Avaliação de Desempenho de Sistemas Discretos

Transcrição

1 Processos Estocásticos Avaliação de Desempenho de Sistemas Discretos Parte VI: Introdução aos Processos Estocásticos e Teoria das Filas Professor: Reinaldo Gomes reinaldo@dsc.ufcg.edu.br Família de VAs indexadas com o parâmetro tempo Fenômeno varia de forma imprevisível com o tempo Para cada w S, associamos uma função X(w, t) Essa família de funções (uma para cada w) forma um PE Exemplos O número de clientes fazendo compras em um supermercado O número de chamadas feitas a uma central telefônica A cotação de uma empresa de software na bolsa de valores Esses números se apresentam em função do tempo Processos Estocásticos também são denominados Processos Randômicos Classificação de PEs Parâmetros de um PE Os processos estocásticos podem ser classificados conforme: Espaço de estados Conjunto de possíveis valores (estados) para X (t) Espaço discreto: espaço de estados finito ou contável (PE é uma cadeia) Espaço contínuo: espaço de estados é um intervalo contínuo, finito ou infinito Tempo: parâmetro indexador Tempo Discreto: os (instantes de) tempo(s) permitidos para as trocas de estados (transição entre estados) são finitos e contáveis Tempo Contínuo: os (instantes de) tempo(s) permitidos para as trocas de estados ocorrem em um intervalo finito ou infinito Dependências estatísticas entre as VAs X (t) para diferentes valores de t Relação entre os membros da família: X (t 1 ), X (t 2 ),... Determinar a distribuição de probabilidades conjunta ou a função densidade de probabilidade desse conjunto de variáveis aleatórias Para analisar o processo estocástico é preciso especificar o período de tempo T envolvido: quando ele será observado Se T é contínuo, T={t: 0 t < ) Trata-se de um Processo Estocástico de Parâmetros Contínuos: Poisson Se T é discreto, T={0, 1, 2,...} Trata-se de um Processo Estocástico de Parâmetros Discretos: Séries Temporais em geral Estados de um PE Análise de um PE O conjunto de valores que X(t) pode assumir é chamada de Espaço de Estados, e os valores específicos de X(t) em dado momento são os Estados do Processo Se X(t) representa alguma contagem: Espaço de Estados poderia ser uma seqüência finita ou infinita de inteiros Processo de Estado Discreto ou Cadeia Aleatória Se X(t) representa uma medida: Espaço de Estados poderia ser um intervalo de números reais Processo de Estado Contínuo Para um valor t, X(t) será uma variável aleatória que descreve o estado do processo no tempo t Dada qualquer coleção finita t 1, t 2,..., t n de tempos, então X(t 1 ), X(t 2 ),..., X(t n ) constituem um conjunto de n variáveis aleatórias com distribuição conjunta A estrutura de probabilidades do processo X(t) é totalmente determinada desde que: Distribuição conjunta de cada conjunto de variáveis aleatórias é determinada Função de densidade de cada conjunto de variáveis aleatórias é determinada Consiste em determinar as distribuições conjuntas e usá-las para prever comportamento futuro, dado o comportamento passado 1

