contratar um caixa. Para minimizar a oma do cuto quanto caixa o banco deve manter trabalhando na exta? Temo um itema M/M/ com λ cliente or minuto e µ,5 cliente or minuto. Aim ρ (λ/µ) < requer que (4/) < ara que o itema etea em equilíbrio. Aim 5. Ito é, deve exitir elo meno 5 caixa ara que a fila não vá ara o infinito. Vamo calcular agora o cuto ara 5, 6, Cuto (Serviço + Eera) or minuto. Cuto de erviço 9/6 $,5, á que cada caixa ganha $ 9, a hora. Cuto de eera (Número eerado de cliente/minuto).(cuto de eera/cliente) Ma: cuto de eera/cliente,5w q. Como chegam cliente, em média or minuto: Cuto de eera.,5w q,w q. Para 5, ρ /,5.5,8 e P( 5),55. Ainda W q L q /λ P( )/(µ λ),55/(5.,5 ), minuto. 6

7 Aim ara 5. Cuto de eera/minuto,., $, e Cuto total,5.5 +, $,86. Como 6 tem um cuto de erviço de 6.,5 $,9 or minuto, 6 caixa não tem um cuto menor do que 5 caixa. Aim 5 caixa é o número ótimo. Colocando de outro forma: adicionar um caixa ode ouar no máximo centavo or minuto em cuto de eera, ma como um caixa cuta 5 centavo or minuto, não é vantaoo contratar mai do que cinco caixa. GRIMMETT, G. R., SITRZAKER, D. R. Probability and Random Procee. Oxford (London): Oxford Univerity Pre, 99. KLEINROCK, Leonard. Queueing Sytem: v. : Theory. New York: John Wiley, 975. WISTON, Wayne L. Oeration Reearch: Alication and Algorithm. 3 ed. Belmont (CA): Duxbury Pre,