2 Classes de PE Estacionários Independentes Processos Nascimento e Morte Processos de Poisson (Nascimento Puro) PEs Estacionários Um PE é dito estacionário se F x (x, t) é invariante aos deslocamentos no tempo para todos os valores de seus argumentos F x (x, t+ τ ) = F x (x, t) (τ = cte) t+ τ é o vetor (t 1 + τ, t 2 + τ, t 3 + τ,..., t n + τ) Obs.: F x (x ; t) = P[X(t) x) (PDF)... PEs Independentes F x (x ; t+ τ ) F x1,x2,...,xn (x 1, x 2,..., x n ; t 1, t 2,..., t n ) = F x1 (x 1 ; t 1 ) F x2 (x 2 ; t 2 )... F xn (x n ; t n ) {x n } : conjunto de VAs independentes A fdp conjunta é igual ao produto das fdps dos fatores Processos sem memória : probabilidade de x t assumir um valor futuro depende apenas do estado atual Desconsidera estados passados Sejam: p ij : probabilidade de uma transição ir para o estado j, estando no estado i f τ : distribuição de tempo entre transições de estados. x n : sequência estocástica ou randômica Para um Processo de Markov, temos: p ij f τ arbitrária sem memória PE com tempo discreto: Distribuição Geométrica PE com tempo contínuo: Distribuição Exponencial Processos de Nascimento e Morte (PNM) Processos de Nascimento e Morte (PNM) Modelam as alterações em uma população Estado do processo no instante t representa o tamanho da população no instante t Número de pacotes em uma rede, fila de um banco Assume-se que nascimentos e/ou mortes múltiplos ocorrem ao mesmo tempo com probabilidade zero As transições ocorrem apenas entre estados vizinhos p ij = 0, para j - i > 1 f τ sem memória Processos com tempos discretos ou contínuos Extremamente importante na Teoria das Filas Tipo especial de processos de Markov Limitação nas transições possíveis 2

3 Processo de Poisson Relacionamento entre PEs Também conhecido como Processo de Nascimento Puro (PNP) Processo de chegada onde só temos nascimentos Utilizado em processos de contagem N(t 1 ) < N(t 2 ) se tivermos t 1 < t 2 λ i = λ, com λ > 0 µ i = 0 f τ sem memória PSM p ij arbitrária f τ arbitrária PNM p ij = 0, PM p/ j - i > 1 f p ij arbitrária τ sem memória f τ sem memória PP λ i = λ PNP µ i =0 q 1 = 1 e q i = 0, para i 1 f τ arbitrária PR PR p ij = q j-i f τ arbitrária Classificação de PEs Processos Nascimento e Morte Processos de Poisson (Nascimento Puro) Para estudar sistemas de filas mais facilmente, podemos caracterizar o estado completo da fila em um determinado tempo e estudar o comportamento da fila observando como a fila se comporta em função do tempo F(n,t), onde: n N = no de fregueses no sistema (fila + servidor) t R = tempo em que o sistema permanece com n fregueses (tempo para transição) Se eliminarmos t, ficamos apenas com o estado n, que indica a quantidade de fregueses no sistema Passamos a ter um Processo Estocástico com espaço de estado discreto Cadeia Quais as conseqüências? Probabilidades de transição são independentes de n permitindo que a probabilidade de transição seja P ij Probabilidades de transição estacionária Processo de Markov homogêneo no tempo Representação do estado do processo em um instante de tempo t, uma vez que o mesmo será constante Um Processo Estocástico é dito ser um Processo Markoviano se o estado futuro depende apenas do estado presente e não dos estados passados Processo estocástico onde, para qualquer conjunto de n+1 componentes, t 1 < t 2 <... < t n < t n+1, do conjunto índice, X(t n+1 ) depende apenas de X(t n ) Este tipo de Processo Estocástico é também denominado de processo sem memória, uma vez que o passado é "esquecido" (desprezado) O que isso representa? 3

4 A história (passado) do processo deve ser completamente resumida no estado n O estado (n) deve ser a única informação que vai influenciar o futuro do processo Se os sistema permaneceu no estado (n) durante t 0 segundos, esse valor t 0 não deve fornecer informação sobre o futuro A distribuição entre as mudanças de estado (n) deve ser a mesma, embora seja conhecido que t 0 segundos passaram desde a última mudança D(t) t a t a +t o t b D(t) t A distribuição do tempo entre mudanças de estados deve ser uma distribuição sem memória Quando o espaço de estados do processo é discreto temos uma Cadeia de Markov Cadeia de Markov com tempo discreto Distribuição Geométrica Cadeia de Markov com tempo contínuo Distribuição Exponencial Exemplo de transições em um Processo de Markov Processos de Nascimento e Morte (PNM) Processos que podem ser usados com tempos discretos ou contínuos Tipo especial de Cadeia de Markov As transições entre estados só ocorrem entre estados vizinhos E k+1, E k e E k-1 p ij = 0, para j - i > 1 f τ sem memória PE importante na Teoria das Filas Adequado para modelar mudanças de população Processos de Nascimento e Morte (PNM) λ k = Taxa de nascimento quando ao população tem comprimento k µ k = Taxa de morte quando a população tem comprimento k Processos de Nascimento e Morte (PNM) λ 0 λ1 λ k-1 λ k E k+1 morte K-1 k K+1 E k Sem mudanças E k E k-1 nascimento µ 1 µ2 µ k µ K+1 Diagrama taxa-transição de estado para um PNM Possíveis transições entre estados 4

5 Processos de Nascimento e Morte (PNM) Processos de Nascimento e Morte (PNM) λ k-1 λk λ k-1 λk K-1 k K+1 nós: estados Arcos: transições K-1 k K+1 µ k µ K+1 Valores nos arcos: taxas de transição µ k µ K+1 fluxo de entrada em E k = fluxo de saida de E k fluxo de entrada em E k = λ k-1 P k-1 (t) + µ K+1 P k+1 (t) fluxo de saida de E k = (λ k + µ K ) P k (t) Processos de Nascimento e Morte (PNM) Fluxo de entrada - fluxo de saída = Processo de Poisson Processos de Poisson são também conhecido como Processo de Nascimento Puro d P k (t) /dt = λ k-1 P k-1 (t) + µ K+1 P k+1 (t) - (λ k + µ K ) P k (t) d P 0 (t) /dt = - λ 0 P 0 (t) + µ 1 P 1 (t) Estado transiente: Conjunto de equações diferenciais-diferenças que representam a dinâmica do sistema (equações dependentes do tempo). Caso especial de um PNM processo de nascimento Puro com taxa de nascimento constante λ k = λ, k µ k = 0, k Processo de Poisson Processo de Poisson d P k (t) /dt = λp k-1 (t) - λ P k (t), k 1 d P 0 (t) /dt = - λ 0 P 0 (t) Temos: d P k (t) /dt = λp k-1 (t) - λ P k (t), k 1 d P 0 (t) /dt = - λp 0 (t) P 0 (t) = e - λt Temos agora um conjunto de equações de 1 a ordem (linear). Assumindo a condição inicial para cada P k (t) P k (0) = 1, para k=0 0, para k #0 Há 0 (zero) membros no sistema quando t = 0 Queremos: P 1 (t), P 2 (t),..., P k (t) P 1 (t) =? d P 1 (t) /dt = λ P 0 (t) - λ P 1 (t) = λ e - λt - λ P 1 (t) P 1 (t) = λ t e - λt 5

6 Processo de Poisson Como usar os processos Queremos: P 1 (t), P 2 (t),..., P k (t) P 1 (t)? d P 1 (t) /dt = λ P 0 (t) - λ P 1 (t) = λ e - λt - λ P 1 (t) P 1 (t) = λ t e - λt (λ t) k e - λt P k (t) =, para k 0 e t 0 K! Esse é o Processo de Poisson Examinaremos apenas PNM em equilíbrio, i.e., consideramos o nosso sistema de filas no regime permanente No regime permanente, o comprimento da fila varia, naturalmente. O que fica estável (não depende do tempo) é a probabilidade da fila ter k fregueses (p k ). Com essa suposição, eliminamos t (tempo), Desejamos: p k lim P k (t) t Como usar os processos Como usar os processos O sistema é estável: Equações Básicas da Teoria das Filas k-1 p k = p 0 λ i / µ i+1 i=0 k-1 p 0 = 1 / ( 1 + Σ (λ i / µ i+1 )) k=1 i=0 Para: Σ p k = 1 k=0 p k > 0 ( a probabilidade de ocorrer uma chegada em um estado k não é nula) p 0 0 (o sistema esvazia em algum tempo) p k vai diminuindo depois de um certo k λ k / µ k < 1, para k k 0 Teoria das Filas Teoria da Filas Teoria dos processos Estocásticos aplicada ao estudo de Sistemas de Filas Os processos de interesse são aqueles nos quais os fregueses chegam a um sistema de filas, esperam em fila para serem atendidos nos seus requisitos de serviço e, eventualmente, partem do sistema A caracterização de um sistema de filas é feita conforme: O processo estocástico de chegadas de fregueses O processo estocástico de serviço para cada freguês A estrutura do sistema A disciplina de atendimento aos fregueses na fila O comportamento dos fregueses no sistema 6

7 Rede de Filas Processo de chegadas Sistemas de Redes de Filas São sistemas de filas interconectados segundo uma dada topologia Tipos de Sistemas de Redes de filas Redes Abertas: fregueses entram no sistema e eventualmente saem deste Redes Fechadas: possuem um número fixo de fregueses (população) circulando na rede. Do ponto de vista do usuário, é como se não houvesse entrada e saída de fregueses Redes Mistas:são do tipo abertas para certas classes de fregueses e fechadas para outras O processo de chegadas é caracterizado pela especificação da Função Distribuição de Probabilidade (FDP) dos tempos de interchegadas (inter-arrival times), A(t),de fregueses no sistema A(t) = P[tempo de interchegada t] (1) Para simplificação matemática, pode-se adotar a hipótese de que os tempos de interchegadas são variáveis aleatórias independentes estatisticamente distribuídas de acordo com A(t), i.e., o processo de chegadas de freguês é um processo regenerativo, caracterizado por essa função Processo estocástico que possui a propriedade de se regenerar probabilisticamente (existem instantes no tempo em que o PE assumirá probabilisticamente um estado anteriormente alcançado) Processo de Serviço Estrutura do Sistema O processo de serviço é caracterizado pela especificação da FDP do tempo de serviço, B(x), para cada um dos fregueses O tempo de serviço de um freguês é o tempo que o servidor leva para atender a sua demanda de serviço B(x) = P[tempo de serviço x] Para simplificação matemática, assume-se que o processo de serviço é independente do processo de chegada e que os tempos de serviços dos fregueses são VAs independentes A estrutura do sistema é caracterizada: Capacidade de enfileiramento (comprimento de fila, vagas na fila) Número de servidores Classes de fregueses Disciplina de Atendimento Comportamento de A disciplina de atendimento descreve a ordem em que os fregueses em fila são atendidos pelo(s) servidores(s) FCFS (First Come, First Served): primeiro que chega, primeiro a ser atendido LCFS (Last Come First Served): último que chega, primeiro a ser atendido Randômica: um freguês em fila é escolhido de forma randômica para ser atendido O comportamento dos fregueses nas filas impacta as características do sistema fregueses aguardam em fila até serem atendidos, fregueses podem saltar de fila, e fregueses podem desertar da fila Essas características são definidas durante a criação do modelo, de acordo com as classes de fregueses, a interação entre elas, a priorização dada, etc. 7

8 Notação M/M/m/K/N Notação para um sistema de fila: A/B/m/K/N A: Função de Distribuição de Probabilidade (FDP) dos tempos de interchegadas de clientes B: Função Distribuição de Probabilidade dos tempos de serviços m: número de servidores K: Comprimento máximo de fila N: População do sistema Chegada de {t} Exp(λ) N: População esperando serviço 1 fila (K) (w) servidor m servidores (x) T Partida de Freguses {x} Exp(µ) Notação simplificada: A/B/m Significado dos termos Conjunto de FDPs mais usadas M - Exponencial (M vem de Markovian Process) U - Uniforme D - Determinístico G - Geral Hipóteses Simplificadoras A Distribuição Exponencial Representa a distribuição dos intervalos de tempo entre a ocorrência de eventos aleatórios distintos sucessivos (independentes), descrevendo um processo completamente desordenado (pior hipótese) Em modelos de redes de filas que podem representar sistemas de recursos compartilhados, a suposição de tempos de interchegadas de fregueses com distribuição exponencial é razoável se o sistema apresentar um número grande de fregueses independentes Lei de Little Lei fundamental da Teoria das Filas Sejam: λ t taxa de chegada média de fregueses no intervalo (0,t) T t N t tempo de resposta médio dos fregueses no intervalo (0,t) número médio de fregueses no sistema N t = λ t T t Lei de Little Lei fundamental da Teoria das Filas O número médio de fregueses em um sistema de filas é igual a taxa média de chegada de fregueses vezes o tempo médio gasto nesse sistema Vale para qualquer sistema Por extensão: N q número médio de fregueses em fila N q = λ.w N s número médio de fregueses no serviço N s = λ.x No regime permanente; lim λ t = λ e lim T t = T t t N = λ.t Para: W = tempo de fila médio X = tempo de serviço médio T = W + X 8

9 Utilização Fator de Utilização (ρ ) Considerando os parâmetros R e C, sendo: R carga de trabalho que entra no sistema C Capacidade máxima para fazer o trabalho ρ R/C Para uma fila G/G/1: ρ = R/C = λ.x / 1 ρ = λ.x Para uma fila G/G/m: ρ = R/C = λ.x / m ρ = λ.x/m Utilização Interpretação para ρ 0 ρ 1 ρ = E [fração de servidores ocupados] Condição de Estabilidade Para G/G/1 R < C 0 ρ < 1 Distribuições limites existem para todas as VAs de interesse Todos os fregueses eventualmente serão servidos Utilização PNM em Equilíbrio Interpretação de ρ para o sistema G/G/1 estável Seja: p 0 : probabilidade que o servidor está livre ρ = 1 - p 0 ρ = fração de tempo em que o servidor permanece ocupado De outra forma: Pela Lei de Little: N s = λ.x (N s =número médio de fregueses no serviço) N s = ρ = λ.x Teoria das Filas elementar somente estuda sistemas abertos com distribuição de probabilidades exponencial (sistemas Markovianos) M/M/1: 01 servidor (sistema de fila clássica) M/M/m: m servidores M/M/ : infinito servidores M/M/1/K: armazenamento finito (K) M/M/m/m: sistema de perdas, m servidores M/M/1//M: população finita M/M/ //M: infinito servidores, população finita M/M/m/K/M: m servidores, armazenamento finito(k) e população finita (M) Vamos abordar mais detalhes referentes ao sistema M/M/1 λ Chegada de População: sem limite esperando serviço µ fila servidor (sem limite) Sistema de Filas M/M/1 Partida de Freguses Entre as medidas de desempenho do sistema M/M/1, interessamnos principalmente: ρ : fator de utilização do sistema ρ = λ / µ, para λ µ 0 ρ < 1 N: Número médio de fregueses no sistema (fila + servidor) N = ρ / (1 - ρ ), T: Tempo médio de resposta (Tempo médio de fila (W) + tempo médio de serviço (X) T = (1/ µ ) / (1 - ρ ) 9

10 ρ : fator de utilização do sistema ρ = λ. X = λ / µ Condição de estabilidade: λ < µ 0 ρ < 1 Cálculo de p k e p 0 Desenvolvendo (Vide PNM), chega-se a: N: Número médio de fregueses no sistema (fila + servidor) N = Σ k. p k, desenvolvendo chega-se a k=0 N = ρ / (1 - ρ) N p 0 = (1 - λ / µ) = 1 - ρ (já conhecíamos) e p k = (1 - ρ )ρ k, para k = 0,1,2,... ρ T: Tempo médio de resposta (tempo médio de fila (W) + tempo médio de serviço (X = 1/ µ ) Usando a Lei de Little: N = λ T T = N/ λ T = [ρ/(1 - ρ)] / λ = [ρ/(1 - ρ)] * (1 / λ) = (λ / µ) * [1 / λ(1 - ρ )] = 1/ [µ (1 - ρ )] Equação básica na análise de atrasos em sistemas de redes de filas 1/µ T ρ Exemplo 1 Transações chegam a SBD conforme um processo de Poisson com média 10 por minuto. O SBD processa uma transação de cada vez. O tempo de atendimento é conforme uma distribuição exponencial com média de 4 segundos Qual a probabilidade de formar uma fila de transações? Qual o comprimento médio dessa fila? Qual o tempo médio (espera) para uma transação em fila? Quantos segundos por minuto o SBD fica livre para atender ao DBA? Exemplo 1 Solução λ : taxa média de chegada = 10 transações/minuto = 10/60 tps µ: taxa média de atendimento = 0,25 transação / s ρ: fator de utilização = λ / µ = (0,167) / 0,25 = 0,67 Exemplo 1 - Solução Qual a probabilidade de formar uma fila de transações? P [formar fila] = 1 - (p 0 + p 1 ), Temos: p k = (1 - ρ) ρ k P [formar fila] = 1 - [(1-0,67) + (1-0,67) 0,67] P [formar fila] = 0,45 Chegada de (λ) esperando serviço fila servidor (µ) Sistema M/M/1 Partida de Freguses Qual o comprimento médio dessa fila? N q = λ. W = λ.(t - X) = λ.(1/ [µ (1 - ρ )] - 1/ µ) = λ ρ / [µ (1 - ρ )] = 0,167 * 0,67 / [0,25 (1 0,67 )] = 1,36 transações 10

11 Exemplo 1 Solução Qual o tempo médio para uma transação no sistema? T = 1/ [µ (1 - ρ )] = 1 / (0,25*0,33) = 12 s Quantos segundos por minuto o servidor fica livre para o DBA? % tempo livre = p 0 = 1 - ρ = 1 0,67 = 0,33 => 20 s por m Exemplo 2 Um canal de comunicação com capacidade igual a 50 Kbits/seg é o enlace principal de uma rede de comutação de pacotes O comprimento dos pacotes na rede é de 1k bits Pacotes chegam a um roteador para serem transmitidos pelo canal conforme uma distribuição exponencial com taxa média de 35 pacotes/seg (processo de chegada Poisson) λ = 35 p/s (1kbits) C = 50 p/s Supõe-se que há buffers suficientes para atender a demanda de pacotes que devem aguardar a vez de serem transmitidos, um de cada vez, conforme ordem de chegada (disciplina FCFS) Exemplo 2 Exemplo 2 Desejamos Conhecer A utilização do canal λ = 35 p/s (1kbits) O número médio de pacotes no sistema (fila + serviço) O atraso médio de um pacote (tempo médio de fila + tempo médio de transmissão) A fila se forma no roteador λ C = 50 p/s esperando serviço µ O canal é o servidor λ = 35 p/s (1kbits) Chegada de fila servidor Partida de Freguses C = 50 p/s Sistema M/M/1 Exemplo 2 - Solução Temos: λ = 35 pacotes/seg Para usarmos a solução M/M/1, assumimos que a distribuição dos comprimentos dos pacotes é exponencial (geométrica), com média 1kbit Podemos agora determinar o tempo de transmissão de um pacote no canal conforme a distribuição exponencial com média igual a 1/µC = 0,02 seg (a taxa média de transmissão de pacotes no canal é µc = 50 pacotes / seg) Exemplo 2 Solução Utilização do Canal: ρ = λ / µ ρ = λ / µc = 35 / 50 = 0, 7 (o canal transmite durante 70% do tempo) O número médio de pacotes no sistema (fila + serviço): N = ρ / (1 - ρ) N = 0,7/ (1-0,7 ) = 2,33 pacotes Atraso médio de um pacote (tempo médio de fila + tempo médio de transmissão): T = (1/ µ ) / (1 - ρ ) T = (1/ µ C) / (1- ρ) = 1 / (µc- λ) = = (1 / (50-35) = 0,066 seg 11

12 Redes de Filas Redes de Filas Conjunto de estações de serviço (facilidades/nós) conectadas de forma a atender às solicitações de serviço dos fregueses; ou Múltiplas estações de serviço e suas classes, operando de forma assíncrona e concorrente Rede de Filas Mista Redes de Filas Tandem Solução: RFs abertas sem realimentação µ 1 µ 2 k freg. Teorema de Burke (classe 3) Fonte 1 (classe 1) nó 1 Fonte 2 nó 2 (classe 2) µ 3 nó 3 Sorvedouro Fonte λ µ 1? µ 2 nó 1 nó 2 Sorvedouro M/M/1?/M/1 Aberta para as classes 1 e 2 e fechada para a classe 3 Teorema de Burke Generalização de Burke No regime permanente, a saída de uma fila M/M/m, com taxa de entrada γ, com cada servidor i atendendo com taxa µ i, é um Processo de Poisson com taxa γ, estatisticamente independente do processo de entrada Consequência: o nó 2 também é M/M/1 com taxa de chegada de fregueses γ e pode ser analisado independentemente do nó 1. TRF = T 1 + T 2 = (1/µ 1 ) / (1 - ρ 1 ) + (1/ µ 2 ) / (1 - ρ 2 ) Numa Rede de Filas aberta, em que: Cada nó tem um ou mais servidores exponenciais Os processos de entrada são Poisson (não há realimentação, o que destruiria a suposição Processo de Poisson) cada nó pode ser analisado independentemente (M/M/m) para ρ i = γ / µ i M/M/1 12

13 Avaliação de Sistemas Teorema de Jackson γ1 µ 1 Seja: nó 1 γ 1 + γ 2 γ 1 + γ 2 µ 2 µ 3 Uma Rede de Filas com N nós, onde o nó i tem m i servidores exponenciais, cada um com parâmetro µ i ; γ 2 nó 2 nó 3 O processo de chegada externo ao sistema para o nó i é Poisson, com taxa γ i γ 1 < µ 1 Um freguês saindo do nó i passa ao nó j com probabilidade r ij Condição de estabilidade γ 1 + γ 2 < µ 2 γ 1 + γ 2 < µ 3 Teorema de Jackson Teorema de Jackson Temos: r ii 0 Temos: λ i N = γ i + Σ λ j r ji, i = 1, 2,..., N j=1 Pode haver realimentação N O freguês parte do nó i com probabilidades 1 - Σ r ij j=1 γ 1 nó 1 µ 1 γ 1 + γ 2 γ 1 + γ 2 µ 2 µ 3 r 31 Deseja-se calcular λ i, a taxa média total de chegadas no nó i, isto é, a soma de todas as chegadas externas (Poisson) com as chegadas (não necessariamente Poisson) dos nós internos γ 2 nó 2 nó 3 r 21 Teorema de Jackson Teorema de Jackson Condição de Estabilidade: λ i m i µ 1, i = 1, 2 e 3 (m i : # servidores no nó i) µ r 1 31 γ 1 + γ 2 γ 1 + γ 2 Jackson provou que apesar do processo de chegada aos nós não ser necessariamente Poisson, a Rede de Filas se comporta como se cada nó fosse uma fila M/M/m i, com um processo de entrada Poisson com taxa µ 1 γ 1 nó 1 µ 2 µ 3 γ 2 nó 2 nó 3 r 21 13